CC BY
15
УДК 539.3:534.1
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ I УСТОЙЧИВОСТИ ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
С.К. Ельмуратов, А.Ф. Ельмуратова
Павлодарский государственный университет им. С'. Торайгырова
ш
Икемд1 цабьщшыныц дина.микалъщ орньщтылыгыныц тецдеух алынды. Квлденец-бойлык, жуктеуде ЭЕМ-дагы пластиналар мен к,абьщтардьщ есептеу багдарламасы к,урастырылды. Алынган нэтижелердщ нацтылыгы meKcepindi.
Получены уравнения динамической устойчивости гибкой оболочки. Составлена программа расчета пластин и оболочек на ЭВМ при продольно-поперечном загружении. Проверена достоверность полученных результатов.
Worked out is the program of Calkulation plates and shells by linear and transverse loading of electronic calculating machines. The realiabilty of the final results was checked.
Рассматривается пологая гибкая оболочка двоякой кривизны с начальными неправильностями при различных условиях опирания по контуру и подвергающаяся продольно-поперечному динамическому нагружению. Принято, что при деформации кромки оболочки мо-
гут искривляться и сближаться. Исследуется изменение напряженно-де-формированного состояния оболочек и пластин во времени.
Основные динамические уравнения нелинейной теории пологих оболочек с учетом начальных деформаций имеют вид [1].
D
h
( W-%
)=L( W*Ф ) + Кх(Ф9уу-Рх>+
Я У
ч
1
У4Ф=0-5ЩУо>1УО}¥^УКх(\У-\Уо V Ку (ТУ-ШоХьЛ2)
£ ^ ----уууи'гги'----ЛГГ 'ГГ / лггилуу
Введем в уравнения (1) и (2) следующие безразмерные параметры:
X у / к а а а Ь И "к
XV
ф=1? с=ъуаЬ (3)
Е
Здесь У=л1& у - скорость звука в материале. Операторы Ц \у. ф ); Ц Ц/, IV) определяются по формулам:
• 1Щ,Ф) = 1У,ХХ(Ф,уу-Рх) + IV,у(Ф,ХХ-Р,у) - 2П',ху(Фху - Рху) (4) дШ, Щ = 2(&,хх№,уу-\У,1у) (5)
Введем также обозначения для параметров оболочки и внешних нагрузок:
, а Ь К у. С1 К р ъ
Здесь Я - соотношение сторон оболочки в плане; К , К - кривизны
х у
оболочки в направлении осей X и У соответственно; Р , Р , Р - нормаль-
х у ху
ные и касательные силы, приложенные к срединной поверхности оболочки , ц-интенсивность поперечной нагрузки.
Запишем исходные уравнения (1) и (2) в безразмерных параметрах.
Ек
И 12( I-//2
'' ( м 1хххх+2^( ¡у- ко ),хт+~( IV- т),
а Ъ Ь
УУУУ
= Ац/ 2 '.V. а , Е!г Л ь2 Ф п -е»2Р ъ2 4 IV, ( еи2Ф VI' V 2 ' а XV 2 У ' ь а ' аЬ IV, ( цЛ аЬ ф.л>
аЬ Х} \ 11 кх( Ек2 ги ------Ф ь2 " ЕИ2 Ь2 Р, Ек1 _ Ек2 _ Ф Р 1 'Л'Л 7 у а* а )+ 1 £Л4
/Л
¡у
да2Ь2 41 " "
аЪ
(7)
Ек
Ф -2
, Л'Л Л'Л" ^
Ек
ф
Ек
а2Ь2 ЛУХ} Ь
ф
4 УУУУ
2 *
И - А К, М К )•... -А К,А( г- % ),„.
/?2 щ.....ж, +4
ДУ «.XV а2Ь2 -о,ху - а2ь2
(В)
2^2 .XV ,Ху ¿2 л ¿2
0 " гг 2 V' 2
а ■ а
аЧ1
Умножим уравнение (7) на —т-, а уравнение (8) на
£/г
«V
и после неко-
торых преобразований получим дифференциальные уравнения динамической устойчивости пологих оболочек при продольно-поперечном загруже-нии в безразмерных параметрах.
