CC BY
27
УДК. 629.7.036.34
ДИСКОВЫЙ ВОЛНОВОЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
© 2009 Д. П. Давыдов, А. И. Ермаков Самарский государственный аэрокосмический университет
Для исследования динамических характеристик рабочих колес ГТД разработан дисковый волновой конечный элемент, представляющий собой кольцевую пластину переменной толщины. С использованием разработанного конечного элемента на алгоритмическом языке программирования Фортран создана программа по расчету собственных частот и форм колебаний вращающихся неравномерно нагретых дисков. Проведены расчетные и экспериментальные исследования собственных частот колебаний дисков.
Волновой конечный элемент, диск, матрица, собственная частота, комплексная форма, усилие, переме-
щение
Для расчета колебаний рабочих колес ГТД разработан дисковый волновой конечный элемент, представляющий собой кольцевую пластину переменной толщины.
В целях достижения высокой точности динамика кольцевой пластины рассмотрена в рамках гипотез модели Тимошенко. По -датливость пластины в своей плоскости не учитывалась.
Для кольцевой пластины получены соотношения, связывающие усилия и перемещения в цилиндрической системе координат ох№ [1]:
ЕН
Ыхф 2(1 + т)
к2 ЕН
= 2(1 + т)
к2 ЕН
ди V д¥ ---+ —
хдф х дх \
0
дЖ хдф
+ ах
= 2(1 + т)
г дЖ
--ау
дх у
И = в
дах
хдф
а
т
у
дау
дх
Ну = в
дау т да т
V
дх х дф
И - °(1
Нхф - -
т
2
дах дх
а
0
да
у
хдф
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Рассмотрены условия равновесия элемента пластины (7-9). На рис. 1. показаны действующие на него динамические усилия и статические силы Ыст и Мсут. Наличие
последних связано с неравномерным по длине нагревом пластины и ее вращением. В процессе колебаний статические силы оста-
ются постоянными как по величине, так и по направлению.
дЫ+д1ф. хнр дЖ - о
дх дф дг
д(Ифх) . и +дИх
(7)
дх
3 ~|2
а
х - о
дф
Ыф - Мсут хах
Н х да Р
12 ' дг2
д(иух)
(8)
дх
Н3 х д а
д(и фхх )
+ Ыхх + и„ + - Ытха,
хдф
-Р—2
12 дг2
(9)
Рис. 1. Кольцевой элемент пластины
0
х
)
х
В соответствии с [1] усилия и перемещения представлены в комплексной форме в виде волн: Nx = Qzemjeipt;
= Mxe'mje'pt, Hy = М/^**;
W = qzemjeipt ,ах = , ау = Р/^'*,
где Qz, мх, му, qz, Рх, 0у - амплитуды волн.
Совместное решение приведенных выше уравнений, позволило получить определяющую систему дифференциальных уравнений, описывающую колебания кольцевой пластины в рамках гипотез Тимошенко. Она описывает динамику диска в глобальной системе координат и выглядит следующим образом:
dx dMy
dx
dMx
dx
=и
+N
d4z dx dßv
dx ß
dx
где
a11 0 a13 0 0 0
[A] = 0 a22 a23 ; [b ]= b21 b22 b23
a31 a32 a33 0 b32 b33
m2 к2 Eh
a11 =—~-hpp2 x; a13 =-im
к2 Eh
x 2(1 + m)
= d + ml d(i - m)
x
2(1+m)
a22 +
+ NCm x +
к2 Eh
x
h x
2
2 ^ 2(1 + m)
= -imD(3 - m); 12 ' * ' 2 x И'
к2 Eh . 1 , ч
i = —т; a32 = im~D(3 - m); 2(1+m) 2
x-
m2 D(1 - m) к2 Eh лгст
a33 =— D + ——— +-x + Nvm x -
2x 1 --4 y
x
2(1+m)
h3 x 2 к 2Eh 7 ^
--PP ; b21 =--x; b22 = mD ;
12 21 2(1 + m) 2
b23 = im -2D(1 - m); b32 = immD ;
b33 =- 2 D(1 - m).
