Динамическая устойчивость гибких оболочек и пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.074.43

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

§§§ С.К. Ельмуратов

II Павлодарский государственный университет fill им. С. Торайгырова

!|§§| Икемд1 кцбьщишныц динамикалык, орныцтылыгыныц тсцдеуч алынды.

ЩЦ Колденец-байльщжуктеуде ЭЕМ-дагы пластиналар мен крбьщтардыц есептеу баедаршмасы к^растырылды. Алынган нетижелгрдщ нещтыльепя тексершЫ.

§§§§ Получены уравнения динамической устойчивости гибкой оболочки.

lift Составлена программа расчета пластин и оболочек на ЭВМ при продольно-1111 поперечном загружении. Проверена достоверность полутшыхрезультатов.

|||| Worked out is the program of Calkulation plates and shells by linear and

transverse loading of electronic calculating machines. The realiabilty of the final results was checked.

Методом конечных разностей исследуется изменение прогибов и напряжений во времени при действии нормальных и касательных нагрузок в срединной поверхности оболочки.

Уравнения динамической устойчивости пологих оболочек при продольно-по-перечном загружении в безразмерных параметрах имеют вид [1]

, on - 2 - W,a (Ф,„ -PJ + W,„ (Ф,д -Р,) -iz(l ft )

- 2W,v (Ф,„ -Ply) + КХЯ2(Ф,уу -Рх) + ^-(Ф>в -Ру) + q -W,„ -CW

У4Ф = Ж0-Wlщ +W2-W,„ w,-„ --K^iW-W^-^-iW-W,)^ ,

'I

(1)

(2)

где

№ 3, 2004 г.

31

Граничные условия для функции прогибов задаются в виде линейных однородных зависимостей и считаются неизменными во времени. Начальные условия задачи:

г=0, ^=0 (4)

Для решения уравнений (1) и (2) применим метод конечных разностей. С этой целью построим трехмерную сеточную область с шагами по времени и 8. Запишем уравнения (1) и (2) в конечных разностях [1].

+ + \У7М + - 2^т) + И^"0 + }У3М + 1У4(т))+ 4^.(™)]+ Л2(ж/;0 -- ++и£>)| = т[м2) ■ ^-{¿-(^ - 4Ж01 + + ты - 4^3 + )+2[жи + Ж06 + и/07 + Ж08 - 2(Ж01+Ж02+Ж03 + -

(-)ч

(5)

- Р*т)1 -¿2 (Ж1(т) - Ш!т> + ^3(я)) + КхЯ] +

.рМ].

^(Ф^-гФ^+Ф^)-

- 2Ш,М + \У4М) + Щ-

-2

-(ф(">-фМ-ф« + ф<">)

- 4ф{т) + 6Ф1т) - 4Фзт) + ФП '') + 2[ф5т) + Фб"') + ф7,") + ф1т) -

5 1/1

- 2(Ф<т) + Ф'т) + Ф<м) + ф1м)) + 4Ф^т)]+ Я2(фМ - 4Ф(2т) + 6Ф|я) - 4ф[т) + Ф^)} = = -Ж* -Ж06 + 1У07 +

о 1о

+ — (№5(т)-Ж6(в) + Ч?!;т)-Ш-т])г -(Ж1(т)-21¥,м + И^"0)^"0-2+ И^"0)}-16

Введем обозначения

1

12(1-м2)

; о-(") = (ф« _2фМ + Ф(4я))-р}т)-Б2,

о-М = (фМ -2ф\т) + ф[я))-р(т) -Б2, •г-М = _ фО») + фО») _ фО»)^ _ 4рМ$2

р1=-^ + 8 + Л2,<р2=--^-4,<Рз = -4-4Лг, _ 1

<р,=2, <Р5 (р6 = Я ,

(7)

+ % 0*ю + ) + ср6 (жмо + \у012)}

нп =

О 54

16

К,Б

+ КХА232(\У02 - 2Жо; + + - 2ЖШ + \ГЮ)\

- + \У7{т) - \У,(я))2 - - 2^(т) + Ж3(т)) •

16

■ (Ж2(т) - 2Жг(п) + 1¥4м).

