Дисперсия оценки решения системы линеаризованных возмущенных разностных уравнений Навье-Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 7, № 3, 2002

ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ВОЗМУЩЕННЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

К. К. ШАКЕНОВ Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы e-mail: shakenov2000@mail.ru

Application of implicit finite-difference scheme for linearized perturbed Navier — Stokes equations leads to the system of linear equations. The estimation from the "unit" class with explicit expression of dispersion is constructed for this system.

1. Аппроксимация линеаризованных возмущенных уравнений Навье — Стокса

Пусть область П С Я2 ограничена, и Т > 0 фиксировано. Обозначим через Q цилиндр Q = П х (0,Т). Для малого заданного е > 0 рассмотрим начально-краевую задачу: найти такую вектор-функцию W = (и, у) из Q в Я2, что

д W 1

— - VДW - е graddiv W = ¥ в Q, (1)

W = 0, X е дП, г е (0,Т), W = Wo, при г = о, (2)

где ¥ (ж, г) и W0(ж) = (и0(ж), у0(ж)) — заданные вектор-функции, причем ¥ е Ь2(0,Т; Н), Wo е Н.

Аппроксимация задачи (1), (2) неявной схемой дает следующую систему уравнений относительно компонент и, у вектора скорости жидкости в двумерном случае [1, 2]:

иЬ = + + + ?4уГ-и + + + + +

+Яю<+1 ^ + ?9УГ-1,,-+1 + - ет^ + - eуin-1, (3)

vi,j = q5 + Q6Ui+1j + qjVi-u + qsUi-u + qi г^.+1 + q2Ui,j+i + qa^-i + q4Ui,j-i +

4j

+qioVrt-ijj+i + qgun+i.j-i + drf^ - erf?^ + dv? 1 - eu^ 1, (4)

(g) К.К. Шакенов, 2002.

где

91

9б

(а + Ь)с — Ь2 = с2 — Ь2 ;

Ьс — (а + Ь)Ь с2 — Ь2 ' с 1

92

аЬ

с2 — Ь2 ас — Ь2

9з

97

с2 — Ь2

98

(а + Ь)с = с2 — Ь2 '

(а + Ь)Ь с2 — Ь2 '

94

99

Ьс — аЬ с2 — Ь2'

Ьс

с2 — Ь2

95

910

ас

с2 — Ь2 Ь2

" с2 — Ь2'

с2 — Ь2

Ь 1

-' а = ^/й2 > 0' Ь = 1/(ей2) > 0' с = 4а + 2Ь + 1/т > 0.

с2 — Ь2

шаг по временной пе-

Здесь V — коэффициент вязкости; е — величина возмущения; т ременной; й — шаг по пространственным переменным. Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. При фиксированном V > 0 всегда можно выбрать е > 0 и т > 0 такими, что выполняется условие

10

Е

г=1

Ы < 1'

(5)

причем е можно выбрать сколь угодно малым.

Доказательство леммы можно найти в работе [2]. Обозначим через Хп для п = 0' 1' 2'... ' N вектор

Хп

(и^'^^}' X0 = {М0«'^0а}' а

-- 1' 2'...'Ь.

количество узлов; Х0

извест-

Здесь п — номер временного слоя; а — номер узла; Ь ный вектор, определяемый начальными данными W0 возмущенного уравнения Навье Стокса.

Теперь (3), (4) запишем в матричном виде

Хп = ДХп + Ога' п =1' 2'

N

(6)

где Оп = Еп + СХп-1, Оп = (#П • • • '^П). Матрица Д имеет следующую структуру: внутреннему узлу с номером а соответствует строка ... ' йа,ь, в которой 10 элементов равны 91'... ' 910 и = для всех а и ^ = , а остальные — нули; граничному узлу с номером а соответствует строка = = ... = = 0; все диагональные элементы = 0. Элементы вектора Еп = имеют следующую структуру: ^ = ёт/п — ет/п,

если узел номер а — внутренний и уравнение — из системы (3); = ёт/п — ет/п, если узел номер а — внутренний и уравнение — из системы (4); = 0, если узел номер а — граничный. Матрица С = (с^-} имеет следующую структуру: са= ё' са+1)а = —е, если уравнение — из (4), и са= ё' са+1 = —е, если уравнение — из (3).

