CC BY
14ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ КРИВЫХ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
Валерий Ли
Южный федеральный университет, д-р техн. наук, профессор кафедры Инженерной графики и компьютерного дизайна,
Таганрог, Фрунзе 55, кв.61,
Е-шаД: igkd@egf.sfedu.ru
Аннотация: Статья посвящена исследованию вопроса дискретизации монотонных кривых. Предлагается на базе традиционной теории дискретизации, обеспечивающей рациональность результата, сформулировать понятие оптимальности точечного каркаса. В постановочном плане вводится понятие дифференциально-геометрически подобных интервалов монотонной кривой, что позволяет сформулировать признаки оптимальности дискретизации. В качестве критерия оптимальности используется ранее введенное понятие геометрической информативности точечного каркаса.
Ключевые слова: монотонная кривая; рациональная дискретизация; оптимальная дискретизация; дифференциальная геометрия; геометрическая информативность каркаса; интегральная модель кривой; точечный каркас.
Постановка задачи
Одним из основных разделов прикладной геометрии в области конструирования кривых линий и поверхностей является задача аппроксимации (дискретизации) и интерполяции (восстановления), причем как в прямой, так и в обратной постановке. Наиболее разработаны методы интерполяции в виде инженерных обводов различного порядка гладкости. При этом для задач интерполяции вопрос рациональности или оптимальности результата в геометрическом смысле по понятным причинам не является актуальным.
Что касается задачи представления кривых и поверхностей точечными множествами, то задача оптимальности представляется вполне корректной, поскольку позволяет минимизировать размерности точечных каркасов при прочих равных условиях.
Анализ известных результатов и научная новизна
Известно большое количество исследований, посвященных теории аппроксимации для решения инженерных задач на этапе воспроизведения криволинейных форм [1-4]. Однако все эти методы используют так называемый метрически ориентированный подход. Наиболее известный из применяемых в технике - использование параметра отклонения от воспроизводимой формы - стрелка прогиба [3], а для поверхностей - функции знакового расстояния до искомой поверхности [5]. Такой подход теоретически невозможен при попытке решения задачи дискретизации с привлечением аппарата дифференциальной геометрии.
Научная новизна данной работы заключается в новой формулировке теоретической задачи дискретизации кривых линий, а именно: исследовать возможность оптимального
(наилучшего и единственного) представления кривой точечным каркасом заданной размерности. Для оценки качества дискретизации необходимо,
естественно, наличие соответствующего
геометрического аппарата.
Предметной областью данного
исследования является моделирование и визуализация сложных кривых и поверхностей в среде трехмерной компьютерной графики при конструировании виртуальных динамических объектов (полигонизация, например в форме триангуляции), когда на первый план выходят требования к размерностям точечных представлений графических объектов [6].
Традиционная инженерная, метрически ориентированная дискретизация кривых в зависимости от выбранного направления аппроксимации дает, в общем случае, различные результаты. Причина несовпадения результатов дискретизации очевидна. Важно при этом, что получаемые интервалы каркаса не равны между собой по своей геометрической информативной значимости.
Исследовательская часть
Как указывалось выше в задачах полигонизации виртуальных объектов необходимо размещать узды дискретизации при наперед заданном их количестве [7,8]. Естественно, что при традиционном подходе задача становится нелинейной и вычислительно трудно разрешимой, а в случае пространственных кривых - вообще неразрешимой.
В задаче отыскания минимизирующей дискретизации в первую очередь необходимо стремиться к сохранению, в максимальной степени, геометрических свойств. Поэтому в качестве критериев близости двух кривых следует рассматривать те варианты, которые имеют дифференциально-геометрический смысл [9]. Будем опираться на понятие изогеометрической аппроксимация, когда под мерой близости интервалов разбиения понимается степень отклонения интегральной совокупности
дифференциальных характеристик предельно допустимого порядка. Изогеометрическая аппроксимация введена для функций одного и двух переменных на основе рассмотрения множества точек перемен знака производных. Для аппроксимации функции у1(х) функцией у2(х) это эквивалентно использованию характеристик отклонения вида
кг(уь у) = (Х) _ 2<Х) /; ' = 0, 1, 2, ...
dx1 Сх1
Уточним критерии близости - к, установив следующие требования к ним:
- характеристика «близости» двух объектов должна быть эффективно вычислимой;
- совокупность характеристик должна быть полной, то есть включать достаточный для приложения набор параметров;
- мера отклонения по каждой характеристике должна иметь достаточно наглядный, практически применимый характер.
Известно, что с точностью до движения пространственная кривая определяется кривизной и кручением, а поверхность - коэффициентами первой и второй квадратичных форм, однако прямое использование этих параметров в качестве характеристик близости кривых или поверхностей является проблематичным из-за вычислительной сложности и отсутствия наглядности.
Задачу поиска оптимального дискретного каркаса кривой можно сформулировать в двух вариантах.
