CC BY
9
ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)
УДК 428.332 Article info Received 19.02.2017
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ТОЧНОСТ1 ВИЗНАЧЕННЯ ПЛОЩ НА ПЛАНАХ I КАРТАХ
О. Я. Кравець
1вано-Франювський НТУ нафти i газу, м. 1вано-Франшвськ, Украша
Розглянуто методи та точшсть визначення площ на планах i картах. Запропоновано формулу для оцiнки точностi визначення площ замкнутих криволiнiйних контурiв методом числового штегрування по прямокутнш сiтцi. Виконано експериментальнi розрахунки точносп визначення площ по прямокутнш сiтцi. Визначено залежнiсть ввдносноТ середньо'1 квадратичноТ похибки вiд кiлькостi точок, що попадають в криволiнiйний контур. Рекомендовано використовувати геостатистичну формулу для попереднього розрахунку точностi залежно ввд кiлькостi вузлiв прямокутноТ сiтки.
Ключовг слова: площа, точшсть, числове штегрування, теорiя геостатистики, середня квадратична похибка.
Вступ. Визначення площ земельних дщянок на планах i картах е однieю з найпоширенiших геодезич-них та землевпорядних задач пiд час складання кадас-трових планiв сшьськогосподарських угiдь, у лковпо-рядкуваннi, екологп, геологи.
Найточнiшим методом визначення площ е аналь тичний метод, коли площу визначають за координатами контурних точок. Точнiсть визначення площi у цьому випадку залежить ввд точностi визначення координат i кiлькостi контурних точок. Вiдносна помил-ка аналiтичного методу становить приблизно 0,1 % (Baran, 2012; Levchuk, Novak, & Konusov, 1981; Mas-lov, 1976; Markiz et al., 1973). Так визначають площi переважно на електронних картах. На паперових нось ях площi визначають графiчним методом.
При використаннi графiчного методу, коли дшян-ку подiляють на прост геометричнi фiгури (трикутни-ки, трапеци), i площу кожно! дшянки обчислюють за вiдомими геометричними формулами, ввдносна по-хибка визначення площi становить 1-2 %.
При визначенш площ дiлянок, обмежених криволь ншним контуром на планi, площi визначають за допо-могою планiметра з ввдносною похибкою 1 -2 % або з допомогою палеток.
Використовують квадратнi, лiнiйнi, точковi палетки - прозорi основи з нанесеними квадратами або па-ралельними лМями.
Рекомендуемо використовувати точкову палетку, коли площу визначають за юльюстю вершин квадрата, як потрапили в контур. У цьому методi площу визначають за формулою
S _ h2 ■ n , (1)
де: n - кшьюсть точок, як1 потрапили в контур; h -розмiр квадратно! сггки.
1нту!тивно зрозумiло, що точшсть визначення площ у цьому методi буде залежати вiд кiлькостi точок, як потрапили в контур. Теоретичне обгрунтуван-ня цього можна зробити на основi статистичних дос-лiджень.
Мета дослщження - дослвдити точнiсть визначення площ на планах i картах на основi теори геостатистики.
Методика дослщження. Запропоновано викону-вати оцiнку точностi визначення площ на основi теори геостатистики (Mat'eron, 1968).
Одним з основних понять геостатистично! теори е просторова змiнна, яку розглядають як реалiзацiю ви-падково! функцп. Математичний апарат теорп просто-рових змшних утворений виходячи з теорп випадко-вих функцiй. При цьому не роблять шяких припущень про природу дослщжуваних явищ.
Для обчислення вщносно1 дисперси визначення площ шляхом штегрування по прямокутнш сгтщ, виходячи з теорп геостатистики, пропонумо використо-вувати таку формулу
m^ _ \DiD2 1 f У!
S2 _ "■
S
^ + 0,06^ I, (2)
6 12
де: Б], Б2 - дiаметральнi варiацп або, шшими словами, проекци контуру, площу якого визначають, на два взаемно перпендикулярш напрямки (довжину та ширину); п - кшьюсть точок, як потрапили в контур; -площа контуру; т - середня квадратична похибка виз-
начення площi; X = — < 1.
