CC BY
26
ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
СУПЕРПОЗИЦИЯМИ ДВУМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
Воронцов Олег Викторович
канд. техн. наук, зав. кафедрой начертательной геометрии и графики, доцент Полтавского национального технического университета имени Юрия
Кондратюка, Украина, г. Полтава E-mail: uaag.poltava2012@gmail. com Тулупова Лариса Александровна канд. физ.-мат. наук, доцент Полтавского национального технического университета имени Юрия Кондратюка, Украина, г. Полтава
E-mail: uaag.poltava2012@gmail. com
DISCRETE MODELING OF CURVED SURFACES BY SUPERPOSITIONS
OF TWO-DIMENSIONAL POINT SETS
Oleg Vorontsov
PhD, Associate Professor, Poltava National Technical Yuri Kondratyuk University,
Ukraine, Poltava Larisa Tulupova
PhD, Associate Professor, Poltava National Technical Yuri Kondratyuk University,
Ukraine, Poltava
АННОТАЦИЯ
В работе исследованы аспекты дискретного определения кривых поверхностей на основе геометрического аппарата суперпозиций точечных множеств.
ABSTRACT
In the article some aspects of the discrete determination of curved surfaces were investigated, using geometrical superposition of point sets.
Ключевые слова: прикладная геометрия; дискретное геометрическое моделирование; метод конечных разностей; статико-геометрический метод; математический аппарат числовых последовательностей; геометрический аппарат суперпозиций.
Keywords: applied geometry; discrete geometric modeling; finite difference method; static-geometric method; mathematical apparatus of numerical sequences; geometrical apparatus of superpositions.
Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |
Постановка проблемы. В процессе создания проектных поверхностей сложных технических объектов, важно обеспечить управление формой дискретных моделей поверхностей, возможность оперативного изменения хода расчетов моделируемой поверхности без использования трудоемких операций.
При геометрическом моделировании исходными данными, как правило, выступают геометрические характеристики и условия, чаще всего представленные в числовой форме, массивы которых могут быть достаточно большими. В этих условиях методы глобального непрерывного моделирования часто оказываются неэффективными, потому что обычно требуют использования достаточно сложных математических алгоритмов и не могут обеспечить необходимую адекватность модели. Отмеченных недостатков лишены методы дискретного геометрического моделирования.
Анализ последних исследований. Классический метод конечных разностей, статико-геометрический метод, математический аппарат числовых последовательностей [6; 7; 8] имеют свои преимущества и недостатки относительно решения конкретных практических задач. Поэтому их исследование, обогащение новыми эффективными алгоритмами, изучение возможности их компиляции, а на этой основе расширения множества исходных данных является актуальными. Также актуальным является последующее развитие и совершенствование вышеназванных методов в целом.
Применение геометрического аппарата суперпозиций [5] в сочетании с вышеперечисленными методами позволяет существенно повысить эффективность и расширить возможности процесса дискретного моделирования непрерывных геометрических образов.
Вопросы применения геометрического аппарата суперпозиций для дискретного моделирования одномерных геометрических образов исследованы в работах [1; 2; 3; 4] автора данной статьи.
Постановка задания работы заключается в проведении исследований метода определения дискретных образов кривых поверхностей с
использованием геометрического аппарата суперпозиции двумерных точечных множеств.
Изложение основного материала исследования. В вышеперечисленных известных методах дискретного геометрического моделирования координаты узлов моделируемых дискретных аналогов кривых линии и поверхностеи определяются по известным координатам смежных узлов. Дискретно представленные линии и поверхности задаются координатами узлов с равномерным шагом по осям.
Данные алгоритмы могут быть значительно эффективнее за счет экономии вычислительных ресурсов при формировании дискретно представленных образов узлами с произвольными шагами вдоль осеи по данным координатам произвольных узлов. Геометрический аппарат суперпозиций позволяет реализовать такие алгоритмы.
В прикладной геометрии понятие «суперпозиции», как правило ассоциируется с операцией сложения функций, помноженных на весовые коэффициенты.
Суперпозиция соответственных точек п множеств в т-пространстве в декартовой системе координат определяется системой уравнений (1) [4]:
и=к1м1+к1м1„ + ... + к1 .и . + ... + к, и,
1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,] 1,] 1,п 1,п
м = к. и. +к. м. ^ + + м. . + ... + к. и.
