Дисперсионные соотношения для кристаллов твёрдых растворов со структурой CsCl Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1 ББК В312

Владимир Евгеньевич Холодовский

кандидат физико-математических наук, доцент, Брянский государственный университет им. И. Г. Петровского (Брянск, Россия), e-mail: v-e-holodovsky@yandex.ru Елена Юрьевна Краюшкина аспирант,

Брянский государственный университет им. И. Г. Петровского (Брянск, Россия), e-mail: v-e-holodovsky@yandex.ru

Дисперсионные соотношения для кристаллов твёрдых растворов

со структурой CsCl 1

На основе ранее разработанной методики построена динамическая модель для кристаллов, имеющих структуру типа CsCl, учитывающая взаимодействие между атомами на первых двух координационных сферах. С применением экспериментальных данных по нейтронному рассеянию сделаны расчёты дисперсионных кривых и упругих констант для кристаллов твёрдых растворов NiAl, ZnCu и FeAl.

Ключевые слова: кристаллическая решётка, динамическая модель, межатомное взаимодействие, дисперсионные кривые, упругие константы.

Vladimir Evgen’evich Kholodovskiy

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Petrovskiy Bryansk State University (Bryansk, Russia), e-mail: v-e-holodovsky@yandex.ru Elena Yur’evna Krayushkina Postgraduate Student, Petrovskiy Bryansk State University (Bryansk, Russia), e-mail: v-e-holodovsky@yandex.ru

Dispersion Relations for Solid Solution Crystals with CsCl Structure

Using a previously developed method, a dynamic model for the crystal structure of CsCl type is constructed. The model takes into account the interactions between the atoms of the first two coordination spheres. Based on experimental data on neutron scattering, calculations of the dispersion curves and elastic constants for crystal solid solutions of NiAl, ZnCu and FeAl are made.

Keywords: crystal lattice, dynamic model, interatomic interaction, dispersion curves, elastic constants.

В работах [1-5] в адиабатическом приближении была построена динамическая модель, описывающая вибрацию кристаллов инертных газов, а также металлов, имеющих ОЦК и ГЦК кристаллические решётки. При определении сил межатомного взаимодействия использовался механизм Ван-дер-Ваальсовских связей. Разработанные математические методы позволили произвести расчёты дисперсионных кривых, фононных спектров, температурных зависимостей теплоёмкости и среднеквадратичных смещений для кристаллов инертных газов при различных сжатиях, а также для ряда элементов 1-5 групп таблицы Д. И. Менделеева. Расчёты производились без использования подгоночных параметров, а исходными данными служили значения упругих констант, атомная масса и параметр решётки соответствующего вещества. Для КИГ в тех случаях, когда данные по упругим константам отсутствовали, использовались экспериментальные данные по значениям дисперсионных кривых на границе зоны Бриллюэна. Полученные результаты обнаружили достаточно хорошее соответствие имеющимся экспериментальным данным.

1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ по теме «Тепловые свойства новых термоэлектрических, полупроводниковых и оптических материалов».

© Холодовский В. Е., Краюшкин Е. Ю., 2013

121

К кристаллам, обладающим металлическими связями, помимо моноатомных относятся также бинарные соединения, называемые твёрдыми растворами или сплавами. Среди них, например, находятся соединения №Л1 и ZnCu и др., кристаллические решётки которых имеют структуру типа СбС1. Исследования указанных соединений проводились в работах [6-11] и др. В них речь шла о сплавах, в которых соотношение образующих элементов отличалось от 50 % на 50 %. Так, в работе [6] с использованием ультразвуковых методов исследования определялась температурная зависимость значений упругих констант сплава №Л1 от концентрации N1. В работе [7] на основе экспериментальных данных производились расчёты дисперсионных кривых для сплава №Л1, где концентрация № составляла 49.4 %. Для расчётов использовалась динамическая модель Борна-Кармана. Для достижения приемлемой точности по отношению к экспериментальным данным необходим был учёт сил взаимодействия между атомами, расположенными друг относительно друга на 1-4 координационных сферах. Описание такого рода сил потребовало введения 8 свободных параметров. На основе полученных данных производились расчёты фононного спектра. Ещё раньше аналогичные исследования были проведены в работе [8] для сплава ZnCu, где концентрация Zn составляла 47 % и 48 %. Здесь также авторы отталкивались от экспериментальных данных по нейтронному рассеянию и использовали модель Борна-Кармана. Используя 8 подгоночных параметров, они произвели расчёты дисперсионных кривых, упругих констант и фононных спектров сплавов. Следует отметить, что во всех случаях физическая суть механизма межатомного взаимодействия оставалась невыясненной.

