Динамика реакции в ячейке с идеальным смешением в растворе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамика реакции в ячейке с идеальным смешением в растворе

В.М. Зароченцев, Т.В.Кондратенко, А.К. Макоева Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет) СКГМИ (ГТУ)

Аннотация: В статье рассмотрена методика моделирования химических процессов в растворе для ячейки идеального смешения в динамических условиях. Если реакция протекает в жидкой фазе без изменения объема реакционной смеси, то систему уравнений накопления и расходования веществ можно выразить через изменение концентрации. Решение системы уравнений динамики позволяет найти концентрации веществ в растворе во время переходного процесса, в конце которого установится новое стационарное состояние при отсутствии внешних воздействий. В качестве модели была предложена система дифференциальных уравнений расходования и накопления веществ в ячейке. Выполнено решение модели в системе МаШСАО методами Рунге-Кутта с помощью стандартных функций. В связи с тем, что определение показателей потоков в ячейке дискретно, а изменение протекает плавно, интегрирование масс веществ проводили через дискретные интервалы времени. Для этого применили один из методов численного интегрирования - метод Симпсона. Сравнение балансов потоков между собой и с реальными физическими потоками на моделируемых объектах, позволяет своевременно определить и скорректировать ошибку, и адаптировать модель к динамически изменяющимся условия проведения процесса. Полученные результаты могут быть использованы для моделирования и анализа процессов, сопровождающихся химическими реакциями в растворах в динамических условиях.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, ячейка идеального смешения, динамика, модель, материальный баланс, состояние равновесия, нестационарный процесс.

Цель работы заключается в разработке методики оценки отклонений в расчетах материального баланса, определяемых при решении дифференциальных уравнений и интегрировании количества вещества в поступающем, накапливающемся и уходящем потоках для технологического аппарата идеального смешения.

При определении кинетических параметров возможна погрешность, так как реальные процессы подвержены разнообразным стохастическим воздействиям. В заданном процессе дифференциальные уравнения определяются по начальным условиям, исходя, из чего и возникает задача в

выявлении этой погрешности. При помощи наблюдений была внесена необходимая коррекция в расчет материального баланса.

Если процессы в ячейке идеального смешения нестационарны, то происходит накопление или расходование веществ в объеме ячейки, поэтому уравнения: РА<_ — РА + Рг, — = Рг преобразуются к

следующему виду:

(1) (2)

где: Рц^ - поток накопления и расходования веществах в объеме ячейки V.

- потоки веществ А и В, поступающие в элементарную ячейку

г": = - поток вещества на выходе из элементарной ячейки.

Если реакция иСА() — тзСА I Я^СдС^К протекает в жидкой фазе без

изменения объема реакционной смеси, то систему уравнений накопления и расходования веществ можно выразить через изменение концентрации в

следующем виде:

¿с*

1Г ~ V ~~ + ^^

(4)

(5)

(6)

Где САу Сд, Св - концентрации соответствующих веществ,

'А, ^В

КС- константа скорости реакции, т - время.

Решение системы уравнений динамики (1-6) позволяет найти концентрации веществ в растворе во время переходного процесса, в конце

которого установится новое стационарное состояние при отсутствии внешних воздействий.

На рисунке 1 приведена иллюстрация переходного процесса для таких стационарных состояний.

0.1

OOS 0.06 0.04 001 о

0 l.jxio4 ЗхЮ4 4.5хЮ4 бхЮ4

Рис. 1. - Изменение концентраций веществ в растворе в результате переходного процесса, вызванного начальным неустойчивым состоянием системы. Стационарные условия устанавливаются в правой части графиков, при значениях: CA=0,037 CB=0,017 CS=0,063.

Новые стационарные концентрации в установившемся устойчивом состоянии равны тем, которые получены в примере 1. Это означает, что метод решения дифференциальных уравнений (5,6) правильный и позволяет получить адекватные значения концентраций на выходе из элементарной ячейки в любой момент времени. Ниже приведено решение уравнений динамики в MathCAD [1-4].

Например, решение динамического уравнения материального баланса в ячейке идеального смешения для простой реакции второго порядка в растворе.

