CC BY
243
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПРИКЛАДНАЯ ХИМИЯ И БИОТЕХНОЛОГИЯ, 2015, № 1 (12) УДК 66.011; 66.023.2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ
Е.В. Янчуковская
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, lenyan@istu.edu.
Рассмотрена математическая модель химического реактора идеального вытеснения. Полное математическое описание представлено покомпонентным материальным балансом и тепловым балансом элементарной ячейки для малого промежутка времени. Параметры потока меняются по длине реактора и во времени. Для практических расчетов протекания химических реакций в реакторе идеального вытеснения могут быть использованы системы обыкновенных дифференциальных уравнений различной сложности для стационарного режима и системы дифференциальных уравнений в частных производных для динамического режима. Представлена формулировка прямой задачи и возможные характерные ситуации на практике. Показаны области использования математического описания химического реактора и его решения. Ил. 5. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: химический реактор; математическое моделирование; математическое описание; реактор идеального вытеснения; материальный баланс; тепловой баланс; стационарный режим; динамический режим; компьютерный анализ.
MATHEMATICAL MODELING OF THE CHEMICAL REACTOR OF IDEAL DISPLACEMENT
E.V. Yanchukoskaya
Irkutsk national research technical university,
83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia, lenyan@istu.edu
Mathematical model of chemical reactor of ideal displacement is considered. Complete mathematical description is an exploded material balance and heat balance of the unit cell for a small period of time. Flow parameters vary along the reactor length and in time. For practical calculations of chemical reactions in a plug flow reactor can be used by a system of ordinary differential equations of varying complexity for the steady state and a system of differential equations are in partials for the dynamic mode. Formulation of the direct task and possible specific situations in practice are presented. The use of a mathematical description of a chemical reactor and its solutions are shown. 5 figures. 1 table. 5 sources.
Key words: chemical reactor; mathematical modeling; mathematical description; a plug flow reactor; material balance; heat balance; steady state; dynamic state; computer analysis.
Математическое моделирование в химической технологии служит теоретической базой и методом решения проблем, связанных с разработкой химических процессов и аппаратов, а также с определением оптимальных условий проведения этих процессов и создания систем их комплексной автоматизации.
Математические модели создают исходя из целевой направленности и задач конкретного исследования. Выбор модели определяется решением практических задач. Исследуя свойства модели, устанавливают свойства реактора.
Анализ работы реактора установки СВЧ -термолиза твердых бытовых отходов, в котором протекала гомогенная реакция [1,2] - осуществлялся на основе химических, стехиометриче-ских, термодинамических, кинетических свойств веществ; гидродинамических зависимостей, определяемых структурой потока; составленного математического описания реактора; выбора алгоритма решения.
Результатом анализа является адекватная математическая модель реактора и рассчитанные на её основе параметры процесса, схемы решения прямых, обратных, оптимизационных
Рис. 1. Реактор идеального вытеснения
задач и их компьютерная реализация.
СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
Полное математическое описание (детерминированная математическая модель) процесса представлено покомпонентным материальным балансом и тепловым балансом элементарной ячейки с объемом dV для малого промежутка времени dt. Параметры потока меняются по длине реактора и во времени [3].
Материальный баланс элементарной ячейки реактора идеального вытеснения
тI • ^ - приход вещества с потоком, т, • ^ = Увх • С, ^ = и • S • С, • (тI + dm¡) • с- расход вещества с потоком, (т, + dm) • с = (Увх С + с(у^-с)) • dt. dV • г/ • с - изменение вещества в химической реакции.
dMi - накопление вещества, dMi = dC¡ • dV.
т, • dt - т + dm) • dt + dV • п • с^ = dCi • dV
где п - скорость изменения концентрации вещества I в результате химического превращения, моль/(м3с).