В настоящей работе в продолжение проведенных исследований разработанная динамическая модель рассматривается применительно к бинарным решеткам твёрдых растворов №Л1, ZnCu и ЕвЛ1, где соотношение образующих атомов считается равным 50 % на 50 %. Не вдаваясь в физическую суть механизмов межатомного взаимодействия (см. работы [1-5]), мы рассмотрим лишь математическую сторону вопроса.

1. Уравнение динамики. Рассмотрим бинарную кубическую кристаллическую решётку типа СбС1. Такая решётка может быть получена путём наложения двух простых кубических подрешё-ток, когда центры кубических ячеек первой подрешётки совмещаются с соответствующими узлами второй. Пусть каждая из подрешёток имеет форму куба, ребра которого содержат п атомов. Тогда N = п3 - число атомов в каждой из подрешёток.

Обозначим через а параметр решётки, а через и ^2 - массы атомов, образующих первую и соответственно вторую подрешётки кристалла. Выберем в пространстве систему кристаллографических координат Охуг с единичными направляющими векторами ex, ey, ez координатных осей так, чтобы радиус-вектор каждого узла Р = Рфк первой подрешётки мог быть задан по формуле

ф = а(*ех + ЗЬу + к^ )•

Тогда радиус-вектор каждого узла Р = Рфк второй подрешётки определится так:

Т%к = [а(г + 1/2)ех + С? + 1/2)еу + (к + 1/2)е2 ], где г,?, к = 1,..., п - некоторый набор натуральных чисел.

Пусть Л - множество всех числовых наборов £ = (г,?, к), в которых г,?, к = 1,..., п, а А^ и А|

- атомы первой и второй подрешёток, положения равновесий которых находятся в узлах Р^1 = Рфк и Р2 = Рф соответственно. Обозначим через 5'г1(£) и £г2(£) множества всех мультииндексов £' £ Л, нумерующих атомы, находящиеся на /-той координационной сфере атомов А^ и А| соответственно.

Пусть £' = (г', ?', к') £ 51(£). Обозначим через el1^/ единичный вектор, указывающий направление от узла к узлу Р|,. Тогда, как легко видеть, справедливо равенство

«4' = + е1зз,еу +

где Ф =2(г'- г) +1 ф =2(?'- ?) +1 екк' =2(к'- к) +1 причем Ф ф, = ±1.

Аналогично, если £' = (г',?', к') £ Ь2(£), то обозначим через e|^, единичный вектор, указывающий направление от узла Р| к узлу Р^1,. Тогда справедливо равенство

2 1 / 2 2 2 \

= ~Щ(6и'ех + 6л'еУ + екк,ег),

где 4, =2(i/ -i) -1 j =2(j/ - j) -1 ekk, =2(k/ - k) -1, так что 4,j,ekk, = ±1.

В случае, когда £/ = (i/,j/,k/) Є S^(£) (или £/ = (i/, j/,k/) Є $!(£)), единичный вектор, указывающий направление от узла P^1 к узлу P^1, (или от узла P| к узлу P|,), будет обозначаться просто e^£,. Полагая в этом случае e,,, = i/ — i, ejj, = j/ — j, ekk' = k/ — k, приходим к равенству

e££' = eii' ex + ejj' ey + ekk' ez ;

в правой части которого всегда два из трёх коэффициентов e,,,, ejj,, ekk, равны нулю, тогда как

третий может принимать значения ±1.

Обозначим, наконец, через u^t) вектор смещения атома Al из положения равновесия в момент времени t; аналогично определим вектор u|(t).

