Центрифуга на воздушной подушке под действием случайных импульсов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№1)

А. А. Краснов, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик

ЦЕНТРИФУГА НА ВОЗДУШНОЙ ПОДУШКЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Выведены уравнения малых колебаний центрифуги на воздушной подушке, удерживаемой в вертикальном положении вязко-упругими мембранами. Найдены вероятностные характеристики колебаний под действием стационарного возбуждения последовательностью случайных импульсов.

1. Описание конструкции. Подвижная часть центрифуги (см. рис. 1) состоит из рабочего органа 1, вала 2 и воздушной подушки 3. Подвижную часть считаем абсолютно твердым телом, которое вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Вес подвижной части компенсируется давлением воздуха, постоянно накачиваемого в камеру 4 и выходящего через щель между корпусом и подушкой 3. Для фиксации подушки в рабочем положении она соединена тягой VS длины Ь с неподвижной точкой $. Через тягу на подвижную часть передается вращающий момент. При движении на рабочий орган 1 действуют случайные возмущающие импульсы. Вал центрифуги удерживается в вертикальном положении кольцевыми вязко-упругими мембранами 5.

А-

Рис. 1. Центрифуга. Отсчетное положение тела.

2. Кинематика тела. Неподвижную систему координат выберем так, чтобы ось г была вертикальна. Вокруг оси г происходит вращение тела с угловой скоростью Пусть сначала центр масс С в невозмущенном положении лежит на оси г. Начало координат поместим в точку С. В дальнейшем при исследовании прохождения через резонанс при изменении угловой скорости (£) будет рассмотрен случай, когда расстояние от оси г до центра масс равно малой величине d. В процессе движения центр масс будет смещаться на малую величину, а ось тела будет отклоняться от вертикали на малый угол.

© А. А. Краснов, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик, 2003

Введем подвижную систему координат, вращающуюся вокруг вертикальной оси г вместе с телом с угловой скоростью Угол поворота этой системы координат отно-

сительно неподвижной обозначим через фо, причем фо (Ь) = шо(Ь). Этот поворот вокруг вертикальной оси запишем через тензор поворота

Р = Р(<рок) = (1 — соэ^о) к® к + совфо К + віпі^о к х Е_.

Тело имеет 6 степеней свободы. Зададим 6 параметров — неизвестных функций времени, которые однозначно определяют положение тела. Три из них будут задавать положение центра масс, а три других — ориентацию тела.

Вертикальная ось тела с ортом к может наклоняться. Зададим тензор поворота, отвечающий за наклон тела, т. е. поворот 6 = 6 т вокруг горизонтальной оси с ортом т на угол в

<3 = <?(#) = (1 — совв) 221 ® 221 + со ев Е_ + втв т х Е_.

За вектор £ обозначим единичный вектор вдоль оси тела после наклона

ОІІ) ' к = £ = і\і + #2і + #зк.

Величины Ьі и Ь2 будут нашими параметрами, через которые мы выразим тензор поворота С^.

Вектор в выражается так

0

£= (-^і + ^і) —,

а в первом приближении в = —іоі -\-tyj.

Угловая скорость ш, соответствующая тензору поворота (^ , (<3 = ^ х <3^ равна

Ш.(Ю = ----77 (—^2І + <и) Н-----------— (#1#2 — #2#1) £ •

совО - совО^+совО)

Это точная формула, которую можно получить из формулы [1]

где через В_ обозначен векторный инвариант тензора В_. При диадном представлении тензора по определению (а <8> 6) х = ах Ъ.

В линейном приближении ш(6) = — + т. е. только в линейном приближении

справедливо равенство 6 = ш.

Полный поворот тела в неподвижной системе координат будет складываться из композиции поворотов: поворота вокруг горизонтальной оси на угол в и поворота наклоненного тела вокруг вертикальной оси на угол фо

Е = о*) •£(£)•

Полная угловая скорость в неподвижной системе координат будет композицией угловых скоростей, соответствующих тензорам Р_0 и С}(6):

= иок + Е0 ■ (2-і)

Три параметра Ь1, Ь2, ф0 будут определять ориентацию тела в пространстве.

