CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том III
1972
№ 2
УДК 629.76.015:531.56
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ КАПСУЛЫ НА РЕЖИМЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СНИЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ
Рассматриваются условия динамической устойчивости пространственного движения осесимметричного аппарата с большим сопротивлением на режиме вертикального снижения при постоянной скорости полета и постоянной угловой скорости вращения относительно продольной оси. Методом корневого годографа проводится качественный анализ типов движения и оценйвается влияние гравитационных сил на динамическую устойчивость.
В работе [1] применительно к плоскому движению аппарата с малой удельной нагрузкой на Фидель было рассмотрено влияние сил тяжести на динамическую устойчивость. Было показано, что динамическая устойчивость плоского движения существенным образом зависит от относительной массовой плотности аппарата и в ряде случаев увеличивается с уменьшением высоты. Следовательно, можно ожидать аналогичных эффектов и при пространственном движении аппарата.
Известно, что при исследовании пространственного движения скоростных аппаратов в почти горизонтальном полете под влиянием угловой скорости крена может возникнуть динамическая неустойчивость [2], [3]. Этот факт оказывается весьма существенным, если рассматривается движение осесимметричной капсулы, имеющей форму конуса с большим углом при вершике (120°—140°), в результате чего производная от коэффициента подъемной силы с“ становится отрицательной [2]—[5]. Отмеченные результаты относятся к режиму движения с большой скоростью полета V, тогда как влияние гравитационных сил существенно, если аппарат снижается почти вертикально, а скорость V мала. В работе [5] делается попытка учесть это влияние, но допущена неточность йри записи уравнений движения в традиционной форме (2-й порядок). .
Ниже проводится строгий анализ уравнений движения в линеаризованной форме. Показано, что основное уравнение движения удобно записывать не с помощью углов атаки и скольжения, а используя углы отклонения оси симметрии от среднего направления скорости (в частности от вертикали). Метод корневого годографа позволяет выявить основные типы движений и в ряде случаев определить граничные соотношения между характеристиками режима полета и аппарата.
Уравнения и анализ движения аппарата. Из уравнений движения, записываемых в общем виде
А. А. Шилов
(1)
165
]2—Ученые записки № 2
введением систем отсчета, показанных на фиг. 1, и соотношений Vi = Vcos о cos в; Fx = — сх qS; Gi = G0;
Vm=V sin 0; Fy = c“ qSa; Gm = 0;
Vn = — V cos 0 sin a; Fz = — c* qS$; Gn = 0,
где cx — коэффициент продольной аэродинамической силы; сп — коэффициент поперечной аэродинамической силы;
lx = cos ft cos <р; ly = — cos <p cos 7 sin ft -f sin <p sin 7; lz = cos 7 sin <p cos ip sin ft sin 7; mjr = sinft, my = cos ft cos 7; mz = — cos ft sin 7; (3)
nx — — cos ft sin ip; ny = cos ip sin 7 sin ip sin ft cos 7; nz = COS Ip COS 7 — Sin Ip sin ft sin 7,
$ -сала тяже с та %m,7r- неподвижная система лаарди/гат
0,х,д, z - связанная с теяам система лоордахат Фиг. 1
(здесь от,-, tii — направляющие косинусы системы осей Oxyz относительно базиса 1тп) можно получить: уравнения сид
MV9 = (F»m) cos0 — cos в sin 0 [(F-l) -f- Go] + (F-n) sin asinO;
MVcos вз = — (F-n) cos о — (F-l) sin 1 — G0sin a; кинематические соотношения, справедливые при малых a, р, ft, <p, 6, a: a = (ft — 0) COS 7 — (<p — o) sin 7; ft — 0 = a COS 7 + p sin 7;
P = (ip — a) cos 7 + (ft — 0) sin 7; <p — a = p cos 7 - a sin 7.
