ДЛИНА ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ С АВТОРЕГРЕССИОННЫМ ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ ПРИ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2023. № 4. С. 9-16 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal

УДК 519.21

А.К. Берговин1

ДЛИНА ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ С АВТОРЕГРЕССИОННЫМ

ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ ПРИ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКЕ

В работе изучена одноканальная система массового обслуживания с двумя классами приоритетных требований, дисциплиной относительного приоритета, пуассоновским входящим потоком со случайной интенсивностью и бесконечным числом мест для ожидания. Значение интенсивности выбирается в момент начала отсчета времени до очередного поступления требования, причем, с наперед заданной вероятностью, значение интенсивности не изменяется. Найдено предельное распределение количества требований наименее приоритетного класса при критической загрузке системы.

Ключевые слова: пуассоновский поток, случайная интенсивность, относительный приоритет, длина очереди, критическая загрузка.

Б01: 10.55959/М8и/0137-0782-15-2023-47-4-9-16

1. Введение. В современном мире очень важную роль играют коммуникационные, а также вычислительные сети. Глобальное распространение телекоммуникационных сетей, с одной стороны, значительно упростило доступ к информации, а с другой стороны, привело к резкому увеличению объемов сетевого трафика, а, значит, и к увеличению нагрузки на данные сети, т. е. большинство сетей являются высоконагруженными и подавляющее время функционируют в режиме критической загрузки, поэтому возникает необходимость изучения характеристик таких систем, чему и посвящена данная работа.

В работах [1,2] показано, что существует статистическая зависимость интервалов между поступлениями требований (пакетов данных) в сетях вышеупомянутых типов, поэтому важным направлением в современной теории массового обслуживания является изучение таких систем, в которых параметры входящего потока связаны, например, регрессионной зависимостью. Некоторые из систем такого типа были изучены в работах [3-6]. Основной целью данной работы является нахождение предельного распределения количества требований низшего приоритета при критической загрузке системы, для которой в [6] найдены соотношения, определяющие преобразование Лапласа производящей функции совместного распределения количества требований в нестационарном режиме.

2. Описание системы обслуживания. Рассматривается последовательность систем массового обслуживания (схема серий) с неограниченным числом мест для ожидания, в систему с

„ (п) (п— 1)

номером т поступает пуассоновский поток со случайной интенсивностью ат = атп ■ ат + (1 — —атп) ■ Ь^1, т,п € М, где атп имеет распределение Бернулли с вероятностью успеха р; Ь^ ,т,п €

( п)

€ N — последовательность независимых и не зависящих от последовательности ат ,т,п € М, одинаково распределенных случайных величин, распределение которых имеет вид

Р(ак) — Ято^) — Сщ] 1 &тг ■> Ъ 7^ 3> Ст] ^ 0, ] — 1, ТУ.

Интенсивность а^п выбирается непосредственно перед началом промежутка до поступления п-го требования. Все поступающие требования в систему разделяются на два класса, будем считать, что требования первого класса обладают относительным приоритетом над требованиями второго класса.

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: [email protected]

Пусть Bmi (x) — функции распределения времени обслуживания i-го приоритетного класса в системе с номером m, i = 1,2; bmi(x) — плотности распределения времени обслуживания i-го приоритетного класса в системе с номером m, i = 1,2; ßmi(s) — преобразование Лапласа-Стильтьеса функции bmi(x), i = 1,2; ßmij — j-й момент случайной величины с функцией распределения Bmi(x), i = 1, 2; L(t) = (Li(î),L2(t)) — количество заявок в системе в момент времени t.

( N \ -1

Известно, что при ( = Cja-1J ■ (pißii + p2ß21 ) < 1 существует невырожденное предельное

распределение случайного процесса L(t) при t ^ то. В данной работе будет исследовано поведение L2 (t) в случае, когда одновременно t ^ то и р ^ 1.

