CC BY
22
УДК 621.431.75 В01: 10.18287/2541-7533-2019-18-2-156-168
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
БЕЗОТРЫВНОГО ДВИЖЕНИЯ РОТОРА ПО АНИЗОТРОПНО УПРУГОЙ ОПОРЕ С ЗАЗОРОМ
кандидат технических наук, старший научный сотрудник; Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук, г. Москва; n.andre@mail.ru
доктор технических наук, главный научный сотрудник; Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук, г. Москва; gpanovko@yandex.ru
кандидат технических наук, старший научный сотрудник; Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук, г. Москва; shohinsn@:mail.ru
С помощью теоретической модели и натурных испытаний показаны кинематические и динамические особенности обкатки гибким ротором несмазанной опоры с зазором и двоякой жёсткостью. Используется сочетание оригинальных подходов и известных аналитических и экспериментальных методов. В частности, уравнения движения составляются по Лагранжу в комплексных и комплексно-сопряжённых координатах, а их решения разыскиваются в экспоненциальной форме и посредством исключения контактных сил из рассмотрения и введения малого параметра. Измерения вибрации производятся не на станине установки с использованием акселерометров, а в её источнике - непосредственным слежением за осью ротора парой токовихревых бесконтактных датчиков перемещений, установленных в конфигурации XY. Отсюда чёткость опытных данных не зависит от механической проводимости деталей между ротором-источником и датчиками-приёмниками. В результате достоверно определяются частота, амплитуда и границы существования обратной прецессии, а также делается вывод о принципиальной невозможности обкатки при определённой комбинации параметров.
Анизотропная роторная система; математическая и экспериментальная модель; качение; проскальзывание; скорость прецессии.
Цитирование: Никифоров А.Н., Пановко Г.Я., Шохин А.Е. Экспериментально-теоретическое исследование безотрывного движения ротора по анизотропно упругой опоре с зазором // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2019. Т. 18, № 2. С. 156-168. DOI: 10.18287/2541-7533-201918-2-156-168
Введение
На практике подшипниковые узлы (стойки, крепления, а иногда и сами подшипники) обладают упругой податливостью, причём часто она сравнима с податливостью (гибкостью) удерживаемого ими вала и не изотропна, т.е. существуют наименьшее ктт
и наибольшее ктах значения жёсткости во взаимно перпендикулярных направлениях. Бывает и податливость вала такая, что он вместе с насаженными на него деталями может быть представлен как абсолютно твёрдое тело на опорах с «двоякой» жёсткостью. Несмотря на то, что контактное взаимодействие ротора и подшипника с зазором изучается с середины прошлого века, в качестве примера нелегко привести большое число научных работ, в которых учитываются контактное трение и неравножёсткость роторной системы.
В [1] теоретически и экспериментально демонстрируется уменьшение диапазона обкатки путём неравножёсткого подкрепления резервного (страхующего) подшипника с зазором. Работа показывает, что вращающийся вал с такой опорой выходит к бескон-
© 2019
А. Н. Никифоров Г. Я. Пановко А. Е. Шохин
тактному движению из состояния обкатки при значительно большей скорости вращения, чем в симметричном случае поддержки.
В [2] проведено экспериментальное исследование поведения гибкого неуравновешенного ротора, установленного на анизотропные подшипники и задевающего в окрестности его критической скорости статор. В результате обнаружены первая и вторая гармоники а и 2а , а также компоненты, частота которых не кратна частоте вращения а, но не обнаружена характерная для анизотропных роторных систем обратная прецессия. Согласно разъяснению данный признак влияния анизотропии опор исчез при контакте ротора со статором из-за повышения жёсткости и понижения анизотропии системы.