Пусть A? - атом первой или второй подрешётки, а A^, - атом, находящийся на первой или второй координационной сфере атома A . Обозначим, как и выше, опуская пока верхние индексы, через e , единичный вектор, указывающий направление от узла P к узлу P , . Пусть w , = u , - u

- вектор относительного перемещения атомов A^ и A^,, а r^^ =< w^^, e^^ > e^^ - его радиальная и p^£, = w^, — r^, - тангенциальная составляющие. На атом A^ со стороны атома A^, действует сила F , , которую мы будем считать линейно зависящей от вектора w , согласно формулам

F^ = a1rr ^ + a 1tp££, = (a1r — a 1t) < wi^ ; ei^ > e£^ + ^lt'^e,^ ;

если £/ Є S1(£) и

F^ = a2rr ^ + CT2tp^, = (a2r — 02t) < w^, e^ > e^ + a2tw^, если £/ Є $2(0, где a,r, a,t - некоторые константы, определяемые свойствами кристалла. Ограничиваясь действием сил указанного вида и обозначая через л массу атома A^, приходим к уравнению Ньютона

/лщ = ^2 [(alr — alt) < w55,, e55, > e5?, + a^w^,] +

eeSi(«)

+ 53 [(a2r — a2t) < w55,, e55, > e55, + a2tw5]•

«,Є«2(«)

Преобразуем полученное уравнение, используя равенство w^£, = u^, — u. Тогда уравнение принимает вид

MuC = — a0u? + [(a1r — a1t) < u^ ; e£^ > e£^ + «^lt^ ] +

eeSi(«)

+ 53 [(a2r — a2t) < u,, e55, > e55, + a2tu5,], (1.1)

«,Є«2(«)

где

8

00 = g(<Tlr 2<T11) + 2(cr2r + 2<J2t)- (I-2)

Рассматриваемая кристаллическая решётка обладает свойством центральной симметрии относительно произвольного её узла. Это значит, что для каждого узла P и соседнего к нему узла P ,

найдётся узел P^>, противоположно расположенный к P^, относительно узла P^. При этом, если

£/ Є S(£), то и f Є £;(£), а e55-, = —e^.

Из сказанного следует, что в уравнении (1.1) суммирование по координационным сферам можно свести к суммированию по полусферам, взяв в качестве слагаемых суммы сил, действующих на атом A со стороны двух противоположно расположенных атомов соответствующей координационной сферы. Обозначим через S (£) множество мультииндексов, нумерующих атомы какой-нибудь полусферы l-той координационной сферы атома A^. Тогда уравнение (1.1) может быть записано так:

Mu« — — °0u£ + [(<Tir — ait) < u5' + U', e55' > e55' + °it(u£' + u£')]+

«'eSi(5)

+ 53 [(a2r - °"2t) < U' + Uf', e5£' > e55' + <72t(u' + Uf' )]•

?'eS2(C)

Разделяя атомы кристалла по подрешёткам, будем считать, что силовые коэффициенты а2т, а2г, а также ст^, a2t, определяющие взаимодействие между собой атомов каждой из подре-шёток, различны для этих подрешёток. Тогда согласно формуле (1.2) получаем

8 8 °о = з (°"lr + 2<Tit) + 2(cr|r + 2<72t); °о = з(°"1г + 2<Tit) + 2(ст|г + 2 a|t).

С учётом сказанного система уравнений, описывающая колебания каждой из подрешёток, может быть записана в виде:

MlU — -o^2 + ^2 [(oir - Oit) < u|' + u|', e^' > e^' + oit(u|' + u|')] +

«'es1(«)

+ Y1 [(o2r - °2t) < u1' + u!'; e««' > e««' + °2t(u1' + up )]; (1 -3)

«'e«1(«)

M2u| — -^u! + ^2 [(oir - Oit) < u1' + ul', e|5' > e|5' + CTit(u2' + ul')] +

«'eSl(«)

+ 12 [(o2r - o2t) < u!' + u|'; e««' > e««' + °2t(u!' + u!' )] • (1 -4)

«'e«1(«)

Будем искать решение полученной системы уравнений в виде бегущих волн:

ui(t) — v1 sin(Kri - wt) — visi(t), u|(t) — v2 sin(Kr| - wt) — v2s|(t), (1.5)

где w - частота, K — Kxex + Kyey + Kzez - волновой вектор, а v1 , v2 - векторы поляризации. Согласно условию цикличности Борна-Кармана, при описании движения решётки волновой вектор может принимать только те значения, при которых на протяжении решётки в направлении каждой координатной оси укладывается целое число длин волн. Это значит, что должны выполняться равенства:

Knaex — Kxna — 2nh, Knaey — Ky na — 2n1, Knaez — Kz na — 2nm,

где h, l, m - целые числа. Отсюда следует, что волновой вектор должен иметь вид

2п

К = —(hex + ley + mez). na y

Пусть £ — (i, j, k) G Л, а £ ' — (i', j', k') G Sl(£). Положим Ar^' — r|' - r^ Тогда

r|, = r| + Ar^,, r|, = r\- Ar^,, Ar^, = |(e\vex + е]геу + e\k,ez). (1.6)

Вычисляя сумму u|'(t) + u2 (t) и учитывая (1.5), (1.6), получаем

u|'(t) + u|'(t) — v2{sin[K(ri + Ar^') - wt] + sin[K(ri - Ar^') - wt]} —

— 2si(t) cos(FAri^' )v2 .

Аналогично, определяя вектор смещения Аг^/ = г|/ — г|, приходим к равенству

Если £ ' € 52(£) или £ ' € $|(£), то г|, — г| = г|, — г|. Полагая Аг^/ = г|, — г|, получаем

и|/(4) + и|/(4) = 2в|(4) со8(КАг^/)у2, и|/(4) + и|/(4) = 2в|(4) со8(КАг^/)у2.

Введем сокращенные обозначения, полагая для заданного вектора К

с2?/ = еов(КАг2^/), е2?/ = еов(КАг2^/), е^^/ = еов(КАг^^/).

Подставляя бегущие волны (1.5) в полученную выше систему, учитывая приведенные выше равенства и сокращая обе её части на общие множители в|(£) и «2(4) соответственно, приходим к

22

системе уравнении относительно частоты ш и векторов V2, V2:

+2 X С««/ [(а2г — ст:У < vl, е««/ > е««/ + ст2е^

«/е«21(е)

—^,2ш^2 = —ст0^ + 2 С^/ [(ст1г — ^14) < v1, е|е > е^/ + <7кv1] +

«/е«2(«)

+2 X С««/ [(а2г — а2*) < v2, е««/ > е««/ + v2].

«/е«2(е)

Обозначим через Х1, у1, ^1 и Х2, У2, ^2 координаты векторов vг. Вводя сокращённые обозначения

и^ (4) + и^ (4) = 2в|(4) сов(КАг|е/ )v1.

■^шЧ1 = — ст^1 +2 ^2 4^ [(а1г — о») < v2, е^/ > е^/ + ст^2]+

01

Ст1г + 2ст к

3

СТ2

<2"1г <2"1£

3

п^

Сй = соэ —, п

п^

й/, = вт —

п

(1.9)

и вычисляя суммы

^ ^ с££/ — 4с^с1 cm,

е/е^2(^) приходим к системе

с55/ е**/ б.«’

е е«2(«)

£,-,•/б.-.-/

■4вьвгет! ^ ' с^/^бкк/ = —4вьс;вт,

«/е«2(«)

(аХ — ^1ш2)ж1 + 6x2 + 62 У2 + Ьу ^2 = 0, (а1 — ^ш2)у1 + 62 Х2 + 6у2 + = 0,

(а1 — ^1ш2)^1 + 6у Х2 + 6х У2 + 6^2 = 0,

(1.10)

6x1 + 62 У1 + 6у ^1 + (аХ — ^2ш2)х2 = 0, 62 Х1 + 6у1 + 6x^1 + (аУ — М2^2)у2 = 0,

6у Х1 + 6хУ1 + 6^1 + (а2 — ^2ш2)^2 = 0,

6 — 8ст1сЛ, с1ст, 6ж — 8ст2сЛ. «1 «т.

(1.12)

Остальные коэффициенты получаются перестановкой индексов.