Введем в рассмотрение вектор и = и\і + и^з + и^к— вектор смещения центра масс во вращающейся системе координат. В неподвижной системе координат радиус вектор центра масс будет выражаться формулой Кос = £-0 ' ^ •

В качестве 6 величин, определяющих положение тела, возьмем

д = {иі, П2, из, Ьі, Ь2, фо}-

3. Динамика тела. Уравнение движения центра масс во вращающейся системе координат имеет вид

то (с^о хи + ш0 х (с^о х и) + 2ш0 х и + и) = N, (3-1)

где то— масса тела, £ — главный вектор внешних сил, действующих на тело. В проекциях на оси подвижной системы координат уравнение (3.1) принимает вид

ТО («1 — 2с^оМ2 — ^ом1 — ^0и2) =

то (м2 + 2с^омі - +^омі) =-^2, (З-2)

тиз = .

Пусть главные центральные моменты инерции тела равны Аі, А2, Аз и центральный тензор инерции в отсчетном положении равен

А0 = Аіі <8> і + А2і <8> і + Азк®к . (3-3)

В общем случае будем считать, что в формуле (3.3) А і = А2.

Уравнение вращательного движения тела в неподвижной системе координат имеет вид

!(і,-а) = м„ л=Е 4-£т = &-£-А-Яг £»• <34>

где А* — тензор инерции тела в неподвижной системе координат, угловая скорость вычисляется по формуле (2.1), а МФ —главный момент внешних сил в проекциях на неподвижные оси, вычисленный относительно центра масс. Умножим слева уравнение

(3.4) на тензор поворота . Тогда после дифференцирования получим

Ад • (^ + ^о) — Ад • (^ х Сс?д) + (о; + Сс?д) х ■ (ш + = М_, (3-5)

гДе Ав = <3 • А0 • <3Т—тензор инерции во вращающейся системе координат и

М = ■ Мф — момент внешних сил во вращающейся системе координат.

При линеаризации уравнений движения (3.2) и (3.5) будем считать малыми величины u 1, М2, из, и £2. При этом, учитывая, что точка V (см. рис. 1) движется по поверхности сферы радиуса Ь, находим, что проекция из имеет второй порядок малости. Действительно, имеем

и?

из — \/-L2 — и?ху — L — —2Ь’ и'хУ ~ \/(Mi — hyti)12 + (м2 — 2)2,

где uxy — проекция смещения точки V на плоскость xy, а hv — расстояние CV. Поэтому при линеаризации в третьем уравнении (З.2) считаем u3 = 0 и определяем из этого уравнения натяжение тяги SV.

При линеаризации уравнения (3.5) учитываем, что тензор инерции Ад на величины первого порядка малости отличается от постоянного тензора А0- В проекциях на оси вращающейся системы координат получаем

—Ai(t2 + wot'i) + (A3 — A2 )wq (t i — wot2) + (A3 — Ai )woti = Mi,

A2(ti — WQt'2) + (A3 — Ai)wo(t 2 + woti) + (A3 — A2 )wot2 = M2, (3.б)

A3 Wq = M3.

Третье уравнение (З.б) используется для определения внешнего вращающего момента, если известна угловая скорость wq.

Пусть тело динамически симметрично, т. е. Ai = A2. Тогда первые два уравнения систем (З.2) и (З.б) можно записать в компактной форме

то (й + хм — шїм + шп х и] = F,

.. 0 -0/ ^ ^ ^ ^

А^ - (A3 - 2А1)ш0 xt- (A3- Ах) (ш0хі - = М,

где введены «плоские» векторы

м = мі* + M2J, t = t\i + t2j, F = F\i + F2J, M = М2І — Mij.