Пусть известен некоторый метод восстановления кривой, который позволяет по набору точек Т1, Т2,...,Тп+1 построить некоторую интерполирующую кривую /2, удовлетворяющую избранному критерию близости с исходным прообразом. Существует ли экстремум (в смысле минимума) числа п ? Усиленный вариант задачи -дополнение вопросом о единственности решения.
Несложно сформулировать на основе этих двух задач общую задачу оптимальности точечных каркасов кривых с позиций прикладной геометрии, где критерии близости графических образов и прообразов наиболее важны. Вариационное исчисление позволяет утверждать, что при заданном п для дуги регулярной кривой существует оптимальное размещение узлов дискретизации, но аналитическое (или численное) решение такой задачи сводится к интегрированию некоторого минимизирующего функционала.
Задача приближения дуги регулярной и монотонной кривой ломаной линией в общем виде сводится к следующей задаче. Среди кривых у=/(х), принадлежащих классу С(11 на интервале [а, Ь] и удовлетворяющих условию у(а)=т, у(Ь)=п, найти ту, которая реализует минимум функционала
Из вариационного исчисления известно, что для дуги любой регулярной кривой y=f(x) всегда можно найти такую ломаную P, проходящую через точки A(a, m) и B(b, п), которая будет отличаться от кривой сколь угодно мало как по стрелке прогиба 5, так и по угловому коэффициенту касательной в любой точке интервала. Другими словами, для ломаной линии P значение функционала I{P} будет отличаться от Щ(х)}сколь угодно мало. И наоборот, для всякой ломаной линии P, проходящей через точки A и B, всегда можно построить такую допустимую кривую y=f(x), проходящую через вершины ломаной, что значение функционала I{f(x)} также будет отличаться сколь угодно мало от I{P}.
Пусть g - точная нижняя граница значений функционала I{f(x)} на множестве всех допустимых кривых. Тогда можно утверждать:
существует такая последовательность ломаных линий^,}, проходящих через точки A(a, m) и B(b, n), что lim I{Pn} = g, при п^да;
для каждой ломаной Pi, проходящей через точки A и B, выполняется неравенство I{Pi}>g, то есть число g является точной нижней границей значений I{P}.
Пусть минимизирующая последовательность ломаных линий построена. Если решение рассматриваемой задачи существует, то можно ожидать, что построенная последовательность ломаных будет сходиться к этому решению. Но последнее заключение будет справедливым только в том случае, когда минимизирующая последовательность ломаных сходится к допустимой кривой, то есть, если существует возможность предельного перехода под знаком интеграла, а именно:
g=lim I{Pn}=I{lim Pn}, при п^да.
Известен алгоритм построения
минимизирующей последовательности ломаных линий. Пусть Pn - произвольная ломаная, имеющая п вершин в точках Tl(xl, yl), T2(x2, y2), ..., Tn+l(xn+l, yn+i) и проходящая через точки A и B, причем обязательно выполнение условия, что все узла располагаются внутри интервала, то есть a <xl<x2<...<xn< b.
Так как на интервале [x, xi+l] ордината ломаной может быть записана в виде
y = f (x) = y, + ZiiLZZi. (x - x) =
xi+\ xi
yi (x - x),
то после подстановки ломаной Pn получаем
Ci =1 ( (
np VJ|F x,y( + £■ (x-x,),f
Y\
I =
j F (x, y, y ')dx.
' Сх (х0 = а, Хп+1 = Ь). После интегрирования находим 1{Рп} как функцию 2п переменных. Если определить числа х1,
у1, х2, У2,—, хп+1, Уп+1 такие, что функционал Цхь у1, х2, У2,—, хп+1, уп+1} достигал минимума, то последовательность ломаных Рп будет минимизирующей.
Фактически получено приближенное решение дифференциального уравнения вариационным методом. Необходимо также заметить, что описанный прямой вариационный метод имеет и очевидную геометрическую интерпретацию. А именно, - если под близостью дуги кривой и вписанной в нее ломаной понимать не только метрическую, но и дифференциальную близость, то задача сводится к решению дифференциального уравнения, которое невозможно найти без применения операции интегрирования. При этом важно отметить, что такое решение будет иметь порядок точности не выше к3(0). Это свидетельствует о том, что для повышения точности решения и меры близости, например до к4(0), придется применять двойное интегрирование и т.д.
С геометрической точки зрения дискретизацию можно представить как операцию разбиения кривой на заданном интервале на требуемое количество подынтервалов. Тогда разбиение будет оптимальным в том случае, если полученные дуги на подынтервалах будут, по крайней мере, эквивалентны, в частном случае, -подобны с точностью до масштабирования или равны вплоть до метрических характеристик. В этом состоит принципиальное отличие задачи дискретизации от кусочно-линейной аппроксимации. Известно также, что для дифференциальных уравнений вида ёу/ёх=/(х,у), всегда можно получить приближенное решение в форме степенного ряда требуемой степени. Если же удовлетвориться приближенной формулой ду^/(х,у)дх, то можно построить искомую интегральную кривую в виде ломаной Эйлера.