Используя полученную систему уравнений, построен дисковый волновой конечный элемент. При построении системы
уравнений элемента применялся метод Га-леркина:
f
Г dßz |
dx
dM x2
У x ll
dx j J
dMx x1
dx
И
ßy
ßx
B]
dqz ö
dx
dßy
dx
dßx
dx 0
dx,
х1, х2 - границы конечного элемента; -функции формы (] = 1, 2).
Построение матрицы формы (10) основано на допущении о линейном изменении упругих смещений по длине элемента.
ИЧл.лЬр^, ^гЧ (10)
Ах Ах _ После интегрирования системы получено матричное уравнение волновых динамических жесткостей (11) дискового конечного элемента в аналитическом виде.
{Q}=[н М (11)
[Н ] - матрица комплексных волновых динамических жесткостей, устанавливающая связь между комплексными амплитудами волн реакций {Q}, возникающих на границах элемента и комплексными амплитудами волн перемещений этих границ. Коэффициенты матрицы [Н ] являются функциями от частоты колебаний рабочего колеса
Р : [Н]=И"Р2[М].
[D] =
D
D
16
D61 ■■■ D66
- комплексная
матрица статических жесткостей элемента, где
к2
-1 h И I -i-l h I, , , ,
22
D11 =
2 Ar2 (1 + m)
(Elhl Ix +(E^2 + E2 h )12 +
m2 к2
2(1+m)
+ E2 h213 ) +
+E2 h2116); к2
D =_к_
12 2 Ar (1 + m)
+ E2 h2132 ) ;
(E1h1114 +(E1h2 + E2 h1 )l15 +
(E!h! I33 +(E1h2 + E2 h1 )I31 +
D13 = -i
mk
2(1+m)
(E1h1135 +(E1h2 + E2 h1 )l 28 +
x
+ Е2 И2 130 ) ;
^14 =
- к 2
2Дг2 (1+т)
22
г 1 Т \ т к
+ Е2"13 ) +
+ Е2 "2 -17 ) ;
(ЕД-1 + (Е" + Е2 2 +
(ЕЛ -15 +(ЕА + Е2 " )11в +
^15 =
2Дг (1+т)
+ Е2 "2-34 );
п _ • тк2
_ 12(1+т)
+ Е2 "2-29 );
П22 12Дг (1 - ц2)
(ЕЛ-31 + (ЕА + Е2 "1 )-32 +
(ЕЛ-28 + (ЕА + Е2 " )-30 +
Г Г I
Е" — - 2ц119 + Д-37 х
V V
Дг
^ т2 1+
;(1 - т)
лл
2
I,
+ "2 (3ЕА + Е2 " )1 Д- -
+ т2 (1 - т) лл
+ 3"1"2 (Е1К2 +
- 2^121 + Дг-38
+Е2 К ^Дг" 2т122 +Дг13
+*( Е1К2 + 3Е2 - ^23 +ДГ140 о +
т2 (1 - т)
Г1 + т - (1 - т) лл
- 2 00
+
+
лл г I
2 "2
+ Е2"23 -10 - 2т124 + Дг-42 (1 +
+
т (1 - т)
00
ллл
+
к
Дг
000
2(1+т)
(Е1"119 + (Е" +
+е2 "1 )1П + Е2 "2 -13)+-33 + -31;
П23 24Дгт- Ц )(Е1"13 ((1 - 3т)-19 +
+Дг (3 - т) -37)+"2 (3Е1"2 + е2"1)((1 - 3т) -21 + +Дг (3 - т)-38)+ 3"1"2 (е1"2 + Е2 "1 )((1 - 3т)х х -22 + Дг (3 - т)-39)+"22 (е1"2 + 3Е2" )((1 -- 3т)- 23 + Дг (3 - т)-40)+е2 "23 ((1 - 3т)-24 + +Дг (3 - т) -42)); -к2
П24 2Дг(1+т)
+ Е2 "2-32 );
(Е1"1 -33 +(Е1К2 + Е2 "1 )-31 +
П25 12Дг (1 - т)
Е"3
V V
Г- - 9
Дг
(- 21- -19 )т
+
+ Дг- 3
- -1
1+
т
(1 - т)
л
+ "12 (3Е1"2 + Е2 "1 )х
00
Дг
22 - -21 )т+Дг-3.
