Длинноволновое когерентное радиоизлучение каскадов. I. вычисление в рамках каскадной теории Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.591.15

ДЛИННОВОЛНОВОЕ КОГЕРЕНТНОЕ РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ КАСКАДОВ. I. ВЫЧИСЛЕНИЕ В РАМКАХ КАСКАДНОЙ ТЕОРИИ

В. А. Царев , В. А. Чечин

В рамках каскадной теории проведены вычисления длинноволнового предела для радиоизлучения от каскадов частиц высоких энергий с учетом процессов, приводящих к появлению электроотрицательного избытка. Полученные результаты сравниваются с результатами численных расчетов, выполненных методом Монте-Карло.

1. В последние годы интенсивно обсуждается когерентное радиоизлучение каскадов, впервые предсказанное Г.А. Аскарьяном [1]. Этот интерес связан с проводимыми и планируемыми экспериментами по регистрации космических частиц ультравысоких энергий по радиоизлучению широких атмосферных ливней и каскадов в плотных радиопрозрачных средах, например, во льду или лунном грунте [2, 3]. В этой связи ко герентное излучение высокоэнергичных каскадов неоднократно вычислялось методом Монте-Карло (МК) вплоть до энергий 1018 эВ [4-6]. В каждой МК реализации каскада суммируются электромагнитные волны от всех заряженных частиц. Такая процедура, после усреднения по многим реализациям, означает вычисление фурье-преобразования

где е')(1, г) - средняя плотность электрического тока в каскаде, А (си, к) - средний вектор-потенциал поля излучения в волновой зоне. В электронно-фотонном каскаде плотность тока .¡(¿,г) выражается через разность /ех(£,г, V) = /е(£,г.у) — /р(/,г,у) функций распределения электронов и позитронов:

0)

где v - скорость частиц. Простые модельные оценки радиоизлучения каскадов были сделаны в [7, 8], где плотность тока выбиралась из физических соображений.

Метод МК позволяет учесть влияние геомагнитного поля и всех реакций, обеспечивающих электроотрицательный избыток (ОИ) в каскаде (ОИ-реакции). Однако громоздкие машинные вычисления затемняют физическую суть явления и не дают возможности сформулировать условия корректности вычислений. По этой причине результаты вычислений в различных специализированных МК-пакетах могут отличаться в несколько раз.

Альтернативным методом определения тока ej(£,r) могло бы быть использование кинетических уравнений расширенной каскадной теории (KT) с учетом ОИ-реакций. Однако решение уравнений для функций распределения /,(*, г, v) от семи переменных является настолько сложной задачей, что этот метод практически не упоминается в современной литературе по когерентному излучению каскадов.

Ситуация существенно упрощается в длинноволновом пределе, когда экспоненту в (1) можно заменить единицей. В этом пределе поле излучения пропорционально интегралу по всем переменным в функциях распределения: А (и; —► 0, к —► 0) ос —> 0) = Lex, где

Lex = / / <ftj(t,r) = / J Jdr J dt IJI vdvf„(t, r,v). (3)

Следовательно, определение длинноволновой части когерентного радиоизлучения каскада сводится к вычислению вектора пробега ОИ Lex, имеющего размерность длины.

В данной работе пробег ОИ вычисляется в рамках каскадной теории [9.10! для электронно-фотонных каскадов при нулевом внешнем магнитном поле. Результаты вычислений при наличии магнитного поля будут представлены в последующей публикации.

2. Когерентное излучение каскада. Фур ье-преобразование Е(к) электрического поля излучения в волновой зоне на расстоянии R от системы зарядов имеет вид [11]:

E(k) = J Е(£, г) exp(iLjt)dt = (2тге//c2)LE(k)/Я, LE(k) = [n* х [Ь,(к) х щ]].

Здесь опущен единичный по модулю множитель iexp(ikR).