Б
Формула (2) визначае основну частину дисперси обчислення площ по прямокутнш сггщ. У цш формулi нiяких умов щодо форми контурiв не ставлять.
Результати дослщження. Для перевiрки формули (2) виконано експериментальш дослiдження, а саме -визначення площ контурiв, якi наведено на рис. 1, по квадратнш сгтщ.
Площу кожного контуру визначено чотириразово iз змiщенням i поворотом сгтки та за рiзних розмiрiв сiтки. Розмiр квадрата сiтки змiнювався вiд И=1 м до Н=9 м. Вiдноснi середнi квадратичнi похибки визначення площ — % обчислено за ввдхиленнями вiд зна-5
чень площ, визначених при И=1 м. Теоретичнi значения ввдносних похибок — Т% обчислено за формулою 5
(2). Результати дослщження наведено в табл. та на рис. 2.
Результати, наведет в таблищ, показують, що точшсть визначення площ залежить вщ кшькосп точок, як потрапили в контур. Точшсть, розрахована за ге-остатистичною формулою (2), дещо нижча порiвняно з фактичними результатами. I це зрозумшо, тому що формула е наближеною i мiстить основну частину дисперси оцiнки площi. II можна використовувати для
Citation APA: Kravets, O. (2017). The Research of the Accuracy of Area Determination on Plans and Maps. Scientific Bulletin of UNFU, 27(1), 212-214. Retrieved from http://nv.nltu.edu.ua/index.php/journal/article/view/200
попередньо1 ощнки точност1 з метою визначення щтьносп Ытки залежно вщ потр1бно1 точносп визначення площ.
Рис. 1. Дослщжуваш контури
Метод штегрування по квадратнш сггщ або метод точкових палеток мае перевагу пор1вняно з шшими наближеними методами. Вш менш трудомюткий, шж метод квадратних чи лшшних палеток. Вим1рювання полягають тшьки у пщрахунку кшькосп точок, що потрапили в контур.
Для пщвищення точносп можна збшьшити щшь-нють с1тки або зробити повторш вим1ри з1 змщенням i поворотом с1тки вщносно контуру.
1200 т
1000
800
600
400
200
0 0,7 1,2 2,1 2,9 3,8 4,5 5,6 5,5 Рис. 2. Залежнють вщносно! середньо! квадратично!' похибки вщ к1лькост1 точок, що потрапляють у контур
На рис. 2 наведено залежнють вщносно! середньо1' квадратично"! похибки визначення площi (горизонтальна вюь) вiд кiлькостi точок, що потрапляють в контур № 1 (вертикальна вюь). Аналопчна залежнють юнуе i для iнших контурiв.
Табл. Визначення вщносних похибок обчислення площ
Контур 1 Контур 2 Контур 3
h n ms % S ms- Т % S h n ms % S ms Т % s h n ms % s ms Т % s
1 1124 0 0 1 1088 0 0 1 6269 0 0
2 281 0,2 0,7 2 272 0,2 0,7 2 1567 0 0,1
3 125 0,8 1,2 3 121 0,8 1,4 3 696 0,1 0,4
4 70 1,0 2,1 4 68 0,8 2,2 4 392 0,2 0,6
5 45 1,7 2,9 5 43 2,1 2,8 5 250 0,3 0,8
6 32 3,2 3,8 6 30 3,2 3,7 6 174 0,6 1,0
7 23 4,0 4,5 7 22 4,8 5,0 7 125 0,8 1,4
8 18 5,0 5,6 8 17 5,7 6,3 8 98 1,2 1,6
9 14 5,8 5,8 9 13 6,6 7,1 9 76 1,5 1,9
Контур 4 Контур 5 Контур 6
1 1967 0 0 1 1139 0 0 1 1481 0 0
2 491 0,1 0,3 2 285 0,5 0,7 2 370 0,2 0,4
3 218 0,2 0,6 3 126 0,8 1,2 3 164 0,3 0,6
4 123 0,8 1,4 4 71 0,8 2,4 4 92 0,8 1,6
5 79 1,3 1,6 5 45 1,6 2,9 5 88 1,0 1,7
6 54 1,6 2,5 6 32 3,0 3,8 6 41 2,6 3,1
7 40 2,8 3,1 7 24 3,8 4,5 7 30 3,0 3,8
8 31 3,2 3,8 8 18 4,7 5,6 8 23 3,6 4,5
9 24 4,0 4,5 9 14 6,5 7,7 9 18 4,2 5,1
Висновки. Виконанi дослiдження дають пiдстави рекомендувати метод iнтегрування по квадратнiй Ыт-цi (метод точкових палеток) для визначення площ криволшшних контурiв на планах i картах. Для попе-реднього розрахунку точностi з метою визначення щшьносп квадратно"! сiтки, залежно вщ потрiбно"l" точ-ностi визначення площ, запропоновано використову-
вати формулу (2), отриману на основi теори геостатистики.
