ПЕРМАНЕНТНЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ОБОБЩЕННОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2019

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(47)

УДК 531.381

Перманентные вращения твердого тела в обобщенном силовом поле

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, г. Саратов, ул. Рабочая, 24 [email protected]; (845) 272-35-33

На основе обобщенной модели динамики твердого тела проведено исследование свойств его перманентных вращений, реализующихся в силовом поле общего вида. Рассмотрены некоторые частные случаи перманентных движений.

Ключевые слова: абсолютно твердое тело; обобщенное силовое поле; перманентное вращение; геометрия перманентного движения.

DOI: 10.17072/1993-0550-2019-4-49-55

Введение

Актуальной задачей теории динамики твердого тела является задача о движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижного полюса в некотором сложном по структуре силовом поле (обобщенном силовом поле). Компонентами этого поля могут являться: классическое потенциальное поле, магнитные поля различной природы (поле магнитного диполя; поля, порожденные эффектами Бар-нетта [1, 2] или Лондонов [2]), поле сил Лоренца [3, 4], а также силовые воздействия гироскопического характера [5, с. 80].

Динамика твердого тела в подобного рода силовых полях сложной структуры является предметом исследования обобщенной ("абстрактной' [6, 7]) теории динамики, являющейся одним из фундаментальных направлений современной механики.

Несмотря на абстрактность и высокую степень обобщенности, многие применения этой теории имеют вполне естественное и конкретное физическое содержание. В частности, классические уравнения Пуанкаре-Ламба-Жуковского [8, 9] содержатся в системе динамических уравнений Эйлера для конфигурационного пространства SO(4) [10], описывающих свободное вращение четырехмерного твердого тела вокруг неподвижного полюса. Уравнения этой задачи могут являть-

© Макеев Н. Н., 2019

ся определенными модельными приближениями при описании геодинамических процессов взаимодействия твердой мантии Земли с ее жидким центральным ядром [11].

Динамические уравнения Эйлера в пространстве SO(4) рассматривались также в работах [12, 13] в связи с исследованием динамики взаимодействующих спинов во внешнем силовом поле, а также в работе [14].

В приложениях обобщенной теории динамики используется общая форма гироскопических и потенциальных сил, при которой уравнения движения тела сохраняют свойства интегрируемости, характерные для классических задач механики. Эти свойства обусловлены структурно-динамической симметрией механических систем [7].

1. Обобщенная динамическая система и первые интегралы

Пусть абсолютно твердое тело движется относительно неподвижного полюса О под воздействием потенциальных, соленоидаль-ных и гироскопических сил. В качестве соле-ноидальных силовых полей рассматриваем магнитные поля различной природы. Такого рода суперпозицию силовых полей назовем обобщенным силовым полем (ОСП).

Введем неподвижный координатный ба-зис Z(0zlz2zз) и главный координатный ортобазис X (ОХ1Х2Х3), неизменно связанный с телом, оси Оху которого направлены по

главным в полюсе О осям тензора инерции тела А = diag (Л1, Лг, Аз). Обозначим: 8 = [я яг 5з]г - орт, неизменно связанный с базисом Z, заданный координатами в базисе X; и(8) - силовая функция потенциального поля; ю = [®1 Юг Юз]Г - мгновенная абсолютная угловая скорость твердого тела. Здесь и всюду далее все координатные элементы заданы в осях базиса X.

Введем характерные функции [7]:

U(s), F(s), /(s) ,

(1)

заданные на сфере Римана ||8||2 = 1, такие, что (и, /) е С1^), Е е С0(8), где Сг - символ класса гладкости порядка г = 0,1,2, ... данной функции. Здесь Е, / — заданные величины с размерностью кинетического момента.

Движение твердого тела в ОСП при данных предпосылках определяется системой уравнений, отнесенных к ортобазису X:

A w + w х (Aw + Ф) = Us х s, s + w х s = 0,

где обозначено:

Ф = Fs +

f,

ds'

U =

dU ds

Динамическая система (2), обладающая полем симметрии (термин [15]), в дальнейшем называется обобщенной динамической системой (ОДС) или системой уравнений М.П. Харламова [7]. В этой системе вектор Ф обусловливает гироскопическое воздействие на твердое тело, поскольку (Ф х ю) ю = 0.

Для ОДС (2) имеют место первые алгебраические интегралы [7]:

(3)

(4)

= 1(га • Ага) - и(8) = Ъ1, .]2 = (8 • Ага) + / (8) = И2, J3 = (8 • 8) =1, где М, Иг - постоянные интегрирования.