Объект исследования
Пусть гибкий вал с диском общей массой т вращается с постоянной угловой скоростью а в трёх одинаково неравножёстких подшипниках, но один из них имеет зазор 3 на конце получающегося консольного вылета (рис. 1). Более того, пусть вал совершает с некоторой циклической частотой |0| чисто поступательное (без узлов колебаний)
движение в сторону, противоположную собственному вращению, т.е. близкое к основной форме нерегулярной или эллиптической прецессии. При этом в неподвижных координатах х0 и у0 обозначают проекции радиального смещения центров опор; х, у и X, у - проекции поперечного отклонения точки приведения или центра диска в случаях бесконечно большого зазора ( 5 = го ) и отсутствия зазора ( 5 = 0 ) в третьем подшипнике.
В-В
до (синий пунктирный контур) и после (красный сплошной контур) выборки зазора
Предполагается, что угловые и крутильные колебания в системе не происходят, поскольку соответствующие собственные частоты системы намного выше а и |0| даже
при значительном увеличении последних. Конечно, значительность а и |0| относительно угловых и крутильных частот нужно понимать условно - это может быть возрастание до таких значений, при которых движение вала всё ещё не становится поступательно-угловым (с узлами колебаний) или/и поступательно-крутильным. Наконец, пусть осевая вибрация вала конструктивно исключена.
Математическая модель
Запишем выражения кинетической и потенциальной энергии двухопорной с 5 = <х> (трёхопорной с 5 = 0 ) системы при основных (чисто поступательных) колебаниях:
W = m X2 +m y2, U = ^ (x - Xo )2 + kt ( - Уо )2 + ^ Xo2 + ^ Уо2, 'W = mX2 + mУ, U = ^(X - Xo )2 + ^(( - Уо )2 + ^Xo2 + ^Уо ^
3EJ ~ 12 EJl3
где k11 = —— и k„ = -—- - соответственно приведённая к центру диска жёст-
11 l3 11 l3l22 (3l +12)
кость на изгиб консольного вала и вала с опёртыми концами в абсолютно жёстких опорах.
Подставляя эти выражения в уравнения Лагранжа, можно составить дифференциальные уравнения движения недемпфированной двухопорной и трёхопорной системы:
mX + k11 (x - x0 ) = 0, mX + k11 ( X - Xo ) = 0
my + k„ (y - Уо ) = 0, my + k11 (( - Уо ) = a
k11 (x0 - X) + 2kminXo = 0, ku (Xo - X) + 3kminXo = 0,
k11 (( - y ) + 2kmaxy0 = 0, k„ ( - У ) + 3k_Уо = 0.
В двух последних уравнениях нет производных, поэтому x0 , y0 могут быть исключены и получены уравнения с двумя неизвестными:
mX + kXX = 0, mX + kXX = 0,
тУ + куУ = ° mjy + kyy = 0,
где k = 2kmink11 k = 2kmaxk11 k = 3kmink11 k = 3^"kl1
2kmm + kn У 2kmax + ku x 3£min + ku y 3kmax + ku
Эти уравнения принципиально не отличаются от уравнений для упругого вала с диском на жёстких опорах, в т.ч. при контакте [3]. В случае нагружения двухопорного вала составляющими (проекциями) силы N (нормального давления) и разгружения трёхопорного вала на эти же усилия ( Nx cos ф и Ny sin ф ) можно прийти к двум эквивалентным друг другу контактным системам без трения:
mx + kxx = -Nx cos ф, mx + kxx = Nx cos ф, тУ + kyy = -Ny sin ' my + kyy = Ny sin ф.
Для контактно-динамических расчётов с учётом второй некруговой формы (поступательно-угловой эллиптической прецессии) также могут быть составлены соответствующие дифференциальные уравнения движения, подобные приведённым в [1], как уравнения равновесия сил и моментов в проекциях на координатные оси:
mx + k^x + k1x2ру = -Nx cosф, mx + k^x + k1x2Ppy = Nx cos ф,
my + kyy + kyPx = -Ny sin ф my + kyy + kyФ, = Ny sin ф,
Iфх - I{p(j)y + k^y + k22Px = -Ny1 2 sin ф, I<PX - hPVy + kiy + k22Ф. = Nyl2 sin Ф,
I(py + 1{рфх + khx + k22Py = -NJ2 cosф, I'$ + I0M(px + kxix + k2x2ф = Nxl2 cosф,
гда k*, kx = kx2l, kx22 и k/1, ky = ky2X, ky22 (^ ^ = ^ kx22 и ^ ^ = ^ ^ - жёсткости двухопорного (трёхопорного) вала, приведённые к центру его диска, действующие в плоскости xz и yz.
