Диссипативность некоторого класса неопределенных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕКОТОРОГО КЛАССА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ*

И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р техн. наук, вед. науч. сотр., [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. В последние годы возрос интерес к неопределенным системам, то есть системам, параметры которых не заданы и принадлежат некоторым известным областям. Повидимому, первой работой по исследованию таких систем явилась статья [1], в которой было рассмотрено семейство полиномов в предположении, что известны лишь границы области, которой принадлежат коэффициенты. Было показано, что для гур-вицевости всех полиномов рассматриваемого семейства достаточно гурвицевости всего четырех специально построенных полиномов. В дальнейшем неопределенные системы рассматривались в различных аспектах, в том числе и с точки зрения возможности их стабилизации. Из последних работ в этом направлении укажем [2-6].

В данной статье рассматривается вопрос о построении управления, робастного по отношению к коэффициентам матрицы объекта управления, обеспечивающего дисси-пативность [7] некоторого класса неопределенных систем.

2. Постановка задачи. Рассмотрим систему

х = А( )х + В( )и, Ь > ¿0, (1)

и = 5*()х, (2)

где А() £ М”х”, В() £ М”хр, 5() £ М”хр. Знак «*» означает транспонирование (все величины вещественные). Элементы матриц А(), В(), 5(•) могут быть функционалами произвольной природы, при которых справедлива локальная теорема существования решения и продолжимости на [¿о, +го) любого решения, остающегося в ограниченной области. Предполагается, что

8пр(|А()| + |В()| + |5()|) < те, (3)

(•)

где | • | — евклидова норма.

Ставится задача построения функции Ляпунова

V (х) = х*Нх (4)

с положительно определенной матрицей Н и управления (2), при которых выполнена оценка

г

V(х(Ь)) < V(х(Ь0)) + У х*(А)Дх(А)^А, (5)

го

где К — заданная постоянная матрица.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00107).

© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2011

3. Формулировка результата. Будут рассмотрены четыре класса систем. Элементы ац (•) матриц A(•) из первого класса при некотором к > 2 обладают свойством

Иными словами, первые р элементов верхней части (к — 1)-й поддиагонали знакоопределенные, а элементы, стоящие левее ее, равны нулю.

Не умаляя общности, можно считать, что вместо свойства (6) справедливы неравенства

Действительно, этого можно достичь, идя снизу вверх и умножая в случае необходимости г-е уравнение на —1, одновременно заменяя х* на — х*.

Остальные Нц равны нулю. Иными словами, матрица Н получается из матрицы А(), если на главной диагонали расположить элементы Нх,..., Нп, на месте знакоопределенных ац (•) и симметричных с ними расположить параметры Нц, а остальные элементы Нц взять нулевыми. В [8] доказано, что так построенная матрица Н является положительно определенной при любых Н* > 0. Этот способ построения матрицы Н будет использован и при исследовании следующих трех классов неопределенных систем.

Представим матрицу ^(-) в блочном виде

Покажем, что за счет выбора параметров hk,..., hfc+p_i при фиксированных остальных hj можно, благодаря свойствам (3), (8), сделать матрицу Qn(-) отрицательно определенной. Обозначим через A¿(-) (j £ 1 ,р) главные диагональные миноры матрицы Q11 (•), отсчитываемые сверху. Очевидно, что Ai(-) имеет вид

при j £ 0,р — 1,

(6)

ak+j,q(')=° ПРИ ІЄ0,р-1, q<j + 1.

(7)

(8)

Рассмотрим функцию Ляпунова (4) и потребуем, чтобы производная V, взятая в силу системы (1), (2), удовлетворяла оценке

V < x*ñx при x = 0,

(9)

равносильной матричному неравенству

L(-) < 0,

(10)

где

(11)

hji = hij = —0, 5\fhjhj при і £ к, к + р — 1, j £ 0,р — 1.

где Qii(-) Є Rpxp, Qi2(-) Є Mpx(n-p), Q22(.) є R("-p)x("-p).

Ai(-) — 2a\i{-)hi — aki(-)\/hihk - гц,

(13)

где rij —элементы матрицы Д. Фиксировав hi > 0, выберем в силу свойств (3), (8) hk таким образом, чтобы выполнялось неравенство Ai(-) < -1.