Исследование проводится в следующих предположениях:

I) существуют первые два момента длительностей обслуживания требований каждого приоритета, причем

Ш = 1 - ßiis + ^ + om(s2),i = 1,2,

где om(s2)/s2 ^ 0 при s ^ 0 равномерно по m;

II) для любого натурального m: am(p1ßm11 + p2ßm21 ) < 1;

III) существуют пределы limcj = с*, Итсц = a*, limßij = ß*-, limpj = p*, i = 1,N, j = 1,2, где lim обозначает lim .

m—x

Основная задача заключается в нахождении следующего предела:

lim P(V-L2 ( —) <ж) = lim рар(1,е~ир'' ,spa),

m—x \ \ ра I I р—>-0

, п г, % (^ сЛ Го.ба, а ^ 2,

где р = 1 - а{р1Рп +Р2Р21), а=\},— \ > 7 = N

ач I1, а>2

3. Известные результаты. В работе [6] были найдены соотношения, которым удовлетворяет преобразование Лапласа производящей функции количества требований в системе для любой приоритетной дисциплины без прерывания обслуживания. Нам потребуются результаты из работы [6], а также, в качестве следствия из основной теоремы, получаются соотношения, однозначно определяющие вышеупомянутое преобразование Лапласа в случае двух приоритетных классов и дисциплины относительного приоритета.

Утверждение 1. Уравнение

N

(1 - р) {ргхг + р2г2) V -—- ™ т ,---гт = 1,

т=1 ,^2) + ат (1 - р + р2^2))

имеет N непрерывных в области ^ 1, |221 ^ 1 решений ц = Цк(г1, 22), к = 1,..., N причем:

1) только одна из функций Цк(¿1,22) обращается в нуль при 21 = 22 = 1;

2) (¿1, ¿2)) < 0 при всех ] = 1,..., N и |211 < 1, |221 < 1;

3) Цг(21,22) = Цj(¿1, ¿2) при % =

Обозначим: ак(¿1,22) = П [Цк(¿1,22) - Ц(¿1 ,¿2)].

j=k

Утверждение 2. Для любого к = 1,...,Ж система уравнений

¿1 = в1 (« - Цк(Р121 + Р222)),

¿2 = в2(« - Цк(Р121 + Р222)), имеет единственное 'решение zi = (з), такое, что |zik(з)| < 1 при к = 2,..., Ж, Кз ^ 0, а гп(0) = 1, ^(в) < 1 при Ш > 0, % = 1, 2.

Утверждение 3. Преобразование Лапласа совместной производящей функции длин очередей первого и второго потока имеет вид

1 N 1

, 2 , ч | V 1^1 +Р2г2 - 1 у^_1_х

ь 2' 0 0--р)(Р1Х1+Р2г2) - 1лк(г1,г2))

7^(21 ,¿2 ,5)[1 — А(5 — Цк (¿1,22))] + 72] (¿1,22,5)[1 — — Цк (¿1 ,¿2))] где функции 7^(21,22,5), г = 1,2, к = удовлетворяют следующим соотношениям:

(к), 4^1 — — Цк(¿1,22)) , (к), \ ¿2 — ^(5 — Цк(¿1,22)) (1 — р)(р121 + P2Z2)

71 8)- + 72 (21,22,5)- = -7-ч-

1 ¿1 2 ¿2 ак (¿1,^2)

N N с

'3 а3

т=1 3=1 Цк(^1,^2)+ аз(1 — Р(Р 121 + Р222))

N

/¿(¿Ь ^2,5) = 1 - (5 + ^(1 -р(р!г1 + р2г2))с~1р^{8) + (Р121 +р222)(1 - £>) ^ йкРок («), .7 = 1,

к=1

71^(21,2:2,5) = —-+ ГТ [^(21,22) + 0,(1 -р(^121 +р222))]х

ак(21, ¿2) 3=1

аеPle(2l,¿2, 0,5)

3 =

N

X

е

Е

=1 Цк (¿1, ¿2) + ае(1 — p(pl2l + р^))'

ак(21, ¿2) 3=1

аeP2e(22, 0,5)