4. Внешние силы и моменты, действующие на тело. Учитывая сказанное, будем вычислять главным образом компоненты плоских векторов F и М.

Вязко-упругие мембраны б оказывают основное влияние на движение тела. Пусть сначала имеется только одна упругая мембрана на расстоянии hm по вертикали от центра масс. Воздействие мембраны на тело задается соотношениями

Fm — сит — с(м hmt), ит — и + hmt,

__ _ _ _ „ _ (4.1)

Мт — -|- hmFт — chmu (с* chm)t,

где мт — вектор горизонтального смещения центра мембраны, с — жесткость мембраны в своей плоскости, c* — изгибная жесткость мембраны, проявляющаяся при повороте тела.

Если имеется несколько мембран, их действие может быть сведено к действию одной эквивалентной им мембраны. Рассмотрим, например, случай двух мембран. Пусть они

расположены на расстояниях Лі и Л-2 от центра масс, имеют жесткости в своей плоскости сі и С2 и изгибные жесткости с*і и с*2. Тогда действие этих мембран эквивалентно в соответствии с соотношениями (4.1) действию одной мембраны с параметрами

с сі + с2, Лт

СіЛ-і + С2^2

Сі + С2

с* — С* і + С*2 +

слс2{Ьл - к2)2 с і + с2

Видим, что при наличии двух мембран эквивалентная изгибная жесткость существенно увеличивается.

При введении вязко-упругих сил считаем, что материал мембраны подчиняется закону Фойгхта, в соответствии с которым напряжение а связано с деформацией е по формуле

где 7 — безразмерный коэффициент внутреннего трения, П = шо + ш — характерная частота колебаний. С учетом формулы (4.2) соотношения (4.1) переписываются в виде

где слагаемые с множителем учитывают потери энергии, связанные с вращением подвижной системы координат.

Точное определение сил со стороны воздушной подушки является достаточно сложным (см. [2]). Для наших целей достаточно приближенных оценок. Можно принять, что величина подъемной силы равна

где Др — разность между давлением в камере 4 (см. рис. 1) и атмосферным давлением, —площадь подушки. Предполагаем, что сила £ превосходит вес тела настолько, чтобы в процессе движения тяга все время была натянута. При смещении точки V в горизонтальной плоскости появляются проекции на горизонтальную плоскость подъемной силы, которая направлена по оси тела, и силы натяжения тяги. Этими проекциями будем пренебрегать, ибо в рассматриваемой конструкции они существенно меньше сил взаимодействия с мембранами. По той же причине пренебрегаем силами, возникающими при смещениях тела в воздушном зазоре.

Поверхности корпуса и воздушной подушки 3 в окрестности воздушного канала 6 — это сферические поверхности радиуса До. Канал образуется в результате вертикального поднятия тела над корпусом на высоту ку. Толщина канала в невозмущенном положении равна

где Д^ —радиус подушки, в — угол между осью тела и направлением на подушку (см. рис. 1). При нормальной работе центрифуги тело не должно касаться корпуса. Ясно, что поворот тела вокруг центра сферы О не меняет величины зазора, и условием нормальной работы является

(4.2)

(4.3)

£ = Др5.ц, Др = р - ро,

Л = Ну соэв, віпв = Д«/До,

ІмоМп/З < Ь или |мо| < Ііу

где _

йо = и + (4-4)

— вектор перемещения центра сферы О, а Ло —расстояние ОС.

Тело находится под действием внешних возмущающих сил, приложенных в нескольких точках, равномерно расположенных на горизонтальной окружности (рабочего органа 1) радиуса Дд, имеющей вертикальную координату Нч. В связи с тем, что число

точек, в которых приложены силы, не влияет существенно на результирующее движе-

„ -=(1) -=(2)

ние, ограничимся простейшим случаем двух сил г и —г , приложенных в точках с

координатами (Дд, 0, Нч) и (—Дд, 0, Нч). Тогда результирующее возмущающее воздействие определяется формулами

ВД=Р(1)-:Р(2), Мч{і) = кчТч{і). (4.5)

Силы і'1*'1'1 и -Р*'2'* являются независимыми случайными функциями времени, имеющими одинаковые вероятностные характеристики. Подробности, связанные с заданием этих сил, приводятся ниже.

