CC BY
52
УДК 624.074.4:539.4
В. М. Котляр, К. А. Абдулхаков
ДЛИТЕЛЬНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ИЗ ПОЛИМЕРНОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Ключевые слова: оболочка из ПКМ, внутреннее давление, ползучесть, накопление повреждений, длительная прочность.
Получены разрешающие системы уравнений для расчета кратковременной и длительной прочности оболочек вращения из полимерного композиционного материала при действии внутреннего давления. Приведены результаты расчета эллипсоидной оболочки из органопластика со связующим ЭДТ - 10.
Key words: Cover from PCM, internal pressure, creep, accumulation of damages, long durability.
Resolving systems of the equations for calculation of short-term and long durability of covers of rotation from a polymeric composite material (PCM) are received at action of internal pressure. Results of calculation covers from organoplasty with binding ЭДТ - 10 are resulted.
Рассматривается оболочка вращения,
образованная намоткой одним семейством нитей,
Рис. 1
нагруженная внутренним давлением д, полюсные отверстия закрыты крышками (рис.1). Задача решается в предположении больших деформаций оболочки и малых деформаций нитей. Модель материала представлена в виде двух слоев, удовлетворяющих условиям совместимости деформаций по поверхности контакта: изотропного слоя связующего и нитевого слоя [1]. Монотропная оболочка из ПКМ, образованная симметричной относительно меридиана намоткой с углами укладки нитей + ф, рассматривается на основе «сетевой»
теории, изотропная - безмоментной (г0, Гф , * -
радиусы полюсного отверстия, фитинга и экватора; 2о, 2ф - соответствующие размеры вдоль оси вращения оболочки х; у - угол между осью вращения и нормалью к поверхности оболочки).
Основные уравнения получим суммируя соответствующие соотношения «сетевой» и
безмоментной теорией [2]:
(2nAн он cos ф * +2лг * o1hc )sin у* =
= nq]r *‘ ("І +У1У2)-^Ь2^^1 + V2)]> (2nAн он cos ф * +2лг * o1hc )d )
2
_ . sin2 ф * _ * .
+ 2nAнон----------— + 2nr * o2hc
^ cos ф * + 2лг * q(1 + V1V2)-sin у* =
sin у
cos у* =
dz * ds ^ dr *
ds *
Зн (T, t ) = E
Eu
Он (T, t ) + І Кн (T, t-е)Он (T, e)de
(1)
(2)
(1 +Єн)2 = (1 +є1)2 cos2 ф + ( +Є2 )2sin2 ф, (3)
,12 (г,, )=І^М+}к0 (Т,1 -е)^ «. '■2' ’ 5в12(Г,,) і 'ах,,2(Г,е)
С граничными условиями:
г = 0, г* = 0, у* = ^ - условия
симметрии на экваторе, г = г0, є2 =єн - условие
свободного деформирования контура полюсного отверстия, г = го, Є2 = 0 - жесткая
заделка контура полюсного отверстия,
(4)
(5)
где Ан , 2п - площадь сечения и количество нитей, 5 - длина дуги меридиана, О н , ст^ - напряжения в нити, меридиональное и окружное напряжения с связующем, ЛС = ц • Л - эквивалентная толщина изотропного слоя, условно определяемая по объемному содержанию ц связующего в композите,
+
*
коэффициент у2 = г°2/(гф - г°2) характеризует
дополнительное давление на оболочку со стороны фитинга,
10 при z < z,
V1 =-
Ф >
1
при г > 2ф.
Звездочкой отмечены величины, относящиеся к деформированному состоянию и связанные с параметрами исходного состояния,
геометрическими соотношениями:
Г * = Г (1 + 62 ), С5* = С/в (1 + 6!),
* 1 + е1 cos ф* =---------cos ф,
* 1 + е1 sin ф* =--------------sin ф -
1 + 6н 1 + 6н
Здесь 6Н , е12 - деформации нити, меридиональная
и окружная деформации оболочки, связанные уравнением совместимости деформаций (3).
При кратковременном нагружении соотношения упругости для нитей и связующего имеют вид:
Он = Ен • єн ,
Ec
О1,2 = Z 2 1 + V2
(1,2 + v ' є2,1), (6)
где Ен - модуль упругости нитей, V -коэффициент Пуассона связующего, ЕС = Е при е, < еп и ЕС = цеЕ - при е, > 6п - секущийся модуль связующего, е, - интенсивность
деформаций, Е - модуль упругости связующего, еП - предел пропорциональности по деформациям, ^е - функция, зависящая от вида кривой
деформирования материала связующего.
Система из восьми алгебраических и дифференциальных уравнений (1), (2), (3), (4), описывающих напряженно-деформированное
состояние оболочки при кратковременном
нагружении, с учетом граничных условий (5), позволяет найти восемь неизвестных
(ен , ( е2,0Н , у*, г *).