При j > 1 представим определитель Aj (•) в следующем виде:

a,(.) = det ( j1<-> ),

V «jO); Kj() J

где Pj-i( • ) G R(j-1)x(j-1), qj( • ) £ R(j-1), Kj( • ) G R1. Легко убедиться, что Pj-1 ( • ) и qj( • ) зависят от hk,..., hk+j_2 и не зависят от hk+j__1, а Kj ( • ) имеет вид

^ji') = ~ ak+j-i,j(')\/hjhk+j-i — rjj- (14)

По лемме Шура [9] справедливо представление

Aj ( • ) = Aj_1 ( • )(Kj ( • ) - qj (• j qj ( • )).

В силу свойств (3), (8) при достаточно большом hk+j_1 справедливо неравенство Aj( • )(- 1)j > 1, если Aj_1 ( • )(-1)j-1 > 1. Таким образом, за счет выбора параметров hk,..., hk+p_1 удалось добиться нужного знака у первых р диагональных миноров матрицы Q( • ). Поэтому согласно критерию Сильвестра [9] Qn( • ) < 0.

Положим

B( • )= АЯ _1S( • ), (15)

где А — скалярный параметр. Предположим также, что матрица S( • ) имеет вид

S( •> = ( ВД ) • <“>

где ОП _p — нулевая (n — p) х р-матрица, Dp(• ) G Rpxp и

inf |det Dp( • )| > 0. (17)

Тогда матрица (11) примет вид

Q11( • ) Q12( • ) \

L( • ) =

Qj2( • ) Q22 ( • ) + 2ADp( • )Dj( • )

В силу леммы 1.2.1 [10] для справедливости неравенства (10) необходимо и достаточно, чтобы

ди( • ) < 0

и

022 (• ) + 2АРр( • )£*(• ) — д*2( • )дг!х( • )д!2( • ) < 0.

Первое неравенство было установлено за счет выбора матрицы Н, а второе неравенство справедливо в силу (17) при А < —А*, где А* —достаточно большое положительное число. Из установленной оценки (10) вытекает неравенство (9), проинтегрировав которое, приходим к соотношению (5). Получен следующий результат.

Теорема 1. Если система (1), (2) обладает свойствами (3), (6), (7), (15)—(17), а матрица Н и параметр А выбраны указанным выше способом, то все решения системы (1), (2) удовлетворяют оценке (5), где функция V(х) имеет вид (4).

Класс II состоит из систем, обладающих свойствами (3), (6), (15)—(17) и условием

ak+j,q(■)=0 при ¿£0,р-1, q>j + í. (18)

Таким образом, класс II отличается от класса I лишь тем, что у матрицы А( • ) обнуляются элементы, стоящие не левее знакоопределенной части наддиагонали, а правее ее. При этом все рассуждения проводятся дословно так же, как для систем первого класса, с той лишь разницей, что вместо формул (13), (14) имеют место соотношения

Ді(-) = -акі(-)л/кі!гк - гц,

>€]{■) = — (') \/ГЬ^к^-]--1 ~ ГЦ-

На этом пути получен следующий результат.

Теорема 2. Если система (1), (2) обладает свойствами (3), (6), (15)—(18), а матрица Н и параметр Л выбраны описанным выше способом, то все решения системы (1), (2) удовлетворяют оценке (5), где функция V(ж) имеет вид (4).

Класс III образуют системы, у которых элементы матрицы А( • ) обладают свойства-

іпґ |(•) | > 0 при г є к — р + 1, к, j = п + і — к, (19)

ац = 0 при г € к — р + 1, к, 2 < п + г — к. (20)

Иными словами, знакоопределенными являются р элементов, стоящих на нижней части верхней наддиагонали, а элементы, стоящие левее ее, равны нулю.

Возьмем функцию Ляпунова (4), где у матрицы Н на главной диагонали стоят положительные параметры /11,..., ]гп, = к^ = —0, 5у//г^Тг^ при i £ к—р+1,к,

2 = п + г — к; остальные элементы матрицы Н равны нулю. Повторяя рассуждения, проведенные при рассмотрении первого класса, представим матрицу ^( • ) в блочном виде (12) и, не умаляя общности, будем считать, что вместо (19) имеет место свойство

ац ( • ) > 0 при г € к — р +1,к, 2 = п + г — к. (21)

Рассмотрим главные диагональные миноры матрицы ^22( • ), отсчитываемые снизу. Легко видеть, что Дх ( • ) имеет вид

Д1(') = ®кп(') \/1*пп- (^)

Поэтому, фиксировав Нп, можно в силу свойства (21) выбрать Н^ таким образом, чтобы

Дх( • ) < —1.