Отсюда нетрудно построить матричное уравнение, блочная структура которого может быть использована при обобщении на вал с несколькими дисками [4], в частности в двухопорном случае:
M [0] [0] M
где M=
{qq v }|
+0
[0] -G G [0]
№, }1 v}|
K [0]
[0] Kv
m 0" "0 0" к11 И к 12 кУ к11 кУ к 12
, G= , K x = , K v =
0 I 0 10 _ ' x к" _ к 21 к22 _ v кУ _ к 21 кУ к22 _
Vv
q }=t 1ж }=cos * f í, 1ж }=sin *й
У 2,
При учёте трения и анализе прецессии следует вспомнить, что, применяя комплексное представление, попросту используют удобный математический аппарат, позволяющий эффективно моделировать гистерезисное демпфирование и эллиптическое движение в роторной системе. А именно, целесообразно ввести комплексные z = х + ¡у,
Z = х + ¡у и комплексно-сопряжённые -г = х - ¡у, -г = х - ¡у координаты, т.е. в простейшей постановке задачи исходить из уравнений вида:
mz + к 1 „ z - к 1.-
■ = -Nx cosy-iNv siny, mz + к1Л-к1д-z = Nx cosy + iN siny, (1)
, kx + ку J ку kx
где kly = ——— и кL.=■
2
2
и f кх + ку f -у
ной системы; к 1 „ =-— и к 1Д =
полусумма и полуразность жесткостеи для двухопор-
к„ - к.
2 *Д 2
В случае гистерезисного демпфирования и связанной с ним концепции комплексной жесткости, а также с учетом проекций силы T контактного трения (Tx sin * и
Ty cos *) справедливо следующее:
для трехопорнои системы.
mz + к2_Е (1 + irj)z - к±Д (1 + ij)-z = -Nx cos у + Tx sin у - iNy sin у - iTy cos у/, mz + кх „ (1 + ij)z - (1 + ij)-& = Nx cos у - Tx sin у + iN sin у + iT cos у,
(2)
где г} = ±г} - коэффициент потерь (энергии колебаний) в материалах роторной системы, знак перед которым зависит от направления прецессии вала: «+» для прямой, «-» для обратной.
Анизотропно упругие опоры влияют так, что ротор будет совершать колебания в виде эллиптической прецессии. Это движение может быть получено сложением прямой и обратной круговых прецессий с амплитудами А+ и А и угловыми скоростями О и -О соответственно, а именно:
z = A,eiat + A e
iüt
= A, e-iQt + A e
:Qt
(3)
По аналогии:
ъ = А,е'° + А е
¡О!
ъ = А,е-'° + А е
¡О
(4)
Здесь важно обратить внимание на три особенности пользования этими решениями. Во-первых, интересующая (сопряжённая с обкаткой) обратная эллиптическая прецессия будет иметь место, если только А > А+, А > А+. Во-вторых, подстановка решений (3) и (4) не нарушит эквивалентность недемпфированных двухопорной и трёх-опорной систем (1) и нарушит её в демпфированном случае. Для сохранения тождественности этих систем с трением (2) при подстановке в них указанных решений необходимо учитывать отставание вектора ъ от вектора ъ на угол трения у, т.е. вместо (3) и (4) пользоваться при демпфировании решениями (3) и (5):
ъ = Ае(у+О) + А е'(у-О!), ъ = А+е-'(у+О)+А е(у-О!).
(5)
В-третьих, сумма векторов ъ и ъ будет представлять собой полное перемещение ъу исходного ротора (на двух неравножёстких опорах) при контакте с третьей нерав-
ножёсткой опорой:
где вектор ъ - роторное перемещение (в точке приведения или по центру диска) до контакта (при касании), ъ - после контакта (при опирании).