Поскольку поле излучения пропорционально фурье-преобразованию плотности тока, удобно сразу же перейти к фурье-компонентам функций распределения:

Lj(k) = J J J vFex(k, v)dv, Fex(k,v) = J dt f J J fex{t, r, v)exp(wt - ikr)dr.

В релятивистском случае вместо скорости частиц v вводится двумерный угол 0 « 1 (отсчитываемый от направления первичной частицы) и кинетическая энергия Е, причем везде, кроме разности типа 1 — и/с, можно положить v = с: v « с{#, 1 — 02/2}. Для простоты положим с — 1.

Для вычисления вектора Lj(k) будем исходить из кинетических уравнений для электронов и позитронов с учётом ОИ-реакций. Согласно каскадной теории (КТ)

^^ fe>P = Wpair/-у + se,p') (э)

Se = Wcu + WM/e + Wbfp] sp = "Wa/p, (6)

где

Здесь Wь и Wpair - интегральные операторы (число столкновений на единице длины), описывающие тормозные потери заряженных частиц и рождение пар 7-квантами, соответственно; /9 - некоторая постоянная, близкая к критической энергии Ес [10]; Es « 21 МэВ; расстояние измеряется в радиационных длинах Lcas. Члены sC}P описывают вклады ОИ-реакций: комптон-эффект, рождение ¿-электронов при е_е_- и е+е_-рассеянии (мёллеровское и Баба-рассеяние на атомных электронах) и аннигиляция позитронов на атомных электронах. Все операторы W действуют только на скорость частиц, точнее на 0 и Е.

В случае каскада, порождаемого электроном с начальной скоростью v0 в момент t = 0 в точке г = 0, /е(0, г, v) = è(r)6(v - v0), /р(0, г, v) = 0, г, v) = 0.

В стандартной КТ se,p = 0, так что /е ~ /р и /ех » 0. Найдём линейную по se,p поправку к /ех. Рассмотрим разность уравнений (5)

~ DJ Г'= Г' 5ех = Se ~ Sp' ^

При заданных начальных условиях уравнение (7) можно записать в виде:

оо

/ex(^r,v) = /1(i,r,v0,v)+| dt' j J Jdr'J I У/1(t-¿^r-r,,v,,v)5ex(í^r,,vVv,, *>0,

— 00

(8)

где fi(t, г, Vq, v) - запаздывающая функция Грина уравнения (7):

- d) Mt, r,v',v) = S(t)S(r)S(v - v'), Mt < 0,r,v',v) = 0.

(9)

Полная система трех интегральных уравнений, эквивалентных кинетическим уравнениям, получается аналогично. Частный случай этой стандартной процедуры в применении к KT рассматривался в [12], где вместо ОИ-реакций учитывались реакции, приводящие к пространственному расплыванию каскада. Точно решить эти интегральные уравнения так же сложно, как и кинетические уравнения, но из них легко найти поправки к функциям распределения стандартной KT. Сделав фурье-преобразование уравнений (8), (9), получим

Fex(k,v) = F1(k,v0,v) + J J J ^(к,у>)5ех(к,у>/, (10)

5ex(k,v') = WcF7(k, v') + WMFe(k, v') + (Wg + Wa)Fp(k, v'), (11)

oo

Fe|Jvy(k, v') = J dt J J J /e)Pl7(i, r, v') exp(zu;i — гкг)с/г, (12)

о

l-Цш - kv) - D]/\(k, v', v) = 6(v - v'). (13)

Окончательно подстановка (10) в (4) даёт уравнение непосредственно для вектора Lj(k):

Lj(k) = Li(k, v0) + /// In(k, v')S„(k, v')dv', (14)

L1(k,v') = ///vF1(k,v',v)dv. (15)