1+
т2 (1- т)
л
+
00
+ 3"1"2 (Е1"2 + Е2"1 )| --13 - (-23 - -22 ^ + Дг
х-
40
1+
т
V Дг
'(1 - т)лл
+ "22 (Е1"2 + 3Е2 " )х
00
--12 Дг
+ Е2 "2
24 - -23 )т+Дг-42
1+
т" (1 - т)
л
+
00
--т
Дг
-(-20 - -24 )т +Дг-43 (1
+
+
т1 (1 - т)
ллл
+
к2
000
2(1+т)
(Е1"1 -11 +(Е1"
+
+е2 "1 )-13 + Е2 "2 -12)+-31 + -32;
т
32
21
П26 _ • - т2)(е"((1 - т)-19 + 3mI:
- Дг(3 - т)-38)+"12 (3Е1"2 + Е2"1 )((1 - т)-21 + +22 - Дг(3 - т)-39)+3"1"2 (е1"2 + Е2"1 )х х ((1 - т)-22 + 2т!23 - Дг(3 - т)-40)+"22 (е1"2 +
+3Е2"1 )((1 - т)-23 + - Дг(3 - т)-42)+
+Е2 "2 ((1 - т) -24 + 2т-20 - Дг (3 - т) -43));
1
г
°33 24Дг (1 + т)
Е1"1
Г -
V V
— + 2-19 + -37 Дг х
Дг 19 37
п34 = •
тк
2(1+т)
+ Е2 "2 -29 );
(Е1"1- 28 +(Е1"2 + Е2 "1 )-30 +
т
+
П35 _ • 24Дг(1 - т2)(е1"1 ((1 - т)-21 + 2т/ь
+Дг (3 - т)-38)+"12 (3Е1"2 + Е2 ^ Х(1 - т)- 22 + +21 + Дг (3 - т)-39)+3"1"2 (е1"2 + Е2 "1 )х х ((1 - т)-23 + 22 + Дг (3 - т)-40)+"22 (е1"2 + +3Е2 "1 )((1 - т)-24 + 2т!23 + Дг (3 - т)-42)+ +Е2 "2 ((1 - т)-20 + 2 ц- 24 + Дг (3 - т)-43));
2
х
2
2
X
2
X
2
2
2
2
1
°36 24Аг (1 + т)
( Г-1 еХ '
V V
Аг
' + /21 119 + /38 Х
(
х Аг
1 +
2т
1 - т
2 Л Л
00
+ Х (3ЕЩ + Е2
-111 Аг
- +
+ /22 - /21 + /39 Аг
1 +
2т
1 - т
2 л Л
+ 3И1И2 (Е1И2 +
00
+ Е2
-к Аг
+ /23 - / 22 +/40 Аг
1 +-
2т
1 - т
2 Л Л
+
00
^ (Е1Х2 + 3Е2 А)^ + 124 - 123 + 142 Аг (1 +
+ -
2т
1 - т
2 Л Л
+ Е2 К
(-/1
+
00
2т2 ЛЛЛ
1 - т
+-
к
Аг
+ 120 - 124 + 143 АГ (1 +
(Е1К1 /11 +(ЕА + Е2 К1 )>
000
2(1+т)
/13 + Е2 К2 /12
)+^ 131 + /32;
к2
П4 =
2Аг2 (1 + т)
+ (ЕЩ + Е2 К )/ 2 +
22
^ , . ч т к
+Е' к 7 5)+25+т)"
Х /17 + Е2 К2 /18 ) ;
-к2
(Е1К1 /16 +(Е1К2 + Е2К )
^45 =
2Аг (1 + т)
+ Е2 К2 ^^34 ) ;
п = • тк2
+т)
+ Е2 К2^^36 ) ;
П55 = 12Аг (1 - т )
(Е1К1/31 +(Е1К2 + Е 2 К )/32 +
(ЕЛ /30 +(Е1К2 + Е2 К )/29 +
Е1К3
(/
-г9-+2^/21 + Аг
+ Аг/
39
(1+т2 (1 - т)
V
2
V
+ К12 (3Е1К2 + Е2
