CC BY
65
Механика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (3), с. 47-54
УДК 621.0, 621.8
ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИИ СТАТОРА НА ДВИЖЕНИЕ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО ГИБКОГО РОТОРА ПРИ ИХ КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
© 2013 г. Д.В. Баландин 1, А.Н. Никифоров 2, А.Е. Шохин 2
1 Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 2 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва
Поктупила в редакцию 03.12.2012
Представляется математическая модель ротора Джеффкотта-Лаваля в податливом статоре, построенная методом Лагранжа в координатах вращающейся с ротором плоскости. С её помощью анализируется влияние колебаний статора как твердого тела на режимы скольжения и качения несбалансированного ротора по статору.
Ключевые клова: ротор, статор, контактное взаимодействие, скольжение, обкатка, математическая модель.
1. Введение
Режимы контактного движения ротора по податливому статору исследованы в [1—4], причем сравнительно недавно и в значительно меньшей степени, нежели случай ротора с абсолютно жестким статором, например [5-8]. В действительности в роторных машинах статор в целом или его отдельные элементы имеют упругое закрепление. Вместе с тем часто применяются статорные узлы с малым (до ротора) рабочим зазором: подшипники скольжения, активные магнитные подшипники, уплотнительные кольца и втулки-ограничители. Отсюда возникает потенциальная опасность задевания ротором статорных элементов со стремительным их истиранием и даже с катастрофическим [9] разрушением. Однако в отличие от упомянутых публикаций в [10] предложена качественно новая математическая модель системы «ротор-статор», позволяющая одновременно исследовать безударные, виброударные и безотрывные движения (скольжение и обкатку) ротора по статору, в том числе при проскальзывании ротора.
С математической точки зрения разработана обобщенная всережимная и многопараметрическая динамическая модель ротора Джеффкотта-Лаваля с податливым статором (рис. 1) с учетом важных для практики эксплуатационных факторов. В модели учитываются: малые линейные и угловые перемещения (вибрации) статора как твердого тела, обусловленные его упругим закреплением; несоосность ротора и статора в
состоянии статического равновесия вследствие неизбежных неточностей изготовления и сборки; нагрузка от веса ротора, имеющая место при его горизонтальной установке; крутящий момент на роторе, управляющий его разгоном-торможением.
2. Математическое описание динамической модели ротора Джеффкотта-Лаваля с податливым статором
Математическая модель для исследуемой роторной системы построена в координатах плоскости От, вращающейся с вектором неуравновешенности ротора Іі(і, методом Лагранжа из дифференцирования кинетической энергии системы, сложенной из кинетических энергий привода, ротора и статора:
(1)
+-тї 04 + ухк) + /^6
где шк - масса и ^ - полярный (осевой) момент инерции ротора; JG~JR - момент инерции ротора относительно оси, параллельной оси ротора и проходящей через его центр масс О; т$ - масса и ./л- - полярный момент инерции статора, -угловая скорость и J0 - полярный момент инерции привода.
В качестве обобщенных координат в модели (рис. 1) использованы радиальные перемещения ротора дь д2 и угол его поворота д3, а также соответствующие линейные смещения статора д4,
Иккледовабие выполбебо при поддержке Мибиктерктва образовабия и бауки Роккийккой Федерации, коглашебие 14.B37.21.2019 «Проблемы дибамичеккого коктоябия кложбых кред и кобктрукций».
д5 и его угловое перемещение д6.
Вектор абсолютной скорости центра ротора М определяется суммой векторов гк - переносной скорости центра ротора во вращающейся системе координат и /;; ц:. - относительной скорости центра ротора, обусловленной вращением системы Ому вокруг начала координат О. То же самое относится и к центру статора .V:
= 7я + гяЪ = 4У + чу + ту - чМ1 ^ + гзЪ = чу + чу + чА'’ ~ чАй>
где и и г - единичные векторы.
