CC BY
3_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
2023 • Математика. Механика. Информатика • Вып. 3(62)
Научная статья
УДК 531.9; 514.853
Б01: 10.17072/1993-0550-2023-3-55-63
Динамика перманентного движения твердого тела в псевдоевклидовом пространстве
Николай Николаевич Макеев
Саратов, Россия
[email protected]; https://orcid.org /0000-0003-2807-977Х
Аннотация. Исследуются условия существования и свойства перманентного движения абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса, в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. На тело воздействуют силовой вектор-момент, постоянный относительно системы координат, неизменно связанной с телом, а также система гироскопических сил с результирующим вектор-моментом, линейным относительно угловой скорости тела. Найдены первые алгебраические интегралы динамической системы, а также необходимые условия существования перманентного движения тела. Получены уравнения подвижного годографа угловой скорости в этом движении. Исследованы структурно-кинетические свойства осей перманентного вращения и геометрия их распределения относительно тела. Ключевые слова: абсолютно твердое тело; псевдоевклидово пространство; гироскопический момент; перманентное движение; ось перманентного вращения
Для цитирования: Макеев Н.Н. Динамика перманентного движения твёрдого тела в псевдоевклидовом пространстве // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 3(62). С. 55-63. Б01: 10.17072/ 1993-0550-2023-3-55-63.
Статья поступила в редакцию 05.07.2023; одобрена после рецензирования 07.08.2023; принята к публикации 15.09.2023.
Research article
Dynamics of a Rigid Body Permanent Motion in Pseudo-Euclidean Space
Nikolay N. Makeev
Saratov, Russia
[email protected]; https: //orcid.org / 0000-0003-2807-977X
Abstract. The conditions for the existence and properties of the permanent motion of an absolutely rigid body rotating around a fixed pole are studied in the pseudo-Euclidean space. The body is affected by a force vector-moment, which is constant relative to the coordinate system, invariably associated with the body, as well as a system of gyroscopic forces with a resulting vector-moment, which is linear relative to the angular velocity of the body. The first algebraic integrals of a dynamical system are found, as well as the necessary conditions for the existence of a permanent motion of a body. The equations of the moving hodograph of the angular velocity in this motion are obtained. The structural-kinetic properties of the axes of permanent rotation and the geometry of their distribution in space relative to the body are studied. Keywords: absolutely rigid body; pseudo-Euclidean space; gyroscopic moment; permanent movement; axis of permanent rotation
For citation: Makeev N. N. Dynamics of a Rigid Body Permanent Motion in Pseudo-Euclidean Space. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2023;3(62):55-63. (In Russ.). DOI: 10.17072/1993-0550-2023-3-55-63.
The article was submitted 05.07.2023; approved after reviewing 31.07.2023; accepted for publication 15.09.2023.
[^нёвн Эта работа О 2023 Макеев H.H. под лицензией СС BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Введение
Н.Е. Жуковским [1] исследована задача о движении неизменяемой материальной плоской фигуры в плоскости Лобачевского. Эта задача в трехмерном евклидовом пространстве однозначно соответствует движению изгибающейся (термин Н.Е. Жуковского) материальной псевдосферической фигуры по неподвижной псевдосфере, которое эквивалентно ее движению в плоскости Лобачевского кривизны р = К2. Все точки этой фигуры должны находиться на действительной сфере радиуса к псевдоевклидова пространства R 3.
Вместе с тем, вследствие существующего гомеоморфизма, данная задача эквивалентна задаче о вращении абсолютно твёрдого тела (далее - твердого тела) вокруг неподвижного полюса в псевдоевклидовом пространстве R 1 с метрическим тензором
g¡j = (e ' e ■) , отнесенном к пространству конфигураций тела, с компонентами
gil = g22 = - 1 g33 = 1 при i = gij = 0 при
i Ф j. Здесь e¿ (i = 1, 2, 3) - орты заданного координатного орторепера в пространстве R13.
Согласно проективной модели Э. Бельтрами-Ф. Клейна, плоскость Лобачевского представляется в виде внутренних точек абсолюта гиперболической плоскости
gjXx^ (x1)2 - (x2)2 + (x3)2 = 0,
где xi, x1 — контравариантные координаты.
