Некоторые вопросы механики прочности морского льда Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.4, 556.124

Некоторые вопросы механики прочности морского льда

Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

На основе предложенной ранее модели пористого тела проведены оценки взаимосвязи прочности морского льда и его пористости и рассмотрены модели влияния капиллярной структуры пористости льда на прочность при заполнении капилляров рассолом. Показано, что появляющиеся при этом локальные напряжения меняют условия предельного равновесия. Проведено сравнение прочности морского льда при нагружении вдоль и поперек направления капилляров. Обсуждены варианты объединения элементов структуры, в которых при сжатии доминирует развитие магистральных разрывов или образование множественных упорядоченных систем разрывов. Склонность структурированного материала к образованию упорядоченных систем разрывов или к развитию одиночных магистральных нарушений связана с активностью элементов структуры, вовлеченных в растущий разрыв. Предложен способ оценки осредненной прочности ледяного покрова по отношению к продольному сжатию с учетом частичной потери несущей способности слоев льда в процессе деформирования.

Ключевые слова: морской лед, пора, трещина, структура, предельное состояние, прочность на сжатие, разрушение

Some aspects of the mechanics of sea ice strength

R.V. Goldstein and N.M. Osipenko

Institute for Problems in Mechanics, RAS, Moscow, 119526, Russia

An earlier developed model of a porous body is used to estimate the relationship between sea ice strength and its porosity. Models of the influence of the sea ice capillary structure on its strength for the case of brine-filled capillaries are considered. The local stresses arising in this case are shown to change the limit equilibrium conditions. Sea ice strengths under loading along and across the capillary direction are compared. We discuss variants of combining structural elements whose compression results in the propagation of main cracks or in the formation of multiple ordered crack systems. The tendency of the structured material to the formation of ordered crack systems or to the propagation of single main cracks is associated with the activity of structural elements involved in fracture growth. We put forward a method of estimating the averaged strength of the sea ice cover with respect to longitudinal compression taking into account partial loss of the bearing capacity of ice layers during deformation.

Keywords: sea ice, pore, crack, structure, limit state, compression strength, fracture

1. Введение

Прочность и разрушение морского ледяного покрова определяются различными сочетаниями внешних нагрузок, структурой и фазовым составом льда. Модели этих состояний, основанные на принципах механики деформирования однородных сред, не исчерпывают проблему адекватного описания механизма квазихрупкого разрушения гетерогенных материалов в условиях существования структуры, элементы которой способны создавать локальные трансформации полей напряжений и концентрацию напряжений. Прочность морского льда из-за сложной картины распределения солевых ячеек и его частично двухфазного состава в три раза уступает

прочности пресноводного льда той же толщины. Однако старый морской лед с очень низкой соленостью или лед, образовавшийся при температуре ниже точки кристаллизации хлорида натрия, не уступает по прочности пресноводным льдам. Таким образом, присутствие рассола и связанных с этим элементов структуры льда и их температурные трансформации определяют прочность морского льда. Еще одно характерное различие между параметрами разрушения сред с различной структурой проявляется в характере развития магистральных нарушений, образующихся при объединении микротрещин, растущих в окрестностях элементов структуры.

© Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М., 2014

В упругохрупком приближении рассмотрены некоторые сценарии влияния капиллярной структуры морского льда на его предельное состояние при механических нагрузках (прочность при сжатии) и смежные вопросы, связанные с оценкой прочности льда под действием преимущественно сжимающих нагрузок.

2. Прочность при сжатии льда с капиллярной структурой

Морской лед, образующийся в наиболее спокойном режиме, содержит вертикально ориентированные капиллярные поры (тип В1) [1]. Трубчатые поры обычно расположены между вытянутыми кристаллами. Диаметр их сечения не превышает 0.05 см. При более высокой температуре они образуют капилляры, заполненные рассолом [1]. В процессе перемещения солевых растворов и фазовых трансформаций в толще льда образуются каналы с большим поперечным сечением. При понижении температуры капилляры преобразуются в цепочки пузырьков и солевых ячеек. Будем придерживаться следующей схемы преобразования структуры порового пространства морского льда. По мере нарастания толщины льда некоторый фиксированный его слой постепенно перемещается из зоны кристаллизации вверх с понижением температуры. При этом первоначально формирующиеся капилляры с рассолом уменьшаются в диаметре, а часть рассола вытекает. На некотором этапе вытекание рассола прекращается. Поры становятся изолированными. Содержащаяся в них жидкость может активно участвовать в перераспределении механических нагрузок. На механическое состояние системы также могут влиять фазовые превращения, связанные с изменением объема. Приведенная схема иллюстрирует один из возможных сценариев развития событий. В других вариантах, например при повторном повышении температуры, результирующая несущая способность льда может оказаться иной.

Рассмотрим в упругом приближении некоторые сценарии влияния капиллярной структуры морского льда на его предельное состояние при механических нагрузках — прочность при сжатии. Напряженное состояние в структуре льда близко к таковому в пластине с отверстиями. В масштабе одиночного капилляра будем считать его цилиндрическим отверстием в однородно нагруженном упругом теле (плоская деформация). Такая система может служить отдельным структурным элементом, способным преобразовать приложенные к телу внешние напряжения. Модель разрушения пористого тела была в основных чертах предложена авторами ранее [2-4]. Для большинства однородных и слабопористых материалов, для которых такое представление справедливо, характерно развитие на контуре пор трещин нормального разрыва вдоль оси нагружения [5]. Очаг разрушения образуется в области локальных растягивающих напряжений в окрестности контура отверстия в направлении вдоль сжатия, что соответствует распределению нормальных упругих напряжений на контуре отверстия. В результате при внешнем сжатии в этой области образуется устойчиво развивающаяся трещина нормального разрыва (рис. 1). Разрушение происходит при слиянии трещин, растущих от соседних пор [2-4]. Условие предельного равновесия одиночной поры с выходящими на ее контур симметричными микротрещинами выглядит следующим образом:

K

i =

1.1(1 - 2.a)

■X

K = K

ic,

(1)

(1 + Г)33

где К1 — интерполяция численного решения по [6] (ранее при анализе предельного равновесия использовались другие приближенные зависимости [7]); С = 1/Я; К1С — трещиностойкость в масштабе микроразрушения; Я — характерный размер (радиус) поры; а и Ха — напряжение сжатия в продольном (вдоль линии микротрещин) и поперечном направлении соответственно.

iiii"

11

а

Рис. 1. Трещины в окрестности отверстия при сжатии. Справа симметричное развитие трещины в образце полиметилметакрилата при одноосном сжатии

При одноосном сжатии (А = 0) имеем

17* 1.1 П 1.1а^Ь _ Я) I = _ Ь „ „ч33 =---. (2)

К

(1 + Г)33

( ЦЯ )33

где Ь = I + Д.

Полагаем, как и ранее [2-4], в качестве условия критического равновесия системы при инициировании магистрального разрыва, что трещины, растущие от соседних пор, сливаются. В этот момент величина Ь близка к половине среднего расстояния между порами. При таком условии в капиллярной структуре средняя пористость п может быть связана с соотношением размеров структуры

Я/Ь

,1/2

(3)

Отсюда получим взаимосвязь между прочностью при одноосном сжатии и капиллярной пористостью

__ К*__1

а1 _ ^ПЬ 1.1«16^(1 _п05)' (4)

где К* — коэффициент интенсивности напряжений (трещиностойкость льда в масштабе единичной поры).

Сравнение полученного выражения с эмпирическим соотношением, приведенным в [8, 9] для горизонтально нагруженного столбчато-зернистого морского льда, показано на рис. 2. Можно видеть, что кривые частично совмещаются в области п > 0.1 при значениях К* ~ ~ 5 кПа • м12. В то же время при меньших значениях пористости наблюдается значительное их расхождение. Отметим также, что уровень эффективных значений К* значительно ниже, чем при испытаниях на трещиностойкость макрообразцов морского льда (К1С ~ ~ 60-100 кПа • м1/2 при температуре -15 °С [10]).

Различие эмпирических натурных данных и модели хрупкого разрушения пористой среды с незаполненными порами частично может быть связано с наличием в порах льда жидкого заполнения (рассола). Основу такого эффекта составляет упругая реакция жидкости на изменение объема поры при сжатии, что приводит к появлению внутреннего давления, изменяющего напряженное состояние окрестностей поры [11]. Воздействие

Рис. 2. Взаимосвязь прочности при сжатии морского льда и его капиллярной пористости по (4): 1 — К* _ 5 кПа • м^2, Ь ~ ~ 2.5 мм; 2, 3 — обработка эмпирических данных по [9], [8]

подвижного заполнения приводит к усилению локального растяжения в окрестностях отверстия по сравнению с незаполненным отверстием, что увеличивает склонность таких систем к хрупкому разрушению. Как и в случае полой поры, при этом возможно развитие трещин.

Пусть в однородно нагруженной упругой пластине имеется цилиндрическое отверстие, полностью заполненное жидкостью, причем границы отверстия непроницаемы. На контуре отверстия круговой формы в пластине (задача Кирша, плоская деформация) перемещения при одноосном сжатии выглядят следующим образом [11]:

иг а(1 -V2)(1 + 2^(29)), Е

и9 _-—а(1 + у)(1 _2у^ш(29),

(5)

где Е—модуль Юнга; угол 9 отсчитывается от направления оси сжатия; а_стте — внешние напряжения сжатия; V — коэффициент Пуассона.

Для нахождения изменения объема отверстия после приложения внешнего напряжения сжатия стте необходимо записать уравнение нового контура отверстия, для этого воспользуемся следующими соотношениями:

г = а + иг(9)Д9, Д9 = и9, Г Э9 а

^ _ -4^а(1 _^)зт(29). Э9 Е

Отсюда

г = а

1 + с(1 + 2со8(29)) _ 4с

3(1 -V2)/Е.

■ 1 _ 2у 1 -V

8т2 (29 )

(6)

(7)

Новый объем равен

V _па2

+ 6с'

1 + 2с _4с3^

1 -V

1 _ 2у

1 -V

2

_ с

1 _ 5у

1 -V

(8)

Ограничимся вариантом изменения объема без учета малых членов

ДV(а„) « V-па2 _ 2спа2

(9)

Если отверстие заполнено жидкостью, то вследствие изменения (уменьшения) объема на контуре отверстия возникает равномерно распределенное давление. Поле напряжений в окрестности отверстия, подверженного действию равномерного давления на внутренней поверхности (задача Ламе) имеет вид [11]

а 2 Р ар

°г=--Г> ^9 _ (10)

Г Г

Радиальное перемещение иГ легко найти, зная, что е9 _ и г, и для плоской деформации

а 2 р

иг =

1 ,,2 2

1 -V ар

Е г на контуре отверстия

1 -V2

-ар.