При разгоне и торможении центрифуги возможно прохождение через резонанс. Для анализа этого явления введем малый эксцентриситет е смещения центра масс от оси вращения. В результате появится сила инерции

= тш^ег. (4-6)

5. Безразмерные переменные. Система уравнений (3.7) с учетом выражений для сил взаимодействия с мембраной (4.3) принимает вид

то (й + 2со0 х й - х й) + с (йт + ^(йт + х йт)^ = Рч + ґє,

А\і — (Аз — 2Аі)иі0 х ї — (Аз — А\) х ї — с^дї) +

+ С* ^ ^ ^ —0 ^ ^)^ ^ її"тС ^ (^т ^д X

— 16 -|- Нті.

(5-1)

Введем радиус инерции рх по формуле Ах = р^то. В системе (5.1) за единицы длины, массы и жесткости примем соответственно величины р\, то и с. Тогда характерное время Т равно Т = \Jrnj с. Величины в системе (5.1) преобразуются по формулам

г = Тг*, {^0,6™,^ } = р1{^,Л4>*}, } = с{ £*,£*}, Мд = ерхМ*,

^1 = 1, Ад = А3/А1, {^,^д,П} = с* = с/^с*,

где верхним индексом * отмечены безразмерные величины. В дальнейшем индекс * опускаем, после чего система (5.1) принимает вид:

і + (2 — Аз)с^д X І + (1 — Аз) (о>д X І — Сі^ді) +

+ с* (і + ^(£ + Сс?д х і)^ + /іт (мт + ^(мт +Уд X Ит)^ — Мд,

(5.2)

т

Плоские векторы в системе (5.2) можно рассматривать как комплекснозначные функции, например, й = и\ -\-г При этом справедливы равенства вида о;0 х й = г оиой, где г — мнимая единица.

6. Свободные колебания. Влияние эксцентриситета. Пусть в системе (5.2) Гд = Ре = Мд = 0 и о;0 = 0. Тогда ее решение можно искать в виде и = II егиг, £ = Т еги1, где и и Т — постоянные комплексные амплитуды колебаний, удовлетворяющие системе

(1 + г 7 — О2) и + /1т (1 + г 7) Т = 0, О = ш + ш0,

(1 + г 7) и + ((^т + с*)(1 + г 7) + АзшоО — О2) Т = 0.

Обозначим через Д(ш,ш0) определитель системы (6.1)

(6.1)

Д(ш,шо) = (1 + г 7 — О2) ((^т + с*)(1 + г 7) + АзшоО — О2) — (1 + г 7) . (6.2)

Несложно показать, что при отсутствии внутреннего трения (7 = 0) уравнение Д(ш,ш0) = 0 имеет 4 вещественных корня. При 7 > 0 корни становятся комплексными, причем затуханию колебаний соответствует случай, когда 1т ш > 0. Расчеты показали, что во всех случаях, кроме с* =0, имеет место затухание колебаний. При с* = 0 уравнение имеет нулевой корень.

При наличии эксцентриситета е система (5.2) имеет решение й = С/, £ = Т, где постоянные и и Т удовлетворяют системе (6.1), в которой следует положить ш = 0 и правую часть первого уравнения заменить на ш0 е. Из этой системы найдем смещение центра сферы (4.4) в зависимости от угловой скорости вращения ш:

2

ш е ( )

П° ~ А(0°шО) _ _ ^т)(1 + * 7)) •

\и0\/е \и0\!е

Рис. 3. Смещение центра сферы из-за эксцентриситета.

