Динамика обламывания кромки плавучего льда у преграды Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:551.326

Динамика обламывания кромки плавучего льда у преграды

Н.М. Осипенко

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Российская Федерация, 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 101, к. 1 E-mail: osipnm@mail.ru

Тезисы. Традиционный подход к оценке условий разрушения льда при взаимодействии конструкций с ледяным покровом сводится к квазистатическому анализу ситуации. Практически во всем диапазоне реальных скоростей относительного движения льда и наклонной преграды размеры обламываемых блоков льда и усилия инициирования разрушения зависят от этой скорости. Данные экспериментов подтверждают этот вывод. В течение силового взаимодействия при ударе в ледяной пластине происходят одновременно два процесса: смятие и локальное разрушение льда в области контакта и распространение изгибного импульса от области контакта вдоль пластины. Характерный для таких явлений диапазон скоростей удара (0,1...2,0 м/с) в механике ледяного покрова считается промежуточным между динамическим и статическим режимами нагружения. В работе задача о локальном воздействии, приводящем к разрушению кромки морского ледяного покрова, моделируется задачей о низкоскоростном ударе по свободному концу плавающей балки и отделении блока при хрупком разрушении. Рассмотрены процессы инициирования разрушения и развития трещин при отделении блока льда. Показано, что нелокальные эффекты при низкоскоростном взаимодействии могут иметь значительные последствия в организации процесса разрушения ледяного покрова. Так, необходимые для обламывания кромки льда усилия возрастают в полтора раза по сравнению со статическим сценарием уже при скорости надвигания порядка 0,3 м/с. Продемонстрированный подход может быть полезным при моделировании процессов взаимодействия ледяного покрова с морскими платформами и ледоколами.

Ключевые слова:

разрушение,

трещина,

ледяной покров,

скорость,

динамический

сценарий.

При взаимодействии конструкций с ледяным покровом возможно разрушение льда как в области контакта с нагружающим устройством в виде наклонного борта платформы или ледокола, так и в удаленных от нее участках вследствие изгиба кромки ледяного покрова на гидравлическом основании, причем процессы, связанные с разрушением в области контакта, влияют на изменение напряженного состояния и разрушение льда при изгибе. Традиционный подход к оценке условий разрушения льда сводится к квазистатическому анализу ситуации, что отражено и в нормативных документах1. Такие модели позволили построить основные сценарии формирования торосов и ледовых образований у конструкций (см., например, [1, 2]). Вместе с тем наблюдения показывают существенное отличие основных параметров обламываемых блоков от предсказываемых статическим анализом [3-5]. Наиболее убедительны объяснения этого факта в работах, где анализируется динамическое поведение слоя на упругом основании [6, 7]. Характерный для таких явлений диапазон скоростей удара (0,1...2,0 м/с) в механике ледяного покрова считается промежуточным между динамическим и статическим режимами нагружения. В указанном диапазоне характерные скорости соударения много меньше скорости продольных волн в материале балки и меньше скорости изгибных резонансных возмущений в балке, связанной с упругим (гидравлическим) основанием. При анализе задачи может быть применен подход, когда динамические эффекты учитываются в основном при оценке движения, вызванного ударом возмущения по балке, в то время как инициирование и развитие собственно разрушения рассматриваются в квазистатической постановке. Отметим также, что необратимые деформации в зоне контакта оказывают

1 См., например, СП 38.13330. 2012. Нагрузки и воздействия на гидротехнические сооружения (волновые, ледовые и от судов).

демпфирующее влияние на высокочастотные компоненты ударного взаимодействия (см., например, [6, 7]).

Модель разрушения

Многие стороны процесса разрушения льда могут быть поняты и оценены в приближенной постановке, позволяющей в силу наглядности получить достаточно общие зависимости, определяющие структуру формул в интересующих взаимосвязях. Качественно модель явления описывается следующим образом. Обламывание кромки ледяного покрова имеет циклический характер. Каждый цикл завершается отделением блока льда. Влияние дальнейшей эволюции отделенного блока льда на условия разрушения будем считать незначительным. При очередном соприкосновении льда с преградой наблюдается низкоскоростное неупругое соударение [6]. Возникает локальный импульс в виде одиночного плавного всплеска давления. Характерная частота основной гармоники импульса в диапазоне 0,3...0,7 Гц значительно меньше частоты собственных колебаний элементов набора корпуса [7] и в два-четыре раза больше частоты собственных колебаний корпуса в целом, т.е. величина и форма импульса в основном определяются реакцией ледяной пластины на неупругий удар, создаваемый надвиганием наклонной пластины (борта) со слабо меняющейся скоростью. В течение силового взаимодействия при ударе в ледяной пластине происходят одновременно два процесса:

• смятия и локального разрушения льда в области контакта (при этом внедрение борта в нагружаемый край льдины может достигать 10 см и более [6]);

• нестационарного распространения из-гибного импульса от области контакта вдоль пластины.