2. Дисперсионные соотношения и принцип длинных волн. Будем искать решение системы (1.10) в случае, когда направление волнового вектора совпадает с одним из основных кристаллографических направлений. К таким направлениям относятся: направление [100],

2nh nh Ka Kxa

К =-------ех = Кхех, — = — = (2.1)

na n 2 2

направление [110],

направление [111],

2nh „ „ т, „ „ nh Ka Kxa

na ' n 2\/2 2

2nh nh Ka Kxa

-----( ©r H- ©7/ -\- ©2 ) = -L^ri ”1" £?/ H- ), ------ = -----;= = ------.

na n 2^д 2

Рассмотрим направление [100]. Обращаясь к формулам (1.11), (1.12) и учитывая (2.1), приходим к равенствам

а\ = 8(71 + 4a$rsl = ai + 4a\r sin2 a2 = 8cri + 4cr^rs^, a2 = a2 = 8cri + 4a$ts2h,

Ka

Ka

o,y = o,z = 8<Ji + 4(J2tstn b = — 8<7ic^ = — 8<ti cos bx = by = bz = 0.

Из этих равенств следует, что система (1.10) распадается на три независимые подсистемы, одна из которых описывает продольные колебания, поляризованные вдоль оси Ox, а две другие, совпадающие между собой, - поперечные колебания, поляризованные вдоль других осей. Решая соответствующие характеристические уравнения, приходим к дисперсионным соотношениям

,2„ . „1

+ axjj,2 ± у?(a2yU,i - а^г)2 + 4/Х1/Х2b2

2 ___ axM1 + ax^2 — V У'^ХГ' 1 ^ХЛ" 2^1 i-f.~if.~2'' /0 ,ч

" “ ^ ’ (’4)

Рассмотрим теперь направление [110]. Положим , art = a2r + a2£. Тогда справед-

ливы равенства

alx = a\ = 8cri + Aalrts2h = 8cri + 4сг^ sin2 a2 = a\ = 8cri + 4cr2ts^,

a2 = 8cri + 8cr2VL a2 = 8cri + 8cr|ts^, b = -8alC2h = -8<ti cos2 bx = by = 0, bz = 8a2sh-

Как нетрудно видеть, в этом случае система (1.10) распадается на две подсистемы, из которых одна описывает продольные и поперечные, поляризованные в плоскости Оху, колебания, а другая

- поперечные колебания, поляризованные вдоль оси Оз.

В случае поперечных волн, поляризованных вдоль оси Оз, получим

2 aim + al/j,2 ± у7(azMi - а^Мг)2 + 4/xi/x2b2

2 11 ^^2 ± V V1 2У ■ ^1^2^ /0

о; =--------------------------------------------------. (2.6)

2^1М2

В случае продольных колебаний дисперсионное соотношение даётся равенством

2 _ 4м + «4м2 ± •у/(4м1 - с4м2)2 +4/^2(Ь + Ьгу " “ 2^2 ' {2:Т)

В случае же поперечных колебаний, поляризованных в плоскости Оху, дисперсионное соотношение имеет вид

2 + alxjj,2 ± \J(а2/л - а^г)2 + 4/х1/хг(Ь - bz)2

2^1М2

ь теперь волновой вектор имеет напр ст|г + 2а24. Тогда справедливы равенства

(2.8)

Пусть теперь волновой вектор имеет направление [111]. Положим = а"1,, + 2ст2(,

Ка

111 12 12 а 2 2 2 2 2

ax = ay = az = 8аг + Aar2tsh = 8cri + 4crr2t sin ^-д, ax = ay = az = 8cri + Aar2tsh,

Ka

2л/3’

b = -8crich = —8ai cos bx = by = bz = 8a2Chsh.

Если колебательная мода имеет продольную поляризацию, то для неё закон дисперсии выражается соотношением

2 _ а1^ 1 + а1м ± ~ а1^)2 +4^1^2(Ь + 2Ьж)2

"-------------------------5^-------------------------' <20)

В случае же поперечной поляризации справедливо равенство

j2 = a2Ml + 4М2 ± у7(a2Ml ~ aim)2 + 4/xi/x2(b ~ ^ 10^

2/Х1/Х2

Рассматривая полученные дисперсионные соотношения, нетрудно обнаружить, что все они приводятся к виду

2 _ AiMl + A2M2

Сс? — -------------------

2^iM2

1± Д 4/xi/x2(AiA2 - В2)

V (^1А*1 + А2Ц2)2

где А1, А2, В - некоторые числа, определяемые коэффициентами системы (1.10). При этом знак (+) берется для оптических, а знак ( —) - для акустических колебательных мод.

