Определение дискретных аналогов классов элементарных функций суперпозициями одномерных точечных множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Am 7universum.com

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ КЛАССОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ СУПЕРПОЗИЦИЯМИ ОДНОМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ

Воронцов Олег Викторович

канд. техн. наук, зав. кафедрой начертательной геометрии и графики, доцент Полтавского национального технического университета имени Юрия Кондратюка, Украина, г. Полтава Е-mail: uaag.pollava2012@gmail. com

Тулупова Лариса Александровна

канд. физ.-мат. наук, доцент Полтавского национального технического университета имени Юрия Кондратюка, Украина, г. Полтава

Е-mail: uaas.poltava2012@gmail.com

DISCRETE ANALOGUES OF ELEMENTARY FUNCTIONS’ CLASSES DETERMINATION BY SUPERPOSITIONS OF ONE-DIMENSIONAL POINT SETS

Vorontsov Oleg

Candidate of engineering sciences, associate professor, head of the Department of Descriptive Geometry and Graphics, Poltava National Technical Yuri Kondratyuk University, Ukraine, Poltava

Tulupova Larisa

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Poltava National Technical Yuri Kondratyuk University, Ukraine, Poltava

АННОТАЦИЯ

В данной работе продолжено исследование определения дискретных аналогов аналитических зависимостей с использованием геометрического аппарата суперпозиций. Исследованы степенные, показательные, логарифмические функции. Обобщены результаты предыдущих исследований.

Воронцов О.В., Тулупова Л.А. Определение дискретных аналогов классов элементарных функций суперпозициями одномерных точечных множеств // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2014. № 3 (4) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/1135

ABSTRACT

The research on the determination of discrete analogues of analytical dependencies by means of geometrical superposition set has been continued in this article. Power, exponential and logarithmic functions have been studied. Results of the previous research have been summed up.

Ключевые слова: прикладная геометрия, дискретное геометрическое моделирование, математический аппарат числовых последовательностей, геометрический аппарат суперпозиций.

Keywords: applied geometry, discrete geometric modeling, body

of mathematics of numerical sequences, geometrical superposition set.

Постановка проблемы. Наиболее перспективным направлением развития прикладной геометрии в современный период является дискретное геометрическое моделирование. Преимущества дискретного представления геометрических образов перед представлением непрерывным во многих случаях являются несомненными не зависимо от того, что большинство созданных методик моделирования получено для непрерывных форм входных данных. Поэтому реализация процесса дискретного геометрического моделирования предусматривает, в частности, разработку эффективных алгоритмов перехода от дискретно представленного образа к его непрерывному аналогу и наоборот. Привлечение математического аппарата числовых последовательностей позволяет простыми методами выполнять такие переходы. Исследование рекуррентных формул числовых последовательностей как дискретных аналогов непрерывных функциональных зависимостей с точки зрения их приложения в формировании геометрических образов является актуальным.

Применение геометрического аппарата суперпозиций открывает новые возможности представления непрерывных форм геометрических образов в дискретном виде.

Анализ последних исследований. Вопросы исследования методики дискретного моделирования аналитических зависимостей с использованием геометрического аппарата суперпозиций на примерах полиномов разных степеней, дробно-линейных функций общего вида рассмотрены в статьях автора данной работы [1; 2; 3]. Выведены формулы для определения координат произвольных точек дискретных аналогов вышеназванных зависимостей как суперпозиций двух произвольных точек и начала системы координат.

Данные исследования являются актуальными для всех классов элементарных функций, поскольку данная методика позволяет решать задачи моделирования геометрических образов дискретными аналогами подобных функций без составления и решения громоздких систем линейных уравнений.

Постановка задания. Цель данной работы заключается в проведении исследований методики дискретного моделирования числовыми последовательностями степенных, показательных, логарифмических функций и обобщении предыдущих результатов с использованием геометрического аппарата суперпозиций одномерных точечных множеств.

