Динамическая интерактивная стабилизация переключательной системы кумара-сейдмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРАКТИВНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КУМАРА—СЕЙДМАНА

В. Феоктистова1, А. Матвеев2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирантка, horsa@yandex.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, almat1712@yahoo.com

В работе предложен динамический протокол управления гибкой производственной системой Кумара—Сейдмана, рассматриваемой в общей алгебраической форме, и доказано, что он порождает необходимый периодический процесс в качестве глобального аттрактора. Для обоснования сходимости ряд положений классической теории Фробениуса—Перрона обобщен на случай монотонных кусочно-аффинных нелинейных операторов.

Введение

Потоковая переключательная сеть является популярной моделью гибких производственных систем, особенно высокотехнологичных, коммуникационных и компьютерных сетей, процессов химической кинетики и др. [1]. Управление такими сетями основано на протоколах, т. е. правилах формирования очередности обслуживания, а также определения моментов переключений серверов и текущих скоростей их работы. Проблеме синтеза протоколов посвящена обширная литература (см. обзоры в [1, 2]). В основном она касается поиска расписаний, то есть временных программ действий, часто, оптимальных или субоптимальных, и, как правило, подразумевает, что условия функционирования статичны и известны. Даже при этих упрощающих предположениях такие оптимизационные задачи являются, за редким исключением, МР-трудными [3]; многие из предложенных рецептов основаны на эвристике. Относящиеся к жидкостным потоковым сетям результаты такого рода (см. обзоры в [4, 5]) в основном касаются сетей либо с одним сервером, либо с параллельными серверами, и асимптотической оптимизации.

Являясь фокусом существующей теории, временная программа не имеет средств адаптации к реальной изменчивой и неопределенной производственной обстановке. Результатом является констатируемый разрыв между теорией и практикой [6-8]. На его преодоление нацелено направление, посвященное динамическим интерактивным протоколам [9, 10]. В соответствии с ними решения принимаются в зависимости от текущих событий, то есть на основе принципа обратной связи. В число требований включается достижение цели для любых возможных и априорно неизвестных условий функционирования. Решение задачи синтеза оптимального динамического протокола известно лишь для нескольких элементарных сетей. Решение более простой задачи построения протокола, исключающего катастрофический рост очередей на обслуживание, в общем случае получено лишь недавно (см. [11], гл. 8). Предложенное решение неоптимально и опирается на намеренное принесение качества обслуживания в жертву устойчивости.

© В. Феоктистова, А. Матвеев, 2009

Общий подход к синтезу динамических протоколов управления жидкостными потоковыми сетями предложен в [12]. Он сводит проблему к задаче синтеза протокола, порождающего заданный периодический процесс в качестве глобального аттрактора. Если выбранный процесс оптимален или субоптимален, это гарантирует асимптотическую оптимальность или субоптимальность протокола. Ряд аргументов [12] как эмпирического [13, 14] так и теоретического [11] характера свидетельствуют в пользу того, что требование периодичности не является существенным ограничением.

В [12] предложен общий метод решения сформулированной задачи, основанный на явном построении и использовании функции ляпуновского типа. Его известные приложения касаются простейшей односерверной системы с двумя очередями [15] в общей (алгебраической) форме, системы Кумара—Сейдмана [16] с конкретными численными значениями параметров [17, 18], а также каскадов таких систем с заведомо слабейшим звеном, на котором по сути концентрируется оптимизация каскада. Однако типичное для рассматриваемых сетей «проклятие размерности» быстро трансформирует необходимое для реализации метода вычисление функции Ляпунова в трудновыполнимую задачу по мере увеличения числа серверов и буферов в сети.

Данная работа посвящена презентации альтернативного метода на материале популярной в затронутой области сети Кумара—Сейдмана [16]. Она была предложена как пример, демонстрирующий возможность динамической неустойчивости эвристически естественных протоколов в случае непараллельных циклических сетей, и традиционно используется в качестве тестовой модели. В отличие от [12], подход лежит в русле идеологии метода Пуанкаре [19] и характеризуется сравнительной простотой применения итоговых результатов. Последнее позволило рассмотреть общий случай системы с алгебраическими параметрами, в то время как в [17, 18] решение получено лишь для конкретных численных значений параметров.