Формула (14) имеет простой физический смысл. Первый член даёт вектор-потенциал поля излучения начального электрона. Второй член есть сумма вектор-потенциалов Li(k,v') электронов ОИ с начальными скоростями v', причем относительная фаза этих полей определяется форм-факторами (12) распределений каскадных электронов и 7-квантов. Для вычисления линейной по ОИ-реакциям поправки к функциям распределения в интегральный член уравнения (10) или (14) следует подставить функции распределения /е)РЛ(2, r,v) стандартной KT. Если Ео < Ес, то второй член в (14) даст малую поправку к полю излучения первичного электрона с энергией Е0 с учетом как многократного рассеяния, так и тормозных и ионизационных потерь. В рассматриваемом здесь случае каскада с Е0 >> Ес первым членом в (14) можно пренебречь, так как |Li| < ]п(Е0/Ес), а второй член порядка (0.2 — 0.3)(-£о/£с)-

3. Длинноволновое когерентное излучение каскада. Характерные значения к для когерентного излучения каскада определяются пространственно-временными размера ми Li и Lcas распределений f\ и /ел (т.е. отдельного электрона ОИ и всего каскада): к < min{l/Li, 1/Lcas}. Поскольку ¿j « 1 и Lcas « yJ\n(E0/Ес), то при к << 1 /Lcas

можно положить к — 0 в (12) и (13). Обозначив = Еех(к —> 0,у) и т.д., запишем

длинноволновой предел формулы (14) в виде (опустив первый член):

L '.. = /// Ll(v')5e«(v')dv'.

(16)

Е'

Вектор Ь^у') направлен вдоль V', причем 1(V')| = 11(Е'), где И{Е') = J Е^(Е\Е)с1Е

о

- пробег электрона, а функция Е\(Е',Е) удовлетворяет уравнению (13) при к = О, проинтегрированному по в:

W> + ßlE

Fi(E',E) = -S(E'-E).

(17)

Уравнение (17) можно решить тем же методом, каким находится равновесный спек гр электронов в KT [10]. Впрочем, в данном случае требуется лишь пробег R(E), для которого ниже будет использоваться экспериментальное значение.

Поскольку вектор Lex направлен вдоль оси каскада, то из (16) следует, что

¿ex = ¿exZ = J J J R(E,)C0S$VSW(-V,)dv'1

(18)

где 0у - угол вылета электрона ОИ относительно оси каскада. В ОИ-реакциях угол вылета Ос,б комптон- или ¿-электрона относительно каскадной частицы выражается через энергию Е этой частицы и энергию Е' электрона ОИ. Проинтегрировав (18) по углам каскадных частиц и по азимуту вылета электронов ОИ, получаем окончательную формулу для пробега ОИ:

Ео Ее

¿ех(> Щ = / 1 - 0*12) I \¥с{Е',Е)со8вс11(Е)с1Е+

Ео Ем

+ J dE'Fe{E'){\-e2j2) J WM(E\E)cosOsR{E)dE+

Ев

+

J WB{E\E)cos96R{E)dE + Wa{E')R(E')

Ес = Е' - m/2, Ем = Е'/2, Ев = Е'.

(19)

Здесь = 5 02<10Е1ле(в,Е')1Е^е{Е'), Е^<е(Е) = / МЕу,е(в, Е) - дифференциальный

пробег электронов (или квантов) в каскаде с энергией Ео [9] (или же "равновесный

спектр" [10]). Эти функции известны из стандартной КТ [10]. Поскольку в стандартной КТ опускаются все поправки 0(т/Е'), то же самое следует сделать в функциях \Ус,м,в,а

и eos $с,б', при этом cos0c ~ eos Os « 1/yl + 2 т/Е. Таким образом, каскадные 7-кванты и электроны считаются ультрарелятивистскими, но кинетическая энергия электронов ОИ может быть порядка 1 МэВ.

Вычисление пробега ОИ каскада. Для вычисления интеграла (19) нужно задать пробег электронов R(E), равновесные спектры каскадных частиц F^(E0,E), Fe(Eo,E). удельные числа столкновений Wc(E\E), Wm(E', Е), Wb{E',E), Wa(E) и угловые дисперсии 0*.