Решение динамического балансового уравнения в ячейке идеального смешения для простой реакции второго порядка в растворе:

KC := 1 CA0 := 01CB0 := 0 08

V := 1

XA1 := 01

v := 0.01

j := 0.. 100

FA0 := v'CA0

t. := i-60C j

rA(a, b) := -Kc a-b

CA0'(1 - XA1)

C0 :=

CB0 - CA0XA1

CA0'XA1

C0 =

( 0.09 ^ 0.07

V 0.01 у

( 0 ^ 0 100

V 0.1 у

dif(t, a) :=

t1 :=

"V'(a0 - CA0)+ rA(a0' a1)

"V'(a1 - CB0)+ rA(a0' a1)

-"V' a2 - rA(a0' a1)

z := Rkadapt (C0, t^, t12, 100, dif)

(tau ^ ( 100 ^

CA (T))100> 0.037 CB = Z = 0.017 V CS У ^0.063y

Для проверки правильности работы модели, необходимо постоянно пересчитывать материальные балансы веществ, поступающих в ячейку и удаляемых из нее [5-8]. Сравнение балансов потоков между собой и с

реальными физическими потоками на моделируемых объектах, позволит своевременно определить и скорректировать ошибку, и адаптировать модель к динамически изменяющимся условия проведения процесса [10]. Ниже приведено уравнение материального баланса для веществ, проходящих через ячейку.

» х М;Са1шт = в 2 £ X «Л (т)((т+

где: ^—| - скорость накопления и расходования веществ внутри ячеики, М ^ массы веществ,

С - концентрации соответствующих веществ, V - объем раствора в элементарной ячейке, Ь- количество интервалов по времени.

В связи с тем, что определение показателей потоков в ячейке дискретно, а изменение протекает достаточно плавно, удобно проводить интегрирование масс веществ через дискретные интервалы времени [11]. Для этого применим один из методов численного интегрирования - метод Симпсона:

- ТТ У - ■■V - !' / " -V:;-: - 2 17; ^ (8)

Е - верхняя граница интервала интегрирования; А - нижняя граница интервала интегрирования.

Левую часть уравнения (8) легко рассчитать при стационарном потоке на входе в ячейку за определенный интервал времени Дт:

■ г*.? - .(9)

:

Слагаемые правой части уравнения (8) рассчитываем по формуле (9). Для расчета необходимо выбрать данные из массива концентраций, соответствующие заданному интервалу времени:

№>1 (Ю)

и рассчитать приближенные значения производных по концентрациям с помощью итерационной формулы:

I А

(11)

Результаты расчета уравнений материального баланса для массива данных из примера 2, приведены ниже в программе М^ШСЛО: Например, расчет материального баланса за время Дт по формуле Симпсона

^ := v т0 := 5000 тт := 35000

J

ь-

М0 := 36 М1 := 4С М2 := 76

С1П0 := СА0 С1П1 := СВ0

a) переопределяем массив данных в заданном временном интервале

:

Tau Arr :=

i ^ N - 1 while t > т l

i ^ i - 1

J ^ 0

i ^ i - 1

arr. _ ^ t. J, 0 i

arr. , ^ w. J, 1 i

for l £ 0.. 2

arr. , . ^ z. , . j , 2+1 i, 1+1

J ^ J + 1

i ^ i - 1 while ti > т 0

for k £ 0.. 1

arr. . t. . , j+k, 0 i-k+1

arr. , , ^ w. , , j+k, 1 i-k+1

for 1 £ 0.. 2 arrj+ k, 2+1 ^ zi-k+1, 1+1

J ^ J + 2 i ^ i - 2

arr

NT := 1ength(Tau_Arr^ = 49

b) рассчитываем количество входящих веществ

ATau := Tau Arr„ _ - Tau Arr,T„ , _ = 2.82x 10 0, 0 - NT-1, 0

i := 0.. 1

Mass Tn := v-M.-Cjn-ATau i i i

Mass

Tn

1.015-103

902.4

min :=£

О MassTn = 1.918x 10'

