CC BY
40
УДК 629.7.036.34
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПОЛЯ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ И ПОЛЯ ТЕМПЕРАТУР ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ РАБОЧИХ КОЛЕС ГТД
© 2009 Д. П. Давыдов, А. И. Ермаков Самарский государственный аэрокосмический университет
Для учета влияния поля центробежных сил и неравномерного нагрева диска при исследовании динамики рабочих колес турбомашин с помощью метода волновых динамических жесткостей разработан одномерный осесимметричный изопараметрический дисковый конечный элемент. Разработана и отлажена программа по расчету вращающихся неравномерно нагретых дисков.
Конечный элемент, диск, матрица, усилие, перемещение, сила инерции, поле температур, программа
В рабочих условиях колесо ГТД подвержено воздействию поля вызванных вращением сил инерции и поля температур.
Поле центробежных сил и неравномерный нагрев приводят к возникновению статических напряжений. При колебаниях в процессе смещения системы из положения равновесия статические силы стремятся либо вернуть ее, либо, наоборот, препятствуют возвращению в исходное состояние, увеличивая или уменьшая тем самым жесткость конструкции [1].
Для учета влияния поля центробежных сил и неравномерного нагрева диска при исследовании динамики рабочих колес турбомашин с помощью метода волновых динамических жесткостей разработан одномерный осесимметричный изопараметрический дисковый конечный элемент.
При выводе определяющего уравнения элемента приняты следующие допущения:
а) диск симметричный относительно своей срединной плоскости;
б) температура диска постоянная по толщине;
в) диск находится в плоском осесимметричном напряженном состоянии;
г) напряжения постоянные по толщине диска;
д) в радиальных и цилиндрических сечениях диска действуют только нормальные напряжения.
Используя соотношения обобщенного закона Гука для плоского осесимметричного напряженного состояния и формулы Коши в цилиндрической системе координат, записаны выражения, связывающие радиальные
Ыг и окружные погонные усилия в диске с перемещениями [2]:
ЕИ ёи ЕИ и ЕИ
Ыг 1 2 1 + 1 2 т 1
1 - т а? 1 - т г 1 - т
ЕИ
Ыф = тЫг +—и - ЕИаАТ ,
аАТ, (1)
(2)
где и - радиальное перемещение; г - радиус; Е - модуль упругости материала; т -коэффициент Пуассона; а - коэффициент линейного расширения; АТ - температура нагрева.
Для вывода определяющего дифференциального уравнения рассмотрено условие равновесия в радиальном направлении (3) элемента диска, выделенного двумя радиальными плоскостями, расположенными под углом , и двумя цилиндрическими поверхностями, радиусами г и г + с1г (рис. 1).
г
йбцб = ®2г2рИйтйу - центробежная на-
Сцб
грузка, где р - массовая плотность материала; а - окружная скорость вращения.
- N + а2рг2И = 0. (3)
йг
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), получено определяющее дифференциальное уравнение (4), описывающее напряженно-деформированное состояние неравномерно нагретого вращающегося диска: й(Ыгг) ЕИ и ЕИ йи
+ -
йт ЕИ і - т
—^-------------^ т
і - т т і - т
аАТ + ю2рт2И = 0 .
йт
- +
(4)
Используя полученное уравнение, построен дисковый конечный элемент. При построении системы уравнений элемента применялся метод Г алеркина:
г 'й (Ыгг) ЕИ и
йт
ЕИ йи
2 —2 т—+
і - т т і - т йт
+-
ЕИ і - т
л
а АТ + со2т2рИ
йт = 0.
где г1, г2 - границы конечного элемента;
Е}- - функции формы (] = 1, 2).
Для узлов элемента введены следующие обозначения: узел 1 - принадлежит внутренней границе элемента, узел 2 -внешней, как показано на рис. 2.