При этом, так как движение ротора (статора) во вращающейся системе координат является криволинейно поступательным (переносным), то все точки ротора имеют одинаковую скорость движения относительно начала координат
О в системе Ому. Это позволяет найти важные с точки зрения роторной динамики скорости точек О и С (т.О располагается на линии, параллельной оси ротора и проходящей через его центр масс, а т.С принадлежит линии контакта):
\’д = гк + ОС х д3 = гк + гкдъ + ЯЄ х д3 =
= дхй + д2V + дхдъ\' - д2дъй + адъ\'
vRu =4x-q^vGu =Чі-ЧгЧгі
vRv = Чг + 4i%- vGv =42+ І4і + a)q3, vs« =Ча~ vc„ = qx- (q2 + ?-sinar)qr3;
Vsv = Ъ + чАъ> Vcv =Ъ+ І4і + rcosa)q3
Подставляя (3) в (1), можно получить кинетическую энергию системы, выраженную через принятые обобщенные координаты (здесь и далее вместо Оо используется ОД):
1
1
+—m
(?1-ад3)2+(£,+(£+я) $,)'
+ |л?3 + [(?4 - СМз)2 + {ъ + 949з)2] +
■
Дифференцирование этого выражения по Лагранжу, т.е. в соответствии с его системой уравнений второго рода
{8Т/а?, )/Л - дТ/дд1 = О,,
позволяет составить уравнения движений ротора и статора:
тк \дх -д2дг- 1д2дг - (дг + а)д; ] = 01,
[ъ + (41 +а)'4ъ+ ЧхЪ ~ 4г41 ] = й,
m
J
vc = rR + ОС хд3 = rR + rRg3 + RC хд3 =
= д{й + g2v + дхду ~ 4-4з^ +
+(г cos a)g3v - (г sin а)д3й,
где a=RG и r=RC - дисбаланс и радиус ротора.
Отсюда и из (2) легко найти скалярные величины, т.е. проекции абсолютных скоростей центров R, G, S и точки С:
(3)
+ тя {{41 + я)2 +41) + (д\ + д;)] дъ +
+тк\(д1+а)'д2 -'дхд2 +
+2 (дх+ а) дх д3 + 2д2 д2 дг ] + (4)
+т3 (зд5 ~ Ча4ь + Чз4Аа + 2Ъ4А) =
: (?4 - 4ъ4. ~ 2ЪЪ ~ 414а) = О,-■з {45 + Ъ44 + 24344 ~ 4з4\) = 05,
^з4о = 06 5
Л?о — Неважные для эксплуатации статические и динамические обобщенные силы/моменты Qi для соответствующих линейных, угловых перемещений д, учитываются следующими в^1ражени-ями (рис. 2):
S
ms
m
Рис. 2. Силы и моменты в исследуемой роторной системе
Qi - ~kR41 _ dRqx - Dr (q - qq) +
+mRg cos q - F cos а + F sin а,
Qi ~ ~^r4i ~ 2 — (q + qq) —
-mRg sin q - F sin а - F cos а,
Q3 = Dr (<7i ~(h('h)(h -Dr (q + qq) q ~ -»^g[(q + fl)sinq +q2 cosq]- (5)
—Mc + kR (q0 — q),
Qa = ~kS44 - DS (Ч4 ~ ЪЪ) + F C0S « - Fz sin «-Qs = -ksqs - Ds (q + qq) + F sin a + Fz cos a,
Qo =Mc ~Dsq6*
Qo =M0 ~^R (Qo ~ (7з) '
где kR - жесткость ротора и kS - жесткость крепления статора в радиальном направлении, Dr и dR - коэффициенты внешнего и внутреннего трения для ротора, и Ds - коэффициент внешнего трения для статора в радиальном направлении, kR - жесткость ротора на кручение, ks -жесткость крепления и Ds — коэффициент внешнего трения для статора в окружном направлении, M0 - крутящий момент привода, mRg - сила тяжести ротора.