По мере продвижения импульса возрастают напряжения в изгибаемой ледяной пластине. Максимум растягивающих напряжений перемещается по пластине вслед за фронтом изгибного возмущения. При достижении предела прочности происходят зарождение и в дальнейшем распространение трещины. Окончательное отделение блока льда связано с условиями равновесия этой трещины.

Рассмотрим модельную задачу об инициировании трещины на примере разрушения полубесконечной упругой балки единичной

ширины при изгибе под действием поперечной нагрузки, приложенной в районе торца посредством плоского наклонного штампа, движущегося с постоянной скоростью. Будем считать давление на контакте при смятии нагружаемого торца равномерным, а также учитывать следующие параметры: толщину балки (h); скорость движения штампа (V ~ const); время (t); длину пути основной гармоники изгибного возмущения от нагружаемого торца (I); для материала балки (льда): модуль упругости (Е), плотность (р), прочность при изгибе (растяжении) (си), прочность2 при сжатии (смятии) (сс). В случае замены модели более сложной комбинацией параметров, учитывающих особенности разрушения материала в области контакта, схема рассуждений остается прежней.

Изгиб балки при низкоскоростном поперечном ударе

Уравнение движения упругой балки постоянного сечения единичной ширины, связанной с гидравлическим основанием, под действием нагрузки, приложенной к торцу и обеспечивающей постоянную скорость смещения его поперек исходной оси балки, можно записать в виде

cph

д w

л4

+ EJ —W + kw = 0,

(1)

где м>(х,() - поперечное смещение; с - коэффициент присоединенной массы; к - коэффициент гидравлического основания; 3 = 1А3/12 [6].

Поскольку интерес представляют процессы движения возмущения в начальный момент времени (на малом отрезке балки, меньшем характерного радиуса статического изги-

( Екъ V'4

ба г0 =1-I , где g - ускорение свободного

ЗР£

падения), влияние гидравлического основания может быть учтено только посредством учета присоединенной массы. Уравнение (1) преобразуется к виду

, д2 w д4 w cph—— + EJ—- = 0

dt cx4

(2)

при следующих граничных и начальных условиях:

dw |0; t < 0 1

w( x,0) = 0; —(x,0) = 0; w(0, t) = \ [;

dt \Vt; t > 0 I

2 Характеристика oc применена здесь как эффективный

параметр.

д2 w dw

—r(0, t) = 0; w(o>, t) = 0; —К t) = 0.

dx dt

Решение уравнения (2) приводится к виду

и- = -1 f SM 2 ! ni/2

я t Гs'(лЬ

л '

1

4a2

a = | E | ; S(^) = — V cos ц.

\pn J n

1,14

j \1/2

x,t) I ^ _ whXL

EJ ( 2 6

Eh2 g2

(6)

(3)

Положение точки, в которой координата V (отсчитываемая от торца балки) в первый раз принимает нулевое значение, определяется выражением

(с иг г

, (4)

где Ср = (£/р)1/2 - характерная скорость продольных волн в материале балки.

Сравнение уравнения (4) с результатами численного анализа для уравнения (1) при аналогичных граничных условиях [5] показывает, что предположение о малости влияния гидравлического основания справедливо, если расстояние х0 от нагружаемого торца не превышает ~0,7г0 во всем интересующем диапазоне. При этом для ледяных балок на гидравлическом основании с = 1,5.

Поперечные смещения в нагружаемой балке вблизи нагружаемого торца, т. е. до первого максимума смещений при низкоскоростном ударе, можно приближенно представить в виде статических смещений консольно закрепленной балки, место эффективного закрепления которой перемещается вдоль нее, следуя за фронтом возмущения. Расстояние до него определяется фронтом изгибного возмущения

12(1 -у2)р,

где V - коэффициент Пуассона.