(4)
(5)
Считая, что рассматривается установившийся режим и средняя составляющая угла 0 постоянна и равна нулю, получим уравнения сил в вариациях:
(6)
где учтено, что сж = ст; с“ = с“— ст; с* <7$ — во = 0. Уравнения (6) отличаются от использованных в работах [2], [4], [6], [7] тем, что в них входит составляющая сх:
су 4» — сп я ~ су (Ф — ®) — сх ® или с“(<р — о) — с* «р.
Если используется предположение о несущественности влияния силы тяжести, то надо принять сх*= 0. Ввиду того что в первом случае член, пропорциональный сх, меньше (для тяжелых тел »<40, будет меньше и ошибка. Однако пренебрегать членом схс или с*ф Ддя случая относительно легких тел, вообще говоря, нельзя, так как член сх а одного порядка с с“(ф— а).
При пространственном движении осесимметричного аппарата, считая производные аэродинамических коэффициентов постоянными, можно записать:
где вновь содержатся члены, пропорциональные сл, которыми обычно пренебрегают, так как добавочные члены зависят от угла 7.
Если положить ^ = сопя! *, то из уравнений (7), (9) можно получить
уравнение второго порядка, аналогичное приведенному в работах [2], [3]:
чем 0 следует определять из (6). Если бы было введено обозначением = а — /р, то коэффициенты полученного уравнения были бы комплексно сопряженными к коэффициентам уравнения (10). Это соответствует тому, что четыре попарно комплексно сопряженных корня системы (7), (9) остаются неизменными при любом преобразовании а = а + /р. При сх = 0 [2] уравнение (10) оказывается достаточным для исследования эффектов, связанных с влиянием малой аэродинамической и динамической несимметрии [3], [6], [7]. При схф 0 [см. (10)] система уравнений шестого порядка (6), (7), (9) не эквивалентна уравнению второго порядка в комплексных переменных. Для того чтобы строго анализировать динамическую устойчивость с учетом схФ 0, введем угол 8-= 8-+ *ф. Тогда из соотношений (5), (8) получим
* Предположение о постоянстве скорости о>х надо принимать с известной осторожностью, так как от а>х зависит скорость изменения амплитуд аир [4].
(7)
(Afyo. М2 о — мзлые моменты от асимметрии, М[ 0 = const),
& = <az cos 7 + Шу sin f; “* = Tf + sin 5>ф;
cos &ф = oiy cos 7 — o>z sin 7; = & sin 1 + ф cos ft cos 7;
f = a>x — tg 9 (a>y cos 7 — 0)г sin 7); о>г = 8 COS f — ф cos ft sin f.
Используя соотношения (5), (6), получим
(8)
О)
= Mo + -щ?с,[в + йИ ,
(10)
где a_= at -f /р; 0 = 0 + /о; u> = а>г -)- iu>y; IM0 = Mz 0 + iMy0; Ix =JX/I; u>x = const, при-
ft — 0 = a e~ ‘т; ft = we *1;
(П)
Дифференцируя 8 дважды, получим выражение для ш:
и> = *>е‘т + 9 (— г-у) е‘Т, и*--как результат, уравнение для 8:
1Ь — maz qSL (8 — 0) 4- т z
v
г/, о» „ ft + М0 е 111.
При с“ = с“ и 7 ■** const уравнения (11), (12) можно один раз проинтегрировать. В уравнении (12) при М0фО присутствует член, возбуждающий колебания в системе. Это согласуется с тем, что развитие авторотации [6], [7], сопровождающейся увеличением среднего угла атаки, вызванного моментом Ма, внешне выглядит как резонансное увеличение амплитуды колебаний оси аппарата в пространстве [2]. Для целей нашего исследования при М0 = 0 уравнения (11), (12)
2М
удобно привести к безразмерному виду, введя масштаб времени тт = -г^ , от-
2 М - ?1
носительную плотность ц = и безразмерный радиус инерции —
d*k
dx 2
mzz S
dx
■if,
-
a)r_____
* dx
dx y "
(13)
Следовательно, можно получить одно комплексное дифференциальное уравнение, но уже третьего порядка. Характеристическое уравнение системы (13) может быть записано в компактном вещественном виде
' т z Х-- ■*
К Г2
-<*+ СХ)^-
+ (X + cJ)2X2 7*;* =0.