3=1

N

Е

е^ Цк(21,22) + ае(1 — Р(Р121 + Р222))' Функции Роз (з) находятся следующим образом:

1 -КР1*г1 +Р22г*2) 1

Ро,-(в) = — Е

а3 1=1 (1 — Р)(Р12И + Р22г*2)(5 — Ц*) П (аз — ап)

п=3

+ а,У'хП^- • Й-• --Ух

1 — Р(Р12г*1 + Р22г*2) V 1 — Р(Р12г*1 + Р2 2*2) 1 — Р(Р12п1 + Р22п2)

х тт К + %•(! -Р(Р12)Ь1 +Р22^2))(/Хг* + ^(1 ~р(Р12г*1 +Р2г?2))

Н (1 - р(р^*к1 + г>22£2))(1 - + р2х*12))

4. Вспомогательные разложения. Для доказательства основной теоремы нам потребуются асимптотические разложения некоторых функций.

Лемма 1. Справедливы следующие асимптотические разложения для ¿(зра):

/

зр'

а

+ о(р2), а <2

а2-и

¿(¿р") — 1 = <

1-У1 + 4аг; ,

Р ---Ь о(р), а = 2,

, аг>

а—1

8р +о(ра~1), а >2,

а

х

где

, = + Р2/?22) + -1— (а*У%- 1V

2 а(1-р)\ {^а) у

а 2(5) = Р121(«) + р222^) является решением уравнения

Р121 + Р222 = Р1в1(5 - Ц1(Р121 + Р222)) + Р2^2(« - Ц1(Р121 + Р222)).

Доказательство. Используя предположение I о существовании первых двух моментов длительностей обслуживания и утверждение 2, можем записать, что

= 1 _ {8р» _ ^(фр*))) • /?1 + (зра - МФра)))2 • у + о((*р" - МФР1))2), (2) где в = Р1вн + Р2в2, % = 1, 2.

Также можем выписать следующее разложение функции ц1(р121 + Р222):

»Мзра)) = -1) + фра) -1)2 + «(Сфра) -1)2)- (3)

Подставляя (2) в (3), после преобразований получим квадратное уравнение относительно 2(§ра) - 1:

а-и • (2(вра) - 1)2 - Р • (2(вра) - 1) - в1 • 5ра + о(шах((2(8ра) - 1)2, р • (2(вра) - 1), ра)) = 0, его корни

/ ал -, р±л/р2 + 4:8раУ

х(зр ) — 1 =-1--1- оЫзр ) — 1).

2а-

Отсюда получаем утверждение леммы.

Следствие 1. Асимптотическое разложение для Ц|(зра) имеет следующий вид:

Ц*(*ра) =

— /

,вра . а,

— + о(р2), а < 2, 25

+ о(р), ск = 2,

1 + VI +

^р"-1 + о(ра-1), а > 2.

Данное разложение получается непосредственно из леммы 1 и вида (3). Лемма 2. Справедливы следующие асимптотические разложения для poj(зра):

( 'V _а

Р0j (вра)

^ • у - • р 2 + о(р 2), а <2,

1 + VI + АвУ

кз --«-"Р +°{р )) а = 2,

1 25

• +о(р1~а), а >2,

где

Доказательство. Так как только Ц1(1) = 0, то из (1) имеем

" ^ > = .г-АЫ) х П ^' II-да)-

Отсюда и из следствия 1 леммы 1 получаем требуемое.

Лемма 3. Справедливо следующее асимптотическое разложение для Ц1(2^,в ир )

Ц1(21*,в—ир7 ) =

ар2ир

,7

аР1ви — 1

+ фр27 + о(р27), где

аР1^11

+

ар2и

ц'1 (1) р2^2

+

Р1в12 а3Р2и2 + —-—) а ^ 2,

ф = ^ аР'ви — 1 2(1/Г ар'ви) 2 (1 — ар'вп)3 2(1 — аР1 ви)3 * — ц'1 (1) Р2^2 Р'в12а3Р2и2

ар2и

+

+

г, а > 2.