Если скорость смещения нагружаемого торца балки меняется во времени (в частности, вследствие контактного разрушения материала балки), в принятом приближении в силу линейности задачи можно применить принцип суперпозиции решений, т.е. считать результирующую форму изогнутой оси балки суммой смещений всех ее точек в результате последовательного действия эффективных нагрузок, причем на каждой ступени нагружения длина эффективной консоли определяется движением собственного фронта возмущения. Для ступенчатого нагружения из формулы (5) имеем

£дРОО( )-х)2 _т-щ. Е V Е у 2 6 )

Переходя к пределу, получим 12

х} ^ [ >- х)2 - I а/,

х / В ^ \ 2 6

(8)

(5)

где 1(0 ~ х0((); Р - поперечная нагрузка на торце балки (рисунок). (Здесь и далее продольная нагрузка на торце балки (Т) считается малой.)

Заметим, что согласно уравнению (4) скорость движения фронта возмущения с течением времени уменьшается. Асимптотикой этого процесса при больших временах может служить в рассматриваемой системе (гидравлическое основание - ледяной покров) резонансное движение изгибно-гравитационной волны. В приближении «глубокой воды» скорость ее определяется соотношением

где B и 1,04^hCp; t- время от начала нагружения.

Рассмотрим два варианта изменения нагрузки.

1. Нагрузка меняется монотонно: dP/dt = = const. Такое условие является приближением, отвечающим линейной зависимости между длиной пути внедрения нагружающего борта и величиной нагрузки. В случае контакта наклонной пластины с прямоугольным краем балки P ~ a* Ft, где а* - характерное напряжение (прочность при локальном смятии). Отметим в связи с этим, что уточнения модели контактного взаимодействия в рамках гидродинамической модели удара [6] не приводят к значимым отклонениям от линейности взаимосвязи между глубиной внедрения и давлением, в том числе и по данным экспериментов [8]. Из формулы (8) получим

, ч 12ct*V х, t) = х

EhJ

2B3 ,5/2 B2

15

--xt +---

2B

(9)

Дважды дифференцируя формулу (9), находим для изгибающего момента М

м = оУЛ,-£); м_ = М>, (10)

где t - время от начала нагружения. Максимальный изгибающий момент Мшах достигается на расстоянии х"0, составляющем постоянную долю пути, пройденного распространяющимся с момента начала нагружения возмущением:

x0(t)

V3 .

(11)

В соответствии с формулой (7) в этом варианте нагружения скорость поперечного движения торца балки меняется по закону

V (0, t) = ^ (0, t ) = i^V tftм dtK ' Eh3

(12)

2. Пусть, например, нагрузка меняется немонотонно:

dP i rn2t

--a®I 1--

dt { 2

(13)

где а, ю - размерные коэффициенты.

Используя формулу (8), аналогичным образом получим:

M « aю

ro2t2

..3

., ~ - , x , ,, Xю2

xt 1--I--- +1,44——

6 J B2 B

(14)

Если значение ю невелико, максимальный изгибающий момент возникает на расстоянии

B

(

0 г^'3

ю

0,1/1 1 -

ю t

с ситуацией для максимума функции (13). Поскольку при нагрузке происходят необратимые деформации, разгрузка системы развивается иначе, чем активное нагружение (в области контакта не восстанавливается целостность материала); использовать полученные соотношения при t > t* нельзя. Вместе с тем можно сказать, что ограничение максимального изгибающего момента в случае его недостаточности для обламывания балки означает переход к торможению разрушения или иному механизму разрушения (например, к преобладанию контактного дробления льда).

Вернемся к линейной зависимости dP/dt = = const и оценим условия инициирования разрушения в области максимального изгиба. Будем считать условием инициирования разрушения достижение растягивающими напряжениями предела прочности материала балки при растяжении cmax = си. Примем также, что характерное напряжение на площадке смятия в области контакта с нагружающим элементом близко к прочности при сжатии с* ~ сс. Для балки, испытывающей изгиб и осевое погонное усилие (Т) под действием давления на наклонной площадке у сминаемого торца (см. рисунок), запишем условия инициирования разрушения:

(15)

6M „

= -

Изменяясь во времени, Мшах достигает » л/2

максимума к моменту ^--, что совпадает

ю

т; т_

h' P

= tga; P ~ acVt,

(16)

где a - угол наклона площадки контакта.

x =

0

Пример оценки параметров Р и I при скоростном обламывании блока (Р >> Т):

пунктиром отмечен уровень значений параметров при статистическом анализе

Используя (16) и (12), найдем

V

31 2 к2

л £

4--tga

к

(17)

Расстояние I и нагрузка Р*, при которых достигаются эти условия в случае малого участия продольных сил (Т ^ 0 или 41/к >> tga), определяются соотношениями