Построение матрицы формы (5) основано на допущении о линейном изменении упругих смещений по длине элемента
и (г) = + ^,и2, где и1 - радиальное пе-
ремещение первого узла, и2 - второго.
[*■ ]=[*;. л ]=
(5)
Аг Аг
Изменение параметров И, Е, а, АТ по радиусу элемента принято линейное:
И(г) = ЕА + Р2И2 , Е(г) = ^ + ^2Е2, а (г) = Е1а1 + Е2а2, АТ (г) = Е1АТ1 + Е2АТ2, где И1, Е1 а1 , АТ1 - параметры диска на внутренней границе элемента, а И2, Е2, а2, АТ2 -параметры диска на наружной границе элемента.
После интегрирования системы получено матричное уравнение дискового конечного элемента: {Ыр }= [кр ]{/р }- {9р },
■мр (гр )•
где
{V' }=.
• т1
V' (т2" )• т’_ реакций элемента, [к']
вектор узловых
' -
к' к'
-'мі 12
К' К'
21 -''-22
- мат-
рица жесткости элемента; {/' }= і у - век-
\иі
тор б' }=
узловых
бі'
Шї
перемещений элемента; вектор эквивалентных узло-
К' = іі
вых нагрузок элемента;
= ЕіИ|/і + (ЕіИ2 + Е2Иі )і2 + Е2И213
(і - т ь- ті)2
2т(Е|И/4 + (ЕіИ2 + Е2Иі )і6 + Е2 И2 78 )
(і - т )(т2 - ті )
ЕіИіІі4 + (ЕіИ2 + Е2Иі )іі5 + Е2И2<і6 .
+
+
К' = ЕіИіІ1 + (ЕіИ2 + Е2И1 )і2 + Е2И2<3
Кі2 _
+
+
(і - т2 Хт2- ті)2
т(ЕіИіІ6 + (ЕіИ2 + Е2Иі )і8 + Е2И2і5 )
(і - т2 )(т2 - ті )
ЕіИ1Іі5 + (ЕіИ2 + Е2И1 )і16 + Е2И2
+
+
і - т
т(ЕіИіІ4 + (Е1И2 + Е2Иі )і6 + Е2И218 ) ,
(і - т2 )(т2- ті) ’
= ЕіИіІі + (ЕіИ2 + Е2И )і2 + Е2И2<3
К' =
22
(і - т2 Хт2- ті)2
+
+ 2т(Е1И116 + (Е1И2 + Е2К)Т8 + Е2И2Т5 ) + (1 - т )(г2 - г1)
Е1И1 Т16 + (Е1И2 + Е2 И1 )Т17 + Е2 И2.
+
е,р =
1
1 - т2
Е1И1а1АТ1
^ I ^
I___________19_
119
г2 - г1 0
+
+ (е1И1 (а: АТ2 + а2АТ)+ (Е:И2 + Е2 И1 )а1 АТ )> Т Л
11 + (Е1И1а2АТ2 + (Е:И2 + Е2И1) х
Т21 -
г2 - г1 0
(а:АТ2 + а2АТ)+ Е2И1а1АТ1)| 122 -
г2 - г1 0
+
+ ((Е:И2 + Е2 И1 )а2 АТ2 + Е2И2 (а:АТ2 + а2АТ ))х
л
123 -
12
г2 - г1 0
+ Е2 И2а2АТ2
124 -
б2Р =
Е1И1а1АТ11 121 + -
г2 - г10
г2 - г10
+
+
+
(е1И1 а АТ2 + а2АТ)+ (Е:И2 + Е1И1 )а АТ )х I л
11 + (Е1И1а2АТ2 + (е:И2 + Е2Их ) х
122 +
г2 - г1 0
(а:АТ2 + а2 АТ)+ Е2 к2ахАТх )| 123 +
г2 - г1 0
+
+ ((Е:И2 + Е2И1 )а2АТ2 + Е2И2 (а1АТ2 + а2АТ))
л
Т24 +■
г2 - г1 0
+ Е2 И2а2 АТ2
Т20 +■
40
г2 - г1 0
+
+ а Р\_И1127 + И2Т26 ] •
Матрица жесткости элемента является симметричной.
