Об устойчивости движения парашюта на режиме установившегося снижения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том II

1971

№ 4

УДК 629.734.7.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАШЮТА НА РЕЖИМЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ СНИЖЕНИЯ

А. А. Шилов

Рассматриваются условия устойчивости плоских колебаний парашюта на режиме установившегося снижения с учетом влияния присоединенных масс воздуха. С помощью метода корневого годографа исследуются различные частные случаи. Получены приближенные формулы для определения центра качаний системы.

В некоторых случаях спуск в атмосфере аппаратов, имеющих большое аэродинамическое сопротивление, сопровождается развитием неустойчивых колебаний по углу атаки. В связи с этим делается попытка в упрощенной постановке получить условия устойчивости движения парашюта.

Рассматривается движение системы груз — парашют на режиме установившегося снижения. Считается, что груз без промежуточных звеньев непосредственно соединяется в нескольких точках со стропами парашюта, поэтому не происходят относительные колебания груза и парашюта и в процессе движения система имеет фиксированную геометрию.

Предварительные замечания. При короткопериодических колебаниях самолета в горизонтальном полете демпфирование колебаний по углу атаки при линейных аэродинамических характеристиках зависит как от коэффициента демпфирования /га“г, так и от производной где су — коэффициент подъемной силы. При этом Су характеризует влияние подвижности центра масс на изменение угла атаки. Для устойчивости необходимо, чтобы

Поскольку траектория полета парашюта вертикальна, условия устойчивости изменяются. Запишем уравнение движения центра

масс аппарата фиксированной формы в виде гп—-тг

Ль

/?, где /? —

сумма аэродинамических и гравитационных сил. Представим вектор скорости движения центра масс У в виде V = У^, где | т | = 1.

Тогда т ^ = (/?•(), = * [/?— т№)1- Вводя относительную

производную получим

4 = ЇХ« + -ї/{гі«-Ї№)і.

где вектор R = F-{-G проектируется на оси, связанные с аппаратом. На режимах, характерных для движения самолета, проекция

вектора G на направление f близка нулю, поэтому влияние подвижности центра масс проявляется прежде всего через зависимость вектора подъемной силы P—F — '~((Fi) от ■j(P_L'f).

На режимах, характерных для движения парашютов, направление силы веса близко к направлению скорости полета, и можно сделать предварительный вывод о том, что условия устойчивости должны соответствующим образом изменяться, так как теперь

(^if) + (^Tf)~0, и роль поперечной составляющей силы F возрастает.

Парашюту присуще значительное демпфирование по крену т“-*, поэтому в ряде важных случаев основные особенности движения будут определяться характером плоского (продольного) движения.

Анализ устойчивости движения. Запишем уравнения продольного движения аппарата (парашюта) с учетом присоединенных масс воздуха:

(М + тх) и — (М + т2) vmz + т2 &2 \0 =

= -c*{a)qS-cb a>, + /Hgcos&; (1)

5 (iSL

(М + m2)v -f- (M+ml)uwz~m2bi0= c„(a)qS + с„г у aiz—Mg sin &,

где Ь — угол отклонения оси конуса строп от вертикали; a — угол атаки; и, v — проекции скорости полета центра масс системы твердых тел (включая ткань), которая имеет массу М, на ось конуса строп и на нормаль к ней, и = 1/ cos a; v = — Vsina, I/2 = и2-f г>2 (фиг. 1); m1 — присоединенная масса воздуха в продольном движении; т2 — присоединенная масса воздуха в поперечном движении; ^ — расстояние между центрами твердых и присоединенных масс, если центр присоединенных масс ближе к куполу, чем центр „твердых11 масс, то £0>0*-

* В случае необходимости в формулах (]) следует учитывать архимедовы силы.

Уравнение моментов относительно центра твердых масс запишем в виде

(У 4~ Ут + т2 Й) & = (<*) д$1. 4~

+ тГг * 4- Щ ® + (т1 ~ т2) ию 4 т2 и8, (2)

где 74-^от 4/я2Ео — момент инерции с учетом присоединенной массы воздуха.

Уравнения (1) и (2) выписаны с учетом несовпадения центров „твердых" масс парашюта и присоединенных масс воздуха. Необ-

О предельные тачка корне вага гадагра/ра Фиг. 1 Фиг. 2

ходимость учета при этом добавочных членов по сравнению с [1] была отмечена А. Г. Бюшгенсом.

Уравнения в вариациях могут быть получены, если учесть,

что

а = а За; 8 = & 4* V = V 4- &0) и — V; а = 0; 0 = 0; v = 0; IV — — У8а; дЭ = Mg.

Тогда

— (М 4- т2) 4- (М 4- Щ) — Щ *0 88 =

= са„ дБЬх - сх ?58& 4 с88;

2 •• • (3)

(У 4 7т4/ге2$о)80 —т2£0^(8»-8а)= '

- дС/г

= /га* дБ!*8а 4- /га“2 —у— 88 — (т1 — щ) V2 8а.

