О канонических формах аналитических функций от двух переменных в р-адических полях Текст научной статьи по специальности «Математика»

5-й шаг. Находим М4 такое, что для всех М е (1 ,Мвыполняется условие Е.

6-й шаг Находим М5 такое, что для всех íe(0,log^/5) и 4, - < /,, выполняется неравенство

4

Реализация всех шести шагов приводит к следующей теореме. ТЕОРЕМА Пусть (а,Р)е£, / = /, и числа МХ,..,М$ определены

шагами 1, ..., 6. Тогда М(а,р)£ шш Мк.

\ski5

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Григорьева ЕВ Оценка линейного функционала для однолистных функций, близких к тождественной // Математика Механика Сб науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2000. Вып. 2 С. 25 - 27.

2. Рудин У. Основы математического анализа М : Мир, 1976.

УДК 511.23

Г. И. Гусев

О КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В Р-АДИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Пусть р - нечетное простое, Qp поле /?-адических чисел, Ор -кольцо целых р-адических чисел и U р - группа единиц поля Qp, f(x>y)~ X aaf,xa}^ ~ степенной ряд с целыми /7-адическими коэффици-

a>0.ß20

ентами, подчиненными условию lim а „ =0. В этом случае f(x, у) пред-ставляет собой аналитическую функцию на компакте Орк.Ор [1].

ТЕОРЕМА. Если аналитическая функция f(x,y) такова, что для каждого решения (х0,;у0) системы сравнений

— = 0(mod р) дх

Ь/ С)

— = 0(mod р) ду

выполняется условие

с!е1

-тт(х0,у0)——(х0,у0) дх дхду

д2/ , ,д2/. ,

(2)

дх:<Эу4 ду2 являетсяр-адической единицей.

Тогда в компакте Кч Л = (х0 + рОр) х (у0 + рОр):

I) существует и притом единственное решение 9 = (0,,92) системы уравнений

дх

= о

Эу

2) для ряда Тейлора функции /(х,у) , Г

(3)

^(е, ,е2)(х - е,)2 + ,е2 - е, )(>■ - е2) +

ах ахау

ду

на компакте Кч имеет место изометрическая эквивалентность

где с!12)/(х,у) - второй дифференциал/(х^у) в точке 0.

Доказательство. Ввиду условия (2) вектор-функция

(4)

д±. & дх'ду)

компакте К изометрически эквивалентна линейной вектор-функции [1]

вида

«о. Уо

гМ

дх

Т"(-*0<Уо) + тг^.лХ' - -«о) + тт^о.УоХУ - Уо) дх дх дхду

> У о) + >УоХ* ~ *о) + ^т(хо,Уо)(У ~ У о)

дх дудх ду

В силу условия (1) система уравнений

д( д2 f д2 / —(*0.>о)+ ~гт(хо>УоХ* - *о)+ - Уо) = О

Зх дх отЗу

Э/" д*

— К.Уо) + -—~(х0,у0)(х - *о) + -ТтК.^оХ^ - Уо) = 0 о>' суох Зу

имеет и притом единственное решение в компакте К г .

Для доказательства изометрической эквивалентности (4) отметим,

чт0 и

4(0)—(0)

дх2 'дхду

е1/.

(5)

ч Эуддг Зу'

Далее, замена переменных х -8, = ри,у - в2 = р\, где и^еОр приводит ряд Тейлора Тв/(х, у) к виду

Г9/(в, + + ру) = /(8„92) + |>'Ф>,у),

/-2

где Ф,(ы,у) - 5-форма с целыми /?-адичсскими коэффициентами.

Известно, что квадратичная форма Ф2(ы,у) с помощью некоторого линейного изометрического преобразования приводится к диагональному виду

г1Х1+г2У1, где е,,82 -р-адические единицы.

Ряд ^р'Ф, в этом случае сводится к ряду вида

Е(Х,У) = е,Х2 + г2У2 + ^Р-Ф](Х,Г),

где - формы с целыми р-адическими коэффициентами

Эти формы нредставимы в виде сумм

Ф ](Х,У)=Х2Е,_2(Х,У) + У2С,_г{Х,У),

где Е,-2^,-2 ~ формы порядка .<,-2.

00 00 Обозначим А(Х= ,У)ЖХ,У) = е21^Р"1Е,_2(Х,У).

1-Э

Тогда Е(Х,У) = е,р2Х2( 1 + рА(Х,У)) + е2р2У2(1 + рВ{Х,У)).

Далее, по свойству р-адического аналога ряда Ньютона существуют также степенные ряды 0(Х, У) и Е(Х, У) с целыми р-адическими коэффициентами, сходящиеся в компакте ОрхОр, такие что

\ + рА{Х,У) = (\ + рО{Х,У))2

1 + рВ(Х,У) = ( 1 + рЕ(Х,У))2. Поэтому изометрическое преобразование

\Х.=Х(\ + рО{Х,У))

[У.=У(\ + рЕ(Х,У)) приводит ряд Р(Х, У) к квадратичной форме вида

^р2Х2 + е2р2П2. Второе утверждение доказано

Следствие.

IУ-'Т

/У \ Р

= НГ

I

(7П,Л а 2т _

ра ехр —лв.)

[ Р ) 1 р )

где 10,,/ = !>'"] - множество всех решений системы уравнений (3), принадлежащих О х О и ввиду (5)

О, = ¿а

дх2 ' дхду

е(/„,а>2.

ч дуйх ' Эу

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Боревич 3 И., Шафаревич И Р. Теория чисел. М Наука, 1964

УДК 517.984

О. Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

и,Су) = а,/'"4(0) + /(1) = о, / = 1,ю,

где о, - константы и К - спектральный параметр Пусть

ш

м-1

(О (2)

(3)

Как известно, краевые условия являются нерегулярными по Биркго-фу [1, с. 66 - 67], если некоторые коэффициенты при экспонентах в разложении характеристического определителя Д(р) обращаются в ноль. Однако количество нулевых коэффициентов влияет на экспоненциальный рост функции Грина 0(х,1 Д) и поэтому представляет интерес для исследования. Случаи, когда один коэффициент равен нулю, или около половины коэффициентов равны нулю, рассмотрены в статьях [2, 3]. Там же показана связь между Ь) и определителями в разложении Д(р). Если все Ь), кроме