На практике М0 зависит от угловой скорости привода q [11]. Эта зависимость обычно задается в виде совместной характеристики двигателя (крутящий момент Mi ) и ротора (момент сопротивления, связанный с рабочей нагрузкой М2): ”
М0 =МХ -М2 =М,Х2 -д0 / ©„) -Мп(% / (6)
где Mn, rnn - номинальные значения крутящего момента и угловой скорости.
Нормальная Fn и касательная FT составляющие, а также момент Me контактной силы (рис. 1), действующие на ротор и статор при выборе радиального зазора 8, вычисляются согласно упруго-вязкой модели удара [1, 4]:
F=kcA + dcA, F=MF„,
-Мс = (F cos a- FT sin a) (q + r sin a) --(F sina + FT cosa)(q + rcosa), где A = rRS—S - радиальная деформация, A = vCn =((/,-qA)cosa + (q2 - её ско-
Pость, cosa = (q - q4)/R , sina = (q2 - q5)/rRS ,
rRs = \j(q-Ч4)2 + (Ч2-q)2, a - коэффициент трения.
Коэффициенты упругого кС и вязкого dc сопротивлений контактных поверхностей выражаются при помощи широко употребляемых в классической теории удара коэффициента восстановления e и длительности удара во времени г [12]:
( \
e = exp
-щ
л/1
1 =
d
2^
m
2щ
c m = mRms
Т™ = 2т.
Для установления направления действия силы / г в т.С необходимо знать проекцию ее абсолютной скорости vr на касательную, т.е. относительную тангенциальную скорость ротора в точке контакта с учетом движения статора vCt (рис. 1):
vcr = (Ч2 ~ Ъ ) cos « - (% ~ Ч4) sin а + (/^ + г) q.
Сила F направлена противоположно скорости vCt . Это условие выполняется, если следующее скалярное произведение отрицательно:
Frvc = ((Fr sina)u + (~Fr cosa)v){vcu + vCvv) =
= vc„ К sin « - vc, F cos a < 0 Если это условие нарушается, то касательная составляющая контактной силы должна быть с обратным знаком:
F = -F.
т т
Условиями отсутствия контакта между ротором и статором, т.е. условиями равенства нулю силы Fn и, соответственно, Ft и МС являются:
А<0 и F < 0.
n
Переход от перемещений q, q, q4, q к перемещениям центров ротора R и статора S вдоль осей неподвижной системы координат можно выполнить по формулам: хя = q cos q - q sin q, xs = q cos q - q sin q, yR = qi sinq3 + q2 cosq3, ys = sinq3 + q5 cosq3.
Координаты центра ротора xR, yR связаны с координатами эксцентрических точек ротора x^ уе соотношениями:
Xe = xR + e cos q3, Уе = yR + e sin q3, где е - расстояние от центра до выбранной точки.
Дифференциальные уравнения (4) с правыми частями (5), а также приведенные дополняющие их соотношения и условия образуют замкнутую систему сильно нелинейных уравнений и представляют собой математическую модель ротора Джеффкотта-Лаваля с учетом возможных контактов и вибрации статора.
З. Динамический анализ системы «гибкий ротор - податливый статор» при их контактном взаимодействии
Известно, что решение дифференциальных уравнений, описывающих движение степеней свободы механической системы в неподвижной (в декартовой) системе координат можно получить в форме интегралов от произведений тригонометрических функций с малыми периодами, численная реализация которого требует вычислений в большом числе точек. Поэтому для определения сильно нелинейных перемещений ротора и статора при их контактном взаимодействии выгодно перейти к координатам подвижной плоскости.
Составление уравнений движения по Лагранжу во вращающейся с ротором системе координат, что и предложено в настоящей работе в отличие от известных математических моделей ротора, задевающего статор, приводит к значительному сокращению времени их интегрирования и к гарантированной достоверности счета численными методами. Другими словами, в этом случае неустойчивость, свойственная численным решениям дифференциальных уравнений и усиливаемая ошибками округления вычислительной машины, практически полностью
устраняется уже при сравнительно больших шагах интегрирования соответствующих уравнений.