т, = Vвx • С, = и • Б • С, - мольный поток вещества I, моль/с
и - линейная скорость потока, м/с. После преобразований материальный баланс реактора идеального вытеснения для вещества / в размерности моль/(м3с) имеет вид
dC dm, —=—+ r dt dV г
(1)
Решением этого уравнения будет являться функция С/ = 1(У~вх
В случае стационарного режима работы реактора
ídCi dmi
= г (2)
^ = 0 v dt у
dV
Решение его - функция С, = f(Vex). При Vex = Veb,x = V и Твх = Т = ТвЫх
" dm d (и ■ S ■ с)
dV dC, dt
= -и
d (S ■ z)
dC, r
dz 1
= и •
dC, dz
(3)
Решение этого уравнения - функция С, =
В случае стационарного режима работы реактора
(dC Л dC = 0 v dt у
dC
dC
—- = — или —1 dz и dr
= ri,
(4)
где
, dz 1 Vr
dr = —, r = — =— и и V
при u, V- const по длине реактора.
Решение уравнения (4) - функции C, = f(z) или С, = f(T).
Тепловой баланс элементарной ячейки реактора идеального вытеснения
Vex • р • Ср • (Т - THy) • dt - теплосодержание входного потока
[Vex • Р • Ср • (T - Тну) + d(Vex • р • Ср • T)] • dt - теплосодержание выходного потока (аналогично (m, + dm) • dt в материальном балансе)
^(ШР] ■ r)■ dV■ dt - тепло химическо-
j=i
го превращения
KF • (T - TS) • L • dz • dt - теплоперенос через стенку
d(p • Ср • Т) • dV - накопление тепла (аналогично dC, • dV в материальном балансе), где (р •
Cp • Т), Дж/м - аналог концентрации C,, моль/м (Vex • р • Ср Т), Дж/с - аналог мольного потока m,, моль/с
j = 1, m - количество стадий реакции АИР - энтальпия химического превращения (тепловой эффект стадии с обратным знаком), Дж/моль
KF - коэффициент теплопередачи через стенку, Дж/(м2сК)
L • dz - поверхность теплообмена, м2 TS - температура хладоагента, К Тепловой баланс элементарной ячейки
Vex • р •Ср (T- Тну) • dt - [Vex • р • Ср • (T- Тну) +
+ d(Vex • Р • Ср • T)] • dt -
m
I
j=i
(AHpj • rj) • dV • dt -
- KF • (T - Ts) • L • dz • dt = d(p • Cp • T) • dV
После преобразований тепловой баланс реактора идеального вытеснения в размерности Дж/(м3с) имеет вид
d(p-Cp ■ T)_ d(Vex-p-Ср ■ T)
dt
dV
-iK"^-^- (T-Ts). L (5)
j=1
S
Уравнение для адиабатического реактора упрощается за счет того, что
KF .(T - Ts)■L = 0.
S
Практически это возможно при КР = 0 (футеровка, теплоизоляция) или Т = Т3 (специально организованный температурный режим у внешней поверхности реактора).
Параметры потока \/вх, р, Ср, Т, О/, согласно уравнению (5), меняются по длине реактора идеального вытеснения и во времени.
В практических расчетах можно пользоваться упрощенной формой уравнения теплового баланса адиабатического реактора
Р-С
dT
dT
р dt =-V--p-Cp-dVv-I(a"pj'j
J=1
"dt ~~ вх' dV
I K^)
_i=1_
Р-Ср
(6)
Решением этого уравнения является функция Т = f(Vex,t).
Стационарный режим работы
dT = о'
, dt t
dT dt
I (^pj-rj)
j=1
Р-СР -Кх
(7)
Его решением является функция Т = Ц/,вх). При использовании в качестве независимой переменной линейной координаты
z
= ил
dV dz
v dV dz J уравнение (6) преобразуется к виду
dT dT
— = -u--
dt dz
I Kj-г )
j=i
p■ Ср
(8)
Решением этого уравнения является функция Т = ф^).
Стационарный режим работы
dT = о'
, dt t
I (*Hpj-rj)
j=1
(9)
dT
dz p- СР -u Его решением является T = f(z).
РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОПИСАНИЯ
Прямая задача решения формулируется следующим образом: по заданным параметрам входных тепловых и материальных потоков и конструкции реактора определить профили требуемых параметров потока по длине реактора (чаще всего профили температуры и концентраций) и параметры выходного потока [3]. На практике возможны такие же характерные ситуации, как и для реактора идеального перемешивания [5].
СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ
Постановка прямой задачи для стационарного режима работы реактора идеального вытеснения состоит в формировании и решении
Рис. 2. Сопряжения модуля «Прямая задача»
систем обыкновенных дифференциальных уравнений различной сложности. В качестве способа решения может быть выбран метод Эйлера.
Результаты решения прямой задачи - это профили С, V, Т по длине реактора и параметры выходного потока Свых, = С,п, Vвыx = VП,
Твых = ТП.
Сопряжения и структура компьютерного модуля «Прямая задача» приведены на рис.2 и рис.3.
Алгоритм прямой задачи служит основой анализа ХТП и решения обратных и оптимизационных задач.
ДИНАМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ РАБОТЫ
В динамическом режиме работы реактора идеального вытеснения (пуск, переключения, остановка, аварийные и предаварийные ситуации) определяющие параметры потока (С, V, Т)
меняются по длине реактора и во времени.
Отклонения от стационарного режима работы реактора СВЧ - термолиза твердых бытовых отходов возникали во время пуска - перехода от состояния «холодный» реактор (продувка реактора смесью исходного состава расходом V и температурой Т0С) к стационарному режиму с заданными V, Т. Происходил ступенчатый подъем температуры реактора Т0С ^ Т в момент времени t = 0. Концентрации компонентов смеси С, в момент времени t = 0 изменялись во времени и по длине реактора (С, = Цг,) рис. 4 и рис. 5) и через промежуток времени ^ стабилизировались на значениях, соответствующих стационарному режиму (С, = №)).
Математическое описание динамического режима работы реактора идеального вытеснения - это дифференциальные уравнения в частных производных. При Твх = Т = Твых и Vвx = Vвыx = V уравнение теплового баланса ис-
Рис. 3. Структура модуля «Прямая задача»
'вхА
г = о СЛг СвхА
1 1
< Ъ- 1 1 1 < . II 1 *"............. I 1 _ 1 1 1
г = 0
'выхА
=а
ехА
(Г = 0)
вых А к)
г=Ь
Рис. 4. Изменение профиля концентрации Сд в период пуска
сА1-с.
вхА
СА1=Аг)
(=0
Рис. 5. Изменение концентрации Сд, в сечении в период пуска
ключается, а для описания покомпонентного материального баланса можно воспользоваться уравнением
дС=_„ .дС + д
& г
(10)
Решение его - функция С, = ^г^) в виде двумерного массива (табл.1) или семейства кривых СI = ) при t = 0, ^ (рис. 4). Для гомогенной реакции
А ^ В
Твх Т Тв
^^вх ^^вых V
модель реактора идеального вытеснения в динамическом режиме работы представлена системой из двух дифференциальных уравнений в частных производных
дСА д дСв
= -и •
дС.
дг
- к • С,
= -и •
дС„
+ к • Сл
(11)
д дг
НУ - начальные условия: при t = 0 и г = 0,
... , 1 СА = СвхА, СВ = СвхВ (профиль концентраций в реакторе при t = 0; продувка «холодного» реактора исходной смесью с линейной скоростью и).
ГУ - граничные условия: при г = 0 и любых t СА = СвхА, СВ = СвхВ (входной поток, питание реактора смесью постоянного состава).
Также должны быть заданы параметры системы уравнений (11) и к.
Численное решение системы (11) можно рассмотреть на примере первого уравнения. Результатом решения прямой задачи будет двумерный массив СА(^г) (таблица), который получают численным интегрированием уравнения по двум независимым переменным: t с шагом At и г с шагом Аг [4].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представленное математическое описание химического реактора установки СВЧ - термолиза твердых бытовых отходов может быть использовано для решения прямых, обратных, оптимизационных задач и анализа процесса.