Под твердым телом в пространстве R1
понимается материальное тело, расположенное внутри изотропного конуса этого пространства, а под неподвижным полюсом О — вершина данного конуса. Тогда для радиусов-векторов точек этого тела имеем r2 = gl]risrj > 0и данные векторы по определению являются собственными.
Понятия и определения, относящиеся к величинам для неевклидовых пространств, приведены в работе [2], а также в источниках, цитированных в этой работе и в статье [3].
1. Предварительные положения
Под геометрией перманентного движения (движение здесь рассматривается только в механическом смысле) понимаются конфигураци-
онные свойства данного движения, выражающиеся в характере распределения в пространстве осей перманентного вращения тела, построении годографов вектора его угловой скорости и поверхностей, несущих эти оси.
Введем правые координатные орторе-перы с общим началом в неподвижном полюсе О: репер Я, неподвижный относительно инерциального конфигурационного пространства, и репер Я (Охгх2х3), неизменно связанный с данным телом, оси Оху которого совмещены с его главными в полюсе О осями тензора инерции тела.
Обозначим: Лу — диагональные элементы матрицы тензора инерции, являющиеся главными осевыми моментами инерции и собственными значениями оператора инерции тела; ш (щ) — его абсолютная угловая скорость. Здесь и всюду далее индекс у принимает значения ] = 1,2,3. В частности, символ
(щ) обозначает всю совокупность значений (щ, щ, щ ).
На тело действует система сил с результирующим вектор-моментом:
Ь к (ш) = Гш, (1)
где задана кососимметрическая матрица:
Г
0 2 k2
2з 0 ki
k2 - k 0
(2)
ку — введнные постоянные ненулевые (в общем случае) параметры.
Согласно равенству (1) для компонент
вектора Ь к (Ь) имеем [3]:
L\(ю) = - kЩ - k2щ,
l2 (ю) = k щ + К щ,
L\(ю) = k2щ- 2Щ .
(3)
Система сил, порождающая вектор-момент с компонентами (3), является гироскопической системой (по У. Томсону и П. Тэту [4]), а характерная матрица Г (2) — гироскопической с элементами — гироскопическими коэффициентами ку.
Вместе с моментом (1) на тело действует система внешних активных сил с результи-
рующим вектор-моментом L постоянным относительно орторепера R.
Движение тела, происходящее под воздействием моментов Ьк, Ь относительно полюса О, определяется эволюционной динамической системой, представленной в проекциях на координатные оси подвижного орторепера R [5]:
Д < + (Д + Д )« + къ < + к2 < = —, Д <с2 - (Д + Д )< < - к < - к3 < = —2, (4) Д < - (Д - Д )< с2 - к2 < + к < = - — •
В уравнениях (4) главные осевые моменты инерции Д, Д — моменты относительно не изотропных (идеальных) главных осей 0x1, 0x2, а момент Лэ — относительно собственной главной оси инерции 0x3. Моменты инерции тела относительно изотропных осей здесь и всюду далее не рассматриваются.
Согласно свойству гомеоморфности между движениями тела в псевдоевклидовом пространстве и в плоскости Лобачевского моменты инерции Л1, Л2 в этой плоскости являются главными моментами инерции сдвига, а момент Л3 — главным моментом инерции вращения тела относительно его центра инерции. При этом каждый главный момент инерции тела на плоскости Лобачевского представляется в виде алгебраической суммы соответствующего планарного момента массы
тела М и величины Мк2 с размерностью момента инерции [2].
Уравнения (4) представляют 9-пара-метрическую автономную динамическую систему с квадратичной нелинейностью, содержащую инерционные, гироскопические и мо-ментно-силовые параметры.
Целью работы является определение динамических и кинематических свойств перманентных движений твердого тела, движущегося согласно системе уравнений (4) при заданных предпосылках: необходимых условий существования перманентного движения, его кинематических характеристик и геометрической структуры множества осей перманентного движения относительно координатного орторепера Я.
2. Интегралы динамической системы
Определим условия существования общих первых алгебраических интегралов системы уравнений (4). Введем матрицу моментов инерции А = (Д, Д, Д ), линейную
по ю- форму:
Fl(ы) = < — + <-2 -<- Ь||2 Ф 0)
и докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Для того, чтобы система уравнений (4) допускала первый квадратичный по ю- интеграл
^ = (ю • Аю) = к2 (к Ф 0),
(5)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
^(ю) = 0 ^ еТ = [0, +да),
(6)
где к — постоянная интегрирования.