Численное решение выведенной системы уравнений выполнено методом Рунге-Кутта 4го порядка точности с автоматическим выбором шага в среде программирования MATLAB. Результаты такого решения с параметрами для гибкого ротора и податливого статора представлены в таблице в стилистике сопоставления с контактно-динамическим откликом аналогичного ротора в абсолютно жестком статоре, т.е. с расчетными данными, полученными из решения уравнений вида:
^r \_Чі ~ ЧтЯъ ~ 2qq ~ (q Чъ ~\ ~ Qi ’
^r \_Чг (q + ^) q + ~ ЧгЧъ J — Qi ■>
Jr + mR ((qi + a )2 + q2)
-qq +2 (q + a)qq3 + 2 qqq] = Q3,
Jq4o = Qo s Qi = -kR4i - dRqx - Dr (q - qq) +
+mRg cos q - F cos а + F sin а,
Qi = ~^r4i -dRq -dr (q + qq) --mg sin q - F sin а - F cos а,
(Л = D, (q - qq) q - ]),< (q + qq) q -
[(q + a) sin q + q cos q ] -
—Mc + kR (q — q),
бо =мо (q -q)-
Во всех расчетах проигрывалась одна и та же ситуация: сбалансированный ротор, нагруженный моментной характеристикой (6), стремительно за 0.15 секунды разгоняется до номинальной частоты fn=100 Гц, а затем при ?=0.15 с подвергается разбалансировке до величины неуравновешенности а/8=1.
На рис. З показаны переходные динамические процессы, происходящие в результате раз-балансировки и установления контакта ротора с жестким статором при ,«=0.27. Как видно, имеются три временные области, различающиеся характером движения.
В промежутке времени от 0 до 0.15 с вибрация ротора практически отсутствует, т.к. поперечное отклонение центра ротора xR ~ 0 (рис.
3,а) и линейная скорость его центра в радиальном направлении vCn « 0 (рис. 3,ж). При этом частота вращения ротора fR достигает 100 Гц (рис. 3,б), а линейная скорость роторной поверхности vCT превышает 30 м/с (рис. 3,з).
q +mR[(q1 +a)q2 -
Заданные параметры системы «ротор-статор»
Таблица
Наименование Обозначение Величина
Масса ротора / статора тк=т% 10 кг
Осевой момент инерции ротора / статора 0.0125 ктм2
Критическая частота вращения (собственная частота поперечных колебаний ротора) І = — 2п\ тЕ 80 Гц
Собственная частота поперечных колебаний статора /х=ю/л 800 Гц
Собственная частота крутильных колебаний ротора 7 =— 1к 2к\ кк •г* 800 Гц
Собственная частота крутильных колебаний статора о II 800 Гц
Номинальная частота вращения привода /п 100 Гц
Номинальный крутящий момент привода мп 100 Нм
Осевой момент инерции привода Л 0.00125 ктм2
Радиус диска ротора Г 50 мм
Радиальный зазор 3 2.5 мм
Дисбаланс ротора а 2.5 мм
Коэффициенты вязкого трения для ротора и статора <ік = = 10 Нс/м
Коэффициент восстановления е 0.6
Длительность контакта Т 10-4 с
Рис. 3. Системные процессы при разбалансировке и качении ротора по жесткому статору На интервале с 0.15 по 0.25 с возникают ко- мальной скоростью юСп до 2 м/с (рис. 3,ж). При
лебания ротора с ударами о жесткий статор. этом частота вращения ротора / сначала сни-
Ротор хаотично перемещается в пределах вели- жается до 80 Гц, а затем резко падает до 30 Гц
чины зазора -2.5 мм<гк<2.5 мм (рис. 3,а) с нор- (рис. 3,б). Подобно - в два этапа - уменьшается
Рис. 4. Системные процессы при разбалансировке и качении ротора по податливому статору (светл.)