Умножим уравнение (5) на Д^2

Ж>+1)(1 + 0.5СДг) = - 0.5СД0 + ¿¿^ ■

- 2(ахт- + о-М)] + + Ж,1"0) • [- й<рг + о-М]+ (Ж2(т) + 1У4(т)) ■

Г 1 Т(т)

■ [- Асръ + СТ{;}\+ (Ж5(т) + ЦГ}я))• [-й<рл --2-

г(")

- (Ж« + ж«)^ - Лщ (ж« + ^(2т))}+|гИт)М2 +

+ сг'

я2

(8)

Введем дополнительные обозначения

а, = (1 + 0.5СДГ),

% = [-с1<р1+ст<"> 1

а2=(1-0.5СД0,

V, =

■»•Л

No 3, 2004 г

33

W5 =

Tw

~ dcpi + ——

V,-

С учетом принятых обозначений и после некоторых преобразований окончательно получим уравнения динамической устойчивости гибких пологих оболочек в конечных разностях.

аД.("+1) = 2W;w - й^/""1' + + 4»2(W1(ffl) + W3M) + +

+ №,(,)) + ^(B'W + W,'"») + í»,^*' +ff8w) - ^(ffW + 1У W) -- + + A t2(l<m) + £„),

фМ = i-{_ <p( ф(") + фМ) -^(фМ + фМ) _ <р4(фМ + Ф<га) + Ф(7т) + <Рх

+ Ф") - 9>5(ф^ + ф^) - + Ф«) + - S2[KXA2

(W¡m) - 2Иг/") + W4(m) + ^f(W1(m) - 2W-m] + W¡m)) + S4H0\ Á

(10)

(11)

Для случая искривляющихся кромок функции напряжений на контуре могут быть определены из условия рамной аналогии [2]

Ф-М Ф ,n = N , (12)

где М и N- изгибающий момент и продольная сила в контурной раме. В конечных разностях эти выражения имеют вид:

> Фм=Ф;+1+25^ , (13)

где i - текущая точка на контуре оболочки или пластины, j индекс, указывающий направление оси, по которой берется значение шага сетки. Начальные условия приняты в виде:

W = W0 sin тсс sin лу , W,t = 0 при t = 0 (14)

Сеточная область состоит из ряда поверхностей, параллельных поверхности t = 0 и разделенных интервалом по времени Di.

Для решения систем уравнений была разработана программа на ЭВМ в общем виде, автоматически формирующая уравнения для произвольной густоты сетки. Задачи решались при числе шагов сетки 6, 8, 10. Для задач статической устойчивости, уже при 5=8 достигается удовлетворительная точность. При динамических нагрузках значения прогибов, полученные при 5=10 отличаются от уточненных не более, чем на 1%, тогда как при 5=8 эти значения отличаются от уточненных на 3,5%.

При исследовании динамической устойчивости предварительно определялись статические равновесные формы пластин и цилиндрических оболочек. Рассматривалось изменение прогиба в центре пластины W* в зависимости от параметра f *=Р/

Рст при различной скорости загружения Р(1). Для случая шарнирно опертой по юн-туру пластины при Р=5г вначале наблюдается нарастание прогибов в центре пластины вплоть до значения нагрузки Р=2,7РСГ затем прогибы в центре уменьшаются и рост прогибов смещается от центральной точки сторону контура. При числе шагов сетки 5=10 наибольший прогиб на первом этапе наблюдается в центре пластины, т.е. на расстоянии 55 от кромки, а при достижении Р=3,ЗРСГ прогиб и наибольшее значение У? наблюдается на расстоянии (2чЗ)5 от кромки. Затем происходит перемена знака прогиба в центре пластины и изменение формы потери устойчивости. Зависимость приведена на рисунке 1, кривая А.

Рис. 1. Аналогичная задача решалась в работе [3] (рисунок 1, кривая В), где результаты получены методом конечных разностей при 5=8. Полученные значения очень близки по величине и характеру деформации.

На рисунке 1 (кривая С) - приведена аналогичная зависимость для случая одноосного сжатия цилиндрической пологой оболочки при к= 0, к= 15. Сжатие происходит вдоль оси ОХ. Из графика видно, что в этом случае прогибы растут гораздо медленнее и достигают наибольшего значения при Р=ЗРСГ Программа составлена на языке Turbo Pascal.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ельмуратов С.К., Ельмуратова А.Ф. Исследование динамической устойчивости гибких оболочек и пластин. В журнале "Наука и техника Казахстана", Павлодар, ПТУ 2002

№ 3, 2004 г

35

2. Варвак П.М., Рябов А.Ф. Справочник по теории упругости. Будивельник, Киев, 1971г;

3. Биркган А.Ю., ВольмирА.С. Исследование динамической устойчивости пластинок с помощью электронных цифровых машин. Доклады АН СССР, 1960 Том 135, №5