I 1,1 1,1 1,2 1,2 I,] I,] 1,п 1,п
и =к и +к и „ + ... + к м . + ... + к и
т т,1 т,1 т,2 т,2 т,] т,] т,п т,п (1)
где: I — номер координатной оси;
у — номер исходного множества суперпозиции; ку — коэффициент суперпозиции.
Пусть
Х0=(х\0>, х<2">, х<?,..., х<°>) X =<х?' х?>х<1>'-' хп'>
Х=(х<?>,х<?>,х<?>,...,х<2>) X = (х™, х<">, х<">,..., х(п))
2 к 1 2 3 п .. , п к 1 2 3 п ' точки п-
мерного пространства Яп.
Будем рассматривать точку Х0 как суперпозицию точек Х1, Х2, Х3Хп :
Хп=к1Х1+к„Х,+к,Х,+ -+к X , ч
О 1 1 2 2 3 3 п п , (2)
к 1 - к, - к„ -...-к ,
где п 12 п-1.
Коэффициенты к1, к2, кп.1 можно найти решив систему линейных алгебраических уравнений [2]:
х[0) = к1х<11) + к2х<2 + к3х(3) +... + кпхп х(0)=кх(1)+кх(2) + кх(?) + ... + к х(п)
2 1 2 2 2 3 2 п 2
х{0)=кх(1) + кх{2) + кх<?) + ... + к х(п)
3 1 3 2 3 3 3 п 3
х(0\ = кх(1\ + кх(2\ + кх(3\ +... + к х(п\
п-1 1 п-1 2 п-1 3 п-1 п п-1
(3)
Дискретно определить представленную на рисунке 1 кривую можно, используя следующее свойство:
Свойство 1. Координаты любой точки одномерного множества точек являются суперпозицией (4) координат трех произвольных точек данного множества.
х =к х +к х +(1-к -к )х
О 11 2 2х 1 2' 3
У0 = к1У1+к2У2+(1-к1-к2)У3
(4)
<
) /
А1 о Аз
\ и 7 /
\ Д /
А Л и / ! лп
Н ч / ни
4 Аг
J
/ X
1 * ? ? /
Рисунок 1. Дискретно представленная кривая
у = х2 + 4
Докажем это свойство. Как известно каждый вектор (точку) двумерного пространства можно представить как линейную комбинацию двух других линейно независимых векторов этого пространства (определитель составленный из их координат не должен равняться нулю).
Поэтому, если на произвольной линии У = выберем четыре точки А0, Ль Л2, А3 и запишем равенство
А = к А + к А +(1-к -к )А
0 11 2 2 { 1 2' 3
(5)
Или в координатной форме
\
А0 =
х
0
К У0 У
= к.
х
К у1 У
+к
2
х
К У У
+(1-к1-к2)
х
К Уз у
(6)
Или:
^ х0-х3^
V
Уо-Уз
= к.
у
^х1-х3^
V УгУз ,
+ к.
х -х
VУ2-Узу
х ^х0-х3, У0 - у3; „ „
То это и есть представление вектора 0 3 0 3 в виде линеинои
(х1-х3, у1-У3К(х2-х3, у2-У3>
комбинации векторов 1 1 1 3 и 2 3 2 3
х -х х -х
х1 х3 х2 х3
Если определитель
, то коэффициенты к и к2 можно
У1~У3 У2~У3
найти как решение системы (7) . Это решение существует и является единственным.
Значит координаты произвольной точки А0 на кривой у = Ах) можно представить в виде (5) (при указанных выше условиях. Если определитель
всегда
А =
х -х х -х
х1 х3 х2 х3
У1-У3 У2-У3
= 0
х1-х3 = у1-у3
т. е. (х1-х3)(У2-У3)-(х2-х3)(У1-У3)— 0 , т. е. х2 -х3 У2-У3 .
Это означает, что А = 0, если точки Аь А2 и А3 лежат на одной прямой. Значит задачу представления точки А0 в виде (5) можно решить и при этом единственным способом тогда и только тогда, если точки Аь А2, А3 не лежат на одной прямой.