2(1 — аР'ви) ' 2 (1 — аР'в'1 )3 2(1 — ар'ви)3'

Доказательство. Так как ц1(21,е—') = Ц'(р'21 + р2е—ир), то будем искать разложение Р'21 + р2е—ир = Р'в'(зра — Ц'(р'21 + р2е—ир)) + р2е—ир. Обозначим: т = Р'21 + р2е—ир. Тогда, учитывая предположение II, имеем

Т = р 1 (1 - 13п(зра - щ(г)) + ^({зра - /Х!(г)))2) + р2 (1 - ир' + + о(р27). (4)

Используя разложение для Ц'(т) и, выделяя главную часть порядка р7, получим

т—1=

р2ир'

ар'ви — 1

+ фр27 + о(р27).

Подставляя (5) в (4), найдем ф в указанном в формулировке леммы виде. Лемма 4. Справедливо следующее асимптотическое разложение:

(5)

N

£/з- (¿1, е—ир7 ,зра)

3=1

щ(21,е—ир7) + аз (1 — р(р'21 + Р2е—ир7))

1 +

ар2и

+ о(1), а < 2,

1 — р

х <

ар 1/З11 — 1 V ^

ар2-и 1 + VI + 1 + -Те-+ 0(1)' а = 2'

1 + а >2.

ар'в" — 1 5

Доказательство. Используя определение функций г2, з), ] = 1, А?", исследуемое вы-

ражение можно записать в виде

N

£/з- (¿1,е—ирг ,зра)

3=1

щ(21,е—ир7) + аз (1 — р(р'21 + Р2е—ир7))

N

_±__(Чпа-,,Л(7* р-иР'<\) _азР0з(8)__, ( 27л

N

Используя лемму 2 и тот факт, что ^ К3 = 1, получаем утверждение леммы.

3=1

Лемма 5. Справедливо следующее асимптотическое разложение:

е—ир7 —в2(зра—щ(21,е—)) = <

Г /?21 Р27 ар!/3ц - 1 Р2

арфи - 1 Р2

, ар!/3ц - 1

— 5 +

22 а2р2"У

тП

(ар'ви — 1)2

а2р2в21^ 2

и - #215 + 7-Б-ТТо"'

(ар1в11 - 1)2

а2р2в21^ 2

и + ----гттгМ

+ о(р27), а < 2, + о(р2), а = 2,

и

(ар'вп — 1)2

+ о(р2), а > 2.

Сз аз

1

С3 а3

х

х

х

Доказательство. Указанные соотношения непосредственно вытекают из результатов леммы 3 и следующего разложения:

Y Y UV7

е~ир - ß2{spa - = 1 - ир< + - 1 + Äi

sp

ap2up

api^ii - 1

- V7

в22

ap2up

api^ii - 1

+ o(p2Y).

5. Предельная теорема. Нам необходимо найти следующий предел:

pa

lim Р [p1-L2[ — )<x)= \\т paV{l,e~up' ,spa).

p^Q

Из утверждения 3 получаем преобразование Лапласа производящей функции числа требований второго приоритетного класса, тогда задача сводится к поиску следующего предела:

p^Q

lim ^ pa ■ po(spa) + pa ■ p2(e-up' - 1)

1

^i(1, e-uPY)(spa - ^i(1, e-uPY))

72i) (1, e-upY ,spa)

1 - e-upY

(1 - p)e-uPY

-PYÄ(spa - Mi(1, e- )) +

N

П [Mi(1, e-up ) + am(1 - p(pi + P2e-u^))]

i _у

N 1

E„ _ Up1 Q.4 CjCij I

j=1M '6 ,SP Vi(l,e"«p7) + a,(l -p(pi +P2e-*P"))\ J'

Учитывая, что lim papQ(spa) ^ 0, Mi(1,e upY) = ap2upY + o(pY). Из утверждения 1 для опреде-p^Q

ления функций /^(¿1, ¿2), к = 1, iV, можно найти, что

N

N

ai (1,1) ^ П(-Мт(1,1))

m=2

a(1 - p) -11.

m=i

[](am (1 - p)),

тогда

1 • m=i

lim-

p^Q

N N

П [Mi(1, e-upY) + am(1 - p(pi + p2e-upY))] П («m(1 - p))

m=i

ai(1, e-upY)

ai(1,1)

= a(1 - p).