Колебания, описываемые указанными решениями, характеризуются как вынужденные, поскольку действующие в направлениях , и у периодические контактные силы можно представить как сумму двух векторов, вращающихся в противоположные стороны, т.е. в аналогичном виде:
(( + 1Ту) соя (-О) = е» + е-1О,
(( + 1Т, )п (-О) =1 Ы е» - ■ Ы е-.
При этих заменах уравнения (2) неустановившегося прямого или обратного безотрывного движения вала с диском на неравножёстких опорах преобразуются в уравнения его стационарной обратной эллиптической прецессии:
тъ + кх„ (1 -1 п)ъ - кх. (1 -1 п)-ъ = -
( И, +1Т, И„ +1Т Л _ ( И, +1Т, N.. +1Т, Л
е1О! -
у-+- у
-11
тъ + кк„ (1 -1 п)ъ - кк (1 -1 п)-ъ =
( И, +1Т, N. +1Т Л О ( И, +1Т, N.. +1Т, Л
у у
е1О! +
у- + - у
-1
(6)
где ъ, -ъ изменяются согласно (3), а ъ, -ъ изменяются согласно (5).
В достоверности выполненных замен можно убедиться, полагая И, = И, = И и Тх = Ту = Т, т.е. переходя к симметричным системам, правой частью которых при обкатке является выражение (И + 1Т)е.
Подстановка (3) и (5) в (6) приводит к четырём уравнениям:
t \ (N +iT N +iT Л
( (1-in) - mQ2 ) к,д (1 - in)A_- x * * x
2 2
V
/ л (Nx +iT, N„ +i Tx Л
-к,д (1 - i n) A+ + ((E (1-in)- mQ2) A_
(((1-in)- mQ2) А+ eir - к^ (1 - i n)A_e-ir -
x_^ * x
2 2 V z
N +iT N +iT
-ir _ x * * x
2 2
/- #+iГ #+iГ
-к. (1 -А е-1у+(к у(1Чп)-тО2 )А еУ = —-^ + -у--.
2а \ 2ъ ) 2 2
Складывая уравнения - первое со вторым и третье с четвёртым, а затем разделяя вещественные и мнимые части, можно получить:
(тО2 - кх )Атах = Мх,
ЛкхАтах = Ту,
2\ ~ ~ ~ (7а)
( - тО ) Атах C0S У + ПкуАтах Sin У = ,
-nkx Amax C0S Г + (( - mQ2 ) Amax Sin Г - T*
где Атах = А+ + А-, Атах = А+ + А- .
Вычитая из первого уравнения второе, а из третьего - четвёртое, отделяя потом действительные и мнимые части, в результате получим:
(mQ2 - к*) Amin - N*,
nk* Amin - Tx,
(( - mQ2 ) 4min cos Г + nkx Amin Sin Г - N*, nk* Amin C0s r + (( - mQ2 ) Amin Sin Г - Tx,
(7b)
где Amin - A-- A+, Amin - A- - A+ .