(11)

(12)

Изменение объема имеет вид

АУ (р) = п(2аиг +«2). (13)

Как и ранее, в упрощенной модели, не будем учитывать члены второго порядка малости

АУ (р) = 2 па'

1 -V2

(14)

Запишем баланс объемов |АУ = АУ (а.) -АУ (р), [ р = К АУ/У0,

где К — коэффициент объемного сжатия. Отсюда, учитывая (9) и (13), получим

(15)

(

АУ = 2 па 2 2а. К

Р =-

1 -V2

Л

(16)

(17)

Е + 2 К

Положим для простоты, что объемные модули эффективной упругости среды заполнения и окружающего материала одинаковы, тогда

2 а.

6па 2 а. (1 - 2v )(1^ 2)

р =-—, АУ =-^-^-(18)

5 - 6v Е (5 - 6v)

Суммарное поле напряжений в окрестности отверс-

тия имеет вид

а. 2

(

аг =-

-1 +

а

6v -1

г- 6v-5

4 Л

1 - 4 ^+3 0-

г2 г4

V У

^(29)

а9 =-

, а2 6v -1 -1 --+

6v-5

(19)

„4 Л

1 + 3-

cos(29)

Тг9 = "

/

( 2 4 Л

1 + 2 °Г - 3

г2 г

V У

sin(29).

Приведенные соотношения показывают, что в случае упругого жидкого заполнения напряжения значительно изменяются по сравнению с вариантом свободного отверстия, что должно сказываться на условиях инициирования разрушения в областях концентрации напряжений. Для угла 9 = п/2 уровень напряжений снижается, в то время как для угла 9 = 0 он возрастает. Растягивающие напряжения в этой области увеличиваются примерно в 1.6 раз.

Рассмотрим схему разрушения — образование и рост трещин нормального разрыва под действием локального растяжения в окрестности заполненной поры. Наибольшая концентрация растягивающих напряжений на границе контура, как и в случае одноосного сжатия отверстия без внутреннего заполнения, наблюдается в точках 9 = 0, п. С увеличением нагрузки в этих местах вблизи контура отверстия, как и для незаполненной поры, может произойти инициирование разрывов, ориентированных параллельно направлению сжатия. В случае заполнения на уровень давления в жидкости и, следовательно, на коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещин влияет изменение объема, связанное с появлением трещины. Последнее, в свою очередь, складывается из части, отвечающей объему трещины, приобретаемому под действием внешней нагрузки и от влияния внутреннего давления р со стороны заполнения. Учтем, что эффективная внешняя нагрузка на пору с трещиной при наличии внутреннего давления уменьшается примерно на величину этого давления. Система (15) принимает вид

[АУЙ = АУ -АУст(ст. - рп) - АУст (рп),

А У„ „ (20)

р ="

У0

-К,

где АУ— изменение объема, связанное с приложением нагрузки и внутреннего давления; АУсг(а. - рп) — изменение объема, связанное с появлением трещины без внутреннего давления; АУСГ( рп) — изменение объема трещины, вызванное давлением в полости трещины.

Оценку раскрытия трещины от действия внешней нагрузки можно приближенно представить как раскрытие трещины нормального разрыва [12], вызванное некоторым эффективным внутренним давлением р*:

1 -V2

2

х , р

К, ,

л/п^

или

ЫпЛ Е

(21)

(22)

где d = I + а; К, — коэффициент интенсивности напряжений

К, =

1.1Ь°'5(а. - рп)

■\/па, Ь = 1/а.

(1 + Ь)3'3

Выражение для смещений (22) приобретает вид

1 -V2

л/^ 2 -;

j1.1L0'5 (а. - рп)

(1 + С)

3.3

(23)

(24)

Интегрируя смещения по длине трещины, получим оценку искомого объема

1 -V2 1.1Ь°'5(а. - рп )па2

АУст(а. - рп ) ■

(1 + Ь)

3.3

(25)

Объем Д^г(рп) определяется интегрированием смещения контура трещины, вызванного на этот раз действием равномерно распределенной нагрузки рп: .2

ДVrr

Д -V2

па 2(1 + Ь)2 рп.

(26)

Объединяя изменение объема по (16), (25), (26), оценим давление в полости трещины

Рп = о „

1+-

1 _ V 2

5 _ 6v 3(1 _ 2v) (1+ Ь) ' 1.1Ь12

1 -Ь1/2 ' ^ Ь (2 + Ь)

3(1 _ 2v)

(1+ Ь)

3.3

Ь (2 + Ь ) + 2(1 + Ь )2

(27)

и суммарный коэффициент интенсивности напряжений КI _К,(ате_Рп) + К,(Рп)_

-Рп )

_ л/па

1.1Ь05(а„

3.3

-+ Рп

ТГ+ь

(28)

(1 + ьу

Пример оценок коэффициентов интенсивности напряжений показан на рис. 3 для V = 0.3. Можно видеть, что коэффициент интенсивности напряжений для трещины у заполненной поры выше, чем у свободной, и по мере увеличения Ь _ I/Я их отношение возрастает. Прорастание трещин до слияния заполненных пор при этих условиях облегчается. Это означает, что прочность тела с заполненными порами при малой пористости меньше, чем в варианте свободных пор.

Возвращаясь к (4), учтем для рассмотренного примера изменение коэффициента интенсивности напряжений в связи с заполнением пор. Результат оценки показан на рис. 4 (кривая 2).