В работе предложен динамический протокол управления системой Кумара— Сейдмана, рассматриваемой в общей алгебраической форме, и доказано, что он порождает необходимый периодический процесс в качестве глобального аттрактора. Тем самым результаты [17, 18] усилены и распространены на общий случай. Для обоснования сходимости ряд положений классической теории Фробениуса—Перрона обобщен на случай монотонных кусочно-аффинных нелинейных операторов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим производственную систему, состоящую из четырех буферов и двух серверов (рис. 1).

Рис. 1. Модель Кумара—Сейдмана.

Содержимое буферов называем работой. Работа прибывает в первый буфер с постоянной скоростью А > 0, затем последовательно обрабатывается сервером 1, дважды сервером 2, и наконец еще раз сервером 1, после чего покидает систему. В текущий

момент t сервер обслуживает только один буфер; переключение между буферами занимает Si—4, #4—i, #2—3, #3—2 > 0 единиц времени соответствено. Обслуживание

буфера i состоит в изъятии его содержимого Xi(t) со скоростью Uj(t) £ [0, Mi], где Mi > 0 задано.

Состояние системы в момент t описывается парой [x(t), q(t)], где x(t) = col [xi(t), x2(t), x3(t), x4(t)] £ R4,

q(t) = [qi(t),q2(t)] ,qi(t) £ {1, 4, ©} , q2(t) £ {2, 3, ©} . (1)

Здесь qi(t) равно либо номеру обслуживаемого сервером i буфера, либо «пустому» символу © в случае, когда сервер переключается.

Определение 1.1. Процессом назовем пару функций [ж(-),д(-)] со следующими свойствами:

1) для любого t справедливо (1),а смена значений qi(t) и q2 (t) следует циклическим правилам:

qi : ... —— 1 —— © —— 4 —— © —— 1 —— ...; q2 : ... —— 2 —— © —— 3 —— © —— 2 —— ...;

(2)

2) длительность пребывания в состоянии © при переключении i — © — j равна

Si——j ;

3) функции xi абсолютно непрерывны, причем для почти всех t

Xj(t) = Ui-i(t) - Ui(t) Vi = 1, ..., 4, где

л\ л ! = 0, если i = qi(t), q2(t) . .

u0(t) := A, Mi(t) < rr> , . , ЧД ЧД, для i > 1.

UW iW\ £ [0,Mi], если i £ {qi(t),q2(t)}

При t = 0 циклы из (2) могут начинаться в произвольной позиции.

Протоколом (политикой) переключения называется алгоритм, определяющий для каждого сервера скорость обслуживания текущего буфера и момент его прекращения. Такой алгоритм однозначно определяет процесс по начальному состоянию. Система называется стабилизируемой [1], если существует такая политика переключения, что на любом процессе общее количество работы (wip, т. е. «work in progress») w(t) =^2i xi(t) с течением времени остается ограниченным. Далее считаем выполненым известное необходимое и достаточное условие стабилизируемости [1]:

1 — M-iA — M-iA > 0, 1 — M-iA — y«-iA > 0. (3)

Работа посвящена построению протокола переключения, минимизирующего среднее количество работы за единицу времени, в предположениях, обобщающих предположения работы [20]. В [20] для системы с конкретными численными значениями параметров, удовлетворяющими соотношениям

#i—4 = #4—i = #2—3 = #3—2 = # > 0, (4)

Mi > М2, М3 > M4, (5)

Рис. 2. Оптимальный периодический процесс.

показано, что минимальное среднее количество работы Ііт ^ ги(і)Л достигается на

Т —— ^

единственном периодическом процессе указанного на рис. 2 типа, где все буферы обслуживаются на максимальной скорости и серые полосы соответствуют переключению одного из серверов.

В данной работе рассмотрена система в общей алгебраической форме, удовлетворяющая (4), (5).

Замечание 1. При выполнении (3) и (4) соотношения (5) равносильны существованию периодического процесса указанного на рис. 2 типа.

Действительно, неравенства Мі > М2 и Мз > М4 необходимы для корректности фаз 1+2 и 3+4 (см. рис. 2), соответственно, где X 2 = Мі — М2, X 4 = мз — М4 ив начале фаз Х2 =0 и Х4 =0. Достаточность условий (5) будет обоснована далее (см. теорему 1).

2. Протокол переключения и основной результат

Предлагается следующий динамический интерактивный протокол переключения.