Интерпретация интегралов системы (3), (4) приведена в работе [16].

Уравнения ОДС (2) в проекциях на оси координатного базиса X имеют вид

Л1 m1 + (Л3 - A2)m2m3 + Ф3т2 - Ф2®з =

= U2 S3 U3S2

S = ®ъS2 - ®2S3

(1,2,3),

d/

Ф j (s) = F (s)sj +

d s

dU

U(s) = d s

(j = 1,2,3).

(2)

Здесь и всюду далее принимается, что все величины Uj ограничены; символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку индексов 1, 2, 3, отнесенных к данным величинам.

Система основных уравнений (5) аналитически замкнута относительно всех переменных щ Sj (j = 1,2,3).

Возможные конкретные формы задания функций (1) приведены в работе [7]; при этом характерно, что для функции F в этой работе принято условие F (s) = 0.

2. Геометрия осей перманентных вращений

Пусть e (e, e, e) - орт оси перманентного вращения (ОПВ). Реализованная ОПВ должна быть неподвижна относительно каждого из базисов Z, X, так что w = me, где щ — ненулевая скорость перманентного вращения тела, e = const. Здесь щ = const Ф 0 — угловая скорость перманентного вращения тела, а равенство

w = m s

определяет множество перманентных вращений тела относительно орта s со скоростями |(о| = щ. В этом равенстве значения щ > 0 соответствуют "прямому" перманентному вращению, а значения щ < 0 - "обратному". Данное уравнение определяет ориентацию ОПВ в конфигурационном пространстве (s-простра-нстве параметров sj).

При перманентном движении ОДС (5) принимает вид

Леm + (Л - Л)®2ee + ®(ф3e - Фe) =

= U2 s3 U3 S2 ,

(6)

S1 =m(e3S2 - e2S3) (1,2,3),

а первые интегралы (3), (4) принимают вид

m2(e • Ae) - 2U(s) = 2h, m (s • Ae) + / (s) = h2,

(7)

(e • s) = h,

Ы2 = 1,

(8)

(5)

где обозначено

где Ъ. (у = 1, 2, 3) — постоянные интегрирования.

Исключая параметр ш из системы уравнений (7), в результате получаем

2[h + U(s)](s • Ae)2= = h - f (s)]2(e • Ae).

(9)

Из уравнений (6) для ОПВ имеем s = e. Уравнения (8), (9), определяющие эти величины, устанавливают их постоянность относительно каждого из базисов Z, X. Из системы первых интегралов (7) получаем ш = const. В силу этого система (6) при 8 = ееез ф 0 порождает соотношения

L - (4 - А^аЧаСФ2) + + F(U3, U2) = 0 (1,2,3), где обозначено

G (Ф;, Ф-) = Ф e1 -Ф e- \

F(Uj, U-) = U1e-l 1 - U-e-

((./, к) = 1, 2, 3; ] * к), и} = и} (е) (] = 1,2,3).

Составляя комбинацию £ ^ , где

У = 1, 2, 3, согласно системе (10) получаем уравнение с параметром ш:

3

Е[(А]+2 - А+> + а(Ф,+2, Ф,+1)]-

i=i

• j+1 e;+2 = 0,

e 2 = 1.

(12)

В частном случае, при котором тело находится в однородном или в центральном ньютоновском стационарных силовых полях, поверхность (11) при условии

e =- F 4e) ^ д e

(13)

(11)

определяющее в пространстве координат еу (е-пространстве) некоторую поверхность.

К равенству (11) следует присоединить нормированное условие

является конусом ОПВ (конусом Штауде) [17; 18, с. 144] с уравнением

3

Е Г (А +1 - А + 2 ) +1+ 2 = 0,

1 = 1

где г. (1 = 1, 2, 3) — координаты центра тяжести тела в базисе X. Условие (13) эквивалентно ограничению Ф (е) = 0.

Если выполняются условия

= 0 (1,2,3), (14)

ое ое2

то сфера (12) и несущая поверхность (11) имеют общие симметрично расположенные нормированные точки:

(й, 02,О) = [(± 1,0,0), (0, ±1,0), (0,0,±1)],

соотнесенные к главным осям инерции тела.

Равенства (14) по структуре являются скобками Пуассона (коммутаторами) функций /, и, заданных на симплектическом многообразии как производные функции / по направлению фазового потока с функцией и [19]. Отметим, что характерная точка ОПВ:

Q4(P p2, P), P = AUK

В соотношении (11) и всюду далее значения числовых индексов всех величин не должны превышать числа п = 3, что в ином случае достигается вычитанием из значения индекса числа 3.