3

c) рассчитываем количество выходящих веществ

NT - 1

2

J := 0.. 2

Mass

Out -=

Tau_Arr0, 0 - Tau_ArrNT-1, 0

a ^

for i £ 0.. 2

6-n

sum ^ Tau Arr„ . . + Tau Arr,T„ . . . i - 0, 2+1 - NT-1, 2+1

sum ^ sum + 4- > Tau Arr, . . , . i i - 2-j-1 , 2+1

J = 1 n-1

sum ^ sum + 2 > Tau Arr, . . . i i ¿^ - 2-J , 2+1

J = 1

sum ^ sum.-M.-v-a i i i

Mass

Out

sum

( 431.115 ^ 253.416

3

^ 1.233 x 10 )

mout := 2

Mass Out = 1.918x 10' J

3

d) рассчитываем количество накапливаемых в ячейке веществ

ACv :=

for i £ 0.. 2

for j £ 1.. NT - 1

Tau Arr. , „ . - Tau Arr. . . - 1-1,2+i - 1,2+i d. i <------

J, i Tau Arr. . _- Tau Arr. _ - j-1,0 - j,0

dn - ^ d ■

0, i 1, i

n

d

АСУ =

0 1 2

0 0 0 0

1 0 0 0

2 -8.513-10"8 -8.513-10-8 8.513-10-8

3 -9.09-10"8 -9.09-10-8 9.09-10-8

4 -9.708-10-8 -9.708-10-8 9.708-10-8

5 -1.037-10-7 -1.037-10-7 1.037-10-7

6 -1.108-10-7 -1.108-10-7 1.108-10-7

7 -1.183-10-7 -1.183-10-7 1.183-10-7

8 -1.265-10-7 -1.265-10-7 1.265-10-7

9 -1.351-10-7 -1.351-10-7 1.351-10-7

10 -1.444-10-7 -1.444-10-7 1.444-10-7

11 -1.544-10-7 -1.544-10-7 1.544-10-7

12 -1.651-10-7 -1.651-10-7 1.651-10-7

13 -1.766-10-7 -1.766-10-7 1.766-10-7

14 -1.889-10-7 -1.889-10-7 1.889-10-7

15 -2.021-10-7 -2.021-10-7

Мазз V :=

Тш_Агт0, 0 - Тш_Агтот _1, 0

а ^

for 1 е 0.. 2

6-п

sum. ^АСУ„ . + АСУ,Т„ , . 1 0, 1 ОТ-1, 1

зит. ^ sum. + 4- > АСУ . . , . 1 1 ¿^ 2^-1, 1

j = 1 п-1

sum. ^ sum. + 2 > АСУ, . . 1 1 ¿.^ 2-j, 1

j = 1

зит. ^ sum.• М.-V-а 1 1 1

sum

Mass V =

^-0.652^ -0.724 V 1.376 у

mV:= > MassV =-1.332х 10

15

е) Рассчитываем полный материальный баланс в ячейке

- - mv = 2.287х 10

.- 13

Как видно из приведенного решения, расчет материальных балансов по формуле Симпсона, позволяет получить хорошую сходимость результатов, и выполнить проверку правильности вычисления показателей процесса с помощью уравнений динамики (4 - 6).

Выводы:

1. Проведен анализ кинетических процессов в ячейке идеального смешения в жидкой фазе и сформулирована математическая модель динамики;

2. Выполнено решение модели в динамических условиях численными методами и приведена программа решения в MathCAD;

3. Предложена методика проверки материального баланса веществ в непрерывном режиме с применение численного интегрирования на интервалах, где определена точность решения.

Литература

1. Зароченцев В.М., Кондратенко Т.В., Макоева А.К. Моделирование кинетики простых реакций // Актуальные вопросы современной науки, № 4, 2018. 38 с.

2. Гумеров А.М., Холодонов В.А. Пакет Mathcad: теория и практика // Издательство «Фэн» АН РТ - 2013. 127 с.

3. Назаров Д.М., Пожарская Г.И. MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии // Национальный Университет «ИНТУИТ» - 2016. С.321-330.

4. Зароченцев М.В., Рутковский А.Л., Старикова Т.В., Болотаева И.И. Моделирование термодинамических равновесий в нестационарных условиях идеального смешения // Цветная металлургия, вып. №3, Москва, 2015. 405 с.

5. Очков В.Ф. Теплотехнические этюды с Exce1, Mathcad и Интернет, 2014. 348 с.

6. Кудинов В.А., Карташов Э.И., Стефанюк Е.В. Техническая термодинамика и теплопередача. Учебник для вузов. - М.: Высшая школа 2011. 129 с.

7.Очков В.Ф, Богомолова Е.П. Иванов Д. А. // Физико-математические этюды с Mathcad и Интернет, 2016. 506 с.

