CC BY
48
УДК 531.591 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 3 (№17)
А. А. Краснов, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик
ДИНАМИКА ЦЕНТРИФУГИ С СОУДАРЕНИЯМИ
Выведены уравнения малых колебаний ротора центрифуги, являющегося рабочим органом камнедробилки. Ротор удерживается в вертикальном положении вязко-упругими пластинами и находится под действием последовательности импульсов со стороны камней, разгоняемых в рабочем органе (ускорителе) центрифуги. В отличие от статьи [1] исследуется влияние ударов ротора о корпус на его динамику. Обнаружены три различных режима движения ротора. Приведены примеры.
1. Введение. Описание конструкции. В статье рассматривается динамика центрифуги, являющейся рабочим органом камнедробилки. Эта задача относится к классической задаче о вращении твердого тела на упругих опорах [2,3]. Обширная библиография содержится в [4]. Динамика твердого тела на упругом валу рассмотрена в работах [5,6,7]. Исследованы вопросы устойчивости движения, самоцентрирования, влияния сопротивлений, прохождение через резонанс [8, 9,10].
Особенностью движения камнедробилки является то, что ее ротор постоянно находится под действием импульсов со стороны камней, которым она сообщает большую линейную скорость для последующего дробления при ударе об опору. Поэтому ротор находится в режиме колебаний около положения равновесия. Если амплитуда колебаний превосходит некоторую величину, зависящую от конструкции, происходит удар ротора о корпус. В работе [1] исследовались безударные режимы колебаний ротора. Целью настоящей работы является исследование колебаний ротора, сопровождающихся ударами о корпус. Основным результатом работы, полученным при численных экспериментах, является обнаружение двух сопровождающихся ударами режимов ударного движения ротора. При первом из них после удара и последующего отскока следующий удар имеет место по прошествии некоторого интервала времени. При втором режиме ротор в течение некоторого интервала времени находится в режиме скольжения о корпус.
Рассматривается та же конструкция, что и в статье [1]. Ротор центрифуги (см. рис. 1) состоит из рабочего органа 1, вала 2 и воздушной подушки 3. Подвижную часть считаем абсолютно твердым телом, которое вращается с угловой скоростью ^о(^) вокруг вертикальной оси. Вес подвижной части компенсируется давлением воздуха, постоянно накачиваемого в камеру 4 и выходящего через щель между корпусом и подушкой 3. Для фиксации подушки в рабочем положении она соединена тягой V Б длины Ь с неподвижной точкой Б. Через тягу на подвижную часть передается вращающий момент. При движении на рабочий орган 1 действуют случайные возмущающие импульсы. Вал центрифуги удерживается в вертикальном положении кольцевыми вязко-упругими мембранами 5.
2. Уравнения движения. Система уравнений движения была получена в статье [1]. Тело считаем динамически симметричным (главные центральные моменты инерции Л\ = А2 и центр тяжести лежит на оси симметрии). Тогда уравнения движения в линейном приближении во вращающейся с угловой скоростью ¿¡¿д системе координат имеют вид:
© А. А. Краснов, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик, 2003
Рис. 1. Центрифуга.
Рис. 2. Схема соударения.
т (ü + 2u¿0 х й + и0 х (cj0 х w)) = Fm + F9 +
An • (ú¿ + ¿Lo) - A0 • fe x u¿0) + (u¿ + CJ0) x An • (u¿ + CJ0) = Mw + M9 + Ku + Md-
(2.1)
Здесь использованы обозначения принятые в [1]: т — масса тела, А^ = Aii® A2J ® j + A3 к <g> к — его тензор инерции в отсчетном положении, и иш — неизвестные векторы перемещения центра масс и угловой скорости в подвижной системе координат. Через F_m и Мт, F9n M_q обозначены сила и момент, действующие на тело со стороны мембран 5 и со стороны камней (см. рис. 1). Через F_u и Ми обозначены сила и момент импульсного характера, возникающие при ударе тела о корпус в точке P.
