Способ дискретной интерполяции пространственных кривых проективными преобразованиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПОСОБ ДИСКРЕТНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ ПРОЕКТИВНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

© Ли В.Г.*, Дорошенко С.А.*

Инженерно-технологическая академия Южного федерального университета, г. Таганрог

Предлагается способ интерполяции точечно заданных пространственных кривых, основанный на аппарате проективных способов построения кривых 2 и 3-го порядков. Основное назначение способа -компьютерная визуализация динамических процессов виртуальной реальности в реальном масштабе времени.

Ключевые слова: аппроксимация, геометрическое моделирование, проективные пучки, пространственные кривые.

Традиционные методы прикладной геометрии конструирования обводов ориентируются, в основном, на получение непрерывной моно- или составной кривой. Затем, в случае необходимости, на этапе воспроизведения обвод подвергается кусочно-линейной аппроксимации [1]. Специфика моделирования виртуальных объектов в полигональной форме требует обязательной дискретизации всех криволинейных форм. Поэтому наиболее приемлемыми в данном случае будут такие методы конструирования обводов, которые, во-первых, могут быть реализованы непосредственно в пространстве, во-вторых, результирующая кривая или сразу должна быть представлена в кусочно-линейном формате, или предполагать простую (в смысле вычислительной реализации) дискретизацию.

Классическая постановка задачи аппроксимации кривой дугами более простых кривых для рассматриваемых применений неприемлема, так как пространство моделирования среды виртуальной реальности (СВР) не имеет традиционной метрической определенности [2-4]. Таким образом, речь идет о принципиально новой постановке задачи аппроксимации, а точнее -дискретизации кривых ломаными прямыми.

Важным также является следующая особенность конструирования обводов для нужд моделирования СВР. Желательно, чтобы разрабатываемые методы обладали свойствами универсальности в смысле реализуемости как для плоских, так и для пространственных (ПРК) дискретно заданных кривых.

Разрабатываемые алгоритмы интерполяции должны быть ориентированы на автоматическую реализацию, обладающую высокой алгоритмичностью и однозначностью.

* Профессор кафедры Инженерной графики и компьютерного дизайна, доктор технических наук, доцент.

* Старший преподаватель кафедры Инженерной графики и компьютерного дизайна.

Для случаев, когда в узловых точках известны положения касательных возможно построение обводов порядка гладкости до порядка 2/2 включительно [5]. В нашем случае предлагается применять метод мгновенных преобразований соприкасающейся плоскости искомой кривой, т.е. осуществляется дискретное вращение соприкасающейся плоскости вокруг текущего звена ломаной каркаса. Метод применим к большинству известных способов конструирования плоских обводов если они сводятся к последовательным дискретным построениям: проективные методы, метод инженерного дискриминанта и т.д.

Известен метод конструирования плоской кривой 2-го порядка с помощью двух проективных пучков. Для пространственной задачи касательные ^ и /2 будут скрещивающимися прямыми. Пусть задан интервал [71, Т2] и положение касательных в этих узлах (рис. 1). В общем случае произвольно назначаются точки Т\2 и Т212 и параметр дискретизации N. Производится поточечное построение обвода, каждая точка которого лежит в одном из промежуточных положений соприкасающейся плоскости.

Соприкасающаяся плоскость в точке Т1

2

плоскость в точке Т2

Рис. 1. Конструирование ПРК 3-го порядка проективными пучками

Соприкасающаяся плоскость вращается вокруг хорды АВ от начального положения Т1Т112Т2 до положения Т1Т212Т2, занимая N - 1 промежуточных положений. Три проективных пучка порождают кривую 3-го порядка. Если полученную конфигурацию параллельно спроецировать в направлении Т112Т212 на одну из начальных соприкасающихся плоскостей, то получаем известную конструкцию полинома Безье (рис. 2).

Кривизна построенной кривой в точке Т1 оценивается величиной

ТТ 2 + Т 2 Т - ТТ

кручение в точке

ТТ1+Т1Х -ТТ

к = в точке Т2- к =

ТТ

ТТ

Т1 - оценивается величиной ^ =

^ в точке Т2Т212 - г2 = ТТ-. При кь

ТТ1 ТТ2

ТТ

11Т12

к2 > 1 дуга содержит точку перегиба по кривизне, при гь г2 > 1, - точку перегиба по кручению.

Проекция характеристического 4-угольника

Т\:

Т1

Проекция ПРК

3-го порядка

Т2!2

Т

Рис. 2. Проекция конструкции на одну из соприкасающихся плоскостей

Управляя величинами кривизны и кручения (перемещая точки Т\2 и Т212), можно получить обвод порядка 2/2.

Программа реализации метода в интерактивном режиме исследовалась и при экстремальных положениях точек управления формой обвода, а также при качественно и количественно различных взаимных положениях касательных в узлах дуг обводов.

Так, например, на рис. 3а показано вырождение пространственной дуги в плоскую, для чего точки Т\2 и Т212 совмещены, а на рис. 3б точка Т212 совмещена со второй точкой обвода и т.д.

Известен метод инженерного дискриминанта (/) конструирования плоского обвода дугами кривых 2-го порядка [5]. В пространственном варианте задачи интерполяции достаточно для каждого из этапов построения очередной загущающей точки обвода подвергать вращению соответствующую соприкасающуюся плоскость. В результате будет получена пространственная ломаная, соответствующая кривой 3-го порядка.

Т}2 s Tu 1"

Д) е)

Рис. 3. Экспериментальное исследование способа конструирования ПРК проективными пучками

Список литературы:

1. Верещага В.М. Геометрическое моделирование кривых линий методами дискретной интерполяции. - Харьков: Полиграфист, 1995. - 170 с.

2. Ли В.Г. Моделирование динамики полета ЛА в среде виртуальной реальности // Прикладна геометрш та шженерна графша. - К.: КНУБА. - 1999. -Вып. 65. - С. 79-81.

3. Ли В.Г. Дифференциальная прикладная геометрия в задачах синтеза объектов и процессов среды виртуальной реальности // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Сборник научных трудов. Вып. 19. - Харьков: Изд-во ХГУПТ, 2007. - С. 127-150.

4. Ли В.Г., Комар А.В. Поиск рациональных траекторий движения манипулятора в виртуальной среде на базе генетических алгоритмов моделирования // Шжшдомчий науково-техшчний збiрник «Прикладна геометрiя та шженерна графша». Випуск 89. - К.: КНУБА, 2012. - С. 240-244.

5. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М.: Машиностроение 1985. - 224 с.