Таким образом, диапазон капиллярной пористости можно разбить на три участка. При относительно высокой пористости, при которой возможно вытекание рассола, на прочность влияет присутствие полых капилляров как концентраторов напряжений. В рассмотренном

примере эта область п > 0.12. При меньшей пористости кривая прочности пористой структуры отходит от эмпирической зависимости (рис. 4, кривая 1) в сторону увеличения прочности. Последнее объясняет рост прочности многолетних льдов с вытекшим рассолом. Предполагая в пограничной области пористости развитие процессов запирания капилляров, можно отнести снижение прочности льда с заполненными капиллярами в диапазоне пористости 0.12 > п > 0.04 на влияние заполнения, рассмотренное выше (рис. 4, кривая 2). При дальнейшем снижении пористости, которая происходит, например, при последовательном понижении температуры льда, первоначально содержащего заполненные ячейки с рассолом, могут проявиться эффекты, связанные с фазовым переходом и уменьшением вследствие этого размера пор. Поскольку объем пресноводного льда, осаждающегося на контуре капилляра, больше соответствующего объема воды, в замкнутой поре создается избыточное давление, ослабляющее несущую способность структуры льда. В естественных условиях эти процессы занимают много времени по сравнению с характерными временами упругохрупкого разрушения. Поэтому возможны частичная релаксация возникающих внутренних напряжений и соответствующая корреляция эффективной прочности льда.

Рассмотренный сценарий изменения прочности морского льда предполагает изменение его структуры при монотонном падении температуры. Реальная ситуация может быть связана с немонотонным или циклическим ее изменением, в связи с чем становятся возможными различные сочетания определяющих факторов, к которым относятся величина активной пористости, изолированность порового пространства заполненных пор и присутствие в них воздуха, что расширяет диапазон возможных сочетаний механических свойств льда. Это обстоятельство может быть использовано в методиках приготовления модельного льда в ледовом бассейне.

Рис. 3. Изменение коэффициента интенсивности напряжений при увеличении относительного размера трещины при одноосном сжатии пластины с отверстием без заполнения (1) и с заполнением жидкостью (жидкость полностью заполняет трещину) (2). На врезке показано отношение коэффициентов интенсивности напряжений в рассмотренных примерах

Рис. 4. Взаимосвязь капиллярной пористости морского льда и его прочности при сжатии с учетом влияния заполнения капилляров: 1 — без заполнения при К* _ 5 кПа • м^2, Ь ~ ~ 2.5 мм; 2 — то же с учетом заполнения капилляров; 3 — данные [7, 9]; 4 — данные [8]. Справа схема развития трещин в окрестности свободных и заполненных пор

Характер разрушения морского льда зависит от вида активных элементов структуры. В связи с этим отметим, что наблюдающееся резкое различие прочности ледяного покрова при нагружении горизонтальными и вертикальными силами [13] может быть связано с ролью различных элементов структуры. В первом случае это капиллярно-пористая структура, а во втором микротре-щиноватость, приуроченная к границам кристаллов.

3. Характер развития магистральных нарушений

Оставаясь в рамках плоской задачи, рассмотрим влияние вида исходных элементов структуры — пор и микротрещин — на сценарий разрушения при одноосном сжатии. Для дальнейших оценок будем использовать приближенные представления [14, 15] об эквивалентности действия на окрестный материал со стороны микротрещин действию некоторой сосредоточенной нагрузки Р, приложенной на берегах разрыва, растущего в окрестностях этих концентраторов. В случае пор такое приближение может быть принято для момента вблизи критического равновесия при слиянии трещин, растущих в их окрестностях. Эффективную сосредоточенную силу при этом можно оценить, приравнивая коэффициенты интенсивности напряжений для фиксированной длины трещины в варианте поры и сосредоточенной силы:

Р * 1ЛагЛ/пЬ л/ЛЬ

Отсюда

а)

Р *-

(Ьа )33 1.1а г п^ДЬ - а)

(29)

(30)

(Да)33 '

По мере слияния отдельных трещин образуются магистральные разрывы. На их берегах частично сохраняется действие исходных концентраторов, что можно моделировать периодической системой нагрузок (рис. 5). Заметим, что способность включенных в магистральный разрыв концентраторов сохранять силовое воздействие на берега трещины зависит от их природы. Если разрыв образован системой объединенных микротрещин — плоскостей скольжения, то в центральной части разрыва при раздвигании берегов разрыва по мере его роста теряются контакты берегов, скольжение по которым вызывает расклинивающие силы. Это сопровождается потерей силовых воздействий в средней части магистрального разрыва. В пористом теле такого

эффекта нет. Поэтому развитие магистрального разрыва в пористом теле можно моделировать, считая, что в нем система одинаковых эффективных сил равномерно распределена по длине трещины через промежутки, величина которых близка к среднему расстоянию между порами. Для этого варианта предельным является сохранение локальных силовых воздействий по всей длине разрыва. Предельный вариант второго сценария соответствует ситуации, в которой силовое воздействие оказывают только ближайшие к вершинам разрыва плоскости скольжения. Рассмотрим эти ситуации поочередно.

Если нагружение производится системой N симметричных относительно оси трещины сосредоточенных сил (рис. 5), оценку коэффициента интенсивности напряжений можно получить, преобразуя формулу, приведенную в [16] для одиночной нагрузки на берега трещины:

Р (I* + х-)

к ,(п) = 2

1 4'

г*2

х2)

Р * Р

К,( п)

пЬ (С 1.1а^ л/^л/Ь-

ef,

-2,

1

Ь + X;

Ь

(31)

(Ьа )33

где Ь* = Ж — суммарный размер магистральной трещины; N — число пор, включенных в магистральный разрыв; х1 — расстояние точки приложения индивидуальной нагрузки от центра трещины.

