Динамическая модель и дисперсионные соотношения для бинарных кубических решеток типа CsCl Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1 ББК В 312

В. Е. Холодовский, А. А. Сидоров

г. Брянск, Россия

Динамическая модель и дисперсионные соотношения для бинарных кубических решеток типа CsCl

Получено уравнение динамики бинарных кристаллических решеток, имеющих структуру типа CsCl. При этом учитывались силы взаимодействия центрального и нецентрального характера между атомами, расположенными относительно друг друга на первой и второй координационных сферах. Рассчитана динамическая матрица и получены дисперсионные соотношения для основных направлений и поляризаций. В случае длинных волн было обнаружено согласование с аналогичными результатами теории упругости и найдены выражения для силовых коэффициентов динамической модели через упругие константы.

Ключевые слова: уравнение динамики, линейные операторы, собственные векторы, собственные числа, частота, направление поляризации, волновой вектор, дисперсионные соотношения, упругие константы.

V. Ye. Kholodovsky, A. A. Sidorov

Bryansk, Russia

A Dynamic Model and the Dispersion Relations for Binary Cubic Lattice of the CsCl Type

The equation of the dynamics of binary crystal lattices with the CsCl type structure is obtained in the article. At the same time the authors take into account the interaction forces of the central and noncentral character between atoms located relatively to each other on the first and second coordination spheres. The dynamic matrix is calculated and the dispersion relations for the basic directions and polarizations are obtained. In the case of the presence of long waves a complete agreement with the analogous relations of elasticity theory was found and expressions for the force constants of the dynamic model in terms of elastic constants are obtained..

Keywords: dynamic equation, linear operators, eigenvectors, eigenvalues, frequency, direction of polarization, wave vector, dispersion relations, elastic constants.

Настоящая работа продолжает исследования динамики кубических кристаллических решеток применительно к бинарным соединениям со структурой типа СвС1. Ранее, в работах [3-6] рассматривались моноатомные ОЦК и ГЦК решетки и были получены результаты, имеющие хорошее согласие с экспериментом. Было показано, что колебания атомов решеток указанного типа вызваны наличием близкодействующих Ван-дер-ваальсовских сил центрального и нецентрального характера. Дальнодействующие же кулоновские силы в адиабатическом приближении для каждого атома компенсируются силой реакции внутриатомного диполя на его излучение. В настоящей работе при составлении уравнения динамики также учитываются лишь близкодействующие силы, возникающие между атомами, расположенными друг относительно друга на первой и второй координационных сферах.

1. Уравнение динамики ОЦК решетки с базисом. Рассмотрим бинарную ОЦК кристаллическую решетку. Такая решетка может быть получена путем наложения двух простых кубических подрешеток, когда центры кубических ячеек первой подрешетки совмещаются с соответствующими узлами второй. Пусть каждая из подрешеток имеет форму куба, ребра которого содержат п атомов. Тогда N = п3 - число атомов в каждой из подрешеток.

152

© Холодовский В. Е., Сидоров А. А., 2011

Обозначим через а - параметр решетки, а через и ^2 массы атомов, образующих первую

и соответственно вторую подрешетки кристалла. Выберем в пространстве систему кристаллогра-

фических координат Ожуг с единичными направляющими векторами ех, еу , е2 координатных осей так, чтобы радиус-вектор каждого узла Р = Р-к первой подрешетки мог быть задан по формуле:

г^-д = а(івж + Іву + ке2). (1.1)

Тогда радиус-вектор каждого узла Р = Р2к второй подрешетки определится в виде

= а((і + 1/2)ех + (І + 1/2)еу + (к + 1/2)е2), (1-2)

где і,і, к = 1,..., п (т.е. і, і, к - некоторый набор чисел из {1,..., п}).