Пробег электронов с учетом тормозных потерь обычно задается в виде R{E) ~ 1п(а + ЬЕ) с некоторыми константами а и 6. Поскольку при 1 МэВ << Е « Ес, пробег пропорционален энергии, R(E) ~ £//?, можно положить R(E) ~ ln(l -f Е/(3). При малых энергиях, Е <МэВ, ионизационные потери резко возрастают, а пробег быстро стремится к нулю. Согласно [10], пробег электрона с кинетической энергией Е < 0.3 МэВ становится пренебрежимо мал. В соответствии с этим положим

Равновесные спектры частиц в каскаде с полной энергией Е0 (в приближении В) приведены, например, в [10]:

(20)

(21)

б

Удельные числа столкновений при релятивистских энергиях Е' » тс2:

.2.

WC(E\ Е) = N0wc(E\ Е), wc(EЕ) = f_ [1 + (1 - х)\

(22)

Wa{E') = N0wa(E'), wa(E') = A in _ 1 ;

(23)

\Ум(Е\Е) = М0ъим(Е\Е), = , * < (24)

2 в

\УВ(Е', Е) = АЯ), Я) = т^О - + За:2 - 2а:3 + а:4); х < 1. (25)

Здесь Л/о = дтс2//?, ад- безразмерный множитель [10]:

_ /137тг\ __

X

где гг, и - плотность атомов и заряд ядра г-го элемента данного вещества.

Угловые дисперсии. Согласно [10],

«<*) = = ^ (26)

Совершенно аналогично, используя изложенный в [10] метод, получим

ад = ад = ^Ь)<27>

Поскольку пробег ОИ пропорционален энергии каскада, удобно представить результаты вычислений в виде относительного пробега ОИ, т]с{> Ет1 п) = Ьех,с и т.д.:

^ £0 ^тах

М> #тт) = 5с = - I ч>(^е')[\-ЩЕ')12]6.е' | у>с{Е?,ЕЩЕ)<х*ОсйЕ,

еПНП О

1 е°

7?а(> £т1п) = Л^05а; 5а = - / /(со, - ^(28)

егшп

г}м(в){> Ет{п) = 1У0Зм(ву,

1 £0 £щах

S^f(B) = 2 / / ™щв)(Е',Е)1{(Е)со506<1Е.

еПИП О

Таблица

Параметр Р, ^рад; Л ЛЬ V

Вещество г/см3 г/см2 МэВ

Воздух 0.001 34.2 72 0.018 0.194

Лёд 0.92 36.1 71 0.022 0.231

Лунный грунт 1.8 22.6 38 0.023 0.170

Рис. 1. Вклады отдельных реакций в относительный пробег ОИ r¡(> Е) во льду как функции минимальной кинетической энергии Е каскадных частиц. Штриховая линия комптон-эффект, rjcmax ~ 0.148; верхняя точечная линия - полное Баба-рассеяние, г)дтах & 0.080, нижняя - вклад 6-электронов r¡Bmax(6) « 0.032; нижняя штрих-пунктирная линия полное Меллер-рассеяние, r]Mmax ~ —0.018, верхняя - вклад 6-электронов г/Мтах(6) « 0.038; точки -аннигиляция позитронов, Т)атах « 0.021; нижняя сплошная линия - полный суммарный относительный пробег rjmax « 0.231, верхняя - если в Баба- и Меллер-рассеянии учитываются только вклады 6-электронов, r¡max(6) « 0.239.

Значения параметров и результаты вычислений относительного пробега О И для воздуха, льда и лунного грунта представлены в таблице. Результаты вычислений ¡7с,Б,м,а(> и Щ для льДа показаны на рис. 1.