Рассматривая уравнения, исключающие неизвестные контактные силы:
( - Q2 ) Amax COS Г + n^2 Amax sin Г - (Q2 - ^ ) Amax ,
-n42 Amax COS Г + ( - Q2 ) Amax Sin Г - П^х Amax
и
( - Q2 ) Amin COS Г + n^x2 Amin Sin Г - (Q2 - ^ ) Amin , -n42 Amin COS Г + (ix' - Q2 ) Amin Sin Г - n^2 Amin,
можно отыскать в зависимости от известных (соответствующих касанию) амплитуд Amax, Amin искомые (контактные) амплитуды Amax, Amin и скорость О прецессии ротора при обкатке из отношений вида:
4пахС°ЗГ =
Дпах^ У =
О2 -ЛЛ пЛ О2 -Лу2 пЛ2
пЛ Лу2 -О2 А АттС08У = пЛу2 ЛЛ -О2
ЛЛ -О2 пЛу2 тах' Лу2 -О2 пЛ2
-пЛ2 Лу2 -О 2 -пЛу2 ЛЛ -О2
ЛЛ -О2 О2 -ЛЛ Лу2 -О2 о2 -Лу2
-пЛ2 пЛ А тах' А1ШП^П У = ~ -пЛу2 пЛу2
Лх2 -О2 пЛу2 Лу2 -О2 пЛ2
-пЛ2 Лу2 -О 2 -пЛу2 ЛЛ -О2
2 = tan у = п
ЛЛ -О2 О2 -Лх2 Лу2 -О2 О2 -Лу2
-ЛЛ ЛЛ -Л2 Л2
х х -, ц = tanу = п- у у
О2 -ЛЛ пЛЛ О2 -Лу2 пЛ2
пЛЛ Лу2 -О2 пЛу2 ЛЛ -О2
При этом допустимо пренебречь членами с множителем ] ввиду их малости по сравнению с остальными. Тогда
О4 -
Ю А
Л2 -О2 тах'
Л
Л2+Л -21 (Л2-Л2)
02+лх2лу2=0,
~ О2 -Л2
А к_у. А
тт 72 ^2 тт >
ЛЛ -О2
(
О4 -
Л+Л - П ( -Л) Ю2+ЛЛ2
2
(8)
О2+Л2Лх2=0.
у х
Выбирая справедливое биквадратное уравнение для |й|, нужно понимать, что Лх <Лу и Лх <Лу, а Атах и Атт будут одновременно положительными, если
Лу < |О| < Лх. Это же неравенство вытекает из условия положительности сил Ых и Ыу и уравнений (7) в случае недемпфированных систем:
) )ах > 0 Лх <|О|
) Атт > 0 Лу <|О|
) Атах > 0 ' о < Лх
) Атт > 0 О < Лу
Лх <Лу < <Лх <Лу .
Очевидно, справедливым уравнением для |й| будет четвёртое из (8), которое при устремлении конструкционного демпфирования к нулю (] = 0) принимает вид:
О4-(Л+Л )О2+л2уЛ2х = 0.
Отсюда |О| = Лу или |О| = Лх.
Полагая для общего случая 0): |О| = Л + А = Л (1 + е), где А и е = Л/Л - некоторая и малая поправки от трения, и вставляя соответствующие приближения второй и четвертой степени О2 «Л2(1 + 2е) и О « Л (1 + 4е) в биквадратное уравнение, можно
выразить малый параметр е:
П
Л,2 -Л,2
е = -^--у-П-. (9)
2ц2Л2-Лу2 -Л2 + Ц(Лу2-Лу2)
На практике увеличение трения не может приводить к росту скорости, поэтому е-поправка должна быть отрицательной величиной. Этому из пары теоретически возможных вариантов Л = Лу и Л = Лх удовлетворяет последний, в чем можно убедиться
непосредственной их подстановкой в (9), предположив малость конструкционного демпфирования. В результате:
|О = Л (1 + е) «Л
Г1 -1 п/ц 1 где 2 = ЛЛ-л
2 2 + п/ц.
где 2 =
Л-Л
Экспериментальное обоснование математической модели
Математическое описание и реальная динамика неизотропной роторной системы всегда сложнее, чем в изотропном случае. Успех в решении многих задач, в т.ч. по обкатке круглым ротором неравножестких опор, зависит от правильного выбора упрощенной расчетной модели, а обоснованные упрощения можно сделать лишь на основании опытов.
Для того чтобы вычислить параметры обкатки (частоту, радиус и диапазон(ы) сопряженной с ней прецессии), прежде всего нужно определить силы контактного взаимодействия ротора с опорой. Поскольку последние задаются некоторыми уравнениями, обычно на основе законов Герца и Кулона, а в развиваемой теории - уравнениями стационарного эллиптического движения эквивалентной роторной системы с дополнительной неравножесткой опорой на месте контакта, для оценки точности расчетов необходимо иметь экспериментальные параметры обкатки при различных угловых скоростях ротора и поперечных жесткостях опор(ы). Таким образом, основная цель испытаний - измерение частоты и амплитуды прецессии осесимметричного ротора в условиях обкатки им опоры с двоякой жесткостью и выявление границ устойчивости обкатки в такой системе.