Система (2.1) имеет 5 степеней свободы, ибо тягу VS считаем нерастяжимой. Предположим, что момент двигателя Md, передаваемый тягой VS, таков, что угловую скорость cjq можно приближенно считать постоянной. Тогда систему (2.1) можно переписать, введя два неизвестных плоских вектора й и t:
т[й + 2u¿0xñ- ufa) = F + F + F , -0
Axt - (A3 - 2Ai)o¿o x t - (Ar - A3)u%t = Mm + Mq + Mu,
(2.2)
где плоские векторы
ñ = uii + U2¿, t = tii + t23_, Fk = + ~Mk = M$i- M-fj, h = m,q,u, (2.3)
а t1 и t2 — малые углы поворота оси в плоскостях XZ и YZ, причем приближенно = , = ti.
3. Вычисление ударных усилий. Пусть удар имеет место в точке P, лежащей на окружности с координатами (см. рис. 1,2)
xp=rp cos (р, ур = rp sin(¿?, zp = hp, Rp = xpi +ypj + zpk, (3.1)
где угол p подлежит определению. Проекция up перемещения точки P на направление нормали п к поверхности контакта равна
up = (и + в х Rp) • п, Q_ = tij — t2h n = sm(3cos(fi-\-sm(3sm(fj — cos(3k
или
uP(у) = («i sin в + lpt1) cos у + (u2 sin в + Ipt2) sin y, Ip = rP cos в + hp sin в. (3.2) Обозначим
= maxMp((íc) = \/(wi sin/3 + Ipti)2 + («2 sin[3 + Ipt^)2. (3-3)
v
Удар происходит при Op = Д, где Д — величина зазора, измеряемая по направлению нормали п. Угол <р находим из соотношений
Ui sin в + lptl . U2 sin в + lpt2 ,0 eos 92 =---, sin <p =---. (3.4)
Op Op
Примем модель неабсолютно упругого непрямого удара с трением, согласно которой удар происходит мгновенно, а нормальная составляющая vp скорости точки P меняет знак и величину согласно соотношению
v+ = -kv—, 0 <k< 1, v± = (U± sin в + lPt± )cos^ + (U± sin в + lpt±)siny, (3.5)
где k — коэффициент восстановления, а знаками ± помечены величины после и до удара соответственно. Ударный импульс S_ складывается из нормальной Sn и касательной ST составляющих, связанных соотношением
S = —Snn - Stt, St = fSn, (3.6)
где / — коэффициент трения, г — единичный вектор, направленный по касательной составляющей скорости точки P до удара. Будем считать (в линейном приближении), что скорость точки P направлена по касательной к окружности (3.1), тогда
г = — sin <р i + eos <p j. (3-7)
Для вычисления величины Sn интегрируем уравнения (2.2) за время удара, пренебрегая при этом неударными силами. В результате получим
то Г— И j = S, S = S_— (S_ ■ к)к,
Ai (t -t ) = M, M = Mxk, M = RPxS,
где S и M — плоские ударный импульс и момент импульса.
Из соотношений (3.5) и (3.8) находим нормальную составляющую ударного импульса Sn, а также линейную и угловую t скорости тела после удара (для продолжения численного интегрирования системы (2.2)):
Sn = (1 + k)m* vp,
_ sin^ ll_ (3.9)
m* m Ai'
= «p Sn m
«+ = «p Sn m
t+ =t1- Sn
t+ = t2- Sn
где скорость V- определена формулой (3.5), а величину ш* назовем эквивалентной массой при ударе.
4. Силовое воздействие пластин и камней то же, что и в статье [1]. В случае двух кольцевых центрирующих пластин с жесткостями е\ и С2, расположенных на расстояниях Н\ и Л-2 от центра тяжести ротора, имеем
Шо
где
Fm = -с I ит + — {ит + х ит) ) , V ^о
—ш Í — "У —ч \ , т^гп
м =-сЛ t + ^-(t + c¿¿0 xt) )+hmF ,
(4.1)
, , тч , , c1h1 + c2h2 cic2(/ii - h2)2
—c{u + nmt), C=Cl+C2, nm = ---, C* —
I ' * I '
C1 + C2 C1 + C2
Y — безразмерный коэффициент внутреннего трения, которое принято по модели Е. С. Сорокина [11]. При этом в отличие от [1] пренебрегаем изгибной жесткостью пластин.