Расчет изменения коэффициента интенсивности напряжений по отношению к таковому для разрыва с одиночной парой сосредоточенных сил при удлинении разрыва за счет присоединения к нему новых элементов для указанных вариантов приведен на рис. 6. Для трещины, в которой система одинаковых сил равномерно распределена по длине трещины через равные промежутки (далее тип 1), отношение коэффициента интенсивности напряжений к таковому для одиночного дефекта возрастает по мере роста длины разрыва и количества включенных в него концентраторов (рис. 6, кривая 1). В случае сосредоточенного воздействия только на фиксированном расстоянии от концов разрыва (рис. 6, кривая 2) при малом количестве включенных элементов

Рис. 5. Схема магистрального разрыва с системой нагрузок

Рис. 6. Изменение коэффициентов интенсивности напряжений при удлинении магистрального разрыва: кривая 1 — тип 1, кривая 2 — тип 2

(тип 2) по мере увеличения длины разрыва это отношение сначала несколько возрастает и затем асимптотически снижается (для разрыва, поддерживаемого двумя парами сил по концам разрыва (Кцм)/Кцн_1) )тах ~ ~ 1.63, при двух-трех включенных элементах (Ы = 2; 3)). В том и в другом случаях для поддержания разрушения нужно обеспечить меньшие внешние нагрузки, чем для его инициирования, если под этим понимать создание условий слияния двух трещин, растущих от соседних элементов структуры. Такие вариации коэффициента интенсивности напряжений позволяют заключить, в частности, что прочность при сжатии материала, относящегося к типу 1, более существенно зависит от наличия зародышевых нарушений. Например, в присутствии нарушения, соответствующего разрыву, объединяющему 4 элемента, отношение Кцщ/К1(м_1) ~ 2.5, и при увеличении разрыва это отношение возрастает. При достижении предельного равновесия разрыв начинает катастрофически распространяться. Поскольку в рассматриваемом варианте упруго-хрупкого разрушения существует линейная связь между предельными напряжениями и величиной К1, это означает, что предельное напряжение внешнего сжатия (прочность) системы, содержащей в исходном состоянии такой дефект, при одноосном сжатии в 2.5 раз меньше, чем в среде с однородным распределением одиночных элементов.

Для типа 2 с включением активных элементов только вблизи вершин разрыва характерно иное поведение. Наибольшая величина отношения Кцм)/Кцм_1) наблюдается при N = 2; 3. Присутствие начального дефекта большего размера не является причиной его катастрофического роста при нагружении. Система будет стремиться ограничиться трещинами оптимального размера. В рамках таких представлений можно связать различие структуры и регистрируемые особенности сценария разрушения. Для системы равномерно распределенных сил при одноосном сжатии можно ожидать развитие одиночных магистральных разрывов без заметных актов множественного предразрушения, а также проявление масштабного эффекта прочности, поскольку при увеличении нагружаемого объема возрастает вероятность присутствия в нем более крупных дефектов. В случае типа 2 развитие магистральных

разрывов затруднено, большое значение имеют процессы предразрушения, формирующие систему малых трещин.

В связи с этим рассмотрим условия инициирования множественного упорядоченного разрушения в окрестности некоторого начального дефекта. В окрестностях магистрального разрыва происходит возмущение поля напряжений (рис. 7). В области с характерным размером порядка размера трещины материал сжат и инициирование разрушения затруднено. Зато в окрестности вершин разрыва присутствие дополнительного растяжения увеличивает возможность разрушения. Сравним критические условия предельного равновесия магистрального разрыва и условия инициирования разрушения в его окрестностях, необходимые для развития эшелонной структуры. Будем интересоваться напряжениями в окрестности вершины растущего в квазистатическом режиме разрыва. В состоянии критического равновесия при К1 _ К1С в вершине магистрального разрыва, напряжения в его окрестностях можно оценить по медленно убывающей асимптотике напряжений в окрестностях вершины трещины [16]

тК 3 (32)

Да;

ЧС

т

где ^ — расстояние до вершины разрыва.

Выберем область, удаленную от вершины магистрального разрыва на расстояние порядка размера этого разрыва, что характерно для упорядоченных структур разрушения: £ ~ ЬЬ ~ Ж.

Этот вариант представляется одной из асимптотических ситуаций. Очевидно, что при более близком расположении очага разрушения условия его инициирования облегчаются. Будем считать, что необходимым условием инициирования эшелона является обеспечение слияния трещин от двух соседних концентраторов в окрестности магистрального разрыва в поле действия напряжений от внешних сил и возмущения Да. Напряжения Да считаются однородными в масштабе области воздействия. Условие предельного равновесия в новом очаге разрушения выглядит следующим образом:

КI

Дал/ЛЬ, К1 _ К

1С-

(33)

ШШа

Сжатие

Растяжение

тта,

Рис. 7. Условие инициирования разрушения в окрестностях магистральной трещины: кривая 1 — тип 1, кривая 2 — тип 2. Справа показана схема напряженного состояния в окрестностях разрыва

Первое слагаемое соответствует вкладу внешнего однородного поля напряжений, второе — доле влияния возмущения.

Полагая далее, что в состоянии предельного равновесия системы «магистральный разрыв - очаг разрушения» эффективная сосредоточенная нагрузка в очаге разрушения пропорциональна отношению коэффициентов интенсивности напряжений в вершине одиночного разрыва и магистрального разрыва:

^ - Р(п-

(п-1)

К» - к^л/ЛТ-^-4

Кк К

КТ(

(34)

Ч(и) КТ(п)

получим из (32)-(34) условие инициирования слияния концентраторов в окрестностях магистральной трещины

К

Т(п-1) +-1= > 1.