1. Обслуживание буферов производится на максимальной скорости:

) — / Мі, если х > 0 (6)

1 = Мі (Хі) = \ 0, если хі = 0 • (6)

2. Переключение серверов, т. е. смена состояний д(£) = [#і(і), #2(і)] подчинена цик-

лическому правилу:

—> (©, ©) —> (1, 2) (©, 2) —> (4, 2) —> (4, ©) —>(4, 3) -I (©, ©) —> • (7)

'-----------------------------V-------------------'

р

3. Переход (а) совершается по истечении времени переключения £.

4. Переход (6) производится в момент опустошения первого буфера.

5. В течение фазы Р сервер 1 переключается из буфера 1 в 4 и затем обслуживает буфер 4. Сервер 2 вначале обслуживает буфер 2 до его опустошения и затем переключается в буфер 3. Переключение инициируется как только буфер 2 пуст в момент і, а буфер 4 будет пуст в момент і + £, т. е. в конце переключения.

6. Переход (с) производится в момент опустошения третьего буфера.

Замечание 2. Правила 1-6 однозначно определяют процесс по начальному состоянию х(0). (Для простоты считаем, что д(0) = (©, ©).) Для некоторых х(0) этап (4, 2) фазы Р может отсутствовать. Внутри этой фазы порядок следования переключений зависит от процесса.

Для формулировки основного результата воспользуемся следующим определением.

Определение 2.1 [11, гл. 2]. Пусть [ж'(^), ^'(^)] и [х"(£), д"(£)] —процессы в системе, управляемой протоколом 1-6, а {^'}°=1 и {^/}°=1 —отвечающие им последовательности моментов переключений из (7). Эти процессы сходятся друг к другу, если х^') — х"(£") —> 0 при I ^ то.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3), (4) и (5). Тогда протокол переключения 1-6 порождает единственный периодический процесс, причем к нему стремится любой другой процесс.

Этот периодический процесс изображен на рис. 2. Теорема 1 наряду с результатами [20] гарантирует оптимальность политики 1-6 по ассимптотическому критерию Ит ^ Г, т{Ь)Л. Доказательство Теоремы 1 изложено в §4. Необходимые для этого

Т —

общие результаты устанавливаются в §3.

3. Неподвижные точки монотонных операторов

Всюду далее неравенства х < у и х < у между векторами х, у € И.п понимаем покомпонентно.

Определение 3.1. Оператор Т : К+ = {х € И.п : х > 0} —> К+ назовем:

1) монотонным, если х, у € К+, х < у ^ Т(х) < Т(у);

2) кусочно-афинным, если существует разбиение К+ = и5=1 Sj, в котором каждое множество Sj имеет непустую внутренность и многогранно, т. е. описывется конечной системой линейных неравенств (как строгих, так и нестрогих), и Т^ — афинный оператор, т. е. Т(х) = Ajх + bj для х € Sj, где Aj € И.пхп, bj € И.п;

3) доминантным кусочно-афинным, если bj > 0 У?; и строго доминантным, если bj > 0 У?.

Следующая теорема является основным результатом параграфа.

Теорема 2. Если непрерывный, монотонный, строго доминантный, кусочно-афинный оператор Т : К+ —> К+ имеет неподвижную точку х* и такая точка

единственна, то любой процесс {х4} С К+ системы х4+1 = Т (х4) сходится к этой неподвижной точке: х4 —> х* при t ^ то.

Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству этой теоремы.

Лемма 1. Непрерывный кусочно-афинный оператор Т : К+ —> К+ доминантен в том и только том случае, если Т(0х) < 0Т(х) У0 > 1, х € К+, и строго доминантен, если Т (0х) < 0Т (х) У0 > 1, х € К+. В последнем случае найдётся такое Ь > 0, что

Т(0х) < 0Т(х) — (0 — 1)Ь У0 > 1, х € К+. (8)

Доказательство. Рассмотрим случай строго доминантного оператора, случай доминантного оператора разбирается аналогично.

Необходимость. Пусть х € К+, в > 1. Рассмотрим разбиение из п. 2 определения

3.1. Очевидно, что ему соответствует такое разбиение отрезка 1 = во <01 < в2 < ... < вк = в, что {г : г = вх, в € [в', в*+1]} С Sj(i) для V* = [0 : к — 1]. Тогда

/в \ в

Т(вх) = Т(вкх) = Т ( —^'—вк-1Х ) = вк-1Х + Ъ^к_ 1) =

\вй-1 / вк-1

= + Ьз(к-1)\ + (у1 ~ ~в^Г\) Ьз(-к~1'>

,к_ Пв^) + (1 - бда-ц - (|^-^) + (! - 9^7) ‘да-Ч

= »Г7 + ь«-2>} + (1 - Ьц*~» =

вк \ вк —1 г л л .7 1,(1 вк —1 \ т 1 , / 1 вк

{ [а№-2>9’.-» + Ьда-2)] + (! - 5^) **-ч } + (' - 5^7) Ьда-1)!

