Математические модели гидродинамических режимов взвешенного слоя особенности гидродинамики вихревых сушилок Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.047 (088.8)

Б.С. Сажин, В.Б. Сажин, М.Б. Сажина, М.А. Устинов, С.С. Мокрышев, Е.А. Баталов

Московский государственный текстильный университет им. А.Н. Косыгина, Москва, Россия Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности, Москва, Россия

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ВЗВЕШЕННОГО СЛОЯ ОСОБЕННОСТИ ГИДРОДИНАМИКИ ВИХРЕВЫХ СУШИЛОК

The approach to modeling, including the choice of the structure of flows, most fully corresponds to the real picture, drawing up the balance equations for the concentrations of substances in the stream on the basis of the chosen structure, experimental evaluation of the parameters of hydrodynamic models. This approach is based on the model and the combined hydrodynamic models (in the form of one or several equations for the concentration of the substance in the stream) for determining the spectrum of particle residence time in the apparatus.

It is alleged that, depending on type of distribution function of the variety of mathematical models of flows arising in different vehicles with suspended layer of material that can be represented as generic models.

It is shown that for solutions of differential equations describing the hydrodynamics, it is convenient to apply the operator method for Laplace transform. Given race-even ratio for the typical models: the ideal displacement and ideal mixing, diffusion (one-parameter and two-parameter), a cellular, combined (PFA from a stagnation zone, with bypass, with recycle).

Развивается подход к моделированию, включающий выбор структуры потоков, наиболее полно соответствующей реальной картине; составление балансовых уравнений относительно концентраций вещества в потоке на основе выбранной структуры; экспериментальную оценку параметров гидродинамической модели. Этот подход базируется на типовых и комбинированных гидродинамических моделях (в виде одного или нескольких уравнений относительно концентрации вещества в потоке), позволяющие определить спектр времени пребывания частиц в аппарате.

Утверждается, что в зависимости от вида функции распределения все многообразие математических моделей потоков, возникающих в различных аппаратах со взвешенным слоем материала можно представить в виде типовых моделей..

Показано, что для решения дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамику, удобно применять операторный метод преобразования Лапласа. Приведены расчетные соотношения для типовых моделей: идеального вытеснения, идеального смешения, диффузионных (однопараметрической и двухпараметрической), ячеечной, комбинированных (идеального вытеснения с застойной зоной, с байпасом, с рециклом).

Можно выделить два подхода к моделированию гидродинамики взвешенного слоя: описание движущейся системы частиц с учетом взаимодействия частиц и аппроксимация типовыми или комбинированными моделями. Первый подход требует глубокого знания процессов, происходящих в аппарате, и отличается большой сложностью. Второй подход к моделированию включает выбор структуры потоков, наиболее полно соответствующей реальной картине; составление балансовых уравнений относительно концентраций вещества в потоке на основе выбранной структуры; экспериментальную оценку параметров гидродинамической модели. Этот подход базируется на типовых и комбинированных гидродинамических моделях.

Типовые и комбинированные гидродинамические модели представляют собой одно или несколько уравнений, характеризующих концентрации вещества в потоке. Эти модели не позволяют определить скорости потока в различных точках аппарата, но по ним можно определить спектр времени пребывания частиц в аппарате.

Необходимо, чтобы, с одной стороны, модель соответствовала действительной структуре потоков в аппарате и, с другой стороны, была достаточно простой. Распределение времени пребывания частиц материала в аппарате подчиняется статистическим законам и находится по виду сигнала, проходящего через систему. В качестве такого сигнала используется подача вещества (индикатора) на вход системы в виде ступенчатого, импульсного или частотного возмущения. В зависимости от вида функции распределения все многообразие математических моделей потоков, возникающих в различных аппаратах со взвешенным слоем материала, можно представить в виде типовых моделей (идеального вытеснения, идеального смешения, диффузионной, ячеечной, комбинированной).

Для решения дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамику, удобно применять операторный метод, например, преобразование

Лапласа. Пусть дана функция отображение этой функции (оригина-

ла) оператором Лапласа будет выглядеть так:

00

= (1)

о

Зная отображение, можно найти оригинал

1 +'о0

/(О = ¿7 \р{Р)ерЧт, (2)

где Р - оператор Лапласа; г - текущее время.