В континуальном приближении, когда выполняется условие Ка << 1, справедливо соотношение А4А2 — В2 << 1. Поэтому можно считать, что для акустических мод справедливо соотношение

^2= AlA\~B . (2.11)

А2М1 + А1М2

Сравнивая соотношение (2.11) с дисперсионными соотношениями из теории упругости для основных кристаллографических направлений, приходим к равенствам

2cti — аС44 — (ст^ + ^2t), 4с2 — a(Ci2 + C44),

a2r + a2r = a(C11 — C44) + + CT2t- (2-l2)

В настоящей работе были проделаны расчёты дисперсионных кривых по приведённым выше формулам в сравнении с экспериментальными данными, полученными методом неупругого рассеяния нейтронов и представленными в работах [7; 8; 10] для кристаллов твердых растворов №А1, С^п и ЕеА1. Используя подобранные значения силовых констант, по формулам (2.12) были рассчитаны значения упругих констант рассматриваемых соединений. Следует отметить, что имеющиеся данные о значениях упругих констант для рассматриваемых веществ существенно отличаются друг от друга у разных авторов. Так, например, в работе [11] приводятся данные разных авторов по упругим константам для соединения ЕеА1, где разброс значений достигает 10 & - 30 %.

Ниже, в табл. 1 приведены используемые и полученные (для упругих констант) в настоящей работе данные. В табл. 2 приводятся аналогичные данные, взятые из работ [6; 9; 11]. На рис. 1, 2, 3 изображены дисперсионные кривые для указанных соединений в сравнении с экспериментальными данными, полученными методом неупругого рассеяния нейтронов и представленными в работах [7,

8, 10]. Во всех случаях д обозначает Кх и изменяется в пределах 0 < д < п/а.

Таблица 1

а, нм СИ, ГПа С12, ГПа С44, ГПа т1, а.е.м.. т2, а.е.м.

№А1 0,288 181 108 87 58,693 26,982

Сигп 0,294 108 88 64,5 63,546 65,39

ГеА1 0,291 148 90 123,5 55,845 26,982

Таблица 2

а, нм СИ, ГПа С12, ГПа С44, ГПа т1, а.е.м.. т2, а.е.м.

№А1 0,288 190,36 129,64 108 58,693 26,982

Сигп 0,294 133,6 103,8 74 63,546 65,39

ГеА1 0,291 181 ИЗ 127 55,845 26,982

Рис. 1. Расчетные кривые дисперсии фононов в №Л! при 296°К. Кружками отмечены экспериментальные точки, взятые из [7]

Рис. 2. Расчетные кривые дисперсии фононов в Сигп при 296°К. Кружками отмечены экспериментальные точки, взятые из [8]

Рис. 3. Расчетные кривые дисперсии фононов в РеЛ! при 296°К. Кружками отмечены экспериментальные точки, взятые из [10]

Список литературы

1. Холодовский В. Е., Мачихина И. О., Кульченков Е. А. Принцип длинных волн и дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решёток в модели диполь-дипольных взамодействий // Известия СамНЦ РАН. Сер. «Физика и электроника». 2009. Том 11. № 5(31). С. 49-55.

2. Холодовский В. Е., Мачихина И. О., Кульченков Е. А. Дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решёток в модели диполь-дипольных взаимодействий // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика, физика, химия». 2009. Вып. 12. № 10(143). С. 92-99.

3. Холодовский В. Е., Мачихина И. О. Принцип длинных волн и фононные спектры кубических кристаллических решёток // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика. Механика. Физика». 2009. Вып.1. № 22. С. 109-116.

4. Холодовский В. Е., Мачихина И. О., Кульченков Е. А. Расчёт теплоёмкости и среднеквадратичных смещений по фононным спектрам для кристаллов с ОЦК и ГЦК решёткой // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика. Механика. Физика». 2010. Вып. 2. № 9. С.101-109.

5. Мачихина И. О. Холодовский В. Е. Расчёт теплофизических свойств кристаллов инертных газов по упругим константам jj Известия СамНЦ РАН. Т. 14. № 4. 2012. С.11б-120.

6. Rusovic N., Warlimont H. The Elastic Behaviour of e2-NiAl Allaus j j Phys. Stat. Sol. 1977. vol. 44. iss. 2. P. б09-б19.