(14)
При <0^ = 0 корни уравнения (14) тождественно совпадают с корнями характеристического уравнения плоского движения [1] с той разницей, что они стали кратными, поскольку теперь есть колебания как по 8-, так и по ф.
Соотношение (14) линейно относительно параметра (1Х ш*)2 — квадрата безразмерного кинетического момента, поэтому уравнение (14) удобно исследовать методом корневого годографа [9].
Начальными («>^ = 0) точками корневого годографа будут корни характеристического уравнения плоского движения, размещение которых зависит от параметра [АИ® [1].
Кратные предельные точки легко определить: Х^2= —с“; Х!,1^ = 0. Таким образом, две корневые траектории уравнения шестого порядка (14) асимптотически уходят В бесконечность при ]хи>х-4-СО вертикально вверх и вниз в плоскости X.
1
Центр асимптот легко вычислить, пользуясь формулой д* = д_______________тХ
1 т 1 п
X
1 1
[9], а учитывая, что величина —^Р•, равна коэффициенту
1
характеристического уравнения при X" 1 [10], получим:
т г г
г*
(15)
Обычно <С 0, т. е. асимптота пересекает вещественную ось плоскости корней слева от начала координат.
Подставляя Л *= Ш ^уравнение (14), можно найти условия пересечения лсорневой траектории с мнимой осью
т г
г
/д- = ±
т г
г
г2
т х х
Г2
и/2
(16)
Отметим при этом, что критическое значение параметра | Тх шх| толькоодно. Из соотношений (16) можно получить формулу для критической скорости, приведенную в работе [4] без учета сх, если положить с* =
‘X тх ■
V-
+ тгг
1/2
(17)
Из формулы (17), справедливой для случая почти горизонтального полета с постоянной скоростью, следует, что, если, например, с*-<0;т“<0;
<0 и величина ц уменьшается, то критическая угловая скорость
и>х тоже уменьшается до нуля, т. е. прич^^О система становится абсолютно яеустойчивой, если [л. достаточно мало.
Однако при вертикальном снижении аппарата и корректном учете влияния ■сил веса (16) с учетом результатов [1], касающихся устойчивости движения при
= 0, получаем, что при с®<0; с“>0;с“
І1ШХ (1*, где
с„ т г с“ — -П 2 \ П
Г2
<0 для значений ц, ббль-
(18)
с3'-'
Г2
пространственное движение неустойчиво при всех и>х. Но при уменьшении У до значения
сп т г
^о= —-------(Ро>° ПРИ су<°)
тг су у
(19)
величина О* стремится к нулю, а растет до бесконечности. В самом деле, ■при ^ = [а0 числитель (16) будет не равен нулю:
Г,2
с т г" 2
ш4
тп *
л г
с“ г2
(20)
тогда как знаменатель убывает до нуля.
Таким образом, в рассматриваемом типичном случае, когда учитывается влияние сил тяжести, можно сделать вывод об устойчивости системы при любых <ох, если (л < (а0, и существовании граничного значения и>х, если (л0 (* <С (**
ІУ нас Iа* > Ио< см. (18), (19)].
В результате структура корневых годографов при различных ц и а>х будет такой, как на фиг. 2 (при этом анализе предполагалось, что с“> 0, хотя в принципе возможны случаи, когда с“<0, и кратная предельная точка будет справа).
Видно, что при <»хф0 движение имеет три гармонические составляющие, одна из которых, как правило, быстро затухает, и что аппарат, устойчивый при и>х = 0, может быть неустойчив при и>х Ф 0 в низкочастотном движении*.