По соотношениям (1) и (2) составлены таблицы перехода от оригинала к отображению и обратно. Имея гидродинамическую модель аппарата, можно получить функцию распределения по времени пребывания частиц в аппарате. Существуют дифференциальные и интегральные функции распределения, которым соответствуют так называемые С-кривые и /'-кривые отклика на импульсное или ступенчатое возмущение на входе в систему.

Пусть ^(т) - интегральная функция распределения - доля частиц,

пребывающих в аппарате в течение времени г или меньше г; - диф-

ференциальная функция распределения - доля частиц, время пребывания которых в аппарате лежит в диапазоне от г до т + с!т, при этом . Входным параметром гидродинамической модели

является концентрация вещества в потоке на входе в аппарат С0(т), вы-

ходным - концентрация вещества в потоке на выходе из аппарата Су(т). Если С0(т) = <5(т) - дельта-функция, то Су(т) = й)(т) - функция веса,

где

ГО, г^О

/ч и, Г ^ и Г / ч

<5(г] = | ^ , причем J 8[т)с!т= 1.

-00

Если С0(т) = 1(т) - единичная функция, то Су (г) =/2(2") - переходная функция, где

,/ Ч г<0 о/ Ч / ( Г ) = « . причем-= О Г ).

V } 1, Т > О (¡Т W

Можно показать, что

йт

= ю(г).

Если С0(т) = <5(т), то Су (г) = /(г), т.е. если на входе в аппарат

концентрация есть дельта-функция, то на выходе из аппарата концентрация равна дифференциальной функции распределения частиц по времени пребывания (зависимость Су (V ) в этом случае называется С-кривой).

Если С0(т) = 1(т), тоСу (г) = Р(т), т.е. если на входе в аппарат

концентрация есть единичная функция, то на выходе из аппарата концентрация равна интегральной функции распределенния частиц во времени

пребывания (зависимость Су (V ) в этом случае называется /'-кривой).

Передаточной функцией модели (звена) называется отношение преобразованного по Лапласу выхода к преобразованному по Лапласу входу

W(P) = C^Щ. (3)

v ; с0(р)

Зная передаточную функцию модели, можно написать дифференциальное уравнение модели и определить Су (Р). Из (3) следует

С/(Р) = ^(Р)С0(Р). (4)

Если С0 (г) = 3(г), то

С./(Р) = /(Р) = Ж(Р), (5)

так как 3 (Р) = 1.

Кривая распределения У(т) характеризуется моментами. Различают центральные и начальные моменты. Начальным моментом п-го порядка на-

зывается величина МЦ

МИ„=\тп/(т)<1т. (6)

о

Центральным моментом п-то порядка называется

оо

М1=\(т-М^ ! (тут ^ (7)

о

где М | = (ср.

Моменты кривой распределения удобно находить через производящую функцию случайной величины г .

оо

р(Л) = рг/(г)</г, (8)

о

где Я - параметр производящей функции. Из (1), (7) и (8) следует, что

р(А) = Ж(-А). (9)

Таким образом, зная передаточную функцию, можно определить производящую. Моменты случайной величины г находятся из разложения

и 1п</9(А) в ряд Тейлора

2 к ср(Х) = \ + М"1+М"2^ + ... + М1^ + ... (10)

Ыср(Л) = \ + М1< + + + (11)

где М/' - начальный момент к -го порядка; М1^ - центральный момент к -го порядка.

Можно записать

М1 =

с!к(р(Л)

¿¡Г

я=о

(12)

я=о

щ

с1кЫ(р(Л)

с1Г

с1кЫЖ(-Л)

1=0

с1Г

(13)

я=о

Таким образом, по С- и /--кривым можно экспериментально определить параметры модели. Обычно ограничиваются определением первого начального момента, соответствующего среднему времени пребывания материала в аппарате ТСр (С- и /'-кривые удобно строить в зависимости от относительного времени (9 = г/г^ , а также второго центрального момента, соответствующего дисперсии распределения времени пребывания частиц ма-

2 и 2

териала в аппарате сг (т.е. М2 = С ). Перейдем к рассмотрению наиболее часто встречающихся гидродинамических моделей.

Модель идеального смешения. Физическая сущность этой модели заключается в том, что концентрация одинакова в любых точках аппарата (ячейки) идеального смешения. Эта модель описывается уравнением

йС V

йт V

(С0-С):

(14)

где С0 - концентрация "метки" на входе; С - концентрация меченого вещества в ячейке идеального смешения и на выходе; V - объемный расход потока, м3/с; V - объем зоны идеального смешения, м3.