Ът-**)+{£;-£;) >да-в+ (,_&) ***-»•

л ^ ч-к-^^/ I I л р ( -7(к-2; I 1 - р

вк-2 \вк-1 вк-2 / \ вк-1

Продолжая аналогично, получим

Положим Ь = шш Ь' > 0, где минимум понимается покомпонентно, и т — число из

1<г<т

п. 2 определения 3.1, а неравенство следует из п. 3. Тогда

к-1 / в в \

Т(вх) < вТ(х) + ~^)Ь = вТ(х) + (1 - в)Ъ,

т.е. справедливо (8) и Т(вх) < вТ(х) Ув > 1, х € К+.

Достаточность. Предположим, что Т(вх) < вТ(х) Ув > 1, х € К+. Рассмотрим элемент разбиения Sj из п. 2 определения 3.1 и соответствующие А',Ь'. Выберем х € = 0. Тогда для вх € Sj, в > 1, в « 1 : Т(вх) = А'вх + Ь < в(А*х + ^) ^

(в — 1)Ь' > 0 ^ Ь' > 0. П

Лемма 2. Непрерывный кусочно-афинный оператор Т : К+ —> К+ монотонен

тогда и только тогда, когда компоненты матрицы А^- из 2(Ь) определения 3.1 неотрицательны для ? = 1, . .., т.

Доказательство. Необходимость очевидна. Для обоснования достаточности рассмотрим х, у € К+, х < у. В силу п. 2 определения 3.1 существует разбиение 0 = в0 < в1 < . .. < вк = 1, для которого {г : г = г(в) = (1 — в)х + ву, в € [в', в*+1]} С для V* = 0,..., к — 1. В пределах отдельного множества Sj оператор Т(х) = А^-х+Ь^-монотонен. Поэтому, г(в') < г(в*+1) ; г(в'), г(в*+1) € Sj(i) ^ Т(г(в')) < Т(г(в*+1)) V*.

Следовательно, Т(х) = Т[г(0)] = Т[г(в0)] < Т[г(вк)] = Т[г(1)] = Т(у).

Лемма 3. Пусть Т : К+ —> К+ непрерывный, монотонный оператор. Симво-

лом {х4(а)}^=о обозначим процесс динамической системы х4+1 = Т(х4) с начальным состоянием хо = а. Тогда

1) а1 < а2 ^ х4(а1) < х4(а2) V = 0,1, 2, .. .;

2) ± [х1(а) — хо(а)] < 0 ^ ± [хь+1(а) — хь(а)] < 0 V > 0;

3) если хь(а) —у х при £ у то, то Т(х) = х;

4) если к тому же оператор Т кусочно-афинен, строго доминантен и имеет неподвижную точку х*, то х1(вх*) < хо(вх*) для всех в > 1.

Доказательство .

1) очевидно;

3) вытекает из непрерывности оператора Т;

2) ^ 1);

(9)

4) в силу леммы 1, в > 1 ^ х1(вх*) = Т(вх*) < вТ(х*) — (в — 1)Ь = вх* — (в — 1)Ь < вх* = хо(вх*).

Доказательство теоремы 2. В силу пп. 1 и 2 леммы 3 0 < х*, 0 = хо(0) <

х1(0) ^ хь(0) < хь+1(0) < хь+1(х*) = х*, т.е. существует Иш хь(0), причем в силу п. 3

ь—

леммы 3 и условий теоремы 2 Иш хь(0) = х*. В силу пп. 2 и 4 леммы 3 хь+1(вх*) <

ь—

хь(вх*) V = 0,1,..., в > 1. Тогда, рассуждая как в предыдущем случае, получаем,

что Иш хь(вх*) = х*. ь—

Рассматривая элемент Sj Э х* разбиения из п. 2 определения 3.1, имеем х* =

Т(х*) = А^-х* + Ь^', где Ь^' > 0 в силу п. 3 определения 3.1 и А^-х* > 0 по лемме 2.