^^ + 2т/ 22 + Аг/ 40
Аг
1+
т2 (1 - т)
+
00
/1
+ 3К1К2 (Е1К2 + Е2К)( — + 2 т/23 + Аг: V Аг
Х /4
(1+т2 (1 - т)
V
2
+Х2 (Е1К2 + 3Е2 щ )>
00
г
+ 2т/ 24 + Аг/ 4
Аг
(1+т2 (1 - т)
V
2
+
00
+ Е2 К
Ат + 2т/ 20 + Аг/ 4
Аг
(1+т2 (1 - т)
\
2
+
000
+
к2
(еК/13 + (Е1К2 + Е2К )/12
2(1+т)
+Е2 щ /10)+N7 / 32 + N ? / 34;
(ед3 ((1 - 3 т)/:
+
т
°56 1 24Аг (1 - т2)
-Аг (3 - т)/ 39)+К (3ЕК + Е2^)((1-3т)/22 -- Аг(3 - т)/40)+3К1К2 (Е1К2 + Е2Щ )Х х ((1 - 3т)/23 - Аг(3 - т)/42)+К22 (е1к2 + +3Е2К )((1 - 3т)/24 - Аг(3 - т)/43)+ +е2 щ3 ((1 - 3т)/ 20-Аг (3 - т)/ 41)); 1
^66 =
24 Аг (1 + т)
^ (/ ех ( - 2д, + х
11
Аг
21 39
х Аг
1+
2т 1-т
2 Л Л
+ К (3ЕХ + Е2 Ц А; -
- 2 /22 + /40 Аг
00
(, 2т
1 + -
2Л
V
1-т
00
+ 3К1К2 (Е1К2 + ( 2т2 ЛЛ
1+
2т 1-т
+
00
+ Е2 Ь1 " 2/23 + /42 Аг
+Щ (+ 3Е2К )(£ - 2/24 + /43Аг (1 +
+
2т 1-т
2Л
+ Е2 К3 (^ - 2/20 + /41 Аг (1 +
22
+
00
2т2 ЛЛЛ
1-т
+
к
Аг
000
2(1+т)
(Е1К1/13 + (Е1К2 + Е2 К1 )х
/ + ЕК/ )++
[М ] =
М,
М „
М
61
М
66
матрица масс
элемента,
где М44 = р(К1 /32 + К2 /34);
М11 = Р(К1/33 + К2/31 ) ; М14 = Р(К1/31 + К2/32 ) ;
М22 = £ (К13/44 + 3К1К2 (К1/45 + К2/48 ) + К2 /49 ) ;
12
М25 = £ (К13/45 + 3К1К2 (К1/48 + К2/49 )+ /46 );
12
М33 = £ (К13/44 + 3К1К2 (К1/45 + К2/48 )+ К2 /49 );
12
X
х
х
2
X
M36 = r (h3145 + 3hA (h1148 + h2149 ) + 146
12
Таблица 2 - Собственные частоты колебаний диска с внешним радиусом 62,5 мм
М55 _ 12 -48 + 3"1"2 ("1-49 + "2-46 )+ "2 -47 ^
М66 _ 12 -48 + 3"А ("1-49 + "2-46 )+ "2-47 ) ;
М12 _ М13 _ М15 _ М16 _ М23 _ М 24 _ _ М26 _ М34 _ М35 _ М45 _ М46 _ М56 _ 0 •
Матрица ] является эрмитовой. Её самосопряженность отражает одно из основных свойств спектра собственных движений поворотно-симметричных систем, проявляющихся в существовании сдвига в окружном направлении между волнами различных компонентов усилий и перемещений.