к /т — (35)

кт(п) л/2й

Для двух рассматриваемых асимптотических вариантов оценка этого условия показана на рис. 7. Использовано отношение КТ(п-1)/КТ(п) из расчета по (31). Можно видеть, что для варианта с периодическим распределением расклинивающих сил (кривая 1 на рис. 7) возмущение, достаточное для инициирования слияния, достигается, если размер магистрального дефекта в состоянии предельного равновесия соответствует трещине, включающей менее 8 концентраторов. В случае присутствия сил только вблизи вершин разрыва (кривая 2) это достигается для N< 20.

Обратимся к кинематике развития разрушения. Известно, что если коэффициент интенсивности напряжений в вершине разрыва на каждом следующем шаге возрастает, трещина неустойчива и развивается в динамическом режиме. В силу эффектов инерции в этом случае зарождения очагов разрушения в ее окрестностях не происходит. Это справедливо для относительно больших скоростей движения разрыва (но меньших, чем скорость поперечных волн в среде). Поэтому для структуры типа 1, в которой после слияния трещин от двух и более концентраторов коэффициент интенсивности напряжений образующегося дефекта становится больше, чем он был в момент слияния, выбор сценария разрушения происходит на начальном этапе разрушения. Здесь ведущую роль может играть локальная неоднородность распределения концентраторов. Если размер начального магистрального дефекта соответствует трещине, включающей менее 8 концентраторов, до наступления критического равновесия самого дефекта в его окрестностях могут происходить акты предразруше-ния — слияние двух элементов. Заметим, однако, что коэффициент интенсивности напряжений в новом очаге разрушения поддерживается на критическом уровне только под влиянием магистрального соседа. Поэтому при подрастании очага преимущественное развитие получает трещина большего размера. Ее переход в неустойчивое состояние и динамическое развитие останав-

ливают развитие вторичных очагов разрушения. Если размер начального дефекта более 8 концентраторов, вторичные очаги разрушения не образуются, поскольку раньше наступает состояние предельного равновесия дефекта.

Структура с приложением сил только вблизи вершин разрыва создает благоприятные условия для инициирования разрушения вплоть до размеров начального дефекта в 20 концентраторов, причем наиболее вероятно их появление при N= 2, 3. При дальнейшем подрастании разрыва коэффициент интенсивности напряжений падает, трещины тормозятся, так что преимущественный размер разрывов определяется малым числом элементов. Это практически означает, что работает система, способная выстраивать эшелонную структуру трещин [7]. Суммируя, можно заключить, что в материале с пористой структурой при одноосном сжатии в процессе хрупкого разрушении преобладает склонность к развитию магистральных трещин вдоль направления сжатия. Для микротрещиноватой структуры более характерно развитие наклонных к оси нагружения упорядоченных систем (эшелонов) трещин, включающих в себя небольшое количество исходных элементов структуры. В этом случае при окончательной потере несущей способности из таких эшелонов могут формироваться зоны сдвига.

4. Эффективная прочность морского льда

Приведенные модельные представления позволяют по-иному взглянуть на некоторые технические приложения. Рассмотрим для примера оценку эффективной прочности морского ледяного покрова по отношению к горизонтальному сжатию с учетом изменения структуры и свойств льда по толщине. По-прежнему будем пользоваться упругим приближением задачи. Распространено представление этого свойства как суммы удельных сопротивлений сжатию отдельных слоев [8]

т 1

% -Е—(V,

1 К

(36)

Такой подход фактически предполагает, что нагруже-ние каждого из т слоев проводится пропорционально его локальной прочности, или, если оценка ориентирована на одинаковую горизонтальную деформацию по толщине льда, что прочность горизонтальных слоев пропорциональна модулю упругости. Покажем, что в реальных ситуациях это не так. Воспользуемся соотношениями, связывающими пористость и модуль упругости для регулярной системы отверстий в упругой пластине [17]

2-, 2-, -0.25

Е - Е0 е или для малой пористости

Е - Е0(1 - 0.25ли).

(37)

Рис. 8. Отношение локальной прочности к модулю упругости для морского льда

Рис. 9. Изменение предельной деформации по толщине льда (2 — толщина нарушенного слоя)

Связь прочности и пористости оценим по эмпирическому соотношению для заполненных пор [8]

ар _ 8.2_ 15.8п

0.5

МПа.

(38)

На рис. 8 показано, что отношение локальной прочности к модулю упругости в характерном для морского льда диапазоне пористости, вычисленное по формулам (37) и (38), меняется более чем в 7 раз. Это дает основание необходимости учета сценария потери локальной несущей способности при оценке эффективной прочности.

Остановимся на оценке эффективной прочности (несущей способности) морского ледяного покрова толщиной h с капиллярной пористой структурой при одноосном деформировании в горизонтальном направлении (поперек осей капилляров). Будем считать, что деформации одинаковы по всей толщине льда. Также примем, что при достижении напряжений локальной прочности в некотором слое его несущая способность исчерпывается. Тогда эффективная прочность может быть оценена по формуле

1 н

ар _- |а (г )dz,

п

(39)

где а(2) — напряжение в слое на глубине 2; г* — граница слоя, исчерпавшего несущую способность.

Оценим изменение заполненной пористости по толщине льда, используя эмпирическое соотношение между пористостью и соленостью льда £ [18]

п _ pS/F, (40)

F _ -4.732 _ 22.45Т _ 0.639Т2 _ 0.0107Т3, где р — плотность льда; Т — температура, °С; £ — соленость льда, %о.

Послойную соленость оценим, используя данные по суммарной средней солености покрова для толщин до 0.34 м [8]:

£ = 13.4 - 17.4^ (41)

Средняя соленость льда связана с послойной соленостью как

1 п

S £(г) dг. п 0

Отсюда и из (41) получим s(z) - 13.4 - 34.82.