Если обе части уравнения (14) преобразовать по Лапласу, то получим

откуда передаточная функция ячейки идеального смешения

у ' С0(Р) ТР + 1'

(15)

где Т

V

Если С0(т) = <5(г), то функция концентрации

С(т)

1 -

I

т

т

(16)

Ячеечная модель. Модель состоит из п последовательно соединенных ячеек идеального смешения. Материальный баланс для /-ой ячейки приводит к уравнению

^ = ¿ = 1,2,3,...,/!, (17)

где - объем / -ой ячейки.

Передаточная функция для ¡-ой ячейки имеет вид

Л ; СМ(Р) Т,Р + 1

Для последовательно соединенных звеньев передаточная функция всей модели равна произведению передаточных функций каждого звена

цЬ- (19)

Для одинаковых ячеек

Чр)=, 1 (2°)

(Т;Р + 1)

где Т = Уяч /V; Уяч - объем ячейки.

Если С0(т) = <5(т), то, используя (20) и переходя от изображений к оригиналам, получим

1 -1 г""1 СЛт) = —е т(21) ' Г (и-1)!

Модель идеального вытеснения. Согласно этой модели, поток будет «поршневым». Все частицы движутся с одинаковой скоростью. Если выделить элементарный объем, составить материальный баланс для этого объема и затем перейти к пределу, то получим уравнение модели идеального вытеснения

(1С (1С

-= -и/-, (22)

йт ск

где УУ - линейная скорость потока, м/с; X - координата.

Концентрация в этом случае зависит от времени и координаты точки

С = Передаточная функция модели идеального вытеснения имеет

=е"°Р' (23)

где Ь - размер аппарата, м; г - время запаздывания, с; Ь/м?.

Любой сигнал на выходе через время Т{) в точности повторится на

выходе Су (г) = С0 (V — Т0) .

Однопараметрическая диффузионная модель. Согласно этой модели, в объеме существуют два потока: основной поршневой поток, движущийся со скоростью м?, и диффузионный поток

= (24)

дх

где qx - количество вещества, протекающего через единицу поверхности в единицу времени, кг/(м2 • с); I) - коэффициент диффузии

вдоль оси х.

Можно вывести уравнение такой модели

дС. дС. д2С

= -*— + — . (25)

дт дх дх

Двухпараметрическая диффузионная модель. В объеме имеются три потока: основной поршневой и два диффузионных - осевой и радиальный. Уравнение этой модели имеет вид

х дх2 Я дЯ

г дСл Я— дЯ

дС дС ■уу— = —, (26)

дх дт

где Я - радиус точки в цилиндрических координатах; - коэффициент радиальной диффузии.

Комбинированные модели. Комбинированные модели получаются параллельным или последовательным соединением типовых моделей с добавлением застойных зон, байпасирования и рециркуляции отдельных частей потока.

Рассмотрим несколько примеров комбинированных моделей.

Модель идеального вытеснения с застойной зоной. Принимаем объем аппарата V, долю зоны идеального вытеснения Ь, долю застойной зоны с!. Если в какой-то части аппарата время пребывания частиц намного больше

времени пребывания в других зонах, то эту часть аппарата называют застойной зоной. Застойная зона уменьшает объем аппарата на величину с1¥. Передаточная функция такой модели имеет вид

/ ч -ЬК Ж(Р) = е—(27)

V

Модель с передаточной функцией 1¥\ (/^ и байпасом. Байпас - это

практически моментальный проскок части жидкости со входа в аппарат на выход. Можно написать равенство

С (г)= (28)

где V} - объемный расход потока через звено с передаточной функцией Щ (Р)', ' объемный расход через байпас; С0- концентрация на входе в аппарат; С1 - концентрация после аппарата до байпаса, Су - концентрация

на выходе из аппарата.