Доказательство. Необходимость.
Дифференцируя равенство (5) по в силу уравнений системы (4), выделяя форму получаем условие (6).
Достаточность. Исключая из заданного равенства (6) параметры Ц в силу уравнений системы (4), путем выделения формы получаем равенство (5), являющееся первым интегралом динамической системы (4).
Условие (6) выражает равенство нулю величины мощности системы сил, порождающей результирующий вектор-момент активных внешних сил Ь [4].
Следствие 1. Интеграл (5) существует тогда и только тогда, когда величина мощности вектор-момента Ь тождественно равна нулю. При этом для любого t е Т векторы ю, Ь Ф 0 взаимно ортогональны, либо имеем Ь = 0.
Замечание. Величина мощности вектор-тк
момента Ь тождественно равна нулю согласно определяющему свойству мощности при вращении тела [4, с. 104].
Пусть С (О;) — вектор кинетического момента тела относительно полюса О:
С (ю) = О е + О е2 - О ез,
где е- — орты осей Ох. репера Я, О. (с .) —
кинетические моменты тела относительно осей этого орторепера (О- = Л- ю- + к- ). Введем линейную по ю- форму:
3
*2(ю) = £ (Д< + к,) - (I Ь||2 ф 0)
1=1
и приведем утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы динамическая система (4) имела первый квадратичный по ю- интеграл
/2 - (G)2 + (G2)2 - (G3)2 = H2, (7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
F2(w) = 0 (t gT), (8)
где H Ф 0 — постоянная интегрирования.
Доказательство теоремы проводится аналогично предыдущему, на основе уравнения теоремы об изменении кинетического момента тела:
Gre + (w х G) = L (r = 1,2,3).
Следствие 2. Квадратичный первый интеграл (7) существует тогда и только тогда, когда, согласно условию (8), векторы G (ю), L при L Ф 0 для значений t g T взаимно ортогональны, либо когда L = 0.
Следствие 3. Если ненулевые векторы G, ю не коллинеарны, то векторы G, ю, L Ф 0 образуют некомпланарную тройку векторов при условиях следствий 1, 2.
Очевидно, что для системы уравнений (4) при L = 0 существует первый интеграл
G (w) = Aw + k = const = gs, (9)
где s (s■) — орт постоянного направления в
инерциальном пространстве относительно ор-торепера Ro, заданного начальным условием. Тогда, согласно равенству (9), имеет место инвариант:
/3 = IISI2 =-s 2 - s 2 + s 2=£, (10)
являющийся при L = 0 тривиальным первым интегралом системы уравнений (4). Здесь значения £ = (1, —1,0) в случаях, при которых орт s — собственный, идеальный и изотропный, соответственно.
В равенствах (5), (7), (10) интеграл энергии I\ выражает свойство гироскопичности мо-ментно-силового воздействия на тело; интеграл модуля кинетического момента I2 порожден группой симметрий и выражает постоянность его величины. Интеграл I3 отражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к направлению орта s, порождающего векторное поле этой группы. Этим же интегралом определяется пятимерное фазовое пространство тела.
3. Свойства перманентных движений
Рассмотрим движения твердого тела, являющиеся его вращениями вокруг главных осей инерции (осей орторепера R) с постоян-
ными скоростями (перманентные вращения) [5]:
ш0 = [Щ0,0,0); (0, щ°2,0); (0,0щ30)]. (11)
Теорема 3. Для того чтобы твердое тело, движение которого определяется системой уравнений (4), совершало перманентные вращения (11) вокруг главных осей инерции тела, необходимо, чтобы компоненты результирующего вектор-момента Ь были заданы в виде, соответственно
Ь = (0, - кщ0, к2щ0),
ь2 = (кщ0,0, - к ®0), (12)
Ь3 = (к2 щ 0, - к щ0, 0),
где символ Ьу обозначает совокупность координат этого вектора по оси номера у.
Доказательство теоремы проводится путем вычислений на основе условий (11) и уравнений системы (4).
Следствие 4. При перманентном вращении (11), согласно равенствам (12), вектор-момент Ь ортогонален оси перманентного вращения (ОПВ) тела и векторы к, Ь взаимно ортогональны (Ь Ф 0).