Уравнения (11), (12) определяют многообразие ОПВ твердого тела. В е-пространстве точка N(е1з е2, е3) должна находиться одновременно на поверхности (11) и на единичной сфере (12). Вследствие этого геометрическим множеством точек [Щ является линия взаимного пересечения этих поверхностей — сферическая кривая S, расположенная в е-прост-ранстве на несущей для ОПВ поверхности — линейчатой поверхности, образующими которой являются ОПВ.

(j = 1,2,3), K = ±

Е (A1 U )2

j=1

(15)

имеет координаты, удовлетворяющие уравнению (11), если выполняется условие

3

Е А (А+1 — А+2)Ф V+и+2 = 0

1=1

определяющее в е-пространстве в общем случае (при А * А -+1) некоторую невырожденную поверхность.

В случае, при котором на сфере (12)

0/ * * * ч

5 (е , е, е ), являющаяся стационарной для функции и, ее координаты также удовлетворяют уравнению (11).

2

Каждой точке сферической кривой 5", расположенной на поверхностях (11), (12), соответствует ось, которая является ОПВ, если для текущих координат этой кривой в силу соотношений (10) выполняются условия

а2(Фз, Ф2) - 4 (Аз - А)р(из, и2) > 0

(16)

(1, 2,3).

Ограничения (16) непосредственно следуют из соотношений (10) при выполнении

условия в)2> 0. В частности, если ввести дополнительные условия

О (Ф;, Ф, ) = 0 ((у', к) = 1,2,3; у * к), (17)

то условия существования ОПВ при всех не равных между собой значениях Л, ( = 1, 2, 3) принимают вид

®2= (А+1 - А-)-1 Р (иу, иу+1) >0 (18) (У = 1, 2,3).

Отметим, что к условиям (18) можно применить истолкование, сходное с интерпретацией ограничений (14). Помимо этого, согласно соотношениям (18), при стремлении текущей точки несущей поверхности к любой из ее точек ^. (у = 1, 2, 3) значения величины ш2 неограниченно возрастают. Это означает, что главные оси инерции тела не могут являться ОПВ в общем случае. Вместе с тем, в точке Q5 тело находится в положении статического равновесия.

Предположим, что одна из точек Ql, Q2, Qз, находящихся на кривой 5, совпадает с точкой Q5 (например, это — точка Ql). Тогда при выполнении условий (17) главная ось инерции 0x1, согласно уравнению (10), является ОПВ тела с произвольной скоростью вращения ш. В случае, при котором какая-либо главная ось инерции тела является ОПВ, имеем потенциальную функцию и (е) такую, что выполняется условие

и, = я, (Р} (8) (7 = 1,2,3),

где ф, — ограниченные функции класса С1.

Для характерной точки Q4 сферической кривой 5 из соотношений (18) находим:

(о2=± К,

где величина К определяется равенством (15). Следовательно, перманентные вращения тела существуют только для осей, проходящих через точку Q4 и соответствующих знаку "минус" в равенстве (15).

3. Частные случаи существования осей перманентных вращений

Рассмотрим некоторые частные случаи существования ОПВ в ОСП, определяемые структурно-динамической симметрией тела или структурой силового поля.

3.1. Случай осевой кинетической симметрии твердого тела

Положим А = А * А. Тогда из соотношений (10)следует

(А - А)ю2+юО(Ф3, ф2) + р(и, и) = 0, (А - А)ю2+юО(ф, ф) + р(и, и) = 0, 0)О(ф2, ф1) + Р(и2, и,) = 0, (19)

а из равенства (11) получаем

2

[(А3 - А)®¥(и„ и2) + 1

у=1

• О (ф у + 2, ф у +Ж + и3 О (Ф 2, Ф^ = 0. (20)

Если выполняются ограничения (17), то соотношения (19) упрощаются, а равенство (20) принимает вид

Ри и2)е3 = 0.

(21)

Согласно равенству (21), характерная поверхность (11) в е-пространстве распадается на плоскость

е3 = 0 (22)

и поверхность

р (и1г и2) = 0.

(2з)

Таким образом, геометрическое значение данных равенств состоит в том, что они устанавливают условия распадения поверхности (11), определяющей совместно со сферой (12) многообразие ОПВ тела для ОДС (5).