Пусть Л - множество всех числовых наборов (і, і, к), в которых і,і, к = 1,...,п. Для любого С = (і, і, к) Є Л обозначим через Д1 и А2 атомы первой и второй подрешеток, положения равновесий которых находятся в узлах р1 = РАк и Р| = РЯк соответственно. Обозначим, далее, через 340 и 52(0 - множества всех мультииндексов С' Є Л, нумерующих атомы, находящиеся на /-той координационной сфере атомов А^ и А^. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что для любого С = (і, і, к) Є Л справедливы равенства:

3і(С) = {(і - 1,1 - 1, к - 1), (і - 1,1 - 1, к), (і - 1 ,і, к - 1), (і - 1 ,і, к), (і,І - 1, к - 1),

(і,І - 1, к), (і,і, к - 1), (і, і, к)},

^(С) = {(і, І, к), (і, І + 1, к), (і, і, к + 1), (і, І + 1,к + 1), (і + 1, і, к),

(і + 1, і, к + 1), (і + 1, і + 1, к), (і + 1,і + 1, к + 1)},

3І(С) = 32(0 = {(і - 1,і, к), (і + 11,к), (і,і - 1,к), (і,і + 1,к), (і,І,к - 1), (і,і,к +1)}.

Для произвольного С' = (і7, і7, к7) Є 5І(С) обозначим через е^, единичный вектор, указывающий направление от узла Р^1 к узлу Р|,. Полагая є1і, = 2(і7 - і) + 1, єі^-, = 2(і' - І) + 1, єДк, = 2(к' - к) + 1, приходим к равенству

= ~^(еіїех + е}уеу + екк'еД (І-3)

Аналогично, если С' = (і7, і', к') Є 32(С), то обозначим через е2^, единичный вектор, указывающий направление от узла Р| кузлу Р^1,. Полагая є‘2і, = 2(і7—і) — 1, є2^, = 2(і' —і) — 1, е2кк, = 2(к'—к) — 1, получаем

е|5, = ^=(4'е* + 4їєу + 4к'еД (1-4)

В случае, когда С' = (і7, і', к') Є ЗКС) (или С' = (і7, і', к') Є 3|(С)) единичный вектор, указывающий направление от узла Р^1 к узлу Р1 (или от узла Р| к узлу Р|,) обозначим через є^^, . Полагая в этом случае єіі, = і7 — і, = і' — і, едд' = к' — к, приходим к равенству

е££' = єіі' ех + єзУ єу + екк' ег . (1.5)

Обозначим, наконец, через и^і) вектор смещения атома А1 из положения равновесия в момент времени і; аналогично определим вектор и2(і).

Пусть А - атом первой или второй подрешетки, а А , - какой-либо из соседей атома А . Обозначим (опуская пока верхние индексы) через е , - единичный вектор, указывающий направление от узла Р^ к узлу Р^,, а через = и, — и£ - вектор относительного перемещения атомов А^ и А^,. Пусть Г£и т££, - радиальная и тангенциальная составляющие вектора W£, вычисляемые по формулам: Г£ £, = , е^ } е^ £,, т £ £ , = W£ , где в скобках обозначено скалярное произведение

векторов W£и е^.

На атом А £ со стороны атома А £ / действует сила Р£ £ ', которую мы будем считать линейно зависящей от вектора '^£/ согласно формулам: Р££/ = стігГ££/ + ст^т^/ = (стіг — стк) (w££/, е££'} в££/ + сті£"^^££', если £ Є £і(£); Р££ = СТ2гГ££ = СТ2г ^££', в££/} в££/, если £' Є 52(£), где стіг, стіі, СТ2г - некоторые константы, определяемые свойствами кристалла. Ограничиваясь рассмотрением взаимодействий лишь между атомами, лежащими относительно друг друга на первой и второй координационных сферах, мы можем теперь записать уравнение движения атома А£. Обозначив через ц его массу, согласно второму закону Ньютона, после несложных преобразований приходим к уравнению

Mu£ — —CTüu£ +53 {(<Т1г — aii) (u5'’ e55') e55'+ CTitu£'} + CT2r (U'> e55')

« 'eSi(i) « 'eS2(i)

где сто = |(ст!Г + 2au) + 2ст2Г. Разделяя теперь атомы кристалла по подрешеткам, полученное уравнение можно записать в виде системы, описывающей колебания каждой подрешетки:

MiU1 — -CTüU1 + ^2 i(a1r - CT1i)(u2', e^')e1?'+ CTitU2'} + ^2 a2r (u1', e55')e55',

« 'esl(i) « 'esl(i)

М2ІІ2 = —стои| + ^2 {(стіг — СТіі)( , ЄІ£, )е|£, + СТі^,} + ^2 СТ2г (и|,, в££/)в££/. (1.6)

£'е«12(£) £'е«2(£)