Для объедения матричных уравнений всех элементов диска рассмотрены условия равновесия и совместности деформации в узловых точках.
Совершив поэлементное объединение, составлено глобальное матричное уравнение жесткости диска (6):
{м }=\к ]М-{е}, (6)
где \к] - глобальная матрица жесткости диска; {Ы} - вектор узловых реакций диска; {д} - вектор узловых перемещений диска; {<2} - вектор эквивалентных узловых нагрузок диска.
Учитывая граничные условия и условия равновесия для всех узлов, записана разрешающая система уравнений (7):
\Н]•{</}= М , (7)
где [Н] - матрица жесткостей конструкции с учетом граничных условий; {д} - вектор узловых смещений с учетом граничных условий; И=2} + {^} - вектор полной узловой нагрузки; {^} - вектор внешних узловых сил.
Записанная система (7) представляет собой замкнутую систему из п +1 уравнений относительно п +1 неизвестных и, где п -число элементов диска. Разрешающая система уравнений (7) позволяет определить искомое узловое смещение и затем рассчитать поля деформаций и напряжений в диске.
Для оценки корректности принятых допущений при выводе уравнений элемента проведены сравнительные расчетные исследования. Для этого на алгоритмическом языке программирования Фортран создана про -грамма по расчету вращающихся неравномерно нагретых дисков с помощью разрабо -танного конечного элемента.
Рассчитаны две конструкции дисков: постоянной толщины и конический диск. Их размеры представлены на рис. 3.
20
20
Рис. 3. Исследуемые диски
13
X
10
X
1
9
X
13
х
х
12
х
Сечение каждого диска в радиальном направлении разбито на сорок конечных элементов. Приняты следующие свойства материла: Е (г) = 2,0 -1011 .„1,6 -1011 Па;
а (г) = 1,6 • 10-5 „ 1,8 • 10-5 — - изменяются
К
линейно по радиусу диска; т= 0,3;
кг
р = 7800 — м
В расчетах использованы граничные условия свободного (незакрепленного) диска.
Нагружение производилось угловой рад
скоростью а = 2000----- и линейным гради-
с
ентом температуры АТ (г) = 200 „ 400К .
Для сравнения результатов расчетов проведены аналогичные расчеты дисков в системе конечно-элементного анализа ЛЫ-БУБ. В среде ЛЫБУБ для моделирования дисков использованы следующие конечные элементы:
а) осесимметричная оболочка - 8Ье1151;
б) плоский осесимметричный - Р1апе42;
в) трехмерный - 8оНё45.
Результаты расчетов в срединной плоскости диска постоянной толщины представлены на рис. 4 и 5.
а г, Сту,Па диск постоянной толщины
диск постоянной толщины
ип м
1,5Е-03
1,3Е-03 1,1Е-03 9,0Е-04 7,0Е-04 5,0Е-04 3,0Е-04 1,0Е-04
Рис. 4. Распределение радиальных перемещений по радиусу диска
Результаты расчетов в срединной плоскости конического диска представлены на рис. 6 и 7.
г, м
Рис. 5. Распределение радиальных и окружных напряжений по радиусу диска
Рис. 6. Распределение радиальных перемещений по радиусу диска
а г, а у, Па
конический диск
Рис. 7. Распределение радиальных и окружных напряжений по радиусу диска
Анализируя полученные данные, проведена оценка сходимости результатов, полученных при выполнении расчетов с помощью разработанной программы и ЛЫБУБ, которая показала, что наибольшее расхождение А не превышает пяти процентов (табл. 1). Из чего сделан вывод о корректности полученных уравнений элемента.