Пусть выполняется ограничение (22). Тогда, согласно условиям (19), представленном для О = 0, заключаем, что каждая ОПВ (е ,е ,0) плоскости (22) с условием (23) является ОПВ с произвольным значением величины скорости ш, если выполняется дополнительное условие из = 0. Условие (23) для главной оси инерции 0x1 имеет место, если и2 = 0, а для оси 0x2 — если выполняется ограничение и = 0.

(24)

Рассмотрим теперь случай, при котором ез ф 0. Здесь возможные ОПВ реализуются со значением скорости ш, удовлетворяющем при

A = A ^ А условиям

( a- A )®2=f (U, U) =

= F(U2, Uз) > 0,

непосредственно вытекающем из ограничений (19).

Согласно условиям (24), U = U и перманентное вращение тела со скоростью ш существует, если выполняется одна из групп следующих ограничений:

A > A, W < min (W, W),

A < A, W > max(W ,W)•

В частном случае, при котором выполняются условия (17) и U = U2 = 0, в силу соотношений (19) заключаем, что главная ось инерции тела Охз является ОПВ с произвольными значениями скорости ш.

3.2. Случай полной кинетической симметрии тела

Если A = A E, где E — единичная матрица формата 3 х 3, то из соотношений (10) следует, что единственными ОПВ тела являются оси, соответствующие нормалям к эквипотенциальной поверхности силового поля или ее стационарным точкам. При этом должны выполняться ограничения (17).

3.3. Случаи силовых полей размерности меньше трех

Пусть вне зависимости от ограничений, принятых в пункте 3.1, и условий кинетической симметрии силовая функция данной задачи имеет вид U = U (^, s2 ), относящийся к силовому полю размерности "два". Обозначая

Wj = U]e-] V- = ф-е-1 ((j, к) = 1,2,3)

и полагая в динамических уравнениях системы (6) s. = e. (j = 1, 2, 3) с учетом условий

ee ^ 0, U = 0, представим эти уравнения в виде

Подобным же образом в силу системы уравнений (6) представим аналог комбинационного равенства типа (11):

[(A - A)®2- (W + ®V2)]e3 + ® Ф3 = 0,

М( A3- A)W + (А,- A3 ) W2 ] +

+ G (Ф3, Ф 2)W + G (Ф,, Ф3)ЖК = 0.

(26)

(25)

[(А - а)®2+ (W + ж - ®ф3 = 0, (А-А )®2+®g (ф, ф) + f (и ,U) = 0.

В частном случае, при котором выполняются условия (17) (которые применяются всюду далее, если иное не оговорено), согласно соотношениям (25), (26) получаем

[(А — А )(2— Ж, ]е3 = 0,

[(А —А )®2+ Ж ]е = 0, (27)

(А — А)®2+ Р(V2, Ц) = 0, ([( А3 — А)Ж + (А — А)ЖК = 0.

Согласно равенствам (27) в зависимости от выбора значений ез = 0 или ез Ф 0 несущая поверхность (11) распадается на плоскость (22) и характерную поверхность в е-пространстве

(А3 — А2)и1е2 + (А — А3)и2 е = 0. (28)

При е3 = 0 в силу равенств (27) возможные ОПВ и соответствующие им величины скорости ш при Л\ Ф А2 ограничены условием

(2= (А—А ) —1Р (V, V ) > 0. (29)

При этом, согласно условию (29), перманентное вращение тела имеет место, если > Ж2 при А1 < А2 или < Ж2 при А1 > Л2. Из условия (29) также следует, что главная ось инерции 0x1 (или 0x2) является ОПВ, если и = 0 (или если и1 = 0, соответственно).

В случае, при котором е3 Ф 0, возможная ОПВ должна удовлетворять условию (28), а величина скорости ш, согласно равенствам (27), определяется ограничениями

«2= (А — А)—1'Ж = (А — А)—1Ж = = (А —А)—1 р (V, V) > 0. (30)

В соотношениях (30) значения всех величин Ау не равны между собой; при этом перманентное вращение тела необходимо существует, если выполняется какая-либо из следующих групп условий:

А < А < А, 0 < ж < Ж, А < А < А, Ж < Ж < 0, (А > А, Ж < 0) V (А < А, Ж > 0).

Если и = и2 = 0, то ось инерции тела 0x2 соответствует стационарной точке силовой функции и (^, £2 ) и является ОПВ тела с произвольной величиной скорости ш.

В случае одноразмерного силового поля, например, при и = и(^), имеем и = 0, из = 0 и, согласно соотношениям (10), вне условий (17) получаем

[(А- А)®2+®О(Ф3, Ф2)]е2е3 = 0, (з1)

[(А-А )®2+ Щ + ®о (ф, ф )]ее = 0, [(А - А)®2- Щ + ® о(ф, ф)]е е = 0.