Запишем систему (1.6) в проекции на ось Ох. Проекции на другие координатные оси могут быть получены перестановкой индексов. Вводя сокращенные обозначения сті = (стіг + 2сті4)/3, ст2 = (стіг — сті4)/3, приходим к системе:

4,ж = -a0u1_x + а1 '^2 ,x + a2 53 ,y + £kfc 'u|' ,z )+ a2r (ui-ljfc,x + )

« 'esi(i) « 'eSK«)

••2 _ 2 , V"' і і V"' 2/2 і ,2 і \ , /2 ,2 N

М2и5,ж = — ст0м£,Х + сті 2_^ ,х + ст2 2_^ еіі(е« 'М?' ,У + 'М?' ,2 )+ ст2г (иі-і^й,ж + мі+іій,ж ).

£'є«2(£) £'є«2(£)

(1.7)

Для проведения дальнейших исследований нам потребуется использовать векторнооператорную форму записи системы (1.7). С этой целью рассмотрим евклидово пространство , где, как и выше, N = п3. Векторы г Є будем представлять как наборы чисел г = (г£) = (г^), занумерованные посредством мультииндексов £ = (і, ^’, к) Є Л, с покоординатными операциями сложения, умножения на число и скалярного произведения. Тогда наборы (м^^), (м|Х) и др. можно рассматривать как вектор-функции иХ, иХ переменного і со значениями в . Для преобразования системы (1.7) к векторной форме в ее левых частях мы должны записать векторы ^-ійХ и ^2 иХ, тогда как правые части будут представлять собой некоторые линейные операции над векторами иХ, иХ, иуу, и^ и иХ, иХ, иуУ, и^ соответственно. Заметим, что последние слагаемые в системе (1.7) представляют одну и ту же линейную операцию над векторами иХ и иХ. Отсюда в векторнооператорной форме уравнения (1.7) примут вид

МійХ = —стоиХ + стіА^Х + ст2(ДХиУ + В^иХ) + ст 2г А^иХ,

^2йХ = —стоиХ + стіА2иХ + ст2(ВХиУ + В^иХ) + ст2г А ХиХ, (1.8)

где Аі>2, -В^’У 2, АХ,У,2 - некоторые линейные операторы в . Применяя круговую перестановку для нижних индексов, мы можем получить векторно-операторное представление системы (1.6) в проекциях на другие координатные оси. Полученную в результате систему из шести уравнений можно рассматривать как систему из двух дифференциальных уравнений в пространстве К3№,

где неизвестными являются вектор-функции и^ = (и матричные операторы, определяемые равенствами:

* и;

и;), V = 1, 2, а правые части содержат

I х

0 0

I

0 1) у 0 ), А

0 0 I * )

0 щ

в; = ( ¿V 0 В;

V В; В; 0

А

А; 0 0

0 А; 0 ) , (1.9)

0 0 А; /

V = 1, 2. (1.10)

Используя введенные обозначения, такую систему мы можем переписать в компактной форме:

= Ьи, (1-11)

и

-{-о0Е + ст2г£>) —{оіА1 + <т2.В ) ■¿(о-іА2 +сг2В2) ^{-а0Ё + а2гЪ)

М2

где Е - тождественный оператор в пространстве К3№.

Согласно общим принципам теории линейных дифференциальных уравнений, фундаментальную систему решений уравнения (1.11) образуют вектор-функции вида и(і) = у>(і)ш, где w - некоторый собственный вектор оператора Ь. Если собственное значение вектора w обозначить через — ш2, то, как нетрудно видеть, временной множитель у>(і) будет являться решением уравнения С+ш2с = 0 гармонического осциллятора. Найдя все собственные значения и соответствующие им собственные векторы оператора Ь, мы можем построить фундаментальную систему решений уравнения (1.11).

Таким образом, решение задачи о колебаниях решетки, в частности, о ее фононном спектре сводится к решению уравнения

■^(-(ТоЕ + <Т2гр) -^(а1А1^+а2В^

^(сгіі2+сг2В2) ^(-а0Ё + а2г3)

w

w

(1.12)

2. Построение общего решения уравнения динамики. Рассмотрим п-мерное евклидово пространство И”, и пусть (¿рр ') - матрица, представляющая тождественный оператор в И”. Обозначим через (¿рр,) и (¿рр,) матрицы, коэффициенты которых вычисляются по формулам:

*рр' = і*

*р-ір', Р = 2,..., п; р' = 1,...,п

р =1; р' = 1,..., п

*р+ір', Р =1,...,п — 1; р' = 1,...,п *ір', Р = п; р' = 1,...,п

Положим (Дрр ') = ^ , + ¿рр ,), (ДР+) = ^ , + ¿рр '), (ДР- ,) = ^ , - ¿рр '), (Др+) = (¿рр , +

¿рр '), (Дрр ') = (^¿рр ' — ¿рр ')- ”

Операция умножения определенных выше матриц на вектор V = («р ') € И”, р = 1,..., п приводит к равенствам:

(Др±')(«р') = («р-і ± ^р), (Др±)(^р') = («р+і ± ^р), (Дрр ')(^р') = (^р-і + ^р+і),

причем выполняются условия цикличности: «о = «п, «п+і = VI.

Обозначим через (ДІ+ )(Д]+ )(Д^+') и (Д|—)(Д!— )(Дк+) - линейные операторы в , действие которых на вектор г = (г^ ') Є сводится к последовательному умножению составляющих их матриц на данный вектор по соответствующему штрихованному индексу. Непосредственным вычислением нетрудно показать, что операторы А;, В;, Iх представляются в виде

А = (Д^+)(Д^+)(Дк+), ¿V = (ДГЛ(Д-7)(Дк+), V = 1, 2,

I х = (Діі ' )(% ' )(*кк '). (2.1)

2

2

2

w

w

2

*

Формулы, представляющие остальные операторы ВХу, , получаются из (2.1) путем переста-

новки индексов. Обозначим через 1 линейный оператор в пространстве , заданный по формуле

— = (¿”-г+1г' )(^”—3 + 1,3 ' )(^”—к+1к ' ) = (^¿гп—г' + 1)(^3” — 3' + 1)(^к”— к' + 1^

при этом оператор 1 совпадает со своим обратным. Нетрудно убедиться в справедливости следующих перестановочных соотношений

1А = А -, 1Вж,у,2 = Вж,у,2-, 1 = (2.2)

соответственно для х, у, и г. Из равенств (1.9), (1.10), (2.2) следует

127 = 771, В27 = Те1, о 7 = То, (2.3)

где

I - линейный оператор в пространстве R3N.

I 0 0

0 I 0

0 0 I

Полагая в уравнении (1.12) ■ 1 = г = /1г, ш2 = -в, А = А1!, В = В1!, с учетом (2.3) получим систему уравнений

(сто-7 — СТ2г Д )г — (СТ1_А + СТ2В)в = ^1^2г,

— (о^А + СТ2В)г + (сто-7 — СТ 2г Д ^ = ^2^, (2.4)

при этом компоненты операторов А и В имеют вид

A = A1I, Bx = B1I, By = B¿I, Bz = B]I. (2.5)

N

Обозначим через s^im и Chim векторы в пространстве Rn вида

sh1m = (sin(^h,i/ + ' + ^m,fc ' ))? ch1m = (cos(^h,i ' + ' + ^m,fc ' ))? (i , j , k ) Є

где h, l, k - некоторый набор целых чисел,

np(4q — 3)

^ = 2п •

Отсюда, действуя операторами (2.5) на векторы sh1m и ch1m, получим

Ash1m = 8chc1cmsh1m? Bxsh1m = 8c1s1smsh1mo D®sh1m = 2c2hsh1mo

Ach1m = 8chc1cmch1mo Bxch1m = 8chs1smch1m? D®ch1m = 2c2hch1mo (2*6)

где cp = eos ^, Sp = sin ^. Равенства для других операторов получаются путем перестановки индексов.

Полагая

r = (xish1mo x2sh1mo x3sh1m) = xsh1m, s = ysh1mo (2*7)

где x = (xi, X2, хз), y = (yi, у2, Уз) Є R3, и действуя операторами A, В, D на векторы (2.7), с учетом (2.6) приведем систему (2.4) к виду

(аж — ^iw2)xi + byi + bz У2 + by уз = 0, (ay — ^i^2)x2 + bz Уі + by2 + ЬхУз = 0,

(az — Mi^2)x3 + by yi + ЬхУ2 + Ьуз = 0, bxi + bz X2 + by хз + (аж — M2^2)yi = 0,

bz xi + bx2 + ЬхХз + (ay — M2W2)y2 = 0,

ЬуХ1 + 6жЖ2 + бжз + (а2 - ^ш2)уз = о, (2.8)