Сравним полученные оценки с наиболее подробными МК расчетами электронно-фотонных каскадов во льду [4]. При таком сопоставлении нужно учесть, что в [4] иначе трактуется вклад в пробег ОИ за счет рождения ¿-электронов. Именно, кроме вклада ¿-электронов (24) и (25) там учитывается вклад в пробег ОИ, обязанный уменьшению энергии рассеиваемой частицы, что приводит к изменению её пробега. Учет этого обстоятельства означает замену

eos66R{E) => eos6SR(E) ± [R(E') - eos9SR(E' - E)}

в формулах (28) для Баба- и мёллеровского рассеяния, соответственно. При такой замене вклад Баба-рассеяния почти удваивается, а вклад мёллеровского рассеяния почти исчезает или даже становится отрицательным [4]. Эти соображения подтверждаются представленными расчетами, причем учет потерь энергии уменьшает rj на 2-3%. Согласно расчетам [4] для льда, полный пробег Ltot « 6423(м)Е0(ТэВ), а пробег ОИ Z/ex ~ 1300(м)Ео(ТэВ). Следовательно, г]мк ~ 0.2, что согласуется с полученной здесь оценкой.

Приведенные вычисления вполне корректны при достаточно больших энергиях каскадных частиц, Е' » тс2, когда равновесные спектры Fe, F\ хорошо описываются в рамках KT. При низких энергиях Е' > тс2 поправки 0(тс2/Е') следовало бы учесть как в формулах (22)-(25), так и в сечениях тормозного излучения и рождения пар, входящих в уравнения KT. Впрочем, как видно из рисунка, основной вклад в rj дают каскадные частицы с Е' > 5 МэВ, для которых эти поправки малы. Действительно, при использовании вместо (22)-(25) точных формул [13] г/ уменьшается всего на 1 2%.

Итак, из приведённых выше соотношений видно, что поле когерентного излучения каскада определяется вектором Lj(k), длинноволновой предел которого даёт суммарный пробег частиц ОИ. Относительный пробег ОИ для веществ от воздуха до лунного грунта лежит в пределах 0.17-0.23, а вклады ком ri тон-эффекта, аннигиляции позитронов, Баба- и мёллеровского рассеяния (с учетом потерь энергии) составляют во всех случаях примерно 64, 9, 34 и -7%, соответственно. Эти результаты хорошо согласуются с M К расчетами относительного пробега ОИ [4]. Работа поддержана грантом РФФИ 08-02-00515а.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Г. А. Аскарьян, ЖЭТФ 41, 616 (1961).

[2] В. А. Царев, ЭЧАЯ 35, 187 (2004).

[3] V. A. Tsarev, Ргос. Int. Conf. "P.F. Cherenkov and Modern Physics", J. Rad. Phys. Chem., 75, 805 (2006).

[4] E. Zas, F. Halzen, and T. Stanev, Phys. Rev. 45, 362 (1992); J. Alvarez-Muniz, E. Marques, R. A. Vazquez, and E. Zas, arXiv: astro-ph/0512337.

[5] D. A. Suprun, P. W. Gorham and J. L. Rosner, Astropart. Phys. 20, 157 (2003).

[6] T. Huege and H. Falcke, Astropart. Phys. 24, 116 (2005).

[7] К. M. Пичхадзе, В. Г. Сысоев, В. А. Царев, В. А. Чечин, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 12, 9 (2000); В. А. Царев, В. А. Чечин, Краткие сообщения по

физике ФИАН, No. 4, 42 (2001).

[8] В. А. Царев, В. А. Чечин, ДАН 383, 486 (2002).

[9] Б. Росси, К. Грейзен, Взаимодействие космических лучей с веществом (Москва, ГИТТЛ, 1948).

[10] С. 3. Беленький, Лавинные процессы в космических лучах (Москва, ГИТТЛ, 1948).

[11] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля (Москва, Наука, 1988).

[12] В. A. Chartres and H. Messel, Phys. Rev. 96, 1651 (1954).

[13] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Квантовая электродинамика (Москва, Наука, 1980).

Поступила в редакцию 1 октября 2008 г.