Из системы уравнений (31) при 3 Ф 0 и условиях (17) (которые принимаются и далее) непосредственно следует Л2 = Лз.

В дальнейшем предполагается выполнение всех ограничений (17).

Если заданы условия е2 * е3 = 0, то ось

инерции 0x1 является ОПВ тела с произвольными значениями параметра ш.

В случае, при котором ее * 0, е2 = 0,

параметр ш для ОПВ тела, согласно равенствам (31), определяется условием

о2= (А-А)-1Щ >0. (з2)

При этом, если и = 0, то ось инерции тела 0xз является ОПВ с произвольной величиной угловой скорости.

Пусть е . * 0 (- = 2, 3). Тогда при условии А * А вместо перманентного вращения

имеет место только состояние статического равновесия тела при условии и1 = 0. В случае, при котором А = А возможные ОПВ тела и параметр ш также определяются условием (з2). При этом, если е = и = 0, то в этом же случае для каждой из ОПВ тела (0, е2, е3) величина параметра ш является произвольной.

Заключение

Перманентные вращения твердого тела являются составной частью общего многообразия стационарных движений, соответствующей определенной группе невырожденных преобразований Лежандра с нулевой или единичной размерностью их ядра [20]. При этом подход, основанный на применении построенной в работах [6, 7] обобщенной модели динамики открывает новые возможности для исследования свойств перманентных движений.

Перманентные вращения тела определяются необходимыми условиями стационарности по переменным qj :

ÔV

— = Uj = 0 (j = 1,...,6), (33)

Ôq

где V — связка первых интегралов (3), (4):

3

V(ш, s) , (34)

k = 1

Лк — постоянные множители Лагранжа.

Систему уравнений (33) можно трактовать как множество преобразований Лежандра вида {q} ^ {и.}, параметризованное

величинами \ (к = 1,2,3). В исходных переменных это множество совпадает с ядром данного преобразования. Здесь { ... } — символ полного множества указанных величин.

Выражение (34) можно истолковать как линейное пространство первых интегралов (3), (4), принимаемых за базисные [20].

Список литературы

1. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1032 с.

2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз, 1963. 696 с.

3. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.

4. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика // Берклеевский курс физики. М.: Наука, 1971. Т. 1. 479 с.

5. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / пер. с англ. М.: Мир, 1980. 294 с.

6. Харламов М.П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем // Механика твердого тела. Киев, 1979. Вып. 11. С. 37-49.

7. Харламов М.П. Симметрия в системах с гироскопическими силами // Механика твердого тела. Киев, 1983. Вып. 15. С. 87-93.

8. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.

9. Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги

науки и техники. Современные проблемы математики: фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 3. 304 с.

10. Веселов А.П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на SO(4) // Докл. Академии наук СССР. 1983. Т. 270, № 6. С. 1298-1300.

11. Мельхиор П. Физика и динамика планет. М.: Мир, 1976. Т. 2. 483 с.

12. Srivastava N. and others. Classical spin clusters: Integrability and dynamical properties // Journal of Applied Physics. 1987. Vol. 61, № 8. P. 4438-4440.

13. Srivastava N. and others. Integrable and non-integrable classical spin clusters // Zeitschrift fur Physik B. Condensed Matter. 1988. Vol. 70, № 2. P. 251-268.

14. Bogoyavlensky O.I. Integrable Euler Equations SO(4) and their Physical Applications // Communications in Mathematical Physics. 1984. Vol. 93. P. 417-436.

15. Козлов В.В. Симметрия, топология и резо-нансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1995. 431 с.

16. Макеев Н.Н. Верификация обобщенной модели динамики твердого тела // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 3(7). С. 35-41.

17. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики: в 2 т., 4 ч. М.: Изд-во иностр. лит. 1951. Т. 2, ч. 2. 556 с.

18. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 528 с.

19. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

20. Иртегов В.Д. О смене устойчивости при бифуркациях // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением: сб. науч. тр. Новосибирск: Наука (Сибирск. отд.), 1991. С. 73-79.

Permanent rotations of a rigid body in the generalized field of force

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences 24, Rabochaya st., Saratov, 410028, Russia [email protected]; (845) 272-35-33

Based on the generalized model of a rigid body dynamics, the research investigates the properties of the body's permanent rotations realized in a force field of the general form. Some special cases of permanent movements are considered.

Keywords: perfectly rigid body; generalized force field; permanent rotation; geometry of permanent motion.