Применим к обеим частям уравнения (28) преобразование Лапласа

СЛР)= П } 1-^ 7 2, (29)

J у

где

V

= у1+у2; СХ(Р) = С0(Р)1¥ХР. (30)

Подставив выражение (30) в (29), можно найти передаточную функцию модели

С0[Р) V V

Модель с передаточной функцией Щ (Р) с рециклом. Рециклом называют перепуск части потока V с выхода аппарата на вход. Для этого случая можно записать два балансовых соотношения

+ (32)

С(т)= 0У }—(33)

Применив к обеим частям равенства (33) преобразование Лапласа и учтя, что

С(Р)Ж1(Р) = С/(Р), (34)

получим выражение для передаточной функции модели

шп . (35)

Со(Р) 1 +

Гидродинамические модели можно составлять, используя массовые расходы, массовые концентрации, массу вещества, находящегося в аппарате. Например, ячеечную модель можно записать в виде

^м, _ О йт С,

= -с/); г = 1,2,3,(36)

где G - массовый расход потока через аппарат, кг/с; С/, - масса ¡-ой ячейки; Су. - массовая концентрация вещества в потоке, кг/кг.

Гидродинамическая модель содержит один или несколько неизвестных параметров, которые определяют эмпирически. Обычно параметры модели определяют, исходя из кривых отклика (С- и /'-кривых).

К основным методам оценки параметров можно отнести: наложение теоретических и экспериментальных кривых, сопоставление теоретических и экспериментальных моментов, применение метода максимального правдоподобия, применение метода наименьших квадратов и приравнивание некоторых характерных параметров теоретических (полученных решением математической модели) и экспериментальных кривых, например точка экстремума, точка перегиба и т.д.

Наибольшее распространение для оценки гидродинамических параметров получил метод моментов. Этот метод заключается в том, что для определения п параметров модели приравнивают первые п моментов теоретической и экспериментальной кривых распределения; п центральных моментов случайной величины, однозначно определяют п начальных моментов и наоборот. Поэтому можно приравнивать либо центральные, либо начальные моменты, либо моменты, часть из которых центральные, а часть - начальные. Надо помнить, что практически можно определить лишь моменты до четвертого порядка включительно.

Моменты более высокого порядка требуют большой точности при снятии экспериментальных кривых распределения. Моменты теоретической кривой распределения удобно находить по формулам (12)и(13).

В качестве примера оценим число ячеек в ячеечной модели и коэффициент диффузии в диффузионной модели. Пусть имеется эксперимен-

тальная С-кривая, зависящая от относительного времени (при этом должно

со

выполняться условие нормировки = 1). Обработав С-кривую,

о

получим дисперсию времени пребывания <7 = М|. Передаточная функция ячеечной модели

Ж(Р)

Р

п

V '

(37)

+ 1

так как Тср = 1 и Т = Тср 1п = \/п . Для второго центрального момен-

та, т.е. (7 , получим

2 ^ <7 =-— П1 -

1

Г 2 Л" 1-V п)

1=0

откуда

п

= !/<

(38)

При рассмотрении диффузионной модели осевое перемешивание в аппарате длиной Ь характеризуется критерием Пекле Ре = И'/,/ 1)х . Пусть

сг2 - дисперсия случайной величины 0, тогда аналогично предыдущему

п 2

случаю можно получить связь между ге и ст

с72=2^-2 м/Ь

Г тл \

а

уЬ \

(39)

Коэффициент диффузии I) можно находить из соотношения

<7

г=1_Ох

(40)

Необходимо заметить, что общие методы нахождения и оценки параметров математических моделей остаются неизменными и в том случае, ко-

гда имеем дело с так называемой полной математической моделью (уравнения гидродинамики дополнены уравнениями кинетики).

Поясним это на примере процессов сушки. Пусть /{т^- кривая распределения частиц по времени пребывания в сушилке; - кривая кинетики сушки; (р(и) - кривая распределения частиц по конечному влагосо-держанию. Тогда

а среднее значение конечного влагосодержания продукта и его дисперсию можно найти по формулам (41), (42)

и р со

иср = | и(<р)(и)<Ш = \и(т)Г(т)с1т; (41)

Щ о

^Р 2 °° 2

стЬ=\{и-иср) (р{и)<1и = \[и{т)-иср~\ /(т)с!т. (42)

Щ о

Формулы (41) и (42) предполагают, что при решении модели получена функция распределения Можно получить формулы для вычисления 11ср и <7^ через моменты случайной величины г

иср=и(тч>) + М2—^- + ... + Мп У*1+ (43)

9 / Ч Ь(П)(тср)

= (44)

где МЦ - центральный момент //-го порядка;

л2

И(т)= и(т)-и1

ср

По формулам (43) и (44) можно приближенно определить среднюю величину и дисперсию конечной влажности частиц, ограничиваясь несколькими первыми членами ряда. М проще определять по формуле (13).