Силовое воздействие со стороны камней можно представить в виде
Fq = Е РШапк) ■ J(r„), Mq = hqF\ (4.2)
n
где
РП = mn^Rq, Tn = wo(í - tn ).
Здесь P(ank) — тензор поворота вокруг оси к на угол ап, через то„, tn и ап обозначены (см. рис. 1) масса n-го камня, момент его падения на рабочий орган 1 радиуса Rq и угловая координата направляющей, по которой камень движется. Угол an может принимать одно из N значений ak = 2kn/N, k = 1,...,N. Величины mn, tn и an могут быть случайными.
Безразмерная вектор-функция J(r) = Jx(t)í-\- Jy(r)j зависит от конструкции рабочего органа (от формы направляющих и от коэффициента трения fq между камнем и направляющей), причем она отлична от нуля лишь при 0 < t < т*, где т*/шо — время движения одного камня по направляющей.
Для определения функции J(r) рассмотрим движение одного камня. Введем на плоскости XOY, связанной с рабочим органом, систему координат r, p по формулам
x = Rqr cos p, y = Rqr sin p.
Пусть в этих координатах r = r(p) — уравнение направляющей. Тогда уравнения движения камня в безразмерных переменных имеют вид
dv dr
— = г cosa — Ft, —=vcosa, (4-3)
dT dT
где
dp 2
tg a = r—, Ft = fqFn, Fn = Kv +2v + rsina. dr
Здесь к — кривизна кривой р = р(т). В частности, для логарифмической спирали а = const, r = r0evctga,
r
Рис. 3. Траектория точки Р при различных интервалах времени.
После интегрирования системы (4.3) функции ЗХ (т) и Зу (т) находим по формулам ЗХ = Рп вт(ф + а) — сов(ф + а), Зу = —Рп сов(ф + а) — вт(ф + а).
5. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим конструкцию со следующими значениями параметров (все размерные величины приводятся в системе СИ). Масса и моменты инерции ротора т = 635.7 кг, Л\ = Л2 = 70.35 кгм2, А3 = 115.68 кгм2, размеры конструкции ЯР = 0.625 м, Я( = 0.6 м, Н1 = —0.05 м, Н2 = 0.2 м, Н( = 0.28 м, Нр = —0.2 м, ширина зазора и угол его наклона 5 = 0.0045 м, в = 55°, жесткость и коэффициент внутреннего трения пластин в\ = с2 = 3220000 н/м, 7 = 0.2, параметр логарифмической спирали ускорителя а = 30°, угловая скорость вращения = 160 с-1.
Пусть сначала падают камни одной и той же массы т(1 = 0.7 кг, причем интервал времени между падением соседних камней Д£ = 0.035 с, коэффициент трения камней !( = 0.5.
Примем, что коэффициент восстановления при ударе ротора о корпус к = 0.5, а коэффициент трения / = 0.2.
При расчетах определялась минимальная величина зазора и угловая координата ф точки Р с минимальным зазором (см. рис. 2). На приводимых ниже графиках показана траектория точки Р в подвижной системе координат. Когда точка Р достигает внешнего круга, происходит удар, начало координат соответствует невозмущенному положению.
Начальные условия считаем нулевыми. На рис. 3 показана траектория точки Р соответственно за 1 с и за 5 с от начала падения камней. Видим, что в течение первой секунды не было ни одного соударения, хотя упало уже 28 камней.
Расчеты показали, что для камней с большей массой кроме режима обычного соударения возможен режим, при котором ротор скользит по корпусу в течение некоторого интервала времени. С увеличением массы камней продолжительность этого скольжения увеличивается.
Для качественного анализа движения ротора исследовался упрощенный случай, при котором ось ротора совершает поступательное движение. Для реализации этого случая считаем, что центр тяжести ротора совпадает с центром ускорителя камней, а пластины расположены симметрично относительно центра тяжести. А именно, будем считать, что Н1 = —Н2 = 0.15 , Н( = 0, в = 90°. Сравнение с общим случаем показало, что при прочих равных условиях в случае поступательного движения амплитуда колебаний ротора в
Рис. 4. Переход на режим скольжения с увеличением массы камней.