Рассмотрим особенности случаев перманентного вращения тела, обозначая элементы упорядоченного множества (ш0, Ь) (11), (12) через (В, В2, В3), соответственно (далее
нулевой индекс при величинах Юу для перманентного движения опущен).
При движениях В, В векторы к, Ь расположены в псевдоевклидовых плоскостях, а при движении Вз они могут находиться в евклидовой, полуевклидовой или псевдоевклидовой плоскостях. Вследствие этого в случаях В , В , если к — собственный вектор, то Ь — вектор идеальный. В случае, при котором к — идеальный вектор, Ь — собственный вектор. Если же вектор к — изотропный, то вектор Ь — либо идеальный, либо изотропный. При движении Вз вектор Ь — идеальный, а вектор к может быть собственным, идеальным или изотропным.
Теорема 4. В перманентном движении тела относительно любых ОПВ, если это движение существует, то при любых вектор-параметрах к, Ь имеют место тождества:
щЬ + ЩЬ2 -ЩЬ = 0, (13)
(Д©! + кх)Ц + (Д< + к2) -- (Д < + к) Ц = о.
(14)
Доказательство проводится путем стандартных вычислений на основе уравнений системы (4).
Равенства (13), (14) отражают свойства перманентного движения, идентичные упомянутым ранее свойствам этого движения по отношению к взаимному расположению пар векторов ю, L и G, L, а также векторов ^ L.
Определим выражения для величин щ- в общем случае перманентного движения, при котором система уравнений (4) принимает вид:
(Д + Д)«з + к <а2 + к2 < = —, (Д + Д)<< + к < + к < = - —, (15) (Д - д)<< + к< - к < =—•
Выражая из системы (15) последовательно величины < , < , согласно третьему и первому уравнениям, получаем, соответственно:
< =
к < + L
1 (Д2 - Д1)<2 + к2
(16)
при условиях
<2 Ф (Л - Л)-(Д - Д)к Ф 0,
< =-—^--(17)
(Д + Лз)<2 + к2
при < Ф - (Д + Лз) -1 к •
Подставляя выражения (16), (17) во второе уравнение системы (15), в результате получаем
Р>2 + Р<2 - Р = 0, (18)
где обозначено
P> = (Ai - A2XA2 + A3)L2,
р = - (A2 + A3) к1 L1 + (A1 - 2A2 - A3) к2 L2 +
+ (Ai - Д2)кзЦз ,
р = (Д + д ) цц + ,
3
N (к, L) к1Ь].
j = 1
Определяющее уравнение (18) с дискриминантом D (k, L) = P 2 + 4 P0P2 при
условии
(д - A2) ь2 ф о
в пространстве параметров Lj имеет область действительных корней с границей D = 0, являющейся алгебраической поверхностью третьего порядка. Полагая,
N (к, ь) = р +4Б, (20)
согласно уравнению (18), при требуемых условиях D > 0, (19) получаем:
< (к, Ь) = (2 р ) -1N, (21)
откуда в силу соотношений (16), (17) следует:
< (k, L) =
2P L + к^
2р2к2 + (A2 -1 Ai)N1
2P2 Li - к N
< (к, L) = ■ 21 31
(22)
2 P2 к2 + (Д + A3) N1 При этом должны выполняться условия:
2Р2к2 + (Д - Д, Д + Д)N ф 0. (23)
Таким образом, установлено следующее утверждение.
Теорема 5. Если перманентное состояние твёрдого тела, движущегося согласно системе уравнений (4), существует, то оно соответствует режиму, определяемому равенствами (20)-(22) при условиях (19), (23).
Равенства (20)-(22) представляют собой двупараметрические (по вектор-параметрам k, L) уравнения подвижного годографа вектора w (термин [6]) относительно орторепера R.
Согласно равенствам (20) при D > 0 существуют два режима перманентного движения тела, которые на границе D = 0 переходят в один общий режим.
Исключая из системы равенств (21), (22) величину N1 , определяемую выражением (20), при условии (19) получаем уравнения подвижного (относительно орторепера R) годографа вектора w в явной форме:
<2 =
Ц к2 <<
(Д - Д)< - к (Д + Д)< + к
,(24)
справедливые при условиях:
<1 , <з) Ф [(Л2 - Д) - 1к1 , - (Л2 + Лз) - 1кз].