Представим при 2 > 1 определитель Дц ( • ) в виде

Д( • ) = " ( к( •> • > ) ,

V ( • ) Р-■ ( •) /

где _____________

жо{') = ~ ап-]+1,к-]+1{') \/ — Тп-о + 1,п-о+1- (23)

Поскольку по лемме Шура справедливо представление

Дц ( • ) = ае1 Рц -1 ( • )[кц ( • ) — ц • )РТ11 ( • )<ц ( • )],

то ввиду (23) можно при фиксированном hn_j+i выбрать hk_j+i столь большим, чтобы выражение, стоящее в квадратной скобке, стало отрицательным и, следовательно, sign Aj( • ) = -sign Aj_i(• ). Таким образом, за счет последовательного выбора параметров hk, hk_i,..., hk_p+i при фиксированных остальных hj удалось обеспечить отрица-

тельную определенность матрицы Q22( • ) в выражении (12).

Положим

В( • )= ЛЯ-1S( • ), (24)

где Л — как и прежде скалярный параметр, и предположим, что матрица S( • ) имеет вид

S ( • ) =

Dp( • )

оП-p

где Dp( • ) Є Rpxp,

Тогда матрица L( • ) примет вид

L( • ) =

inf |det Dp( • )| > 0.

Qii( • )+2ADp( • )D*( • ) Qi2( • )

(25)

(26)

Q12( • )

Q22( • )

и станет отрицательно определенной при Л < —Л* (Л* —достаточно большое положительное число) в силу свойства (26), отрицательной определенности ^22( • ) и леммы 1.2.1 [10]. Отсюда, как и при рассмотрении класса I, вытекает свойство диссипативности (5). Сформулируем полученный результат.

Теорема 3. Если система (1), (2) обладает свойствами (3), (19), (20), (24)-(26), а матрица Н и параметр Л выбраны описанным выше способом, то все решения системы (1), (2) удовлетворяют оценке (5), где функция V(ж) имеет вид (4).

Класс IV состоит из систем, обладающих свойствами (3), (19), (24)-(26) и условием

= 0 при і G к — р + l,k, j > п + і — к.

(27)

Таким образом, класс IV отличается от класса III лишь тем, что обнуляются коэффициенты матрицы А( • ), стоящие не левее знакоопределенной части наддиагонали, а правее ее. При этом все рассуждения проводятся дословно так же, как для систем третьего класса с той лишь разницей, что формулы (22), (23) заменяются на следующие:

Аі(-) — ^кп(')2сіпп[ )Нп тпп,

^(*) = ^—,7+1,™—,7 + 1 (') \/ ^п—,7 + 1 ^—,7 + 1 2ап-2 + і'П-2+і(-) ^п—,7+1,71—,7 + 1 •

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Если система (1), (2) обладает свойствами (3), (19), (27), (24), (25), (26), а матрица Н и параметр Л выбраны указанным выше способом, то все решения системы (1), (2) удовлетворяют оценке (5), где функция V(ж) имеет вид (4).

Литература

1. Харитонов В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейств линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. №11. С. 2086-2088.

2. Huyin Gao, Peng Shi, Junling Wang. Parameter-Dependent Robust Stability of Uncertain Time-Delay Systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2007. Vol. 206. P. 316373.

3. Dugu Liu, Xinzhi Liu, Shouming Zhohg. Delay-Dependent Robust Stability and Control Synthesis for Uncertain Switched Neutral Systems with Mixed Delays // Applied Mathematics and Computation. 2008. Vol. 802. P. 828-839.

4. Kwon O. M., Ju H.Park, Lee S. M. Augmented Lyapunov functional approach to stability of uncertain neutral systems with time-varying delays // Journal Applied Mathematics in Computation. 2009. Vol. 2007. P. 202-212.

5. Гелиг А.Х., Зубер И. Е. Синтез векторного управления для робастной стабилизации некоторого класса неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. 2009. №11. С. 117125.

6. Зубер И.Е., Гелиг А. Х. Робастная стабилизация некоторого класса неопределенных систем // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 34-43.

7. Полушин И. Г., Фрадков А. Л., Хилл Д. Д. Пассивность и пассификация нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. №3. С. 3-37.

8. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Инвариантная стабилизация некоторых классов неопределенных систем с запаздывающим аргументом // Автоматика и телемеханика. (В печати).

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

10. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

Статья поступила в редакцию 6 июня 2010 г.