Для системы (6) применима схема Неймана — Улама при фиксированном П' п = 1'... ' N в силу леммы (1). Систему (6) решаем последовательно, в порядке возрастания П' п = 1' 2'... ' N.

е

2. Дисперсии оценок

Пусть Л(м") есть множество траекторий цепи Маркова длины Мп при условии, что почти все траектории конечны и Хл(мп) — характеристическая функция, т. е. Хл(мп) — функция траектории, равная 1, если траектория имеет длину Мп, и 0 в противном случае.

Обозначим через {p, p) , p = (pi,... ,pL) , p = || pi;j ||f, цепь Маркова, удовлетворяющую условиям:

1) pi > 0, если zi = 0, i = 1, 2,... , L , где zi — компоненты заданного вектора Z;

2) pi,j > 0, если di,j = 0, i, j = 1, 2,..., L.

Для n =1 случайную величину вмх определим на траекториях марковской цепи i0 ^ ii ^ ... ^ i Mi длины M1 (на множестве A(Mi)), wim — вероятность гибели частицы. Если uim > 0, то положим

те

^Mi = Хл(м1) eMi , (7)

Mi=0

где eMi = E Q(m)(i0, . . . , il)Zii, (io, . . . ,im) = íi^i (io, . . . , im), Qi(io, ii , . . .) = 1=0

di i

qim ^i(io,,im,...), qio = giO /pio, qim+i = qim г m'm+i, вектор g1 = F1 + CX° — известньш

pim,im + i

вектор, и, если uim = 0, то

те

j1

m

m=0

Pi =Yl Q(i0,ü,...)Zim . (8)

В обоих случаях предполагается, что суммируема на Л(М1). Если для некоторого набора (¿о,. .. , ¿т) € выполнено

дг0• • • ^гы1-1,гы1 ^М1 = 0, (9)

то для него же справедливо

ргъ»2 • • • Ргы1-1,гы1 > 0 (10)

Известно, что несмещенность Е/ЗМ = (Z, X1) оценки /ЗМ имеет место для траекторий марковской цепи бесконечной длины. Здесь и далее Е — оператор математического ожидания. В работах [3-7] изучены условия, налагаемые на требованием несмещен-

~ те

ности оценки типа /ЗМ = Е Хл(м1) вм1 при > 0 для некоторого класса интегральных

М1=0

уравнений.

Теперь пусть оценка /ЗМ е1 — смещенная, т.е. Е/$М1 = Z, X1) + е1. В этом случае, очевидно, величина невязки для п = 1 системы (6) будет пропорциональной е1 и невязка стремится к нулю при стремлении длины цепи к бесконечности.

Перейдем на следующий временной слой. Пусть п = 2 и д21 = д2 + с1е1, тогда, рассуждая аналогично случаю п = 1 , для оценки

те М2 М2

^2 = X] ХЛ(М2) Р2М2 , 0М2 = ^ (^0 • • • , ¿^т + X ^ • • • ,

М2=о г=о 1=о

получим = (Z, X2) + е2, где е2 = (Z, D1^1). Очевидно, что при M2 ^ то е2

Mi Е

m=0

стремится к (Z, (Е — Д) 1е1), а последнее выражение стремится к нулю при е1 ^ 0. Аналогично

те

ЖN = X ХЬ(ММ) вМм , Мм =0

mn (m) ^v (m) „

где eMN = E Qlm)(i0, • • •, im)zim + E Q((io, • • • , -1. И для этой оценки E/3Mn =

Mn

l=0

(Z, XN) + , где = ( Z, ^ -1 ), причем при MN — то стремится к (Z, (E -

l=0

Mn

m=0

Д)-1 -1), а последнее выражение стремится к нулю при -1 ^ 0.

Таким образом, можно рассматривать как некоторую известную функцию = ^(е1,..., -1), причем ^(е1,... , -1) ^ 0 при ег ^ 0 для всех г = 1,... , N —1. Последнее условие связано с условием М^ ^ то, г = 1,... , N.