где

аж = ^0 - 2ст2гС2Ь = 8аі + 4<Г2г«ь, ау = 8^1 + 4ст2г«2, а2 = 8аі + 4ст2г«т,

Ь = 8^1СьСгСт, Ьх = -8°2сЛ,«г «то Ьу = -8ff2shcгsm, = —8^2«Ьвг ст. (2.9)

Очевидно, мы получим ту же самую систему, если положим г = хеьгт, § = уе^гт-

Полагая Л = ш2 и приравнивая определитель Д системы (2-8) к нулю, получим ее характери-

стическое уравнение:

Д = 0, (2.10)

где

Д ржрур£ + (йж — Ьжрж)?у2 + (йу — Ьуру )?2Ж + ( — )?Жу +

+ (сХ - Ь2ру)рх + (ср - Ь2р2)Ру + (с2 - Ь2рж)р2 - й2,

Рх(Л) = М1М2Л2 - (М1 + М2)ажЛ + а^ ?жу(Л) = 2М1М2Л2 - (М1 + М2)(аж + ау)Л + 2ахау,

аналогично определяются квадратные трехчлены ру(Л), (Л), ру2(Л), р2Х(Л),

й = Ь3 + 26жЬу- Ь(ЬХ + Ьр + Ь^), йж = ЬЬх - Ьу, сх = Ь2 - ьХ,

коэффициенты , су, с2 получаются из приведенных выше путем круговой перестановки ин-

дексов.

Решение характеристического уравнения (2.10) и системы (2.8) для всех допустимых значений коэффициентов (2.9), определяемых набором индексов Ыш, позволяет найти частоту ш каждого из возможных колебаний атомов кристалла и направления векторов х, у. При этом сами колебания каждой из подрешеток представляются как стоячие волны вида

И1(і) = х 8Іп(шІ + ^Ыт, и2(і) = у 8Іп(шІ + ^Ыт

или вида

и1(і) = х 8Іп(ші + ^)еЫт, и2(і) = у 8Іп(шІ + ^)еЫт,

а векторы х, у указывают направление поляризации при колебаниях первой и второй подрешеток соответственно.

3. Дисперсионные соотношения и принцип длинных волн. Как уже говорилось выше, одна колебательная мода кристалла представляет собой наложение четырех стоячих волн, имеющих одну и ту же частоту и направление векторов поляризации. Оказывается, что она является также наложением четырех колебаний представляющих бегущие волны вида:

и!(і) = х 8Іп(Кг1 ± ші), и|(і) = у 8Іп(Кг| ± ші),

и^і) = х С08(Кг^ ± ші), и|(і) = у С08(Кг| ± ші),

где £ = (г,^, к) Є Л, г1, г| - векторы, определяемые формулами (1.1), (1.2), К - волновой вектор, который в условиях цикличности границ Борна-Кармана [1] должен иметь вид

2п

К = —(1гех + 1еу + тег), Ь,к,1 = 0,..., п — 1. (3-1)

па

Будем искать решение системы (2.8) в случае, когда направление волнового вектора совпадает с одним из основных кристаллографических направлений. К таким направлениям относятся: направление {100}:

2пЛ. 2пЛ. пЛ. Ка

К = —ех, 1 = т = 0, К=|К| = —, — = —; (3.2)

п

направление {110}:

2тгЬ, „ , , 2пЬ\/2 7тН Ка , .

К =-------(еж+е„), ¡1 = 1, то = 0, К =------, — = —т=; (3-3)

па па п 2 2

направление {111}:

2nh 27t/ia/3 7г h Ka

К =-------(еж + е„ + ez), h = l = m, К =---------------, — = —

na na n 2V3

Рассмотрим направление {100}. Из формул (2.9) с учетом (3.2) следуют равенства

(3.4)

Ka

Ka

ax = 8(71 + 4<Т2г sin ----------------, ay = az = 8<ті, b = 8<ji cos-,

2

2

- 0.