Рассмотрим случай осевой кинетической симметрии тела, при котором для системы уравнений (15) выполняется условие
A1 = A2
(25)
(19)
с присоединенным к нему ограничением
к2 + к2 ф 0. (26)
Полагая в силу условия (26), в дальнейшем к2 Ф 0, из третьего уравнения системы (15) при ограничении (25) находим:
щ = к 21(к щ + Ь).
Введем условия
N = кхЦ + к2Ь2 Ф 0, Ь Ф 0, (А + А )Ь + к2к3 Ф 0
(27)
(28)
и подставим выражения (17), (27) во второе уравнение системы (15). Тогда при условиях (28) получаем:
щ2 (к Ь) =-"
Р
(А + Дз) N0 откуда, согласно зависимости (27), следует:
(29)
щ (к, Ь) = (Д1 + А3) Ь2 Ь3 - к1 N .
1( , ) (А + Аз)N0
(30)
Из равенства (17) согласно соотношению (29) находим:
щ (к, Ь) = -
N
(А + Аз) Ьз
(31)
В результате доказана следующая Теорема 6. Если перманентное движение твердого тела, состояние которого подчинено уравнениям (4), существует, то оно совершается в режиме, определяемом равенствами (29)—(31) при условиях (25), (26), (28).
Таким образом, теоремы 5, 6 выражают необходимые условия существования перманентного состояния твердого тела, движущегося согласно уравнениям системы (4) при заданных ограничениях.
Равенства (29)—(31) при указанных условиях истолковываются как двупарамет-рические уравнения подвижного годографа вектора угловой скорости тела.
Полагая Nk1k2 Ф 0 и исключая из равенств (29)—(31) величину N получаем уравнения подвижного годографа вектора угловой скорости тела в явной форме:
к2 (N2Щ1 - Ь2Ь3) = к1 + Ь1 Ь3) =
0 2 — к Ьз щз •
(32)
представленные относительно подвижного орторепера Л.
Уравнения (32) линейны по компонентам Юу , в отличие от нелинейных уравнений (24), относящихся к кинетически несиммет-
ричному случаю. Вследствие этой линейности для случая с условием (25) имеем единственный режим перманентного движения тела.
Из равенств (32) следует система:
к2 щ - к щ = Ь, к2Ьъщ - Nщ = ЬЬ,
представляющая в пространстве переменных Юу уравнения двух непараллельных плоскостей, взаимное пересечение которых определяет прямую — подвижный годограф вектора скорости ю.
4. Конус осей перманентных вращений
Оси перманентных вращений (ОПВ) твердого тела, движущегося вокруг неподвижного полюса в однородном силовом поле были открыты Б.К. Млодзеевским и О. Штауде [7, с. 142] в 1894 г. Конус ОПВ тела в поле силы тяжести исследован В.В. Румянцевым [8] и П.В. Харламовым [9].
Известно, что если ОПВ тела существует, то эта ось неподвижна относительно каждого из координатных ортореперов Яо, Я Пусть щ = |ю|, е(в]-) - орт ОПВ относительно орторепера Я. Тогда в перманентном движении имеем:
ш = ще, щ=®е;. (] = 1,2,3), (33) причем 8 = е и имеет место условие:
= е, е = (1, -1,0),
(34)
где указанные значения параметра I соответствуют собственному, идеальному и изотропному ортам е.
Поскольку орт 8 здесь совмещен с е и постоянное направление в инерциальном пространстве задается постоянным вектором Ь, то Ь = Ье, = Lej (у = 1, 2, 3), где
Ь = | Ь |, а величина параметра I определяется равенствами (34).
Согласно равенствам (33), из уравнений (15) следует система:
(А + А )®2 ее + (ке + к2е3 щ=Ье, (А + А )щ2 ее + (ке + Ке )щ =-Ье2, (35)
(Д - А1)щ2е1 е2 + (к2е1 - к1 е2)щ= Ье3.
Рассмотрим систему уравнений (35) при условиях
А ф А, еее Ф 0. (36)
2
е
Обозначая левые части уравнений (35) через V, V, V и составляя линейную комбинацию вида V е - У2е2 - Узез, согласно равенствам (34), в результате соответственно получаем:
(Д + д)e« - (A + Д)е« +
+ (A1 - A2)e3<1<2 - (к2e3 + к3e2)<1 +
+ (ке + ке )< + (ке - к^ )< = — L е + е L е ~ -L /.