Соответствующие эксперименты проводились на качественно обновленной установке с тонким длинным консольным валом на шарикоподшипниках (рис. 2), на свободном конце которого располагается опора в виде имеющей зазор и подвижной в одном из поперечных направлений втулки. В другом перпендикулярном оси вала направлении втулка не может перемещаться. С одной стороны жесткая, а с другой - вариативно-податливая конструкция опоры обеспечивается за счет поступательного перемещения ее внутренней части, включающей втулку, по шариковым направляющим. Для разработанной опоры-втулки предусмотрены три степени ее собственной однонаправленной податливости: жесткая при блокировке болтами (т.е. изотропный случай, с которым целесообразно вести сравнение), упругая при поджатии пружинами (для получения умеренной анизотропии) и свободно перемещающаяся (абсолютный анизотропный случай).
Рис. 2. Экспериментальная установка: 1 - вал (масса 255 г, диаметр 8 мм и длина 645 мм); 2 - диск (масса 270 г); 3 - светодиодный индикатор (масса 75 г); 4 - анизотропно упругая опора с малым радиальным зазором; 5 - страхующая опора с большим зазором; 6 - шарикоподшипниковые опоры; 7 - плита станины; 8 - кронштейн станины; 9 - стойка станины; 10 - электродвигатель; 11 - зубчато-ременная передача; 12 - датчики поперечных перемещений вала; 13 - датчик частоты вращения вала
Регулируемый привод, состоящий из электродвигателя и понижающей зубчато-ременной передачи, позволяет доводить частоту вращения вала до 120 Гц. Насаженные на вал диск и наконечник со светодиодами понижают частоты собственных колебаний. Первые три собственные частоты собранного ротора как консольного: \ = 2|х13 Гц,
Л = 2жх 62 Гц и Л = 2|х160 Гц, а как защемлённого на одном конце и свободно
опёртого на жёсткую втулку на противоположном конце: Л = 2жх 48Гц,
Л = 2|х 124Гц и Л = 2лх315Гц.
Поперечные колебания вала, в т.ч. в неравножёсткой опоре с номинальным зазором, характеризующимся безразмерным значением г/8 = 3,5, где г - радиус вала, измерялись базовым комплектом аппаратуры, включающим бесконтактные токовихревые датчики перемещений и частоты вращения, преобразователи типа «зазор - напряжение», аналого-цифровой преобразователь и ноутбук с предустановленными программами LGraph2 и Ма^аЬ. Параллельно с записью текущих значений частоты вращения и осциллограмм виброперемещений вала во взаимно перпендикулярных направлениях можно было вести видеосъёмку со скоростью 240 кадр/с либо форм колебаний вала, либо траекторий его оси и эксцентрической точки по следам соответствующих свето-диодов.
Возбуждение обкатки валом анизотропно закреплённой втулки осуществлялось короткими импульсными воздействиями после достижения вращения примерно с частотой 100 Гц, т.е. уже после полного разгона на начальной фазе останова ротора. В изотропной экспериментальной системе, как правило, происходило самовозбуждение обкатки, в т.ч. гораздо раньше выхода на 100 Гц.
На рис. 3 показана типичная динамика, наблюдавшаяся при испытаниях ротора с
умеренно анизотропной опорой, где частота прецессии 0 = 1210 автоматизировано
определена по основному пику на Фурье-спектре, который алгоритмически вычислен для каждого секундного отрезка времени при постобработке экспериментальных данных.