тангенциальная скорость иСг сначала до 20 м/с, а потом и вовсе до 0 (рис. 3,з). О том, что происходят отчетливые и частые соударения, говорит учащенная пульсация нормальной контактной силы Еп в пределах от 0 до 500 кН (рис. 3,г).
Начиная с 0.25 с устанавливается безотрывное движение - режим обкатки ротора по жесткому статору. Смещение центра ротора хк ограничивается величиной радиального зазора 2.5 мм на каждом периоде колебаний и становится периодическим и высокочастотным (рис. 3,а и рис. 3,в). В это же время под действием крутящего момента двигателя частота / постепенно восстанавливается (повышается) до 80 Гц (рис. 3,б), а сила Еп достигает величины свыше 2000 кН, что в несколько раз превышает контактную нагрузку от отдельных соударений (рис. 3,г). При этом значения скоростей иСи и рСг колеблются около нуля, см. соответственно (рис. 3,ж и рис. 3,з). В координатах хк, ук центр ротора движется по окружности радиуса 3 (рис. 3,д). Эксцентрическая точка ротора (е=10 мм) описывает характерные гипотрохоиды с числом петель г/3=20 (рис. 3,е). За время с 0.39 по 0.4 с происходит 16 колебаний центра ротора (рис. 3,в), следовательно их частота / хг/3=1600Гц.
Рисунок 4 иллюстрирует нестационарные системные процессы, происходящие вследствие разбалансировки ротора и задевания им податливого статора при ,«=0.45. Видно, что на начальном временном отрезке (до 0.15 с) динамика ротора не изменяется.
Далее в период с 0.15 по 0.18 с совершается виброударное движение ротора по податливому статору. Хаотическая ударная вибрация ротора вызывает малые колебания статора (рис. 4,а). В результате соударений частота вращения ротора /к падает до 20 Гц, а частота крутильных колебаний статора доходит до 20 Гц (рис. 4,б). Пульсация нормальной ударной нагрузки Еп характеризуется максимальными значениями от 500 кН до 1000 кН (рис. 4,г). При этом линейная скорость ротора по нормали иСи достигает 6 м/с (рис. 4,ж), а в точке касания статора ,оСт уменьшается до 0 (рис. 4,з).
С 0.18 с возникает режим обкатки ротора по податливому статору. В результате ротор, раскачивая статор до 2.5 мм, получает увеличивающуюся амплитуду абсолютных собственных отклонений - до 5 мм от статического положения равновесия (рис. 4,а и рис. 4,в). При этом частота вращения ротора / медленно нарастает
до 55 Гц, а частота крутильных колебаний статора плавает в интервале от 0 до 5 Гц (рис. 4,б). Средние значения контактной силы Еп и скоростей vCn и уСт устанавливаются соответственно на уровне 500 кН (рис. 4,г), 0 м/с (рис. 4,ж) и 10 м/с (рис. 4,з). Траектории центров ротора и статора в координатах (хк, ук) и (х5, у$) круговые (рис. 4,д). Эксцентрическая точка ротора (е=10мм) описывает гипотрохоиды с уменьшенным числом петель 10^г/3 (рис. 4,е). С 0.39 по 0.4 с происходит пять с половиной виброперемещений центра ротора (рис.4,в), следовательно их частота 550 Гцф/кхг/3.
На рис. 5 представлена динамика исследуемой системы в результате разбалансировки и контактного взаимодействия ротора с податливым статором при «=0.38. В этом случае после
0.15 с почти сразу устанавливается режим безотрывного движения - прямое синхронное со скоростью вращения скольжение ротора по податливому статору. При этом амплитуда поперечных колебаний ротора составляет 2.5 мм, а виброперемещения статора близки к нулю (рис.