Запишем систему (4) в виде:
х
0-х3 = к1(х1-х3) + к2(х2-х3>
Уо-У3 = к1(У1-Уз)+к2(У2-Уз)
где: х0, XI, х2, х3, х4, — известные числовые параметры,
к1, к2 — неизвестные.
Решив систему (8), найдем выражения для вычисления коэффициентов суперпозиции кь, к2 [1]:
к = (хп - хз ) (У2 - Уз )-(х2 - хз ) (Уп - Уз );
1 (х1-хз) (У2-Уз)- (х2-хз)(Уг Уз) к =(х1- хз) (Уп - Уз )-(хп - хз) (Уг Уз ) .
2 (х1-хз) (У2-Уз)- (х2-хз)(У1-Уз)
(9)
Результаты вычисленных коэффициентов суперпозиции заданных точек
ь2
Аь, А2, А3 для определения координат неизвестных точек А0 и А0 кривой с равномерным шагом к=1 вдоль оси Ох, представленной на рисунке 1 приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Аь Ао1 А2 А02 Аз
Хо -2 -1 0 1 2
Уо 8 5 4 5 8
кь 0,375 -0,125
к2 0,75 0,75
к3=1- кь- к2 -0,125 0,375
Свойство 2. Координаты любой точки двумерного множества точек являются суперпозицией (10) координат четырех произвольных точек данного множества.
х =к х +к х +к х +(1-к -к -к )х
П 1 1 2 2 3 3х 1 2 3' 4
Уп = к1У1 + к2У2 + кзУз + (1-к1-к2- к3)У4
2П = к111+к212+к313 + (1-к1-к2-к3)14 (10)
Проверим верность данного утверждения. Пусть теперь точки Аъ(х1, уъ, ц),
А2(х2, у2,12), А3(х3, у3, 1з), А4(х4, у4, г4), лежат на поверхности ^ = АХ'у) (рис. 2). Тогда произвольную точку А0(х0, у0, 1о,), можно представить в виде:
А =к А +к А +к А +(1-к -к -к )А
0 1 1 2 2 3 3 { 1 2 3' 4
(11)
Рисунок 2. Дискретно представленная поверхность
z = x2 + y2
Чтобы найти коэффициенты къ, к2, к3 нужно решить систему (10) или:
Х0-Х4=к1(Х1-Х4) + к2(Х2-Х4) + к3(Х3-Х4) у0-у4=к1 (у1 -у4)+к2(у2-у4)+к3 (у3 - у4 )
Ь-^=к1(Ч-^) + к2(Ь-^) + к3^3-^ (12)
<
В результате решения системы (12) найдем выражения для вычисления коэффициентов суперпозиции къ, к2, к3:
к (х0 - х4 ) (У2 - У4)(*з - *4 )-(х0 - х4 ) (Уз - У4 )(*2 - *4 )-
1 (хг х4) (У2- У4)(гз- *4)-(х1- Х4) (Уз- У4)(*2- *4)-
-(х2 - х4 ) (УП - У.)(гз - *4 )+(х2 - х4 ) (Уз - У. )(*о - *4 )+
-(х2 - х4) (У1- У4)(*з- *4)+(х2- х4 ) (Уз - У 4 ) (*1-
+(хз- х4) (Уо- ■ У4)(*2- ■ *4)-(хз- х4 ) (У2 - У4)(*0- *4)
+(хз- х4) (Уг ■ У4)(*2- - *4)-(хз- х4 ) (У2 - У 4 ) (*1- *4)
_(х1- х4) (Уо~ У 4 )(*з' ■ *4)-(х1- х4) (Уз- ■ У4)(*0- *4)-
к2 =
(х1-х4) (У2-У4)(*з-*4)-(х1-х4) (Уз-У4)(*2-*4)--(х0 - х4) (У1-У4 )(*з - *4 )+(х0 - х4 ) (Уз - У4)(*1- *4) + -(х2 - х4 ) (У1- У4 )(*з - *4 )+(х2- х4 ) (Уз - У4 )(*1- *4 )+
+(хз - х4) (У1- У4)(г0- *4)-(хз- х4) (У0- У4)(*1- *4)
+(хз - х4) (У1- У4)(*2- *4 )-(хз - х4) (У2- У4)(*1- *4) ; (13)
к (х1 - х4 ) (У2 - У4)(*П - *4 )-(х1- х4 ) (Ув - У4 )(*2- *4 )-з (х1-х4) (У2-У4)(*з-*4)-(х1-х4) (Уз-У4)(*2-*4)--(х2 - х4) (У1-У4)(*П-*4)+(х2-х4) (УП-У4)(*1-*4) + -(х2 - х4) (У1- У4)(*з- *4 )+(х2- х4) (Уз - У4)(*1- *4 )+ +(хП- х4) (У1-У4)(*2-*4)-(х0-х4) (У2-У4)(*1-*4)
+(хз-х4) (У1-У4)(*2-*4)-(хз-х4) (У2-У4)(*1-*4)
Таблица 2.