'2( \ ~ и )
к
= 1У (ф -Р) + 1¥ (ф -Р)-2(¥ (ф -РГ1/) +
,хх ,уу х .уу ,хх у ,ху ,ху ЛУ
+ К Л2(ф, -Р ) + -£(ф, -Р ) + д-1У,-С1У,
уу х
Я"
хх у
И
(9)
У4Ф = Жа -Ж2 +Ж2 ху-IV УГ -К Л2(№-1Гп), -
0,хх 0,уу о,ху ' ' ,хх ,уу х 0' уу
у (IV(10)
v 0"хх
Граничные условия для функции прогибов задаются в виде линейных однородных зависимостей и считаются неизменными во времени. Начальные условия задачи при 1=0, будут
Для решения уравнений (9) и (10) применим метод конечных разностей. С этой целью построим трехмерную сеточную область с шагами по времени и 5 по пространственным координатам. На рис. 1а, приведена Трехмерная сеточная область в пространственных координатах. Указаны принятые обозначения узлов сетки (рис1,б).
Запишем уравнения (10) и (11) в конечных разностях. С этой целью представим производные по пространственным координатам для узла \ в виде:
IV, +
XXI
■2 1
IV, = * (Ж-2ЙК+Ж),
ууп ^ 1
IV. .= -!
А'Я 4Л-
~{\у _ \у + IV - \У ) Укп5 6 7 8
IV, .= - 4IV. + 6IV. - 4IV- + IV . ).
лл'л'л/ с4 9 1 I 3 II
ИЛ
хухуп г4
Г ИЛ + IV, + ИЛ + ИЛ - 2(РК + ИЛ» + ИЛ + ИЛ ) + 4IV. 1 <12) 1 3 6 7 8 1 2 3 4' /-г
Ил . = —Г(IV., - 4И/. + 6И'. - 4ИЛ + IV.). уууу7 ^4 Ю 2 I 4 12
Производные по времени представим в виде:
" 2А1
цг\т+1) _ ^/(/"-1)
Ж =
т д.2
I
I I
(13)
Подставляя (12) и (13) в уравнения (9) и (10) получим следующие уравнения в конечных разностях
Ци п-'т
.3 \ г.4 1 -,2 9
1 / 3 11
12( 1-/ ) 54 [Л2
Э 6
+ > + ' - 2( И'}; + И*'"! + »5 '"Ч И'^'"1 ) +
'/л! ...\т) ,.\т] ...(/и) ч ....{т^
т
„I т
-г---~г\ -тг( ^ -. + 6ИЛ. -4 ИЛ- +
12(1-/^ ) 5 |л 09 01 03
Трехмерная сеточная область
Рис. 1
+6 И'' - 4 И-' + IV н+1 02 0/ 04 012
— ( -2Ф. + Ф, )-Р ' ,2 х 2 I \ ' х
т
5
-( Цл 2 1
)+ А' Я^ / 3 ' х
4 я2
1 / /я1 л^'т 1 Ат\ \ Ат) 1(Ф1 -2Ф\ +Ф3 '
( IV'" -2и- т +
(И)
х Э 8 6 7 ' XV
45
/и
-ГУ
+ <Г
\т
Л/
Г. „
21С- ^Н' ' И'. '""' -1Г.
' ' 2Д/ ' '
л41я;
(фЫ -4Ф!/,] +6ФЫ -4фН )+2|ф^ +Ф!/" +<еИ +оН -
г 9 1 , 3 11 Т. 5 7 8
-2(Ф^ +фМ +Ф^)+4Ф1"'|+А2(Ф,1"(; +6ф|"г -4Ф^ +Ф^)} =
.У
„Ы л/кМ .