£ « 0,46к

У'

Р и 0,55к

(С „

_Р ^ и

V ас , ст.2, аУ

С

(18)

(19)

Для сравнения приведем соответствующие формулы для статического изгиба балки на гидравлическом основании при том же условии инициирования разрушения:

\1/4 , ч 1/4

* 0 =

1\ —

4 13рЯ

Р0 = 0,7 к

. (20)

На рисунке показан расчет параметров Р и I для характерного варианта свойств льда (Е = 104 МПа; си = 0,5 МПа; сс = 2,5 МПа; р = 0,9 г/см3) и различных толщин ледяного покрова. Можно оценить также нижнюю границу скорости движения эффективного инден-тора, при которой начинает сказываться влияние скорости движения судна. Полагая I ^ г0, из выражения (18) получим

Ут

■0,5(Ия )3'4^ С;1'2.

(21)

Для к = 1 м и указанного варианта свойств льда (см. предыдущий абзац) УшЬ ~ 0,015 м/с.

Таким образом, практически во всем диапазоне реальных скоростей относительного движения льда и наклонной конструкции размеры обламываемых блоков и усилия инициирования разрушения зависят от этой скорости, причем эффект увеличивается с уменьшением толщины льда. Эксперименты по взаимодействию ледяных балок и пластин с наклонными нагружающими площадками подтверждают основные выводы о характере взаимосвязи параметров. Так, отмечена линейная взаимосвязь длины обламываемого блока и толщины льда [4].

Отделение блока льда

Процесс связан с условиями развития магистральной трещины, зарождающейся при инициировании разрушения. При этом возможны несколько характерных ситуаций [3, 4, 9 и др.], например: а) разрушение до момента отделения блока льда происходит в режиме, близком к обламыванию свободно плавающей балки; б) отделение блока происходит в существенно стесненных условиях. Из-за эффектов трения, реакции ранее образовавшихся обломков и т. п. существует возможность других сценариев.

В первом случае предельное равновесие магистральной трещины можно связать с действием изгибающего момента и продольного сжатия балки, находящихся в фиксированном соотношении, во втором - по мере нагру-жения это соотношение изменяется. При наличии продольного сжатия развитие трещин поперек балки на заключительном этапе затруднено [10]. Альтернативой может служить развитие трещин поперечного сдвига (скол).

Известно, что в наиболее неблагоприятное для судоходства время года (январь - апрель) у нижней кромки льда сохраняется ослабленный слой, температура которого мало отличается от температуры плавления. Разница в 2.2,5 градуса наблюдается для слоя толщиной около 0,1 к. Поэтому будем считать, что для завершения обламывания магистральная трещина должна иметь размер Ь, при котором она достигает ослабленного слоя (Ь/к = 0,9). Рассмотрим отделение блока льда путем развития поперечной трещины нормального разрыва при изгибе и сжатии. Предельное равновесие трещины будем считать квазистатическим. (Распространение трещин во льду в динамическом режиме [11] происходит со скоростями на два порядка большими, чем характерные скорости движения изгибного возмущения вдоль упругой балки.) Условия предельного равновесия поперечной трещины нормального разрыва в балке можно записать в виде

кг (М)+кI (т) = кЛ

(22)

где К(М) и К(Т) - коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины под действием соответственно изгиба и продольного

сжатия; КС - трещиностойкость льда. Для поперечной трещины в балке [12] запишем

K, (M) = Mh^f^ L |; M ~ Pt;

f « 4,2

1 --

L

-11

L

h) \ h L Л T

K, (T) = a^Klf21-|; ст = -

h

f2

111+5 [ T

1 - L h

(23)

где T/P ~ tga. Отсюда

P = -

Kjch

ft - /2tga^/лZh ' и для L/h ~ 0,9:

k-K^L-; Л ~ 0,015.

1,3 J - tga h

l ~ Vn, n ~ -2_-3.

Рассмотренные примеры показывают, что нелокальные эффекты при низкоскоростном взаимодействии тел могут иметь значительные последствия в организации процесса разрушения ледяного покрова. Так, необходимые для обламывания кромки льда усилия возрастают в полтора раза по сравнению со статическим сценарием уже при скорости надвигания ~ 0,3 м/с. Продемонстрированный подход может быть полезным при моделировании процессов взаимодействия ледяного покрова с морскими платформами и ледоколами. Удо бную основу для моделирования инициирования разрушения представляют соотношения (18) и (19). Из них следует, что подобие картины инициирования разрушения будет наблюдаться при постоянстве безразмерного ком-

плекса

V ст.