При длительном нагружении физические соотношения (6) заменяем функциями времени t для компонентов композита. Для нитей характерна линейная ползучесть, описываемая следующим уравнением наследственной теории вязкоупругости
Он (Т, t ) + {К н (Т, t-еК (Т, 0)се
єн (T, t ) =
Ен
(о <е<,).
Различные типы связующих проявляют разные реологические свойства. Для эпоксидных матриц характерна нелинейная ползучесть, описываемая уравнениями кубической теории термовязкоупругости [3], [4]. При рассматриваемом плоском напряженном состоянии удобным является вариант этой теории, предложенный Малмейстером А. А. [5]:
є, 2 (г,, )=і^т4+}ко (,,-еЛеї.
',2' ’ а^',2(г,,) і ^ 'аа,,2(г,е)
где Кн - ядро ползучести, вид которого находится путем аппроксимации опытных данных по ползучести для каждого конкретного материала, Т - разность между рабочей температурой и некоторой базовой температурой, которая обычно принимается равной 20°С,
№ = С1/12 + С212 + С (С1/1 + С212 ) - упругий
потенциал, /1 = О1 + ст2 , /2 = - главные
й С 1
инварианты тензора напряжений, ц = ,
1
С2 =-, Э - модуль сдвига, С - показатель
нелинейности, КС - ядро ползучести связующего.
Расчет длительной прочности компонентов материала оболочки производится с помощью энергетического критерия [6], который основан на предположении, что удельная энергия разрушения материала ив является величиной инвариантной относительно времени и вида нагружения. Энергия разрушения ивн, иВС определяется как площадь кривой деформирования соответствующего материала. Условия разрушения при длительном нагружении записывается в виде:
V ^) = и{Г)/ ив = 1, где и^) - удельная энергия деформации, V^) -уровень накопления повреждений.
Условия разрушения для нитей и связующего имеют вид:
uн(t)
uc (t)
V н (t) = = 1 , Vc(t) = ^ = 1 .
uBH uBC
Проведен расчет оболочки из органопластика, образованной геодезической
намоткой (sin ф = r0 /r), имеющей форму
эллипсоида, описываемого уравнением
(r -ro) (R - ro)
2
V z0
= 1.
При проведении расчетов введены безразмерные параметры нагрузки
д = лд*2 / 2пЕн Ан и относительной жесткости связующего Ь = 2л*ЕСЛС / 2пЕнАн (ЭДТ-10),
безразмерные координаты г / *, Г / * и напряжения О12 = 012 / ЕС , 0н = он / Ен. При
проведении расчета принято: гР / * = 0 ,53, г° / * = 0,55, г°/ * = 0 ,3 ,
гф /* = 0,5 , д = 0 ,0185, Т = 2°°С, Ь = 0 ,015 .
Разрушение оболочки произошло в момент времени tR = 2,9 • 1°6С . Результаты расчета представлены на рис. 2, где кривые 1, 2, 3 - уровни накопления повреждений в нитях Vн, в связующем vc, отрыва V° на момент разрушения. Разрушение оболочки произошло за счет разрыва нитей в зоне полюсного отверстия.
+
l64
Рис. 2 Литература
1. Котляр, В.М. Напряженно-деформированное состояние цилиндрических оболочек из композиционных
материалов при длительном нагружении/ В.М.Котляр, К.А.Абдулхаков. - Казань, ГУП ПИК “Идел-пресс” // компрессорная и вакуумная техника. Машиноведение и детали машин. Механика жидкости и газа. Вопросы педагогики. - Сботник научных трудов / юбилейный выпуск /. - 2000. С. 230-234.
2. Анцилевич, Я.Г. К расчету пологих оболочек вращения из КВМ с упругопластическим связующим / Я.Г.Анцилевич. // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. -1989. - № 1. - С. 9-12.
3. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А.Ильюшин, Б.Е.Победря. - М.: Наука, 1970. - 280 с.
4. Абдулхаков К.А. К вопросу о ползучести полимерных и композитных материалов / К.А.Абдулхаков, В.М.Котляр // Вестн. Казан. технол. ун-та. - 2011. - № 8. - С. 102-108.
5. Малмейстер А.А. Прогнозирование термовязкоупругого сопротивления полимерных материалов при сложном напряженном состоянии / А.А.Малмейстер. // механика композитных материалов. - 1985. - № 6. - С. 1100-1106.
6. Зезин Ю.П. Энергетический критерий длительной
прочности полимерных материалов / Ю.П.Зезин, Ю.Я.Барт, М.А.Тунда. // Механика композитных
материалов. - 1987. - № 4. - С. 729-733.
© В. М. Котляр - канд. техн. наук, доц. каф. теоретической механики и сопротивление материалов КНИТУ, msm@kstu.ru; К. А. Абдулхаков - канд. техн. наук, доц. той же кафедры.