+— . 16
+ ^3X^2 "+ " Г6- ^06 + - И^)2 +
О О Л
-2(^-Ю IV),
(15)
Введем обозначения
а! = 1 • а{т) = (Ф(/н) - 2Ф("г) + Ф1'"') - № • 52 12(1 - /Г)' 2 ' 4
а(т) = (ф(ш) _ 2ф(п|) + фМч _ рЯ . 52
>' 1 ' 3 3'
г(«г) = (фм _ фЫ + ф(ш) _ ф(шк _ 4 2 5 л/ 5 6 7 8 лт
(р =А + 8 + Д2, (р = 4-4, ^ =_4_4Д2? (16)
1 Я2 2 Я 3
с1
Я0 = - + - 2%,- + ^04>4^05 ~ ^06 + ^07 " ^08>2 +
+ К/52(IV - 2ж, + жл) + (IV, - 2ж + ж,)],
/С 5-
02 0/ 04
А'
01 о/ 03
'16 5 6 7 8 I ~ / 3
Умножим уравнение (14) на д/
+0.5сэд = -^""чо-о.зсдо+^-и»")
,4 iй?
' т]
{ у
, 772 2 х
ж!'
+СГ
3 7
Л7 ? ]
т
ху
скр. — 4 8
О
ху
[т] ТЛт\. г\ ' мл у
/иЬ Л/
' Н
сг '
К £ +
X X
+ СТ
т) у
у 1
1, 1 + ЛГ(<71 Ч10)
(17)
Введем дополнительные обозначения
а, = (1 +0.5САО,
а =(1-0.5СДг),
ёср + С7Ы ]
2 Л
(18)
dtp, + <т™ ],
m ху
-dtp* + ^ 8
8
.m
ху
а к лл + ex
a:
\/hi y
x x
У л2
С учетом принятых обозначений и произведя ряд преобразований окончательно получим уравнения динамической устойчивости гибких пологих оболочек в конечных разностях.
ii.IV т'1' = НУ'"' -ajr.
'm-il д г
sK
/m
( \ ( ^ / ч
и^ 'v + %(wi]m} + + +
m
m
m ;
/и
.2
Îm) „1/и1ч1 _ A/2
S
12 ,j '6 n2 ' ^ '
(19)
o|m) = л {- ^(ф^++ф1;"') - ^(ф^1+ф^++ + фЧ - <рАф('?,) + ф(",)) - <р, (ф^ + ф!"'1) + Ц\1Ы) - 52[л: я2 • (и>' -
о 5 9 II 6 I и 12 i х 2
г*
- mjm] + и>>) + -l ( wfm) - 2 + + s4 я0
я*"
(20)
При решении уравнений (19) и (20) значения функций напряжений на контуре предварительно определялись на основе рамной аналогии [1,2]. Значение функции напряжений во внутренних узлах оболочек и пластин находились из решения уравнения (20), а функций прогибов из уравнения (19). Системы уравнений в конечных разностях решались в матричной форме в отличие от ме-
тодики, примененной в работе [1], где функции напряжений и прогибов находятся итерационными методами. с этой целью была разработана программа на ЭВМ на языке Turbo Pascal. Решение систем уравнений в матричной форме позволило более точно и быстро найти значения функции прогибов и напряжений. Особенно это сказывается для гибких оболочек и пластин
№4, 2002г.
179
при прогибах более 3-х толщин объекта. Интенсивность нагрузки на контуре менялась во времени по заданному закону. Сходимость метода конечных разностей применительно к задачам динамической устойчивости оболочек и пластин исследована в работе [1]
Ряд результатов сравнивался со
значениями, полученными в работах [3] при однородном поле напряжений и [4], где для решения динамической устойчивости пластин применен интегродискретный метод для случая локального приложения нагрузки. Во всех случаях наблюдается хорошее совпадение результатов расчета.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ельмуратов С.К. Численная методика исследования динамической устойчивости оболочек и пластин. Сб. «Строительная механика»; Караганда, КарПТИ, 1991 г;
2. Варвак П.М.. Рябов А.Ф. Справочник по теории упругости. Будивельник, Киев, 1971 г;
3. Вольмир A.C. Нелинейная
динамика пластин и оболочек. Москва: Наука, 1972;
4. Боженов А.Ш., Ельмуратов С.К. Развитие интегро-дискретного метода исследования динамической устойчивости пластин для случаев действия локальных нагрузок. В сб. «Оболочки и пластины», Караганда: КарПТИ, 1987г.