(37)
Поверхность (37) в пространстве квазикоординат ш/ относительно орторепера R является несущей для множества ОПВ поверхностью второго порядка с геометрическими инвариантами:
¿1 = det[a, ] (i, j) = (1.....4),
aij = - aj (i ф A aj = 0 (i = A 1
(38)
^2 = -" 0е1 е2 e3,
0 = (Д - Д2)(Л2 + Аз)(Лз + Д.),
^ = Тг(а,) (/ = 1,2,3),
^4 = - £ а12,
(12 3)
где параметры щ определяются равенствами
2а12 = (Л1 - Л2)е3 , 2а23 = (Л2 + Л3)е1 , 2 а31 = - (Л1 + Л3) е2 , 2 а14 =- (к2 е3 + к3 е2 ) ,
2а24 = ке + ке, 2а34 = ке - Ке2,
а44 =- — £ •
В равенстве (38) для 54 символ (1, 2, 3) под знаком суммы обозначает суммирование по величинам с данными индексами согласно правилу их циклической перестановки.
Поверхность (37) в начале координат касается плоскости:
(ке + къе2)< - (ке + кхеъ)< + + (ке - ке )< = 0.
Согласно условиям (36), для инвариантов (38) в этом случае имеем:
^ = £з = 0, ^ Ф 0, ^ < 0, (40)
в силу чего поверхность с уравнением (37) — действительный невырожденный конус второго порядка. В соответствии с условиями (33), (40) этот конус является конусом ОПВ с вершиной в полюсе О.
(39)
Асимптотическим конусом поверхности (37) является аналог конуса Штауде:
(Д + Д ) е <2<з - (A + Д) е « + + (a - д)е« = о,
существующий в пространстве R1, в который предельным при к ^ 0 переходом преобразуется поверхность (37).
Если вектор (ю х e) ортогонален координатной плоскости Ox1x2 орторепера R, то при к = к e (к Ф 0) плоскость с уравнением (39) не существует. При этом сферическая кривая, являющаяся множеством точек пересечения конуса ОПВ с единичной сферой, центр которой совпадает с полюсом О, является направляющей конуса осей перманентных вращений.
В случае осевой кинетической симметрии тела, при условии (25), согласно равенству (38) для S2 имеем S2 = 0 и поверхность (37) не является центральной. Здесь могут иметь место случаи вырождения конуса ОПВ, при которых должно быть либо L = 0, либо, если L ф 0, то вектор e должен являться изотропным. При этом вектор (к х e) должен быть ортогональным плоскости О x x репера R.
5. Виды несущих поверхностей
Рассмотрим классификацию случаев, при которых несущая поверхность общего вида (37) порождает частные виды действительных множеств ОПВ.
При условиях (36) имеем S2 Ф 0 и поверхность (37) является центральной, соответствующей гиперболоидам: однополостно-му для Sx > 0 и двуполостному для S < 0. В пограничном случае, при котором S = 0, имеем действительный конус ОПВ.
Если, в отличие от условий (40), принять Sx ф 0, = 0, то получаем гиперболический параболоид, а при Sx = S2 = 0, если выполняется дополнительное условие
a12(2a14 a24 - a12 a44) = 0,
(12 3)
то существуют две распавшиеся плоскости.
Таким образом, среди частных видов несущих поверхностей имеются линейчатые поверхности, образующие которых могут являться ОПВ. Другие возможные случаи вырождения несущих поверхностей здесь не рассматриваются.
Аналогичная классификация поверхностей, несущих ОПВ в евклидовом пространстве, для твердого тела, движущегося вокруг неподвижного центра в однородном поле силы тяжести, приведена П.В. Харламовым [9].
Определение видов геометрических поверхностей, несущих ОПВ, принципиально важно для исследования устойчивости и управляемости перманентного движения тела, а также для применения качественных методов исследования данного движения в пространстве состояний динамической системы.
Заключение
Свойства перманентного вращения гиростата, движущегося вокруг неподвижного полюса в свободном от силовых полей евклидовом пространстве, происходящего под воздействием постоянного силового вектор-момента, исследованы в аналогичной задаче, содержащейся в работе [10]. Ее динамическим аналогом является задача, относящаяся к псевдоевклидову пространству, приведенная в настоящей работе.