Рис. 3. Результаты испытаний ротора с умеренно анизотропной опорой: а - диаграмма «время (с) - частоты (Гц)»: красная кривая - частота вращения /; розовая -/г/5 ; синяя - частота прецессии О; А - область обкатки с резонансом, возбуждённым дисбалансом; В - область резонанса, возбуждённого обкаткой;
б - осциллограмма «время (с) - электрическое напряжение (В)» перемещений ротора в плоскости большей податливости умеренно анизотропной опоры, где 1 - переходный процесс; 2 - обкатка с проскальзыванием; 3 - обкатка без проскальзывания
В начале (после единичного ударного воздействия) видно неустановившееся движение ротора (на временном интервале 1) и, по-видимому, автоколебательного характера со значительной амплитудой и частотой, меньшей / = т и близкой к первой
собственной жёстко опёртого ротора (48 Гц). Затем эта динамическая неустойчивость сменяется обкаткой с проскальзыванием (средняя вторая часть осциллограммы), на что вкупе указывают высокая частота прецессии ( Ю> / ), близость О к 124 Гц, несовпадение О с /г/5 и стоп-кадр на 173 секунде (рис. 4).
Обкатывание со скольжением сохраняется примерно в течение 20 секунд и плавно переходит в чистое качение (правая третья часть осциллограммы), что характеризуется устремлением О к /г/5 и подтверждается стоп-кадром на 186 секунде (рис. 4). Также заметно наступление двух резонансных состояний системы, причём в А-случае это обусловлено совпадением основной частоты собственных колебаний с частотой / синхронного возмущения, а в В-случае - с частотой /г/5 асинхронного возмущения.
Рис. 4. Реальные движения на 173 секунде и 186 секунде центра ротора (по эллипсу) и его эксцентричной точки (по эпитрохоиде) внутри умеренно анизотропной опоры с зазором
Из стоп-кадров (рис. 4) становится очевидным, что ротор обкатывает анизотропную опору как с проскальзыванием, так и без него. При этом ось ротора всегда движется по эллиптической траектории, а его эксцентричная точка - по эпитрохоиде с числом петель, меньшим или равным четырём, что связано с геометрическим отношением r/5 = 3,5 . Здесь, с одной стороны, чем больше проскальзывание, тем меньше число петель, а с другой - чем больше проскальзывание, тем больше расточка втулки и, следовательно, больше отношение г/5 .
На рис. 5 показана типичная динамика, наблюдавшаяся при испытаниях ротора с абсолютно анизотропной опорой. Как видно, даже при нескольких последовательных ударах, система не откликается на них установлением обкатки.
Таким образом, эксперименты подтвердили важнейшее следствие из теории о том, что если Лу = Ах, то потенциальные значения для скорости |Q| обкатки пропадают,
т.е. анизотропно упругую подвеску для статорных элементов можно рассматривать как средство предотвращения обкатки.
200 150 Гц 100 50
. о
а) 195 200 205 210 215 220
t, с
б) 195 200 205 210 215 220
Рис. 5. Результаты испытаний ротора с абсолютно анизотропной опорой: а - диаграмма «время (с) - частоты (Гц)»: частоты вращения и прецессии (цвета кривых соответствуют рис. 3, а; С - область резонанса, возбуждённого дисбалансом;
б - осциллограмма «время (с) - электронапряжение (В)»: виброперемещения ротора в плоскости большей податливости абсолютно анизотропной опоры
Заключение
В условиях гибкого ротора на неравножёстких опорах и небольшого конструкционного демпфирования угловая скорость прецессии при обкатке |Q| близка к собственной частоте ротора Amin, которая соответствует направлению меньшей жёсткости опор
и установлению безотрывного взаимодействия между ротором и опорой с зазором.
Нижним пределом для скорости обкатки |Q| является собственная частота ротора Xmax, соответствующая направлению большей жёсткости опор без взаимодействия с
опорой, имеющей зазор.
При жёсткостях опор, обеспечивающих для собственных частот ротора соотношение Xmax > Х - , обкатка в системе невозможна.
max min 1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 18-08-00171.