несколько раз меньше, чем в общем случае, а удары ротора о корпус и режим скольжения наступают при больших массах камней. Это объясняется тем, что в общем случае кроме поступательного движения оси имеют место наклонные колебания, которые затухают гораздо медленнее, чем колебания при поступательных движениях. Наклонные колебания аналогичны гиперболоидальной прецессии тела, описанной в работе [12].
Для случая поступательного движения оси рис. 4 иллюстрирует различные режимы движения ротора при последовательном увеличении массы. При этом были приняты следующие значения параметров: частота падения камней ДЬ = 0.07 с, внутреннее трение в пластине 7 = 0.5, коэффициент восстановления к = 0.7, коэффициент трения при ударе о корпус f = 0.3, продолжительность времени 2 с.
Масса камней была взята последовательно равной т = 1.3 кг, т = 1.8 кг, т = 3 кг и т = 5 кг. При т = 1.3 кг соударений нет, При т = 3 кг начинается режим скольжения, который при т = 5 кг выражен сильно.
Приведем таблицу увеличения числа соударений за время 10 с при ДЬ = 0.035 с в зависимости от массы камней
т = 0.5 0.6 07 0.8 0.9 1.0 3.0 N = 0 2 12 23 43 400 34000
Соударения начинаются при т = 0.6, при т = 3 имеет место режим скольжения, который представляется в виде серии весьма частых ударов.
Энергия двигателя, затрачиваемая на поддержание постоянной угловой скорости ротора, состоит из двух основных частей: энергии на разгон камней и энергии на компенсацию сил трения при ударах. Расчеты показали, что при режиме скольжения энергия на компенсацию сил трения при ударах становится больше полезной энергии, затрачиваемой на разгон камней.
В качестве примера на рис. 5 приводится отношение ц энергии, расходуемой на компенсацию сил трения при ударах к полезной энергии, затрачиваемой на разгон камней. Были взяты следующие значения параметров: At = 0.07 с, 7 = 0.3, k = 0.7, f = 0.3, продолжительность времени 10 с. Кривая 1 соответствует ротору с неплоским движением оси, а кривая 2 — с плоским. Видим, что с увеличением массы камней mq при неплоском движении гораздо раньше начинается рост потерь на трение при ударах. Summary
Krasnov A. A., Tovstik P. E, Tovstik T. P. Centrifuge dynamics with impacts.
Equations of small vibrations of a centrifuge rotor which is a working head (an accelerator) of the stone crusher are introduced. The rotor is held in the vertical position by the visco-elastic plates, and it is under action of the sequence of the pulses from the stones in the accelerator. The influence of its impacts with the centrifuge frame on the rotor dynamics is investigated. Three regimes of the rotor motion are found. The examples are presented. Литература
1. Краснов А. А., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Центрифуга на воздушной подушке под действием случайных импульсов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 3 (в печати).
2. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применение. Т. 1, 2. М., 1952.
3. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М., 1974.
4. Григорьян А. Т. История механики гироскопических систем. М., 1975.
5. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М., 1959.
6. Кельзон А. С., Журавлев Ю. М., Январев М. В. Расчет и конструирование роторных машин. Л., 1977.
7. Товстик Т. П. Колебания динамически симметричного тела на консольном вращающемся стержне // Тр. 5 Междун. конф. по теории колебаний. М., 2001. С. 463-467.
8. Болотин В. В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. М., 1958.
9. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М., 1974.
10. Zhilin P. A. The nonlinear Motions and Stability of Equilibrium States of Rigid Body on Elastic Foundation // GAMM, Sci. Conf. Regensburg, 1997.
11. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., 1960.
12. Пасынкова И. А., Хеджджо М. О гиперболоидальной прецессии ИСЗ с цилиндрическим защитным экраном // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, вып. 2 (№8). 1996. С. 84-89.
Статья поступила в редакцию 10 января 2003 г.