Сопоставление результатов этих работ показывает наличие некоторых общих аналоговых признаков и свойств перманентных движений, совершаемых в соответствующих случаях. В частности, как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом пространстве, при перманентном движении существует взаимная ортогональность пар векторов ю, Ь, и С, Ь для Ь Ф 0. Кроме того, при к = 0,
(А - А) Ье Ф 0 в пространстве Я з несущая поверхность общего вида (37) для ОПВ является аналогом конуса Штауде, существующего в этом пространстве.
Исследование режимов перманентного движения тела с применением подвижного годографа вектора угловой скорости открывает возможность рассмотрения свойств этого движения в касательном пространстве с анализом касательного расслоения многообразий. Нахождение этого поля и его применение в случае псевдоевклидова пространства в представленной задаче осуществляется, по-видимому, впервые.
Список источников
1. Жуковский Н.Е. О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы // Полн. собр. соч.: в 10 т. М.; Л.: ОНТИ, 1937. Т. 1. С. 490—535.
2. Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Ученые записки Казанского университета. 1963. Т. 123. Кн. 1. С. 196-207.
3. Макеев Н.Н. Задача восстановления в динамике твердого тела // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 1 (13). С. 19-26.
4. Ламб Г. Теоретическая механика: в 3 т. М.; Л.: ОНТИ, 1936. Т. 3. 291 с.
5. Макеев Н.Н. Устойчивость перманентных
вращений гиростата в пространстве R 3 //
Дифференциальная геометрия: межвузовский научный сб. 1972. Вып. 4. С. 150-156.
6. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1965. 221 с.
7. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 528 с.
8. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 51-66.
9. Харламов П.В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 3. С. 373-375.
10. Смольников Б.А., Степанова М.В. Перманентные вращения гиростата с самовозбуждением // Известия Академии наук. Механика твердого тела. 1981. № 3. С. 107-113.
References
1. Zhukovskiy N.E. O dvizhenii materially psevdosfericheskoy figury po poverkhnosti psevdosfery. Poln. sobr. soch.: v 10 t. M.; L.: ONTI. 1937;(1):490-535. (In Russ.).
2. Shirokov A.P. Vintovaya regulyarnaya pret-sessiya v prostranstve Lobachevskogo. Uchenye zapiski Kazanskogo un-ta. 1963; (123:1):196-207. (In Russ.).
3. Makeev N.N. Zadacha vosstanovleniya v dinamike tvyerdogo tela. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. In-formatika. 2013;1(13):19-26. (In Russ.).
4. Lamb G. Teoreticheskaya mekhanika: v 3 t. M.; L.: ONTI; 1936. 291 p. (In Russ.).
5. Makeev N.N. Ustoychivost' permanentnykh
vrashcheniy girostata v prostranstve R 3. Dif-
ferentsial'naya geometriya: mezhvuzovskiy nauchnyy sb. 1972;(4): 150-156. (In Russ.).
6. Kharlamov P. V. Lektsii po dinamike tvyerdogo tela. Novosibirsk: Izd-vo Novosibirskogo un-ta; 1965. 221 p. (In Russ.).
7. Magnus K. Giroskop. Teoriya i primenenie. M.: Mir; 1974. 528 p. (In Russ.).
8. Rumyantsev V.V. Ustoychivost permanentnykh vrashcheniy tyazhyelogo tvyerdogo tela. Pri-kladnaya matemaika i mekhanika. 1956;(20:1):51-66. (In Russ.).
9. Kharlamov P.V. O ravnomernykh vrashcheni-yakh tela, imeyushchego nepodvizhnuyu tochku. Prikladnaya matematica i mekhanika. 1965;(29:3):373-375. (In Russ.).
10. Smol 'nikov B.A., Stepanova M. V. Permanentnye vrashcheniya girostata s samovozbuzhdeniem. Izvestiya Akademii nauk. Mekhanika tvyerdogo tela. 1981;(3): 107-113. (In Russ.).
Информация об авторе:
Н. Н. Макеев - доктор физико-математических наук, профессор, AuthorID: 374535, WoS: AAW-4380-2020.
Information about the author:
N. N. Makeev - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, AuthorID: 374535, WoS: AAW--4380-2020.