(42)

Обращаясь к (38), получим оценку послойной прочности льда

0.5

ар _ 8.2-

15.8

F

(13.4 _ 34.8г )

МПа.

(44)

Используя (37) и (44), найдем выражение послойной предельной деформации

8.2 -15.8 (р^ (13.4 - 34.8г))

0.5

(45)

Е0 (1-я/4р^(13.4-34.8г)) '

На рис. 9 эта функция построена для варианта Е0 _ = 4 ГПа, р/F ~ 0.01. Можно видеть, что предельная деформация в момент исчерпания несущей способности для нижних слоев льда меньше, чем для верхних. Поэтому при равномерном деформировании по толщине льда разрушение начинается с нижних слоев. На рис. 10 показан расчет для тех же параметров по (39) эффективной прочности при сжатии ледяного покрова толщиной 0.3 м с учетом потери несущей способности нарушенных слоев. Для сравнения там же приведена оценка эффективной прочности, рассчитанная путем осреднения прочности слоев а р по (36) для такой же толщины льда.

Показательно, что осреднение по прочности слоев дает завышенный результат по сравнению с вариантом, учитывающим разрушение (в данном случае в 1.4 раза).

Рис. 10. Оценка эффективной прочности при сжатии ар ледяного покрова толщиной 0.3 м с учетом потери несущей способности нарушенного слоя, ар — оценка эффективной прочности по (36)

Сравнивая данные рис. 9 и 10, можно также видеть, что максимальное сопротивление разрушению (прочность) морского льда толщиной 0.3 м при горизонтальном упругом деформировании в приведенном варианте достигается при е = 0.0007-0.0008. При этом прочность полностью исчерпывается в нижнем слое толщиной 37 см.

В других вариантах деформирования ситуация может быть иной. При сохранении линейного распределения деформаций по толщине льда и монотонного изменения по толщине его свойств увеличение деформаций в верхних, более прочных слоях по сравнению с нижними приводит к сближению распределения напряжений к распределению прочности по слоям. Такой сценарий может реализоваться при небольшом изгибе кромки льда вверх на фоне доминирующего сжатия.

В этом случае максимальное среднее напряжение сближается с стр, а толщина разрушенной области в момент достижения максимума нагрузки уменьшается. Деформирование изгибом в противоположном направлении ослабляет сопротивление разрушению и увеличивает долю разрушенной области. Такие ситуации могут возникать при взаимодействии ледяного покрова с наклонными элементами конструкций и судов в сжатых льдах. Приведенный пример демонстрирует асимптотический сценарий полной потери несущей способности в слое, подвергнутом разрушению. В реальных ситуациях некоторое сопротивление деформированию в нем может сохраняться. Для уточнения этого вопроса необходим более детальный анализ процесса разрушения. Здесь обратим внимание на возможность критических ситуаций при изменении нагрузки. В частности, если сжатое ледяное поле находится в метастабильном состоянии, при котором горизонтальные нагрузки достигают уровня инициирования локального разрушения в окрестности пор или в окрестности типичного дефекта пористой структуры (см. предыдущий раздел), но недостаточны для развития неустойчивого процесса разрушения, появление дополнительных сил иного направления может вызвать катастрофическое разрушение. К таким ситуациям относится вертикальная пригрузка, вызванная технической необходимостью, например при строительстве переправы. Во льду с капиллярным строением порового пространства при внезапном сжатии ледяного покрова в метастабильном состоянии развиваются трещины вертикальной ориентации, что резко снижает сопротивление срезу, в результате чего возможен внезапный пролом льда под грузом.

5. Заключение

Морской лед с капиллярно-пористой структурой представляет собой сложную структурированную среду, прочность которой определяется механизмами разрушения с участием элементов структуры.

На примере оценки прочности льда и ледяного покрова при сжатии в горизонтальном направлении (поперек осей капилляров) в рамках упругохрупкой модели показана возможность реализации в нем нескольких сценариев развития разрушения, в основе которых лежит процесс объединения микротрещин, растущих от соседних капилляров.

Показано, что присутствие рассола в замкнутых капиллярах существенно снижает прочность льда по сравнению с системой открытых капилляров.

Выделены варианты объединения элементов структуры, в которых при сжатии доминирует развитие магистральных разрывов или образование упорядоченных систем разрывов. Склонность структурированного материала к образованию упорядоченных систем разрывов или к развитию одиночных магистральных нарушений связана с активностью элементов структуры, вовлеченных в растущий разрыв. Моделирование такой ситуации периодической системой сил на берегах разрыва позволило выделить две характерных асимптотики. Если по мере роста разрыва активность элементов структуры в его пределах сохраняется, т.е. сохраняется величина имитирующих эту активность сил на берегах разрыва, при росте разрыва коэффициент интенсивности напряжений в его концевых зонах, соответствующий моменту предельного равновесия, монотонно повышается. Такой вариант близок к процессу развития магистрального разрыва в пористой среде. Для другого варианта, в котором активность элементов в центральной части разрыва ослабляется, например, из-за потери контакта между берегами площадок скольжения в трещиноватом теле, коэффициент интенсивности напряжений в его концевых зонах изменяется немонотонно. В частности, если активны только элементы, ближайшие к концевым зонам, его максимум при одноосном сжатии достигается при объединении 2-3 элементов. Это предопределяет сценарий разрушения в случае появления начального дефекта, эквивалентного разрыву, объединяющему некоторое количество элементов структуры. Сравнение условий предельного равновесия растущего магистрального разрыва и предельного равновесия при объединении двух соседних элементов структуры под действием внешнего сжатия и возмущения напряженного состояния со стороны магистрального разрыва показывает, что в случае трещиноватой структуры, близкой ко второй асимптотической ситуации, предпочтительно инициирование нового очага разрушения. Капиллярно-пористая структура тяготеет к развитию магистральных разрывов, а микротрещиноватая структура—к образованию эшелонов трещин. Внешнее растяжение в поперечном направлении к оси сжатия усиливает эту тенденцию, сжатие ограничивает размеры магистрального разрыва и повышает склонность к образованию систем трещин.