(24)

Оценки показывают, что для реальных значений трещиностойкости льда (К1С и 60...80 кПал/м) [10] и небольших углов а нагрузка при отделении блока меньше, чем нагрузка, требующаяся в соответствии с формулой (18) для инициирования разрушения. Это означает, что при данной схеме процесса трещина после инициирования в катастрофическом режиме проходит все сечение балки до ослабленного слоя. Этим, вероятно, объясняется близость предельных усилий инициирования разрушения и отделения блока в условиях отсутствия стеснения деформаций. По мере увеличения продольного сжатия (угла а) возрастает его роль. Оценки показывают, что нагрузка «доламывания» становится больше нагрузки инициирования разрушения при а > 55°.60°. Это обстоятельство может быть значимым при выборе угла наклона ледо-стойких конструкций к плоскости ледяного покрова. Полученные оценки соответствуют наблюдениям. Например, данные о взаимосвязи размеров блоков и скорости движения ледокола в пределах разброса можно описать степенной функцией [13, 14]

(25)

Работа проведена при поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 1.32П.

Список литературы

1. Goldstein R.V. Refined bending failure model for the level ice acting on inclined obstacle / R.V. Goldstein, D.A. Onishchenko, V.V. Denisov et al. // Proc. 18th Int. Conf. on Port and Ocean Eng. Under Arctic Conditions. - 2005. - Т. 1. -С. 199-212.

2. Goldstein R.V. Grounded ice pile-up. 2D dem. Simulation / R.V. Goldstein, D.A. Onishchenko, N.M. Osipenko et al. // Proc. 22nd Int. Conf.

on Port and Ocean Eng. Under Arctic Conditions, 9-13 June 2013, Espoo, Finland. - 2013. - Т. 2. -

C. 967-978.

3. Рывлин А.Я. Испытания судов во льдах /

A.Я. Рывлин, Д.Е. Хейсин. - Л.: Судостроение, 1980. - 208 с.

4. Varsta P. On the mechanics of ice load оп ships in level ice in the Baltic Sea / P. Varsta. - Espoo: Technical Res. Centre оf Finland, 198З. -Publication 11. - 92 с.

5. Sodhi D.S. Dynamic analysis of failure modes on ice sheets encountering sloping structures /

D.S. Sodhi // Proc. of 6th Offshore Symp. -Houston, 1987. - Т. 4. - С. 281-284.

6. Лихоманов В. А. Экспериментальные исследования удара твердого тела о лед /

B. А. Лихоманов, Д.Е. Хейсин // Проблемы Арктики и Антарктики. - 1971. - Вып. 38. -

C. 105-111.

7. Хейсин Д.Е. Упругие колебания корпуса судна при действии случайных импульсных ледовых нагрузок / Д.Е. Хейсин // Труды ААНИИ. -1973. - Т. 309: Ледовые качества судов. -

С. 132-136.

8. Riska K. Ship ramming multi-year ice floes / K. Riska. - Espoo: Technical Res. Centre

оГ Finland, 1988. - Res. notes 818. - 67 c.

9. Гольдштейн Р.В. Некоторые вопросы механики прочности морского льда / Р. В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко // Физическая мезомеханика. -2014. - Т. 17. - № 6. - С. 59-69.

10. Гольдштейн Р.В. Трещиностойкость

и разрушение ледяного покрова ледоколами / Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко // Труды ААНИИ. - 1985. - Т. 391. - С. 137-157.

11. Бивин Ю.К. Характеристика динамического разрушения пресноводного льда / Ю.К. Бивин, Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко //

IV Всесоюзная конф. по мех. и физ. льда: сб. -М., 1988. - С. 19.

12. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. - М.: Наука, 1974. - 640 с.

13. Алексеев Ю.Н. Оценка составляющей полного ледового сопротивления, зависящей от разрушения льда / Ю.Н. Алексеев,

Н.Е. Сазонов, Л.М. Шахаева // Вопросы судостроения. Серия: Проектирование судов. -1982. - Вып. 32. - С. 69-73.

14. Enkvist Е. On the ice resistance encountered Ьу ships operating in the continuous mode of icebreaking / Е. Enkvist. - Helsinki:

The Swedish Academy оf Eng. Sci. in Finland, 1972. - Report no. 24. - 181 с.