Библиографический список
1. Inoue T., Ishida Y., Fei G., Md Zahid H. Suppression of the forward rub in rotating machinery by an asymmetrically supported guide // Journal of Vibration and Acoustics, Transactions of the ASME. 2011. V. 133, Iss. 2. DOI: 10.1115/1.4002120
2. Куракин А.Д., Нихамкин М.Ш., Семенов С.В. Динамика неуравновешенного гибкого ротора в анизотропных опорах при контакте со статором // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 4. С. 364-381. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.21
3. Никифоров А.Н. Об обкатке с проскальзыванием ротора по статору и влияние на её частоту трения и гироскопических моментов // Справочник. Инженерный журнал с приложением. 2018. № 9 (258). C. 21-31. DOI: 10.14489/hb.2018.09.pp.021-031
4. Никифоров А.Н. Об обкатке статора ротором со многими степенями свободы вследствие трения // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. № 10 (703). С. 4-17. DOI: 10.18698/0536-1044-2018-10-4-17
EXPERIMENTAL AND THEORETICAL RESEARCH OF CONTINUOUS MOTION OF ROTOR ON ANISOTROPIC GAPPED ELASTIC SUPPORT
© 2019
A. N. Nikiforov
G. Ya. Panovko
A. Ye. Shokhin
Candidate of Science (Engineering), Senior Researcher; Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation; n.andre@mail.ru
Doctor of Science (Engineering), Chief Researcher; Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation; gpanovko@yandex.ru
Candidate of Science (Engineering), Senior Researcher; Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation; shohinsn@mail.ru
Kinematic and dynamic features of flexible rotor rolling of an unlubricated uneven-stiffness gapped support are shown with the help of a theoretical model and full-scale tests. A combination of original approaches and well-known analytical and experimental methods is used. In particular, the motion equations are Lagrangian, derived in complex and complex-conjugate coordinates, and their solutions are sought in the exponential form, by excluding contact forces from consideration and by introducing a small parameter. Vibration measurements are not made on the rig frame using accelerometers, but at the source of vibration, i.e. by direct tracking of the rotor axle by a pair of eddy-current contactless displacement sensors installed in a XY configuration. Hence, the preciseness of the experimental data does not depend on the mechanical conductivity of the parts between the source rotor and the receiver sensors. As a result, the frequency, amplitude and existence domain of retrograde precession are reliably determined, and a conclusion is drawn that rolling under a certain combination of parameters is impossible in principle.
Anisotropic rotor system; mathematical and experimental model; rolling; slipping; precession rate.
Citation: Nikiforov A.N., Panovko G.Ya., Shokhin A.Ye. Experimental and theoretical research of continuous motion of rotor on anisotropic gapped elastic support. Vestnik of Samara University. Aerospace and Mechanical Engineering. 2019. V. 18, no. 2. P. 156-168. DOI: 10.18287/2541-7533-2019-18-2-156-168
References
1. Inoue T., Ishida Y., Fei G., Md Zahid H. Suppression of the forward rub in rotating machinery by an asymmetrically supported guide. Journal of Vibration and Acoustics, Transactions of the ASME. 2011. V. 133, Iss. 2. DOI: 10.1115/1.4002120
2. Kurakin A.D., Nikhamkin M.Sh., Semenov S.V. Dynamics of unbalanced flexible rotor with anisotropic supports during contact with the stator. PNRPU Mechanics Bulletin. 2016. No. 4. P. 364-381. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.21. (In Russ.)
3. Nikiforov A.N. Whirl or whip of gyroscopic rotor rubbing stator and frequency of such processes. Handbook. An Engineering Journal. 2018. No. 9 (258). P. 21-31. DOI: 10.14489/hb.2018.09.pp.021-031. (In Russ.)
4. Nikiforov A.N. On the full annular rub in the flexible rotor - compliant stator system due to friction. Proceedings of Higher Educational Institutions. Proceedings of Higher Educa-tionallnstitutions. Machine Building. 2018. No. 10 (703). P. 4-17. DOI: 10.18698/05361044-2018-10-4-17. (In Russ.)