На рис. 3 приведена зависимость |г^о(<^о)| в долях эксцентриситета е при 7 = 0.2, 60 = 1.5, Нт = —0.3. Рис. 3, а иллюстрирует влияние отношения между моментами инерции тела. Рассмотрены значения А3 = 0.7 и А3 = 1.65 при с* = 0.2. При А3 < 1 кривая имеет два максимума, а при А3 > 1 — один максимум, расположенный вблизи ш0 = 1. На рис. 3, б показано влияние изгибной жесткости. Рассмотрены три значения с* = 0, с* = 0.2 и с* = 0.4 при А3 = 1.65. С ростом с* максимум амплитуды снижается. При увеличении ш0 происходит самоцентрирование, т. е. и0 ^ — е при ш0 ^ го.

7. Вынужденные установившиеся колебания. В системе (5.2) считаем Ее = 0 и ш0 = 0. После перехода к комплексному представлению функций правые части системы

(5.2) сохраняют свой вид (4.5). Как было сказано, случайные функции и независимы и имеют одинаковые вероятностные характеристики. В силу соотношений

(4.5) математические ожидания решений системы (5.2) равны нулю:

Е(й) = Е(Т) = О,

и нашей задачей будет нахождение спектральных плотностей решений.

Запишем интегральные представления правых частей и решений системы (2.5) в виде (см. [3])

-| /*ТО -| /*ТО -| /*ТО

Тд = -= УР(ш)е™г<1ш, й=-= Уи(ш)е™г<1ш, г = -= У^ш)е*шгсЬ, у2^—^ V2п ]—то л/2п 7—^

_ _ _ (7Л) где Vр(си), Уи(си) и У((си)—дельта-коррелированные случайные функции частоты си. После подстановки в систему (5.2) находим

У и (w) — -j—.—-—((с* + h?m — hmhq)( 1 + * 7) + A3CO0Q — П2) , A(w, Wq)

- (7.2)

Vt{u) = —r~,—-—~т {(hq — hm)( 1 + i 7) — /imQ2)) , Cl = со + wo-A(w, wo)

Найдем еще преобразования Фурье Vo и Ут смещения центра сферы йо = й + hot

и усилия в мембране Fm = — (1 + г 7^)(м + hmt). С учетом формул (7.2) получаем

FqH = S0(u>)VF(u>), Vm(co) = Sm(co)VF(co), (7.3)

где передаточные функции S0(w) и Sm(w) равны

So (w)

(c* + (hm - hq)(hm - ho))(l + i 7) + A3wqQ - (l + hqho)Q2

Д(ш,ш0) (7.4)

(1 + *7) (с* (1 + *7)+ А3ш0О — (1 + hqЬт)°2')

Ьт(и) =----------------------Т7 N •

Д(ш,ш0)

8. Спектральное разложение возмущения. По условию каждая из сил и ______(2)

^ в (4.5) и (7.1) является суммой импульсов длительности £0, имеющих одинаковую

форму и разные амплитуды:

F{n\t) = J2^n)j(t-tf), ^п) =t<g1-tf >0, n = 1,2. (8.1)

Импульс J(t) отличен от нуля лишь при 0 < t < to- Амплитуды и интервалы между

(n)

началами соседних импульсов rj являются случайными величинами с известными вероятностными характеристиками. В силу формул (4.5) спектральное разложение силы Fq(t) имеет вид (7.l), причем

V р(из) = V j(cj)v(cj), (8-2)

где

Vj(oj) = ~^= J*° J(t)e-iujtdt, v(oj) = Y, {a^є-™*? - , (8.3)

Здесь Vj(oj) — известное преобразование Фурье импульса единичной амплитуды, v(u;) — случайная функция, зависящая от амплитуды и частоты следования импульсов. Возмущения и решения будут стационарными, если суммы по j в (8.1) и (8.3) — бесконечные.