8. Максфилд Брент // Mathcad в инженерных расчетах (+ CD-ROM); Корона-Век, МК-Пресс - Москва, 2010. 348 с.

9. Макаров Е. К. // Инженерные расчеты в Mathcad 15. Учебный курс, Питер - Москва, 2011. 307с.

10.Кирьянов Д. Г. // Самоучитель Mathcad 11// Книга по Требованию, Москва, 2012. 159 с.

11. Любимов Э. В. // Mathcad. Теория и практика проведения электротехнических расчетов в среде Mathcad и Multisim (+ DVD-ROM), Наука и техника, Москва - 2012. 69 с.

12. Очков В.Ф. // Теплотехнические этюды с Excel, Mathcad и Интернет - 2015. 197 с.

13. Paul, Jesilow Prescription for Profit - How Doctors Defraud Medicaid / Paul Jesilow. - Moscow: High School, 1993. - 260 p.

14. Gillian, Walker In the Midst of Winter - Counseling Families, Couples, and Individuals With Aids Infection Rev / Gillian Walker. -Moscow: World, 1995. - 384 p.

15. Иванов В.В., Карасева Л.В, Тихомиров С.А. Теплообмен в пограничных слоях на излучающих поверхностях при градиентном течении // Инженерный вестник Дона, 2017, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N3y2017/4317.

16. Пивнев В.В., Басан С.Н. Математическое моделирование нелинейных характеристик элементов применительно к задаче реализации

двухполюсников с заданными нелинейными зависимостями // Инженерный вестник Дона, 2016, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3857.

References

1. Zarochencev V.M., Kondratenko T.V., Makoeva A.K. Aktua1'nye voprosy sovremennoj nauki. № 4, 2018. р.38

2. Gumerov A.M. Kho1odonov V.A. Paket Mathcad: teoriya i praktika [theory and practice]. Izdate1stvo «Fen» AN RT 2013. p.127

3. Nazarov D.M. Pozharskaya G.I. MATHCAD 14: Osnovnyye servisy i tekhno1ogii [Basic services and techno1ogies]. Natsiona1nyy Universitet «INTUIT»: 2016. pp. 321-330

4. Zarochencev M.V., Rutkovskij A.L., Starikova T.V., Bo1otaeva I.I. Cvetnaya meta11urgiya, vyp. №3, Moskva, 2015. p. 405.

5. Ochkov V.F. Tep1otekhnicheskiye etyudy s Exce1. Mathcad i Internet. [ Therma1 etudes with Exce1, Mathcad and the Internet] 2014. p. 348.

6. Kudinov V.A., Kartashov E.I., Stefanyuk E.V. [Technica1 thermodynamics and heat transfer] Uchebnik d1ya vuzov. M.: Vysshaya shko1a

2011. p. 129.

7. Ochkov V.F. Bogomo1ova E.P. Ivanov D.A.[Physico-mathematica1 studies with Mathcad and the Internet]. 2016. p. 506.

8. Maksfi1d Brent [Mathcad in engineering ca1cu1ations] (+ CD ROM); Korona-Vek. MK-Press Moskva. 2010. p. 348.

9. Makarov E. K. [Engineering ca1cu1ations in Mathcad 15] Uchebnyy kurs. Piter Moskva. 2011. p.307.

10. Kirianov D. G. [Tutoria1 Mathcad 11] Kniga po Trebovaniyu . Moskva:

2012. p.159.

11. Lyubimov E. V. Mathcad. [Mathcad. Theory and practice of e1ectrica1 engineering ca1cu1ations in Mathcad and Mu1tisim] (+ DVD ROM). Nauka i tekhnika . Moskva: 2012. p.69.

12. Ochkov V.F. [Thermal etudes with Excel, Mathcad and the Internet]. 2015.p. 197.

13. Paul, Jesilow Prescription for Profit - How Doctors Defraud Medicaid Paul Jesilow. Moscow: High School, 1993. 260 p.

14. Gillian, Walker In the Midst of Winter. Counseling Families, Couples, and Individuals With Aids Infection Rev Gillian Walker. Moscow: World, 1995. 384 p.

15. Ivanov V.V.,Karaseva L.V,.Tihomirov S.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N3y2017/4317.

16. Pivnev V.V., Basan S.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3857.