Таким образом, задача сводится к поиску следующего предела:

lim

-72i) (1, e-upY ,spa) +

p^q [ a2p2(1 - p)(pi + p2e-upY)

с, a

nm=2(-Mm(1, 1)) a2p2U j=i

Mi(1,e-upY) + a, (1 - p(pi + p2e-upY))

Действуя аналогично лемме 4, получим, что

pa-Y N j=i

с, a

Mi (1, e-upY) + a, (1 - p(pi + p2e-upY))

= 0 Va > 0.

2

x

x

1

p

Тогда,

lim pap(1, e—upY ,spa) = lim

p^Q -

pa7(1)(1,e-up7, spa)

p^q a2p2(1 - p)(pi + P2e-upY)

limn =

P^Q ai(1,1)(1 - p)a2p2 e=1

N

lim-V pap2e(e-upl, 0, sp") = lim-w--pa^] (z

P^Q ap2 P^Q P2ö2(1 - p)

(1) (z*,e-up7 ,spa).

Из определения функции y(1)(z1,z2,s) имеем

, p"y21) (z*, e—upY ,spa) , lim 2 1,.-ч = lim p

(P1^i + p2e-upY )e—upY

p^q p2a2(1 - p)

p2a2a1(z^,e-uP7) ■ [e—upy - ß2(spa - ^(z*, e—upy))]

N

x П [M1(zi,e-u^) + am(1 -p(p1z* + p2e-u^))]x

m=1

N

Eft* —up'> a\

lim

1 - p

N

Cj aj fj (z*, e-upY ,spa)

p^Q p2a[e-u^ - ^2(spa - m(z*,e—up7))] r j=j m(zi,e—up7) + aj(1 - p^z* + p2e—up7))

Отсюда, используя леммы 4 и 5, получаем, что

lim pap(1, e-upY ,spa) = p^Q

s ■ 1 +

a*p*u

1 - a*p|ei^ s

-1

, a < 2,

s • 1 +

a* p*u

2v*

1 - a*p^/?i1 1 + VI + 4sv*

-1

, a = 2,

1 - a*p*e*1

a > 2.

Тогда, обращая преобразования Лапласа, получаем утверждение следующей теоремы. Теорема. При m — то существует предел

lim Р (V ' L2 <х] =

pa

\/2тг • / е 2 dyf а < 2, Q

=

1-

п

; ---

п

e y dy, a = 2,

T+WxJ

1 - e-wx, a > 2,

где

w

1 ~

a*p*v*

x

s

—

e

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G u s e ll a R. Characterizing the variability of arrival processes with indexes of dispersion / / IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1991. N 2. P. 203—211.

2. P a x s o n V., Floyd S. Wide-area Traffic: The failure of Poisson modelling // IEEE/ACM Transactions on Networking (ToN). 1995. N 3. P. 226—244.

3. Hwang G.U., Choi B.D., K i m J.-K. The waiting time analysis of a discrete-time queue with arrivals as an autoregressive process of order 1. J. Appl. Probab. 2002. N 3. P. 619—629.

4. K a m o u n F. The discrete-time queue with autoregressive inputs revisited. Queueing Syst. 2006. P. 185— 192.

5. Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Одноканальная система обслуживания с зависимыми интервалами времени между поступлениями требований // Информатика и ее применения. 2017. № 2. С. 112—116.

6. Берговин А.К., Ушаков В.Г. Система обслуживания с приоритетной дисциплиной без прерывания обслуживания // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2018. № 3. С. 24—29.

Поступила в редакцию 22.06.23 Одобрена после рецензирования 05.07.23 Принята к публикации 05.07.23