Т. Mostolle M., Nicklow R. M., Zehner D. M., Lui S.-C,. Mundenar J. M,. Plummer. E. W. Bulk and surface vibrational modes in NiAl j j Phys. Rev. B, 1989, volume 40, issue 5, pp. 2В5б-2ВТ2.

8. Gilat G., Dolling G.. Normal Vibrations of в Brass jj Phys. Rev., 19б5, volume 138, issue 4A. P. A1053-A1065.

9. McManus G.M. Elastic Properties of в-CuZn jj Phys. Rev. 1963. vol. 129, iss. 5. P. 2004-200Т.

10. Meyer B., Schott V., Fahnle M.. Phonon spectrum of B2-FeAl: Ab initio calculation and comparison with data from inelastic neutron scattering j j Phys. Rev. B 1998, volume 58, issue 22. P. бТ4-бТб.

11. Yifang Ouyang, XiaofengTong, ChangLi, HongmeiChen, XiaomaTao, Tilmann Hickel, YongDuc. Thermodynamic and physical properties of FeAl and Fe3Al: an atomistic study by EAM simulation j j Physica B 407 (2012) pp, 4530-4536.

References

1. Kholodovsky V. Ye., Machikhin I. O., Kulchenkov Ye. A. Printsip dlinnykh voln i dispersionnye sootnosheniya dlya kubicheskikh kristallicheskikh reshyotok v modeli dipol-dipolnykh vzaimodeystvy j j Izvestiya SamNTs RAN. Ser. «Fizika i elektronika». 2009. T. 11. № 5(31). S. 49-55.

2. Kholodovsky V. Ye., Machikhina I. O., Kulchenkova Ye. A. Dispersionnye sootnosheniya dlya kubicheksikh kristallicheskikh reshyotok v modeli dipol-dipolnykh vzaimodeystvy j j Vestnik YuUrGU. Ser. «Matemtaika, fizika, khimiya». 2009. Vyp. 12. № 10(143). S. 92-99.

3. Kholodovsky V. Ye., Machikhina I. O. Printsip dlinnykh voln i fononnye spektry kubicheskikh kristallicheskikh reshyotok j j Vestnik YuUrGU. Ser. «Matematika. Mekhanika. Fizika». 2009. Vyp. № 22. S. 109-116.

4. Kholodovsky V. Ye., Machikhina I. O. Kulchenkov Ye. A. Raschyot teployomkosti

i srednekvadratichnykh smeshcheny po fonovym spektram dlya kristallov s OTsK i GTsK reshyotkoy j j Vestnik YuUrGU. Ser. « Matemtaika. Mekhanika. Fizika». 2010. Vyp. 2. № 9. S. 101-109.

5. Machikhina I. O., Kholodovsky V. Ye. Raschyot teplofizicheskikh svoystv kristallov inertnykh gazov po uprugim konstantam j j Izvestiya SamNTs RAN. T. 14. № 4. 2012. S. 116120.

6. Rusovic N., Warlimont H. The Elastic Behaviour of e2-NiAl Allaus j j Phys. Stat. Sol. 1977. vol. 44. iss. 2. P. 609-619.

7. Mostolle M., Nicklow R. M., Zehner D. M., Lui S.-C,. Mundenar J. M,. Plummer. E. W. Bulk and surface vibrational modes in NiAl j j Phys. Rev. B, 1989, volume 40, issue 5, pp. 2856-2872.

8. Gilat G., Dolling G.. Normal Vibrations of в Brass jj Phys. Rev., 1965, volume 138, issue 4A. P. A1053-A1065.

9. McManus G.M. Elastic Properties of в-CuZn jj Phys. Rev. 1963. vol. 129, iss. 5. P. 2004-2007.

10. Meyer B., Schott V., Fahnle M.. Phonon spectrum of B2-FeAl: Ab initio calculation and comparison with data from inelastic neutron scattering j j Phys. Rev. B 1998, volume 58, issue 22, pp.674-676.

11. Yifang Ouyang, XiaofengTong, ChangLi, HongmeiChen, XiaomaTao, Tilmann Hickel, YongDuc. Thermodynamic and physical properties of FeAl and Fe3Al: an atomistic study by EAM simulation // Physica B 407 (2012) P. 4530-4536.

Статья поступила в редакцию 10.04.2013