В безразмерной форме эти уравнения имеют вид (знак вариации опущен)

где

г2х38" + ?0 т2\>.(а! — Ъ'+ т^гЪ’ — (х, — х2) ;л2 а; х, - х2 а'---------------------^2- Г = с\ а — С, » + & Л

(4)

«1-1+ТЙ-; ^ = 1 + ж; *з==1 + „

гг=Ж?; 1Л=='рйГ; я*2 = 1 — х,; ^0=Т~;

штрихом обозначено дифференцирование по т, где х — ^ ^ у' • Характеристическое уравнение системы (4) имеет вид

х К*2к + сп) (г2 хз ^ “ т1г) — (Ёо т2 >■ — от“)(/я210 X + «?“*)] +

+ Р {[^0 т2 — т“ + (*1 — ч) Iх] (*1 ^ + £т) — 10 т2 (Х2 Х + Сп) —

— X (X! — Х2) (т21й X е“г)} = 0. (5)

В уравнении (5) многие параметры зависят от высоты полета, но основным является параметр Это можно заметить, если для достаточно больших высот положить хь х2, х3=1, при этом [л->00.

Коэффициенты т“, сх, и т. д. также могут меняться с высотой вследствие изменения скорости полета. Для статической устойчивости необходимо т“< 0. Уравнение (5) удобно исследовать методом корневого годографа [2], [3]. В случае, когда х(- -» 1, получим

х ) Р >• - <2) + с“*] - ?.т* (X + ся) = 0, (6)

Для анализа устойчивости определим изменение положения корней уравнения (6) при изменении у в диапазоне 0<[а<оо. Начальными точками корневого годографа при будут

Х<°> = 0; 2г2 Х<°> = !пгг -сапг2±У (т“*—сап г2)2-4 {пй - сп т“*)г2. (7)

Конечная точка годографа при ^ -» оо

^ = -сх. (7')

При [л -» оо две корневые траектории уходят в бесконечность, асимптотически приближаясь к вертикальной прямой [2], [3], про-

1 ( « т** \ - -ходящей через точку — ----=*~)' ТЗК КЭК С* = Сп~Сг’ Сх=С•с-

Таким образом, при некотором значении р* корни характеристического уравнения переходят в правую полуплоскость, если

с* — т“*1г2<С0 (фиг. 2).

Если рассматривать у. как независимый параметр в полном характеристическом уравнении (5), то при х1 = х2, ,ф 1 можно вычислить координаты основных точек. Начальные точки годографа ц-* 0 определяются из уравнения

(*2 г% *3 —^0 т\) Х£ЗГ + \г* *3 °П — *2 +

+ 1й (гп2 — с“*)| х<°> + (т* — с* яА) = 0; Х^ = 0, (8)

а конечные -»• °°) — из уравнения

(—т*х1 — сау£0 т2)'к1'1) — схт1 = 0. (8')

Две корневые траектории уходят в бесконечность, приближаясь к вертикали, пересекающей ось ИеХ в точке а*:

2а*

Г2 х3 4 — х2 т“* + т2 50 (»** — с"*) Х8 Х2 (Ї0

Подставляя в уравнение (5) Х = г2, получим соотношение между аэродинамическими характеристиками и значение 22, соответствующие границе колебательной устойчивости при 45 = х2

' г2 х3 — *2 т“г + т2 Е0 (/га* — с"*) Уравнение (5) упрощается, если 50 = 0 и с“г = 0:

(9)

(X -f- сх + Су) — |j. -=-р- (X -(- с*) — 0.

(10)

\ г‘ } г

Полагая в этом случае Х = г2, имеем соотношения для у.* ий:

"%*(ся + с')сх

г3 [cj-(«“*//■»)]

(- от“*) (с, + С“) С* + ^

с» - (тт*

тгг

(П)

Отметим, что выражение сх + с* равно производной от коэффициента поперечной силы с* при а = 0, так как сп (а) = су cos а -f-+ с,, sin а. Это согласуется с замечанием о влиянии поперечной силы, сделанным в начале статьи.

Сделаем некоторые замечания.

1. Пусть движение системы описывается уравнениями

-Ї-І1.

а л . ®

■■с,а — схъ + суг-

г=4-т;«+да“*-^-;

о “ 2 п 7

+ а:

где дифференцирование выполнено по безразмерному времени ^ Предполагая, что при определенном сочетании аэроди-

т = І

МУ

намических характеристик и параметров режима полета реализуются незатухающие колебания, можно найти безразмерную круговую частоту колебаний и период в натурном времени:

*»2 а

Г Сп

МУ 2к дБ р

при

тг

\ ті

тгг

тг*

(13)

= 0. (14)

Последнее равенство является условием реализации рассматриваемого режима. Вычисляя горизонтальные скорости УТ перемещений точек, лежащих на оси конуса строп парашюта на рас: стоянии /? от центра масс, получим, что минимум горизонтальных перемещений достигается при

Я

пи

ТПг

, когда У?'п = V

■«*/ г2)

с1-

■К'.