Сравнение результатов решения для гидродинамических моделей идеального смеше ния и идеального вытеснения позволит выбрать модель структуры потока, согласно которой ре-
Результат решения прямой задачи
Таблица
zi (ГУ) Z2 Zi-1 Z, Zi+1 Zm
tl Сл [1,1] Сл [i - 1] Сл [i,1] Сл [i +1,1] Сл [n,1]
t2 'i Сл [1,2] Сл [1[ -1] Сл [i-1, j - 1] Сл [[j- 1] Сл [i [1 j - 1]
j Сл [1jl Сл [i - 1j Сл [ij] Сл [i + 1j]
tj+1 im Сл [1j + 1] Сл [1,m] Сл [i - 1j + 1] Сл [ij + 1] Сл [i,m] Сл [i + 1j + 1] Сл [n,m]
актор обеспечит высокие экономические показатели, максимальные выходы целевых продуктов, низкие капитальные и эксплуатацион-
ные расходы, надежность и безопасность работы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Гунич С.В., Янчуковская Е.В. Технология микроволновой карбонизации органических компонентов твердых бытовых отходов // Известия вузов. Прикладная химия и биотехнология. 2011. № 1. С. 134-136.
2. Гунич С.В., Янчуковская Е.В., Днепровская Н.И. Экспериментальное определение выхода веществ и оценка перспективности СВЧ-термолиза твердых бытовых отходов // Известия вузов. Прикладная химия и биотехнология. 2013. № 1 (4). С. 112-115.
3. Кравцов А.В. Компьютерный анализ химических реакторов: учеб. пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 1999. 106 с.
4. Царева З.М. Основы теории химических реакторов: компьютерный курс. М.: Высш. шк., 1997. 623 с.
5. Янчуковская Е.В. Математическое моделирование химического реактора идеального перемешивания // Известия вузов. Прикладная химия и биотехнология. 2014. № 6 (11). С. 74-80.
1. Gunich S.V., Yanchukovskaya E.V. Tekhnologiya mikrovolnovoi karbonizatsii organicheskikh komponentov tverdykh bytovykh otkhodov [Mikrowave carbonization of organic components of municipal solid wastes]. Izvestiya Vuzov. Prikladnaya Khimiya i Biotekhnologiya -Proceedings of Higher School. Applied Chemistry and Biotechnology, 2011, no. 1, pp. 134-136.
2. Gunich S.V., Yanchukovskaya E.V., Dneprovskaya N.I. Eksperimental'noe opredelenie vykhoda veshchestv i otsenka perspektivnosti SVCh-termoliza tverdykh bytovykh otkhodov [Experimental determination of the substances yield and Prospects of municipal solid waste microwave thermolysis]. Izvestiya Vuzov. Prikladnaya Khimiya i Biotekhnologiya - Proceedings of Higher School. Applied Chemistry and Biotechnology, 2013, no.
1(4), pp. 112-115.
3. Kravtsov A.V. Komp'yuternyi analiz khimicheskikh reaktorov: ucheb. posobie [Computer analysis of chemical reactors]. Tomsk, TPU Publ., 1999, 106 p.
4. Tsareva Z.M. Osnovy teorii khimicheskikh reaktorov: komp'yuternyi kurs [Fundamentals of the theory of chemical reactors: computer course]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1997, 623 p.
5. Yanchukovskaya E.V. Matematicheskoe modelirovanie khimicheskogo reaktora ideal'nogo peremeshivaniya [Mathematical modeling of a chemical reactor with ideal mixing] Izvestiya Vuzov. Prikladnaya Khimiya i Biotekhnologiya -Proceedings of Higher School. Applied Chemistry and Biotechnology, 2014, no. 6 (11), pp. 74-80.
Поступила в редакцию 5 марта 2015 г.