Предложен способ оценки осредненной прочности ледяного покрова по отношению к продольному сжатию с учетом частичной потери несущей способности слоев льда в процессе деформирования. Показано, что результат расчета зависит от характера деформирования. При равномерном деформировании по толщине льда из-за различия свойств активной пористости оценка прочности дает в полтора раза меньшую величину, чем при суммировании удельных прочностей слоев льда.

Таким образом, на рассмотренных примерах упруго-хрупкого разрушения можно видеть разнообразие его сценариев для морского льда, что необходимо иметь в виду при анализе взаимодействия ледяного покрова с судами и сооружениями.

Работа выполнена при поддержке проекта РФФИ № 14-01-00869 и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН П23.

Литература

1. Тышко К.П., Черепанов Н.В., Федотов В.И. Кристаллическое строение морского ледяного покрова. - С.-Петербург: Гидро-метеоиздат, 2000. - 66 с.

Tyshko K.P., Cherepanov N.V., Fedotov V.I. Crystalline Structure of Sea Ice Cover. - St.-Peterburg. Gidrometeoizdat, 2000. - 66 p.

2. Гольдштейн Р.В., Ладыгин В.М., Осипенко Н.М. Модель разруше-

ния слабо пористого материала при сжатии и растяжении // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. -1974. - № 1. - С. 3-16.

Gol'dshtein R.V., Ladygin V.M., Osipenko N.M. A model of the fracture of a slightly porous material under compression or tension // J. Mining Science. - 1974. - V 10. - No. 1. - P. 1-9.

3. Гольдштейн Р.В. Разрушение при сжатии // Успехи механики. -2003. - Т. 2. - № 2. - С. 3-20.

Goldstein R.V. Compression fracture // Uspekhi Mekhaniki. - 2003. -V. 2. - No. 2. - P. 3-20.

4. Goldstein R.V, Osipenko N.M. Some Questions on Ice and Ice Cover Fracture in Compression // Ice-Structure Interaction: IUTAM-IAHR Symp. St. John's, New Foundland, Canada. - Berlin: Springer-Verlag, 1991. - P. 251-266.

5. Lajtai E.Z., Lajtai V.N. The collapse of cavities // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1975. - V. 12. - P. 81-86.

6. Sammis C.G., Ashby M.F. The failure of brittle porous solids under compressive stress states // Acta Metall. - 1986. - V 34. - P. 511526.

7. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структуры в процессах разрушения // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - C. 49-71.

Goldstein R. V., Osipenko N.M. Structures in fracture processes // Izv. RAN. MTT. - 1999. - No. 5. - P. 49-71.

8. Timko G.W., Trederking R.M.W. Compressive strength of ice sheets // СоЫ Reg. Sci. Tech. - 1990. - V. 17. - P. 227-240.

9. Schwarz J., Weeks W. F. Engineering properties of sea ice // J. Glacio-logy. - 1977. - V 19. - No. 8I. - P. 499-531.

10. DeFranco S.J., Dempsey J.P. Crack propagation and fracture resistance in saline ice // J. Glaciology. - 1994. - V. 40. - No. 136. -Р. 451-462.

11. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1979. -432 с.

Demidov S.P. Theory of Elasticity. - Moscow: Vyssh. Shkola, 1979. -432 p.

12. Goldstein R.V, Osipenko N.M. About brittle fracture in the vicinity of filled pores // Continuum Mech. Thermodyn. - 2010. - V. 22. -P. 555-569.

13. Богородский В.В., Гаврило В.П. Лед. - Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 384 с.

Bogorodsky V.V., Gavrilo B.P. Ice. - Leningrad: Gidrometeoizdat, 1980. - 384 p.

14. Fairhurst C., Cook N.G.W. The phenomenon of rock splitting parallel to the direction of maximum compression in the neighborhood of a surface // Proc. 1 Congress Int. Soc. for Rock Mech. Lisbon. - 1966. -P. 687-692.

15. Германович Л.Н., Дыскин А.В., Цырульников Н.М. Модель деформирования и разрушения хрупких материалов с трещинами при одноосном сжатии // Механика твердого тела. - 1993. - № 1. -C. 127-143.

Germanovich L.N., Dyskin A.V., Tsyrul'nikov N.M. Model of deformation and fracture of brittle materials with cracks under uniaxial compression // Mekhanika Tverdogo Tela. - 1993. - No. 1. - P. 127143.

16. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.

Cherepanov G.P. Mechanics of Brittle Fracture. - New York: McGraw-Hill International Book Co., 1979. - 939 p.

17. Вавакин А.С., Салганик Р.Л. Об эффективных характеристиках неоднородных сред с изолированными неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1975. - № 3. - C. 65-75.

Vavakin A.S., SalganikR.L. Effective characteristics of heterogeneous media with isolated heterogeneities // Izv. AN SSSR. MTT. - 1975. -No. 3. - P. 65-75.

18. Cox G.F.N., Weeks W.F. Profile properties of un-deformed first-year sea ice. Rep. 88-13. - Hanover: CRREL, 1988.

Поступила в редакцию 23.07.2014 г.

Сведения об авторах

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, [email protected] Осипенко Николай Михайлович, к.т.н., снс ИПМех РАН, [email protected]