Г2)

= VI а™'“ |

(15)

Это справедливо при некотором ц и выполнении (14). Если [і=оо и колебания не затухают, то из (14) следует та“* = г2с“.

_ _ са

В результате получаем 1/”ш = 0 и /? = — г2 . Можно пока-

зать, что колебания Кг(^) находятся в фазе с колебаниями &(£), если 0, и в противофазе, если а”'п<0.

2. Рассмотрим распределение горизонтальных ускорений по вертикали при малых колебаниях парашюта, считая с“г = 0и*;=1. Тогда уравнение сид примет вид

МУЬ = слуд5а — схд5Ъ, т. е. ^М

где Уг= 1/6, 6 — 8 — а.

Из уравнения моментов получим:

7 а 5, ^2

Сх

V

V, = с% дЗч,

& = тад8Ьо

6—Ученые записки № 4

81

Дифференциальные операторы слева при

порциональны. Умножая в этом случае второе уравнение на Я, можем ввести переменную 1/г + /?08 так, что справа получим нуль. Таким образом, (Ут + /?08)|^оо -*• 0, если

Как и выше, координата R характеризует положение центра горизонтальных скоростей на оси конуса строп парашюта. При с“<С 0 колебания совершаются около точки, лежащей под куполом

парашюта (/?<0) и их называют маятниковыми. Аналогичное явление можно наблюдать при вертикальном падении стрелы, когда колебания совершаются относительно носа стрелы. Это следует из того, что с">0. Отметим, что предположения в первом и втором замечаниях различны, а результат одинаков.

3. Оценим влияние аэродинамического следа груза на устойчивость системы. Основное изменение, по-видимому, будет при этом внесено в аэродинамический момент mz(a)qSL. Известно, что существенной характеристикой следа на определенном удалении от тела является местное уменьшение скоростного напора. Уменьшение скоростного напора, вызванное грузом, будет с некоторым запаздыванием распространяться по направлению к куполу. Можно принять, что аэродинамический момент /И* (а), измеренный в отсутствие следа груза, возникает мгновенно с изменением угла атаки, а добавок, равный разности статического аэродинамического момента с учетом следа Мг2(а) и величины А1кг1 (а) + MR (а), зависит от угла атаки в момент £ —х3, где t8 = const. (Приближенно можно считать x3 = L/V%, где Vt<iV). Здесь Mr/i — добавочный момент от сил, действующих на груз. Полный момент Мг(а) равен Afzi[a(f)]-f-+ M*pi[а(£)] + kMz[a.(t — -с2)]. Тогда характеристическое уравнение системы при а = 0, хг = 1 и с*2 = 0 можно записать в виде, аналогичном (10):

где V., — скорость распространения возмущения в следе.

Чтобы вычислить при данном т3 значение при котором система теряет устойчивость (аналог критического коэффициента усиления в системах регулирования с обратной связью), положим Х = г2 и получим два уравнения с неизвестными Дт®, й:

(

X

X X

(Х + CV ~ -рг (Х + С*) ('М'ж 1 + е (17)

(18)

ГДе Tg =

решить аналитически. При этом для анализа удобно ввести параметр

Из уравнений (18) при Д/га* = О естественно следует условие (11). Замечая, что след падает в область купола, создающую при достаточно плоском куполе опрокидывающий момент, предположим, что в статике влияние следа дает Д/га*<0. Тогда физически ясно, что введение запаздывания в восстанавливающий момент /га2(а) ухудшает устойчивость. Эти явления особенно существенны, если в результате скоса потока за грузом положение следа в пространстве сильно зависит от угла атаки системы груз — парашют, что приводит к увеличению запаздывающей составляющей Д/га“. При больших амплитудах колебаний, когда след выходит за пределы купола, эффект запаздывания исчезает, демпфирование должно возрасти и возможно возникновение автоколебаний. При Д/п“>0 влияние следа может приводить к увеличению демпфирования.

Проведенный приближенный анализ движения парашюта основан на предположении, что известны адекватные аэродинамические характеристики системы в делом. На практике влияние высоты полета и веса груза на устойчивость движения более сложно, чем рассмотренное здесь, так как с высотой изменяется скорость установившегося снижения, структура потока, форма купола, а также присоединенная масса и радиус инерции системы.

Автор благодарен Ю. Г. Лимонаду и А. Г. Бюшгенсу за плодотворное обсуждение затронутых в статье вопросов.

1. Neustadt М., Ericksen, Guiteras J., Larrivee J. A parachute recovery system dynamic analysis. Journal Spacecraft and Rockets, v. 4, No. 3, 1967.

2. У дерма н Э. Г. Метод корневого годографа в теории ав* тематического управления. М., „Энергия*, 1963.

3. Ц я н ь С. С. Техническая кибернетика. М., Изд. иностр. лит.,

(19)

ЛИТЕРАТУРА

1956.

Рукопись поступила 301VII 1970 г