5,а и рис. 5,в). За промежуток времени с 0.15 с и далее максимальные значения частоты вращения /к, контактной силы Еп и линейных скоро-
стей vCn, vCT уменьшаются соответственно со 1OO до 7O Гц (рис. 5,б), с 4OO кН до 5O кН (рис. 5,г), с 2 до O.2 м/с (рис. 5,ж), с 3O до 25 м/с (рис. 5,з). Траектории центра и эксцентрической точки ротора в координатах (xR,yR) и (x^y^ по форме представляют собой окружности (рис. 5,д и рис. 5,е). С O.39 по O.4 с происходит одно неполное колебание центра ротора (рис. 5,в), поэтому частота его вибрации меньше 1OO Гц.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
1. Контактная нагрузка между ротором и жестким статором в несколько раз больше той, которая действует между ротором и податливым статором.
2. Чем меньше податливость статора, тем меньше критический коэффициент трения, приводящий к опасной обкатке ротором статора.
Чем меньше податливость статора, тем больше скорость прецессии ротора при обкатке.
Список литературы
1. Zhang G.F., Xu W.N., Xu B., Zhang W. Analytical study of nonlinear synchronous full annular rub mo-
tion of flexible rotor-stator system and its dynamic stability. Nonlinear Dyn. 57: 579-592 (2009).
2. Popprath S., Ecker H. Nonlinear dynamics of a rotor contacting an elastically suspended stator. J. of Sound and Vibration 308: 7б7-784 (2007).
3. Jiang J., Ulbrich H., Chavez A. Improvement of rotor performance under rubbing conditions through active auxiliary bearings. International J. of Non-Linear Mechanics 41: 949-957 (200б).
4. Wegener G., Markert R. Influence of contact and impacts on the dynamics of an elastic rotor with an elastic retainer bearing. Published in V.I. Babitsky (Ed.): Dynamics of Vibro-Impact Systems - Proc. of the EU-ROMECH, Colloquium, 1998. Pp.89-98.
5. Позняк Э.Л. Крутильный удар в валопроводе при внезапной и сильной разбалансировке // Машиноведение. 1987. №5. С. бб-74.
6. Grapis O., Tamuzs V., Ohlson N.-G., Andersons J. Overcritical high-speed rotor systems, full annular rub and accident. J. of Sound and Vibration 290: 910-927 (200б).
7. Олимпиев В.И. Об обкатке неуравновешенно-
го гибкого ротора по статору // Машиноведение. 1976. № 1.
8. Банах Л.Я. Некоторые явления, возникающие при движении вала в подшипнике с зазором // Машиноведение. 1965. № 1. С. 70-77.
9. Загретдинов И.Ш., Костюк А.Г., Трухний А.Д., Должанский П.Р. Разрушение турбоагрегата 300 МВт Каширской ГРЭС: причины, последствия и выводы // Теплоэнергетика. 2004, №5. С. 5-15.
10. Никифоров А.Н. Виброударное и безотрывное движение в том числе обкатка с проскальзыванием ротора по упругозакрепленному статору // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. №6.
С. 19-30.
11. Банах Л.Я., Никифоров А.Н. Анализ крутильно-поперечных, ударных колебаний роторной системы, предназначенной для турбонасосного агрегата жидкостного ракетного двигателя // Вестник научнотехнического развития. 2011. №6 (46). С. 3-13.
12. Brach R.M. Mechanical Impact Dynamics: Rigid Body Collisions. New York: Wiley, 1991.
THE EFFECT OF VIBRATION OF A STATOR ON THE MOTION OF AN UNBALANCED ELASTIC ROTOR IN CONTACT INTERACTION
D.V. Balandin, AN. Nikiforov, А.Е. Shohin
The article presents a mathematical model of Jeffcott-Laval rotor in a податливом stator, constructed using Lagrange method in the coordinates of a plane rotating with the rotor. The model is used to analyze the effect of vibrations of the stator as a rigid body on the sliding and rolling modes of an unbalanced rotor along the stator.
Keywords: rotor, stator, contact interaction, sliding, rolling, mathematical model.