Изложение основного содержания исследования.

Функции y = cx , y = cx2, у = С — отдельные виды степенной

функции (n=l, n=2, n= -Г), вопросы определения дискретных аналогов которой частично исследованы в работе [1]. При целом n будет рациональная функция.

При n дробном (—) будем иметь радикал: у = \/xp .

Числовая последовательность показательной функции y = cx , где c —

положительное число (отличное от единицы), имеет вид а. = С1. Освобождаясь

от дискретного параметра i, можно получить для смежных узлов данной числовой последовательности разные рекуррентные формулы [1]:

a. = cl

^a., = ca.

— „ir i+1 i

a., =clc

i+i

a., =ca.

i+i i

=^a.

-ai+i

2

a.,,i=ca.,1

i+2 i+i

i+2

a

a., =ca.

i+i i

a =ca

i+3 i+2

3

a_,Ta.,. a.*

=^a7 = 1+1 i+2 , или: a., = l+i ; i+3 a. i+3 a 2

a.,-ca. 2n

i+i i a. a.

=>a.^ = i+1 '+2 ;

a.,=ca i+4 a2

i+4 i+3 i

a.,. = ca.,1

i+2 i+i

=^a

a

— i+ i i+2

2

a = ca

i+4 i+3

i+4

a.a.,,

i i+i

a = ai+iai+2 -

ai+3 „ a.,/a.,3 a.,.

ai =>a.. „—l+l J+2 , а также: a.. ,—L±2

2

i+4

a

2

i+4 a.

a-.j=ca.,3

i+4 i+3

i

<

i

<

i

i

at

Y

Координаты произвольных точек (несмежных узлов) последовательности а. = Ci (рис. 1) могут быть определены как суперпозиции координат начала

системы координат и двух произвольных точек данной последовательности [1; 2; 3].

Найдем такие числа к1, к2 , к3 , чтобы:

' к30+k](i + p]) +k2(i + p2) = i + p

< k30+k]c+Pl +k2c+P2 =а.+р ; (1)

kl+k2+k3=1

к =

(i+p)ai+p -(i+P2)ai+p

1 У

(i+Pi)ai+p2 -(i+P2)ai+p1 _ 0+р,)с11+11-0+р)с11+11:

(i+p1)ai+p2 -(i+p2)ai+pi

Тогда:

a

_ (i+p)ai+Pj -(i+p2 )ai+p >+P (i+pi)ai+p2-(i+p2>ai+pI

(i+pi)ai+p-(i+p)ai+p

(i+Pl)ai+p2-(i+P2)ai+pI

_ (i+p)-(i+p2 )a(i+p_i+pj

(i+Pi)-(i+P2)ac,+pl-i+p2) (i+P)-(i+PI)a<i+p.i+Pi)

a+

l+P1

a., =

i+p7

a+

i+p1

a

(i+P2 )-(i+Pi )a(i+p2 _i+pi) i+P2

Или при условии i+p = p; i + Pj= p1; i+p2= P2 :

P-P2ap-p

P-Plap-Pl

a =-----------a +--------------a

p p p

Pl-P2aprp2 ^ P2-Plap2~p1

Например, для последовательности a.=3i , приp=3,pi=1,p2=4

a3=kiai+k2a4

1

к =

3-4x3 _45 , 3-32 6

1

1-4x

1 23 27

k2 =

4-27 23

a3=33 =27 ; a4=3 ; a4=34 =81 ;

(2)

(3)

(4)

(5)

a =a = 1; a =a = 1; a =a.=9; a =a=27.

p-p2 -1 3 p1-p2 -3 27 p-p1 2 p2-p4 3

27 = 45 «3+^ «81 = 45^3+6^S1 = 6x21 = 27

23 23 23 23

Логарифмическая функция y = log x, где с, как и в предыдущем случае, —

положительное число (отличное от единицы), x принимает только положительные значения, является обратной показательной. Ее график выходит из графика показательной функции (с тем же основанием) сгибанием чертежа по биссектрисе первого координатного угла. Значит, полученные формулы числовых последовательностей показательной функции могут быть использованы в дискретном геометрическом моделировании как дискретные аналоги и логарифмических функций.