—►

те Mi

ДопУстим, что > о и Е Хлм Е

Mi=0 l=0

жестве траекторий Л(Мп). Вычислим для всех i = 1, • • • , N

те Mi

ЕвМ; = X/ X/ gi0 di0,il • • • dim-1,im ^m ^'"^¿m +

Mi = 0 m=0 |Mi + 1| ^

те x

+ Z Z /(k)p

•pifc-l,ifc^¿fc f • fc=Mi+1 |Mk-Mi| J

i = 1, • • • , N, суммируема на мно-

(11)

/те М;

Приравнивая полученное выражение и выражение I Z, Е Е ) , г = 1,..., N,

V Мг=0 т=0

получаем достаточное условие несмещенности

те Mi

^ ] ^ ] ^ ] gi0 di0,il • • • d»m-1,im ^m 1 1 — ^г ^¿m —

Mi=0 m=0 |Mi+1| ^

те

- Z Z ^(fc)Pim,im+1 •••Pifc-1,ifc ^¿Л =0- (12)

fc=Mi+1 |Mfc-Mil J

Отсюда следует "дискретный аналог" достаточного условия несмещенности, если приравнять к нулю выражение в фигурных скобках

+ Yl Yl ^fc)Pim,im + 1 •••Pifc-1,ifc ^¿fc = 1, im = 0, i =1, 2, • • • , N (13)

fc=Mi+1 |Mfc-Mi|

2

Далее предположим, что функция траектории Е Хд(мг) ( Е

мг=о \г=о

суммируема. Тогда

Mi

) zii

, i = 1, • • •, N,

= E E

(gi0 di0 ,¿1 • • • dim-1,im ) zim f / (m) \ 2

Mi=0 |Mi + 1| те

pi0 pi0,i1 • • •Pi m — 1 ,im 2

/ч ^¿m Zim +

+ ^ £ ^ ] ^ Pim,im+1 •••Pifc — 1 ,ifc ^¿fc +

fc=Mi+1 |Mfc-Mi|

+2 E E d

j=Mi+1 |Mj-Mil

¿m ,im + 1 • • • djm — 1 ,jm Zjm

n(j\i(j\ i +

+ V (k) (k)

•Pk m— 1,k

k=Mj+1 IMfc-Mj |

(14)

те

те

те

Если обозначим через

— ( {т)\ + ( (к)\ + аЧ — I ^Ч I + / у У*) Р*т,*т+1 ■ ■ ■ Р*к-1,*к+

к=М;+1 |Mfc-Mi|

2 Е Е л

j=Mi+1 м-М.1

Чт ,Чт +1 ■ ■ ■ djm-1,jm Zjm

^Ч Шjm +

+ (к) (к) + / у / у ^Ч Рjm,jm +1 ■ ■ ■ Ркт-1,к.

к=М, +1 Мк-М, |

(15)

то получим следующую теорему: Теорема 1. Если оценка

М;

вМ. — Е Хл(М;)/ЗМ, где /ЗМ — ■ ■ ■' гт> г — 1,

М;=0

М

т=0

несмещена и

М;

I гч

Е *Л.«.) Е Р(М,)

М;=0 \ 1=0

суммируема, то ее дисперсия конечна и равна

г — !,■■■, М

ПвМ; —ЕЕ

М;=0 |М; + 1|

Ч0 Ч0,Ч1 • • • и'Чт,-1,Чт) ¿Чт ^ (£ X*)2 г _ 1 N

рЧо рЧо,*1 ■ ■ ■рЧ

т-1 ,Чт

Список литературы

[1] Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

[2] Ермаков С. М., Шакенов К. К. О применении метода Монте-Карло к уравнениям Навье — Стокса // Вест. ЛГУ. Сер. Математика, механика, астрономия. Л., 1986 (Деп. в ВИНИТИ 26.06.86. 6267 - В86).

[3] ХисАмутдинов А. И. "Единичный" класс оценок для вычисления по методу Монте-Карло функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1970. Т. 10, №5. С. 1269-1280.

[4] ХисАмутдинов А. И. Оценки "единичного" класса с минимальной дисперсией // Вероятностные методы решения задачи математической физики: Сб. науч. тр. Новоси-бирск,1971. С. 184-210.

[5] Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

[6] Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.

[7] Михайлов Г. А. Весовые методы. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

Поступила в редакцию 27 июня 2001 г., в переработанном виде —11 января 2002 г.

те

те

те

те

2

те