Dynamics of floating ice edge breaking near obstacles

N.M. Osipenko

A.Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, RAS, Bld. 1, Est. 101, prospekt Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation E-mail: osipnm@mail.ru

Abstract. The local impact action initiating separation of a block of the sea ice cover is being modelled by a pattern of low-speed strike on the free end of the floating beam and its brittle fracture. Possible applications of this model relate to analysis of the mechanisms of the ice cover destruction during power contact with the structures and ships of ice navigation.

Keywords: fracture, crack, ice cover, ice loads, speed, dynamic problem. References

1. GOLDSTEIN, R.V., D.A. ONISHCHENKO, V.V. DENISOV et al. Refined bending failure model for the level ice acting on inclined obstacle. In: Proc. of 18th Int. Conf. on Port and Ocean Eng. Under Arctic Conditions, 2005, vol. 1, pp. 199-212.

2. GOLDSTEIN, R.V., D.A. ONISHCHENKO, N.M. OSIPENKO et al. Grounded ice pile-up. 2D DEM Simulation. In: Proc. of 22nd Int. Conf. on Port and Ocean Eng. Under Arctic Conditions June 9-13, 2013. Espoo, Finland, vol. 2, pp. 967-978.

3. RYVLIN, A. Ya., D. Ye. HEYSIN. Tests of ships in ice [Ispytaniya sudov vo ldakh]. Leningrad: Sudostroenie, 1980. (Russ.).

4. VARSTA, P. On the mechanics of ice load on ships in level ice in the Baltic Sea. Espoo: Technical Res. Centre of Finland, 1983. Publication 11.

5. SODHI, D.S. Dynamic analysis of failure modes on ice sheets encountering sloping structures. In: Proc. of 6th Offshore Symp. Houston. 1987, vol. 4, pp. 281-284.

6. LIKHOMANOV, V.A., D.Ye. HEYSIN. Experimental studies of the impact of a solid on ice [Eksperimentalnyye issledovaniya udara tverdogo tela o led]. Problemy Arktiki i Antarktiki. 1971, is. 38, pp. 105-111. ISSN 0555-2648. (Russ.).

7. HEYSIN, D.Ye. Elastic vibrations of the ship hull under the action of random pulsed ice loads [Uprugiye kolebaniya korpusa sudna pri deystvii sluchaynykh impulsnykh ledovykh nagruzok]. Trudy AANII. 1973, vol. 309: Glacial properties of vehicles [Ledovyye kachestva sudov], pp. 132-136. ISSN 0130-5123. (Russ.).

8. RISKA, K. Ship ramming multi-year ice floes. Espoo: Technical Res. Centre of Finland, 1988. Res. notes 818.

9. GOLDSHTEIN, R.V., N.M. OSIPENKO. Some questions about the mechanics of sea ice strength [Nekotoryye voprosy mekhaniki prochnosti morskogo lda]. FizicheskayaMezomekhanika. 2014, vol. 17, no. 6, pp. 59-69. ISSN 1683-805X. (Russ.).

10. GOLDSHTEIN, R.V., N.M. OSIPENKO. Crack resistance and destruction of the ice cover by icebreakers [Treshchinostoykost i razrusheniye ledyanogo pokrova ledokolami]. Trudy AANII. 1985, vol. 391, pp. 137-157. ISSN 0130-5123. (Russ.).

11. BIVIN, Yu.K., R.V. GOLDSHTEIN, N.M. OSIPENKO. Characteristic dynamic fracture freshwater ice [Kharakteristika dinamicheskogo razrusheniya presnovodnogo lda]. In: IVAll-Union Conf. on mechanics and physics of ice. Moscow, 1988, p. 19. (Russ.).

12. CHEREPANOV, G.P. Brittle fracture mechanics [Mekhanika khrupkogo razrusheniya]. Moscow: Nauka, 1974. (Russ.).

13. ALEKSEYEV, Yu.N., N.Ye. SAZONOV, L.M. SHAKHAYEVA. Evaluation of the component of the total ice resistance depending on the destruction of the ice [Otsenka sostavlayushchey polnogo ledovogo soprotivleniya, zavisyashchey ot razrusheniya lda]. Voprosy sudostroyeniya. Series: Proyektirovaniye sudov. 1982, is. 32, pp. 69-73. (Russ.).

14. ENKVIST, E. On the ice resistance encountered by ships operating in the continuous mode of icebreaking. Helsinki: The Swedish Academy of Eng. Sci. in Finland, 1972. Rep. no. 24.