Значит, х* > Ь^' > 0, и для любого х € К+ существует в > 1, для которого 0 < х < вх*.

Тогда, в силу п. 1 леммы 3 хь(0) < хь(х) < хь(вх*). Так как крайние члены сходятся к

х* при £ у то, убеждаемся что Иш хь(х) = х*. П

ь—

Замечание 3. Из доказательства вытекает,что в формулировке теоремы 2 требование строгой доминантности можно заменить доминантностью (нестрогой) с дополнительным условием х* > 0.

4. Доказательство теоремы 1

Оператором монодромии М назовем преобразование, сопоставляющее вектору х = со1(х1, х2, хз, х4) содержимых х* буферов в начале цикла аналогичный вектор в конце этого цикла. Очевидно

М = Т43 о Тр о Т12 о Т010, (9)

где Т43 преобразует значение х в начале фазы (4, 3) из (7) в значение х в конце этой фазы, а остальные операторы определены аналогично.

Интерес к оператору монодромии объясняет следующая лемма.

Лемма 4. Пусть Т = [х/(£), а[(£)] и Т// = [х "(£), ?"(£)] — процессы в системе, управляемой политикой 1-6. Эти процессы сходятся друг к другу Т у Т// в том и только том случае, когда

Мях/(0) — Мях//(0) —у 0 при в у то. (10)

Кроме того, если Мх/(0) = х /(0), то процесс [х/(£), а[(£)] периодический.

Доказательство. Рассмотрим последовательности {£'}°=1 и {£"}'=1 моментов переключений из (7), отвечающих Т и Т / соответственно. Очевидно

х(£6з+1) Т0,0х(£6з), х(^6в+5) ТР х(£6з+2) 01 (11)

х(^в8+2) = Т^х^+О, х(£68+6) = Т4,зх(£68+5), в = , ,..., ( )

для любого процесса [х(£),д(£)] с последовательностью моментов переключения {£'}. Значит,

(*6(8+1))= Мх(£68), х^) = М ях(0) Ув.

Если Т у Т" , то по определению 2.1 х /(£68) — х//(^6/я) Обратно, пусть верно (10). Тогда в силу (11) и (12)

°/(£6я + к) — х //(£6/я + к) ------------------------------------------------------------------------------у 0 в у ^ к = 0, 1, 2, 5.

(12)

(13)

В силу п. 5 политики переключения

£6в+3 £6й+2 + 6 £6й+4 £6й+2 + М2 х2(^6в + 2).

/ А6 \

шax {—х2(£6я+2); —М2^} шш {^2^; х2 (^6в+2 )}

0

х(£6в+3) х(^6в+2 ) +

\

/

х(^6в+4) х(^6в+2) +

— х2 (>6.3+2)

—х2(^6я+2) х2 (^6я+2)

. Х2^в3 + 2)

-6

/

(14)

Отсюда следует, что (13) верно и для к = 3, 4. Тогда Т у Т// по определению 2.1.

Если Мх/(0) = х/(0), то х/(£') = х/(£'+6) в силу (12). Из описания 1-6 протокола и (14) следует, что момент ^6я+к и состояние х/>6я+к) однозначно определяют момент ^6в+к/ и функцию х /(£) на отрезке [^6я+к, £6я+к'], где к / = 3,4, 5 для к = 2 и к / = к +1 для к = 0, 1, 5. Поэтому из периодичности {х / (£')} следует, что процесс Т периодичен с периодом £6 — *о. П

Данная лемма сводит анализ к изучению ассимптотического поведения системы

хк+1 = Мхк, к = 0, 1, .. ..

Лемма 5. Справедливо соотношение

(15)

(

\

Со1(х1, х2, хз, х4 )

м

(ж! + А(5); ^} + 5 +-^ ж2 + хз + ^гх(х1 + А(5)

МЗ~М4

М3

х2 + хз + ^гл(х1 + А(5)

(16)

/

Доказательство. Элементарные вычисления наряду с определением протокола показывают, что

х1

х2

хз

х4

( х1 + А6 \

х2 хз

х4

х1 х2 хз

х4

/

Т1,2

0

М1~М2 .