I 5>~
1т\
-А-
начальное точки корневого годографа в п/гос лом движении (/^*0) начолвнв/е точки парнедого годографа про-строне таенного движения (<о*= 0) предельная точна корневого годографа плоского движения (~) предельные точки корневого годографа пространственного движения (а>Л — ~=)
Плоское движение, А*00
/-« _ * . У г г
■о
ЛеХ.
Фиг. 2
Таким образом, сопоставляя результаты анализа формулы (17), полученной для случая горизонтального полета, когда сила тяжести не оказывает влияния на динамическую устойчивость, и результаты анализа формул (16), можем сделать заключение о стабилизирующем влиянии сил веса для аппарата, движение которого описывается уравнениями (13).
Приложение. В качестве дополнения к проведенному анализу получим корневой годограф для плоского движения при сх = 0, 0, т. е. без учета
сил тяжести.
Из уравнения (14) при шд: = 0 и сх = 0; е“ = с“ следует
( ти> г \
х(х + сри--^г/—(21>
* Низкочастотное движение в переменных 8, ^ соответствует высокочастотному в переменных а, р.
Таким образом, всегда существует нулевой корень Х^°) = 0 в связи с отсут-
ствием понятия вертикали в задаче (О = 0). Кроме этого, при изменении ц корневые траектории, выходящие из точек = — е“ > 0 и Х^0) = /и"*/?2<0, сли-
и расходятся по вертикальной асимптоте я* = X**. Из (21) следует, что при
При [*<^0 один корень НеХ3<0.
С учётом силы тяжести при с“< 0; с® ф с“; > 0; £*>0 при малых [л
можно установить [см. уравнение (14) при 10^ = 0], что все три корня имеют
отрицательную вещественную часть. Для этого достаточно рассмотреть разбиение вещественной оси по методу корневого годографа [9], [10]. Таким образом, вновь видим стабилизирующее влияние силы веса на динамическую устойчивость.
Нужно отметить, что, подставляя в (14) сх = 0, = с®, следует оставлять
в уравнении коэффициент с®, так как иначе при ц оо асимптота будет прохо-
и смыслу (11).
Анализ плоского движения полезен прежде всего потому, что корневой годограф плоского движения служит основой для анализа корневого годографа пространственного движения.
1. Шилов А. А. Об устойчивости движения парашюта на режиме установившегося снижения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 4, 1971.
2. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., .Машиностроение*, 1967.
3. N1 с о 1 a i d е s J. D. On the free flight motion of missiles having slight configurational asymmetries. JAS Paper, No 395, 1953.
4. Шилов А. А., Васильев А. Ф. Динамическая устойчивость пространственного движения осесимметричных аппаратов на больших углах атаки при некоторых видах инерционно-аэродинамической несимметрии. Труды ЦАГИ, вып. 1345, 1971.
5. Jaffe P. Terminal dynamics of atmospheric entry capsules. A1AA Journal, v. 7, No 6, June 1969 (См. также A1AA Paper No 70—988).
6. Pettus J. J. Persistent re-entry vehicle roll resonance. A1AA Paper No 66—49, 1966.
7. Barbera F. An analitical technique for studying the anomalous roll behavior of ballistic re-entry vehicle. A1AA Paper, No 69—103, 1969.
8. Hoddap A., Clark E. The effect of products of inertia on the roll behavior of ballistic re-entry vehicles, AIAA Paper No 70—204, 1970.
9. Цянь Сюв-сень. Техническая кибернетика. М., Изд. иностр. лит., 1956.
10. Трак сел Д. Синтез систем автоматического регулирования, М., Машгиз, 1959. __________
ваются
V.. /У* *
У %
где (*о= —-------—>0, система имеет два корня таких, что ReX23>0.
дить через точку
противоречит известным результатам
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 8JIV 1971 г.