Дискретными аналогами класса алгебраических функций будут следующие.

Целой рациональной функции:

a

i

= bin+ bi о 1

•n-1

+ ••• + bn-1i + bn

Дробной рациональной функции:

b0in + bjin 1 +... + bn_ji + bn

* t

i *m i m-1 I. *i

c0l +c1l +- + cm-1l+cm

Иррациональной функции:

a = f(i) , когда в правой части данной замкнутой числовой i

последовательности выполняются операции сложения, вычитания, умножения,

деления, возведения в степень с рациональными нецелыми показателями.

Для общего вида алгебраической функции — любая числовая

последовательность a = f(i), удовлетворяющая уравнению вида:

i

P0(i)a.n+PI(i)a.n-1+...+Pn(i) = 0 , где: P0(i), P1(i),..., Pn(i) — некоторые многочлены от i.

Таким образом, применение выведенных в работах [1; 2; 3] формул вычисления коэффициентов суперпозиции одномерных точечных множеств позволит определять аналитические выражения дискретных аналогов алгебраических функций за счет предложенной методики определения произвольных точек дискретных аналогов вышеназванных многочленов P№(i), PI(i),... , Pn(i) на основе суперпозиций одномерных точечных множеств.

Также, кроме выше перечисленных подходов к дискретному моделированию одномерными числовыми последовательностями с применением геометрического аппарата суперпозиций, можно применить следующий.

Например, для дискретного аналога дробно-линейной функции а. =1

i i

можно упростить формулу расчета коэффициентов суперпозиции по сравнению с приведенными в работе [1] . Поскольку координаты произвольной точки последовательности первого порядка а. — + m i , которая является

дискретным аналогом полинома первой степени y — mo + m X , могут быть определены по формуле а. —к а. + к а. ,

i + p 1 i + РI 2 i + p 2

где

1

ai+p

— к,

Р2-Р1 1

ai+Pt

к

кррррр

Pp-Pi

1

ai+P,

то

соответственно

а. —

i

1

i

111

Для последовательности а.—i2 : а. 2—км. 2+км. 2 ;

^ i i+p 1 i+p 2 i+p2

111

для последовательности а.—in : а п—ка. п+км. n.

i i+p 1 i+pj 2 i+p 2

Выводы. В данной работе получены аналитические выражения для определения дискретных аналогов степенных, показательных, логарифмических функций с использованием геометрического аппарата

суперпозиций одномерных точечных множеств и обобщены предыдущие исследования. Данные результаты могут быть использованы для дискретного моделирования геометрических образов числовыми последовательностями вышеперечисленных аналитических зависимостей без составления и решения систем линейных уравнений.

Список литературы:

1. Воронцов О.В. Визначення дискретного аналогу дробово-лшшно! функцп суперпозищями одновимiрних точкових множин / О.В. Воронцов // Прикладна геометрiя та шженерна графка. — К.: КНУБА, 2013. — Вып. 91. — С. 64—68.

2. Воронцов О.В. Визначення дискретного аналогу полшома n-го степеня

суперпозищями точок числово! послщовност n-го порядку /

О.В. Воронцов // Прикладна геометрiя та шженерна графка. — К.: КНУБА, 2012. — Вып. 90. — С. 63—67.

3. Воронцов О.В., Махшько Н.О. Дискретна штерполяцш суперпозищями точок числових послщовностей дробово-лшшних функцш / О.В. Воронцов, Н.О. Махшько // Прикладна геометрiя та iнженерна графка. / Працi ТДАТА. Вып. 4. — Т. 57 — Мелггополь: ТДАТА, 2013. — С. 62—67.