Совершив поэлементное объединение, составляется глобальное уравнение волновых динамических жесткостей диска.
С использованием разработанного конечного элемента на алгоритмическом языке программирования Фортран создана программа по расчету собственных частот и форм колебаний вращающихся неравномерно нагретых дисков.
Для подтверждения корректности полученных уравнений проведены расчетные и экспериментальные исследования собственных частот колебаний двух дисков постоянной толщины. Первый имел внутренний и внешний радиусы соответственно 25 мм и 90 мм, второй - 15 мм и 62,5 мм. Толщины у обоих дисков составляли 25 мм. Результаты исследований представлены в табл. 1, 2.
Таблица 1 - Собственные частоты колебаний диска с внешним радиусом 90 мм
Частота, Гц Число волн деформаций
2 3 4 5
Расчет 3816 8278 13379 18920
Эксперимент 3811 8220 13327 18790
Погрешность, % 0,13 0,71 0,39 0,69
Частота, Гц Число волн деформаций
0 2 3 4
Расчет 11279 6915 15297 24085
Эксперимент 11168 6850 15131 23730
Погрешность, % 0,99 0,95 1,1 1,5
Из приведенных в таблицах данных хорошо видно, что рассчитанные и экспериментально определенные собственные частоты хорошо согласуются.
Разработанный дисковый волновой конечный элемент позволяет рассчитывать динамические характеристики дисков рабочих колес. Элемент учитывает неравномерный по длине нагрев, действие поля центробежных сил, а также окружные сдвиги между волнами компонентов усилий и перемещений. Главным преимуществом разработанного конечного элемента является отсутствие численного интегрирования при вычислении комплексных матриц волновых жест-костей и обобщенных масс, что существенно снижает машинное время расчета. Кроме того, на снижение времени влияет одномерность элемента.
Дисковый волновой конечный элемент реализован в виде вычислительной программы на языке Фортран.
Библиографический список
1. Ермаков, А.И. Построение оболочеч-ного волнового конечного элемента / А.И. Ермаков // Проблемы и перспективы развития двигателестроения. Вестник СГАУ. Самара: Изд-во СГАУ, 2000. - Вып. 4. -Ч. 2. -С.72-84.
2. Иванов, В.П. Колебания рабочих колес турбомашин / В.П. Иванов.- М.: Машиностроение, 1983. - 224с.
References
1. Ermakov A.I. Shell harmonie finite element development // Problems and perspectives of propulsion engineering development. SSAU bulletin: publishing house SSAU, 2000. -Rel. 4 - P. 72-84.
2. Ivanov V.P. Vibration of blade wheels. Moscow.: «Mashinostroenie» (Meehanieal engineering), 1983. - 224p.
DISK HARMONIC FINITE ELEMENT
© 2009 D. P. Davydov, A. I. Ermakov Samara State Aerospace University
The disk harmonic finite element was developed. FORTRAN code program was developed for modal analysis of rotating nonuniform heated disks from the gas turbine engines. Natural frequencies of disks were explored.
Harmonic finite element, disk, matrix, natural frequency, complex form, force, displacement
Информация об авторах
Давыдов Данила Петрович, ассистент кафедры Конструкции и проектирования двигателей летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета. Тел. (846) 267-46-83. E-mail: davydov-ssau@yandex.ru. Область научных интересов: динамика и прочность ГТД.
Ермаков Александр Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры Конструкции и проектирования двигателей летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета. Тел. (846) 334-79-22. E-mail: fdla@ssau.ru. Область научных интересов: динамика и прочность ГТД.
Davydov Danila Petrovich, assistant of Aerospace Engines Design Department of Samara State Aerospace University. Phone: (846) 267-46-83. E-mail: davydov-ssau@yandex.ru. Area of research: dynamics and strength of gas turbine engines.
Ermakov Alexander Ivanovich, Doctor of Engineering Science, professor of Aerospace Engines Design Department of Samara State Aerospace University. Phone: (846) 334-79-22. E-mail: fdla@ssau.ru. Area of research: dynamics and strength of gas turbine engines.