\

Ж2 + Х1

хз +

М1 -^ х4

х1

х

А

0,0

I Жі \

Х2 жз V Ж4 у

Т4 •

\ Ж4 +

+ —:

Мз

Ж2

0

-3-М

Мз

\ Жі

Ж2 Тр

5 Жз

/ Ж4

жі + А

піах/^;^]- +(5

^ М2 ’ М4 ]

0

Жз + Ж2 0

V

Отсюда в силу (9) следует (16). П

В связи с присутствием в (16) двух нулей, предельные свойства системы (15) те же, что у следующей системы меньшей размерности:

Т

Жі

Ж4

тах

(т-\)ц2

жй+і = Тжй Є И2, где (жі + А(5); +(5

+ А

Мз

(жі + А£)

V

МЗ~М4

М3

/

Из приведенной формулы немедленнно вытекает следующий простой факт.

Лемма 6. Оператор Т непрерывен, монотонен, строго доминантен и кусочно-афинен.

Лемма 7. Оператор Т имеет, причём единственную, неподвижную точку. Доказательство. Очевидно, оператор Т имеет две области афинности (далее ж Є И2)

#1 := { х : —^——гг—(хі + Х6) < — I , 52 := і ж : —^> ~ } , (17)

(Мі — А)М2 М4 і І (Мі — А)М2 М4.

в которых он задан следующими уравнениями соответственно:

Т

Т

Жі

Ж4

Жі

Ж4

Амі

_ I Мз(М1-А) М4 \

(МЗ-М4)М1 0 І

Мз (мі — А) /

Хцз(ц1-ц2) + ^ИіИ2 М2Мз(М1 -А) (Мз—М4)М1 Мз (мі —А)

Жі

Ж4

0

м

Жі

Ж4

А/хі —А^з+^і^з мз (/XI—Л) (мз— М4)Мі

мз(мі—А)

(18)

+

\2д(а>\Та>2) + + <5 А

(Мі-А)М2 Мз(Мі-А)

д^ (МЗ-М4)М1

Мз (мі —А)

Поиск неподвижных точек произведем раздельно в областях $і и $2.

1. Область $і содержит не более одной неподвижной точки, так как уравнение Між + Ьі = ж, как легко убедиться, имеет единственное решение:

Ам4 — МіМ4 — Амі , г (3)„ XI = -------;-;------------\д > О,

Ж4

2міМ4(М4 - мз) Л(5 (3^5) 0

Ам4 + Амі — МіМ4 Мз(Ам4 + Амі — МіМ4)

Попадание найденного решения в область $і равносильно неравенству

М4(мі — М2) . М4А^(мі — М2)

Ж4 > ---- -----------------------+

М2(Мі — А)

М2(Мі — А)

т. е.

2міМ4(М4 — Мз) Л г . М4(Мі — М2) Ам4 — МіМ4 — Амі , г , М4(Мі — М2) “АО > ----------------------;-----— -------;------------------АЙ +

(19)

Мз(Ам4 + Амі — МіМ4)

М2(Мі — А) Ам4 + Амі — МіМ4

М2 (Мі — А)

А

0

Умножением на общий знаменатель M2M3(Mi — A)(Am4 + Ami — M1M4) — 0, приводим его к виду

0 > M2(Mi — A)2miM4(M4 — M3) — M3M4(Mi — M2)(Am4 — MiM4 — Ami) — M3(AM4 + Ami — MiM4) •M4(Mi — M2) = 2MiM2M4(Mi — A)(M4 — M3) — 2M3M4(Mi — M2)(AM4 — MiM4) =

= 2M4(Mi — A) [MiM2(M4 — M3) + M3M4(Mi — M2)] •

Из условия Mi > A следует, что Si содержит неподвижную точку в том и только том случае, если

MiM2(M4 — M3) + M3M4(Mi — M2) — 0 или M2 i + Мз i — Mi i + M4 i. (20)

2. Область S2. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что, во-первых, область S2 также содержит единственного кандидата на неподвижную точку:

2AM2M3 — AmiM3 — AmiM2 — MiM2M3 ЛГ лг(М3 — M4)Mi 2Am2M3 — 2MiM2M3

xi =-----------------------------------лд, Х4 = лд----т-----—---------------------------,

AMiM3 + AmiM2 — MiM2M3 M3 (Mi — A) AmiM3 + AmiM2 — MiM2M3

(21)

и, во-вторых, найденное решение принадлежит этой области в том и только том случае, если

MiM2(M4 — M3) + M3M4(Mi — M2) > 0 или M2 i + Мз i > M1 i + Мз i. (22)

Так как условия (20) и (22) взаимодополнительны, то неподвижная точка существует в любом случае, причем при m-1 + мЗ1 — МЗ1 — М-1 =0 она единственна. Покажем,

что она единственна и при м-1 + M—1 — Mi1 — M—1 = 0.