В этом случае система (2.8) распадается на три независимые подсистемы, первая из которых описывает продольные, а две остальные - поперечные колебания. При этом вторая и третья подсистемы совпадают. Для вычисления соответствующих частот, решая характеристические уравнения подсистем, получаем

2 _ ах(М1 + М2)

2міМ2 2 _ ау(М1 + М2)

j -- -------------

2^іМ2

1± W1 -

4y»iy»2(a2 ~ b2) (Ml +М2 )2а2

1± W1 -

4/хі/х2(а2 - Ь2) (мі + m)2al

(3.5)

(3.6)

Равенства (3.5) и (3.6) представляют собой дисперсионные соотношения для акустической (в скобках берется знак «минус») и оптической колебательных мод, имеющих соответственно продольную и поперечную поляризации.

Для направления {110} справедливы равенства:

8<гі + 4a2r sin2

Ka

2лД’

b = 8<г 1 cos2

Ka

2лД’

bx = by = 0, bz = — 8a2 sin2

Ka

2y/2

В этом случае система (2.8) распадается на три подсистемы для одной продольной и двух поперечных поляризаций.

В случае поперечных волн, поляризованных вдоль оси Ог, справедливы равенства: х — х — У1 — У2 — 0, а дисперсионное соотношение имеет вид

2 az (M1 + М2)

Ш = ---------------

2^іМ2

11

4^1/12(а2 ~ Ъ2)

(Mi +Мг)2а2

(3.7)

В случае продольных колебаний, решение характеристического уравнения получающейся системы дается формулой

2 _ ax(Ml + М2)

C<J — -----------------

2^іМ2

11

4<ці<ц2[а2 ~ (Ь + М2]

(Мі +Мг)2а2

(3.8)

Для поперечных колебаний, поляризованных перпендикулярно оси Ог, решение характеристического уравнения выражается в виде

2 _ аж(М 1 + М2) 2міМ2

11

4міМ2[«2 ~ (Ь ~ М2]

(Мі +Мг)2а2

(3.9)

Пусть теперь волновой вектор имеет направление {111}. Тогда справедливы равенства:

ax = ay = az = 8ai + 4a2r sin

Ka

2л/з’

bx = by = bz = —8^2 cos

b = 8<r1 cos3

Ka

Ka

2a/3’

Ka

2л/3 2л/3

az = 8a

a = a

1

x

У

2

Если колебательная мода имеет продольную поляризацию, то хх = Х2 = хз, ух = у2 = Уз, а решение уравнения (2.10) дается формулой

=

вж(м і + М2) 2міМ2

^(1-

4^1/12 [а2 - (6 + 26ж)2]

(Mi +Мг)2а2

(3.10)

В случае поперечной поляризации должны выполняться равенства xi +Ж2+Х3 = 0, yi+y2+Уз =

0, означающие, что векторы x, у ортогональны направлению {111}. Тогда решение уравнения (2.10) выражается формулой

вж(м і + М2) 2міМ2

11

4<ui<u2[a2 - (Ь - Ьж)2] (Mi +М2)2«2

(3.11)

Рассматривая соотношения (3.5)—(3.11) для акустических мод в случае длинных волн, когда справедливо неравенство Ка << 1, и сравнивая получающиеся уравнения с соответствующими дисперсионными соотношениями из теории упругости [2], получим семь уравнений, связывающих постоянные <7х, <72, ст2г с упругими константами. Оказалось, что эти уравнения не противоречат друг другу. Следовательно, построенная динамическая модель согласуется с выводами теории упругости. Выражая ее силовые коэффициенты через упругие константы , приходим к равенствам

*1 = 2^44,

02 — + С.44),

2

Список литературы

1. Борн М., Хуан К. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: Иностр. литература, 1958. 488 с.

2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.

3. Холодовский В. Е., Мачихина И. О., Кульченков Е. А. Дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь-дипольных взаимодействий // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». 2009. Вып. 12. №10(143). С. 92-99.

4. Холодовский В. Е., Мачихина И. О., Кульченков Е.А. Принцип длинных волн и дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь-дипольных взаимодействий // Известия СамНЦ РАН. Серия «Физика и электроника». 2009. Том 11. №5(31). С. 49-55.

5. Холодовский В. Е. Мачихина И. О. Принцип длинных волн и фононные спектры кубических кристаллических решеток // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». 2009. Вып.1. №22. С. 109-116.

6. Холодовский В. Е., Мачихина И. О., Кульченков Е. А. Расчет теплоемкости и среднеквадратичных смещений по фононным спектрам для кристаллов с ОЦК и ГЦК решеткой // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». 2010. Вып.2. №9. С. 101-109.

Рукопись поступила в редакцию 14 апреля 2011 г.