Пусть у: I ^ Яп - регулярная кривая. Замена параметра (перепарамет-ризация) - это отображение к : / ^ I . Отображение должно удовлетворять требованиям:
а) к - гладко, то есть все производные к® (я) существуют для всех яе/;
б) к'(я) 0 ни при каком я е /;
в) к/) = I,
к - биекция / на I, поэтому существует и
обратное отображение к 1 : / ^ I.
Частным случаем перепараметриза-ции является аффинная операция масштабирования.
Отображение к - диффеоморфизм, в категориях дифференциальной геометрии этому понятию можно поставить в соответствие понятие эквивалентных дуг гладких кривых.
Предложение 1. Две дуги гладкой кривой дифференциально-геометрически эквивалентны, если существует биекция - отображение к, обладающее свойством диффеоморфизма. С точностью до операции трансляции и
масштабирования, эквивалентность дуг определяет равенство их сферических индикатрис касательных и интегральных конических кривизн.
Следствие 1. Дуга гладкой кривой и ее эквидистанта - эквивалентны.
Следствие 2. Эквивалентные дуги кривой постоянной кривизны и кручения равны.
Следствие 3. Эквивалентные дуги гелис -подобны (равны с точностью до масштабирования).
Следствие 4. Дуги кривой с конической кривизной равной нулю, эквивалентны, если равны их интегральные полные кривизны.
В общем случае дуги гладкой кривой с погрешностью порядка к4(0) эквивалентны, если равны их интегральные конусы кривизны и кручения, то есть равны интегральные полные кривизны.
Определение. Гладкая кривая, коническая кривизна которой постоянна, называется обобщенной винтовой линией.
Вписанная пространственная ломаная обобщенной винтовой линии, заданной в натуральной параметризации на интервале [¿ъ,^] , выделяющая на кривой эквивалентные дуги определяется выражением
1 '2
Р(])=— Iк (')ж,
]
"г
где ] - размерность дискретного каркаса; к(я) - полная кривизна кривой; Р - интегральная (полная) кривизна выделяемой дуги подынтервала.
Выводы
Геометрическая интерпретация метода (с погрешностью метода к3(0)) - очередная точка разбиения находится как точка пересечения дискретизируемой кривой с конусом вращения с углом при образующей Р(]) и осью, совпадающей с текущей касательной.
Предложение 2. Для заданного N дискретизация К кривой Ь оптимальна, если
и = шах{и}], е Ь .
К*
С учетом понятия геометрической информативности каркаса можно сформулировать признаки геометрически оптимальной
дискретизации в следующем виде.
Предложение 3. Точечный каркас кривой геометрически оптимален, если при заданном параметре дискретизации N он имеет максимальную величину геометрической информативности и, и при удалении любого из внутренних узлов информативность каркаса снижается на одну и ту же величину.
В работе [4] предложен метод оценки геометрической информативности точечных каркасов для плоских монотонных кривых. В общем случае (для пространственных монотонных кривых) достаточно вместо понятия классической кривизны
плоской кривой рассматривать понятие
интегральной кривизны пространственной кривой.
Литература
1. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. - М.: Наука, 1987. - 160 с.
2. Верещага В.М. Геометрическое моделирование кривых линий методами дискретной интерполяции. Харьков: Полиграфист, 1995. -170 с.
3. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.
4. Ли В.Г. Дискретизация и анализ каркасов пространственных кривых линий. В кн.: Известия ТРТУ. Спец. выпуск «Материалы XLIV н.-т. конф.». Таганрог:ТРТУ, 1999. №2. С.212-216.
5. Lorensen W.E., Cline H.E. Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm,
Computer Graphics // SIGGRAPH '87 Proceedings, 1987. - vol. 21, pp. 163-169.
6. Пауков Д. П. Триангуляция Делоне: итеративные алгоритмы построения триангуляции. // Збiрка праць мапстранпв Донецького нацюнального техтчного ушверситету. Вип. 2. - Донецьк: ДонНТУ. -2003. - с. 461-469.
7. Ли В.Г. Моделирование динамики полета ЛА в среде виртуальной реальности. //Прикладна геометрiя та шженерна графша. - К.: КНУБА. -1999. - Вып. 65. С.79-81.
8. Ли В.Г. Дифференциальная прикладная геометрия в задачах синтеза объектов и процессов среды виртуальной реальности. //Геометричне та комп'ютерне моделювання. Сборник научных трудов. Вып. 19. - Харьков: Изд-во ХГУПТ, 2007. С. 127-150.
9. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 511 с.
THE OPTIMAL DISCRETIZATION OF CURVES. GEOMETRIC FORMULATION OF THE
PROBLEM
Summary: The paper is devoted of investigation the problem discretization of monotonic curves. Based on the traditional theory of discretization formulate the concept of optimality point frame which ensures the rational result. In the statement introduced the concept of differential geometrically similar intervals of the monotonic curves, that allows us to formulate the optimality discretization. The optimality criterion used previously introduced concept of the geometrical informativeness of point frame.
Keywords: monotonic curves; rational discretization; optimal discretization; differential geometry; geometrical informativeness of the frame; the integrated model of the curve; point frame.