9. Об оценке амплитуды колебаний. С учетом формул (7.3) и (8.2) находим представления для смещения щ и Для усилия Fm:

1 г°° _ . _ 1 г°° _ .

uo(t) — —7= So(uj)V j(uj)v(uj)etuJtduj, Fm(t) — —= Sm(cu)V j(u;)v(uj)eMtduj.

л/2n J—^ v2n J—ж

_ _ (9-1)

Нас интересуют максимальные значения модулей перемещения г^о и усилия Fm: U™ax = шах |йо(t) I = max yju^t) + «§2(t), F™ax = max ^(i) + «^(t). (9.2)

Оценки величин (9.2) могут быть легко получены в результате численного интегри-

/сг « (n) (n)

рования системы (5.2) при заданном распределении случайных величин и т^ в

формулах (8.1). При аналитическом исследовании ограничимся определением математического ожидания квадрата модуля величины iio(t) (для величины Fm(t) результаты аналогичны приведенным). С учетом форомулы (8.1) находим

E\uo(t)\2 = — [[ So(cj)Sq(oo) V*j(cd)'Vj(cj)E{v(u)v*((d)}e'l'(yUJ~UJ">tdujd(d, (9-3) 2n J J—ж

где звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины.

Если возмущение (4.5) стационарно, то и решение будет стационарным и формула

(9.3) упрощается и принимает вид

/оо

|5o(w)|2sfM du, sf(uj) — \Vj(uj)\2 sv(uj). (9.4)

-Ж

Здесь спектральная плотность возмущения Sf (ш) представлена в виде произведения двух сомножителей, первый из которых зависит только от формы импульсов «/(£), а второй — от амплитуды и частоты следования импульсов, причем

E {v (ш )v * (u)} = 2 nsv (w )5 (w — u).

Представление (9.4) позволяет минимизировать величины (9.2) путем подбора параметров, от которых зависят передаточные функции S0 (ш) и Sm (ш).

10. Передаточная функция. Интересующие нас амплитуды |«o(t)| и \Fm(t)\ в силу формул (9.3), (9.4) зависят от функций Sо(ш) и Sm(w) и от входящих в (7.4) параметров. Рис. 4 иллюстрирует зависимость модуля передаточной функции Sо(ш) от угловой скорости вращения шо и от изгибной жесткости мембраны с*.

Рассмотрены значения шо = 0.7, 1.5 и с* = 0.02, 1.0. Остальные параметры имеют значения y = 0.3, h0 = 0.8, A3 = 1.65, hm = 0.5, hq = 1.0.

Видим, что всвязи с вращением ротора передаточная функция не является четной. Из сравнения графиков при с* = 1.0 и с* = 0.02 следует, что уменьшение изгибной жесткости мембраны ведет к существенному увеличению модуля передаточной функции. Острые максимумы кривых при с* = 0.02 связаны с тем, что при с* =0 знаменатель функции So(w) обращается в нуль при ш = —шо.

Summary

Krasnov A.A., Tovstik P.E., Tovstik T.P. Centrifuge on an air cushion under the action of random pulses.

The equations for small vibrations of a centrifuge on an air cushion are obtained. The centrifuge is hold in the vertical position by the viscoelastic diaphragms. Random characteristics of vibrations under the action of a number of random pulses are found.

Литература

1. Zhilin P.A. A New Approach to the Analysis of Free Rotations of Rigid Bodies // ZAMM. Z. angew. Math. Mech. 1996. Vol. 76, N 4. P. 187-204.

2. Горбачев Н.М., Красильников В.А., Лосик Т.П., Смирнов Б.И. Газовая смазка опорных узлов центрифуг // Техн. прогресс в атомной пром. Сер. Твэлостроение. Вып. 4/24. 1988. C. 29-35.

3. Пугачев В.С. Теория случайных функций. М., 1960.

Статья поступила в редакцию 8 июня 2002 г.