Неравенства (20) и (22) были получены, как эквивалентные переформулировки неравенств из (17), означающих попадание точек (19) и (21) в области Si и S2 соответственно. Как отмечалось, (20) и (22) выполнены со знаком =, а, значит, и неравенства из (17) выполнены со знаком =, т. е. обе точки (19) и (21) лежат на границе областей Si и S2, совпадающей с их пересечением. Но тогда обе неподвижные точки (19) и (21) оператора T лежат в области Si. И, следовательно, равны по доказанному ранее. Таким образом, мы показали, что неподвижная точка единственна. П

Доказательство теоремы 1. Теорема 1 следует из теоремы 2 и лемм 5, 6 и 7. П

Литература

1. Baker K. Introduction to Sequencing and Scheduling. New York: Wiley, 1974.

2. Pinedo M. Scheduling Theory: Algorithms and Systems. New York: Prentice Hall, 2002. OPTedition = Second

3. Lenstra J. K., Rinnooy Kan A. H. G., Brucker P. Complexity of machine scheduling problems // Ann. Discrete Math. 1977. N1. P. 343-362.

4. Iravani S. M. R., Teo C. P. Asymptotically optimal schedules for single-server flowshop problems with setup costs and times // Oper. Res. Lett. 2005. Vol. 33. P. 798-813.

5. Lan W.-M., Olsen T.L. Multiproduct Systems with both Setup Times and Costs: Fluid Bounds and Schedules // Operations Research. 2006. Vol. 54. N 3. P. 505-525.

6. MacCarthy B. L., Liu J. Addressing the gap in scheduling research: a review of optimization and heuristic methods in production scheduling // International Journal of Production Research. 1993. Vol. 31. N 1. P. 59-79.

7. Shukla C. S., Chen F. F. The state of art in intelligent real-time FMS control: a comprehensive survey // Journal of Intelligent Manufacturing. 1996. Vol. 7. P. 441-455.

8. Cowling P. I., Johansson M. Using real-time information for effective dynamic scheduling // European Journal of Operational Research. 2002. Vol. 139. N 2. P. 230-244.

9. Aytug H., Lawley M. A., McKay K., Mohan S., Uzsoy R. Execting production schedules in the face of uncertainties: A review and some future directions // European Journal of Operational Research. 2005. Vol. 161. N1. P. 86-110.

10. Ouelhadj D., Petrovic S. A survey of dynamic scheduling in manufacturing systems // Journal of Scheduling. Published online. 2008. October. P. 1099-1425.

11. Matveev A. S., Savkin A. V. Qualitative Theory of Hybrid Dynamical Systems. Boston: Birkhauser, 2000.

12. Lefeber E., Rooda J. E. Controller design of switched linear systems with setups. Physica A. 2006. April. P. 363(1).

13. Graves S. A review of production scheduling. Operat. Res. 1981. July-Aug. Vol. 29. P. 646675.

14. Matveev A. S., Savkin A. V. Limit cycles in a class of hybrid dynamical systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems. 2002. Vol. 15. P. 120-140.

15. Eekelen J. A. W. M. van Modelling and Control of Discrete Event Manufacturing Flow Lines // Ph.D.Thesis. Technical University of Eindhoven. Eindhoven, the Netherlands. 2007.

16. Kumar P. R., Seidman T. I. Dynamic Instabilities and stabilization methods in distributed real-time scheduling of manufacturing systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol. 35. N 3. P. 289-298.

17. Eekelen J.A. W.M. van, Lefeber E., Rooda J. E. State feedback control of switching servers with setups // Eindhoven University of Technology, Systems Engineering Group, Department of Mechanical Engineering, Eindhoven, The Netherlands. SE Report 2006-03. 2006. http://se.wtb.tue.nl/sereports

18. Lefeber E., Rooda J. E. Controller design for flow networks of switched servers with setup times: the Kumar-Seidman case as an illustrative example // Asian Journal of Control. 2008. Vol. 15. P. 55-66.

19. Малкин И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Го-стехиздат, 1949.

20. Lefeber Erjen, Rooda J. E. Controller design for a reentrant network of servers with setup times: the Kumar—Seidman case // IEEE Conference on Decision and Control. 2006.

Статья поступила в редакцию 26 февраля 2009 г.