Таблица 1 - Сравнение результатов
Расхождение A, %
Тип конечно элемента ЛЫ го [SYS Shell 51 Plane 42 Solid 45
Диск постоянной толщины Ur 0,07 0,21 0,19
Sr 0,23 0,35 0,31
0,18 0,61 0,54
Конический диск Ur 0,08 3,09 2,44
Sr 0,75 4,25 1,64
0,88 2,46 1,89
Кроме того, разработанный конечный элемент точнее рассчитывает напряженно-деформированное состояние диска в зонах центрального отверстия и периферии, чем ЛпБуБ. Это связано с тем, что в его основе лежит дифференциальное уравнение, описывающее напряженно-деформированное
состояние диска.
Итак, создан одномерный осесимметричный изопараметрический дисковый конечный элемент, на базе него разработана и отлажена программа по расчету вращающихся неравномерно нагретых дисков. Основным преимуществом разработанного конечного элемента является отсутствие численного интегрирования в его матричном уравнении, все интегралы взяты аналитически, то есть заменены алгебраическими выражениями, что существенно снижает машинное время расчета. Также на снижение времени влияет одномерность элемента, так
как интегрирование ведется только по его длине.
Разработанный дисковый конечный элемент позволяет учитывать влияние поля центробежных сил и неравномерного нагрева диска при исследовании динамики рабочих колес ГТД с помощью дискового волнового конечного элемента.
Библиографический список
1. Ермаков, А.И. Построение дискового волнового конечного элемента на базе аналитического решения динамической задачи теории упругости для цилиндра /А.И. Ермаков // Проблемы и перспективы развития двигателестроения. Вестник СГАУ. - Самара: Изд-во СГАУ, 2000. - Вып. 4. - Ч. 2. -С.73-80.
2. Ермаков, А.И. Объемная динамическая модель диска // Проблемы и перспективы развития двигателестроения А.И.Ермаков // Вестник СГАУ. - Самара: Изд-во СГАУ, 2000. - Вып. 4. - Ч. 2. - С.60-73.
References
1. Ermakov A.I. Disk harmonic finite element development // Problems and perspectives of propulsion engineering development. SSAU bulletin: symposium / Samara: publishing house SSAU, 2000. -Rel. 4. - P. 73-80.
2. Ermakov A.I. Solid dynamic disk model // Problems and perspectives of propulsion engineering development. SSAU bulletin: symposium / Samara: publishing house SSAU, 2000. -Rel. 4. - P. 60-73.
CENTRIFUGAL FORCE FIELD EFFECT CONSIDERATION IN DYNAMICS INVESTIGATION OF BLADE WHEELS
© 2009 D. P. Davydov, A. I. Ermakov Samara State Aerospace University
The disk finite element was developed for structural analysis of rotating nonuniform heated disks from the gas turbine engines. FORTRAN code program was developed for structural analysis of rotating nonuniform heated disks from the gas turbine engines.
Finite element, disk, matrix, force, displacement, centrifugal force, temperature field, program
Информация об авторах
Давыдов Данила Петрович, ассистент кафедры Конструкции и проектирования двигателей летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университе-
та. Тел. (846) 267-46-83. E-mail: davydov-ssau@yandex.ru. Область научных интересов: динамика и прочность ГТД.
Ермаков Александр Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры Конструкции и проектирования двигателей летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета. Тел. (846) 334-79-22. E-mail: fdla@ssau.ru. Область научных интересов: динамика и прочность ГТД.
Davydov Danila Petrovich, assistant of Aerospace Engines Design Department of Samara State Aerospace University. Phone: (846) 267-46-83. E-mail: davydov-ssau@yandex.ru. Area of research: dynamics and strength of gas turbine engines.
Ermakov Alexander Ivanovich, Doctor of Engineering Science, professor of Aerospace Engines Design Department of Samara State Aerospace University. Phone: (846) 334-79-22. E-mail: fdla@ssau.ru. Area of research: dynamics and strength of gas turbine engines.