х=-2 х=-1 х=0 х=1 х=2
У=2 8 5 4 5 8
у=1 5 2 1 2 5
У II О 4 1 0 1 4
|| 5 2 1 2 5
У II 2 8 5 4 5 8
Проверим верность выведенных выражений на конкретном примере. В таблице 2 приведены значения координат точек дискретно представленной на
7 = х2 + V2
рисунке 2 поверхности .
Вычислим значения коэффициентов суперпозиции трех заданных точек опорного контура А1(2, 0, 4), А2(0, 2, 4), А3(-2, 0, 4) и центрального узла А4(0, 0, 0) для определения координат точки А0(1, 0, 1).
1-0 = к (2-0) +к (0-0)+к (-2-0)
12 3
0-0 = к (0-0)+к (2-0)+к (0-0)
12 3
1-0 = к1(4-0)+к2(4-0)+кз(4-0)
Решение системы (14) дает значения коэффициентов суперпозиции: к1 = 0,375, к2 = 0, к3 =-0,125 .
Для определения координат точки А0(1, 1, 2) коэффициенты суперпозиции будут иметь значения: к = 0,25, к2 = 0,5, к3 =-0,25 .
Выводы. Для дискретного моделирования поверхностей может быть применен геометрический аппарат суперпозиций двумерных точечных множеств, позволяющий определять координаты произвольных узлов дискретного образа поверхности по произвольным исходным данным.
Варьирование значениями коэффициентов суперпозиции позволит управлять формой моделируемой поверхности.
Список литературы:
1. Воронцов О.В., Радченко Г.О. Дискретне визначення кривих на основi рiзних методiв геометричного моделювання / О.В. Воронцов, Г.О. Радченко // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. К.: КНУБА, — 2011. — Вип. 88. — С. 116—120.
2. Воронцов О.В., Радченко Г.О. Дискретне моделювання кривих лшш на основi геометричного апарату суперпозицш / О.В. Воронцов,
Г.О. Радченко // Прикладна геометрiя та шженерна графiка. К.: КНУБА, — 2012. — Вип. 89. — С. 116—120.
3. Воронцов О.В., Тулупова Л.О. Определение дискретных аналогов классов элементарных функций суперпозициями одномерных точечных множеств / О.В. Воронцов, Л.О. Тулупова // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. 2014. № 3(4). [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http: // 7universum.com/ru/tech/archive/item/1135
4. Воронцов О.В., Усенко В.Г. Применение геометрического аппарата суперпозиций в дискретном моделировании объектов строительства и машиностроения / О.В. Воронцов, В.Г. Усенко // Сборник статей по материалам XXVIII международной научно-практической конференции «Технические науки — от теории к практике». Новосибирск. — 2013. — № 11(24). — С. 14—27.
5. Ковалев С.Н. Формирование дискретных моделей поверхностей пространственных архитектурных конструкций: Дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / С.Н. Ковалев. М., 1986 — 348 с.
6. Ковалев С.Н. О суперпозициях / С.Н. Ковалев // Прикладна геометрiя та шженерна графка. К.: КНУБА, — 2010. — Вип. 84. — С. 38-42.
7. Ковальов С.М., Гумен М.С., Пустюльга С.1., Михайленко В.С., Бурчак 1.Н. Прикладна геометрiя та шженерна графжа. Спещальш роздши. Випуск 1. Луцьк.: Редакцшно-видавничий вщдш ЛДТУ, 2006. — С. 118—176.
8. Пустюльга, С.1. Дискретне визначення геометричних об'еклв числовими послщовностями: Дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01 / С.1. Пустюльга. К., 2006. — 322 с.
