CC BY
19
УДК 517.54
Е. В. Григорьева
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПИКА*
Обозначим через S(M) класс голоморфных однолистных в единичном круге D функций
f{z)=z+a2z2 +..., zeD, таких, что | f(z) |< М . Функция Пика
^(г)=Ж-'№]= jrPn(M)zneS{M), *(*)>_* V м ) Я=1 (1 — Z)
является экстремальной во многих задачах на классе S(M) Так, в работе
[ 1 ] рассмотрен линейный функционал
Ца,Р;/) = а5 + ая4 + (5а-, + Заа2
и найдено множество £cR такое, что для всякой точки (а,Р)е Е существует М(а,Р)>1, обладающее свойством, что функция Пика Рм доставляет max Re/.(a,P,/) в классе S(M) для всех М е(1,М(а,Р)). Таким образом, М (а,Р) служит оценкой радиуса окрестности тождественной функции, в которой функции Пика обладают экстремальными свойствами по отношению к функционалу /.(а,Р;/).
Доказательство теоремы в работе [1] опиралось на теорему существования обратного отображения, которое выражает зависимость решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений от начальных данных. Принцип сжатых отображений и другие методы функционального анализа предлагают конструктивный вывод о существовании неявного и обратного отображения [2, с. 231], позволяющий оценить радиус окрестности заданной точки, где оно определено. Подобный подход дает возможность найти нижние оценки величин M(a,P).
Опишем подробнее алгоритм нахождения оценки Л/(а,р). С помощью дифференциального уравнения Левнера выводим систему дифференциальных уравнений
^--G(t,X,u), *(0) = 0, (1)
dt
представляющую систему коэффициентов экстремальной функции по формуле X(\ogM) = (a2,a3,a4,asj/ . Система (1) является управляемой, в
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 01-01-00123
ее правую часть входит неизвестная функция и = ы(Г), называемая
управлением
Функция Гамильтона для системы (1) имеет вид
Н(1,Х,\у,и)=КеСу,
где вектор (¡7 удовлетворяет сопряженной системе и условиям трансверсальности
~1 = ~Тх' Ч7(1овМ)-(За,р,а,1)г. (2)
В каждой точке непрерывности управление ц(г) доставляет максимум функции Гамильтона, поэтому оно является корнем уравнения
Ни«,Х,у,и) = 0. (3)
При выполнении условий регулярности
уравнение (3) определяет неявную функцию и = Л\ц7).
Заменим условие трансверсальности в системе (2) на начальное условие ц/(0) = £; и рассмотрим отображение
Обозначим через ¡;°=у(0) значение решения системы (2) в точке I = 0, если в ней положено и = я.
1-й шаг. Находим М, такое, что для всех М е{\.,М\) выполняется
неравенство ||(^)"1(^0)||<2.
2-й шаг. Для заданного / находим Мг такое, что для всех М е(1,Л/2) и всех выполняется неравенство
3-й шаг. Находим /, такое, что неравенство - < обеспечивает неравенство
Нии(ОД4,и(0,0.§)) < '*).
4-й шаг. Находим М3 такое, что для всех М е(],МЪ) выполняется условие
5-й шаг. Находим М4 такое, что для всех М е (1 ,Мвыполняется условие Е.
6-й шаг Находим М5 такое, что для всех íe(0,log^/5) и 4, - < /,, выполняется неравенство
4
Реализация всех шести шагов приводит к следующей теореме. ТЕОРЕМА Пусть (а,Р)е£, / = /, и числа МХ,..,М$ определены
шагами 1, ..., 6. Тогда М(а,р)£ тш Мк.
\ski5
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Григорьева ЕВ Оценка линейного функционала для однолистных функций, близких к тождественной // Математика Механика Сб науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2000. Вып. 2 С. 25 - 27.
2. Рудин У. Основы математического анализа М : Мир, 1976.
УДК 511.23
Г. И. Гусев
О КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В Р-АДИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Пусть р - нечетное простое, Qp поле /?-адических чисел, Ор -кольцо целых р-адических чисел и U р - группа единиц поля Qp, f(x>y)~ X aaf,xa}^ ~ степенной ряд с целыми /7-адическими коэффици-
a>0.ß20
ентами, подчиненными условию lim а „ =0. В этом случае f(x, у) пред-ставляет собой аналитическую функцию на компакте Орк.Ор [1].
ТЕОРЕМА. Если аналитическая функция f(x,y) такова, что для каждого решения (х0,;у0) системы сравнений
— = 0(mod р) дх
Ь/ С)
— = 0(mod р) ду
выполняется условие