Перелiк використаних джерел
Baran, P. I. (2012). Inzhenerna geodezija. Kyiv: PAT VIPOL, p.
618. [In Ukrainian]. Levchuk, G. P., Novak, V. E., & Konusov, V. G. (1981). Pryklad-najageodezyja. Moscow: Nedra, p. 433. [In Ukrainian].
Markiz, M. A. et al. (1973). Spravochnikpo zemleustrojstvu. Kyiv: Mat'eron, Zh. (1968). Osnovy prikladnoj geostatistiki. Moscow:
Urozhaj, p. 312. [In Russian]. Mir, p. 410. [In Russian].
Maslov, A. V. (1976). Geodezicheskie raboty pri zemleustrojstve. Moscow: Nedra, p. 360. [In Russian].
Е. Я. Кравец
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ НА ПЛАНАХ И КАРТАХ
Рассмотрены методы и точность определения площадей на планах и картах. Предложена формула для оценки точности определения площадей замкнутых криволинейных контуров методом числового интегрирования по прямоугольной сетке. Выполнены экспериментальные расчеты точности определения площадей по прямоугольной сетке. Определена зависимость относительной средней квадратической ошибки от количества точек, которые попадают в криволинейный контур. Рекомендуется использовать геостатистическую формулу для предварительного расчета точности в зависимости от количества узлов прямоугольной сетки.
Ключевые слова: площадь, точность, числовое интегрирование, теория геостатистики, средняя квадратическая ошибка.
O. Ya. Kravets
THE RESEARCH OF THE ACCURACY OF AREA DETERMINATION ON PLANS AN MAPS
Determining land areas on the plans and maps is one of the most common surveying and land management problems in the preparation of cadastral plans of agricultural land, forest inventory, ecology and geology. Although there are various methods of datami-ning land area, the need to provide acuracy of determining still exists. Thus, the study aims at determining the accuracy of land areas on the basis of geostatistics theory. The authors suggest executing the estimation of accuracy of areas determination on the basis of the theory of geostatistics of J. Materon. One of the basic concepts of the theory is a spatial variable that is considered as the realisation of random function. The mathematical apparatus of the theory of spatial variables was formed arising from the theory of random functions. The authors have obtained the following results. Firstly, a formula for the estimation of accuracy of closed curvilinear contour areas determination by the method of numerical integration on rectangular grid is offered. Secondly, the experimental calculations of precision of areas determination on rectangular grid are executed. The dependence of a relative mean quadratic error on the amount of points, that get in a curvilinear contour, is defined. Finally, it is recommended to use a geostatistical formula for the previous calculation of accuracy, depending on the number of rectangular grid. Thus the conclusions are as follows. The executed researches allow us to recommend the method of integration on a square grid (method of point reticulations) for determination of areas of curvilinear contours on plans and maps. For the previous calculation of accuracy with the aim of determination of density of the square grid, depending on necessary accuracy of areas determination, it is suggested using formula (1) obtained on the basis of the theory of geostatistics.
Keywords: an area; accuracy; numerical integration; theory of geostatistics; mean quadratic error.
1нформащя про автора:
О. Я. Кравець, канд. техн. наук, доцент, 1вано-Франювський НТУ нафти i газу, м. 1вано-Франювськ, УкраТна.
E-mail: kravlya@mail.ru
