CC BY
17
ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРАКТИВНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ПОТОКОВЫХ СИСТЕМ С РАЗДЕЛЕНИЕМ ПРОЦЕССОРА
B. Н. Феоктистова
C.-Петербургский государственный университет, аспирант, horsa@yandex.ru
Предложен интерактивный протокол управления переключательной потоковой системой с разделением процессора, и доказано, что он порождает требуемый периодический процесс в качестве глобального аттрактора.
1. Введение. Потоковая переключательная сеть — популярная модель высокотехнологичных гибких производственных, коммуникационных, компьютерных и др. сетей [1]. Управление ими основано на протоколах, т. е. правилах формирования очередности обслуживания и определения моментов переключений серверов и скоростей их работы. Обширная литература (см. обзор в [1]), посвященная синтезу протоколов, в основном касается расписаний, то есть временных программ действий, часто, оптимальных или субоптимальных, и как правило, подразумевает статичные и известные условия функционирования сети. Даже при этих упрощающих предположениях такие оптимизационные задачи обычно оказываются МР-трудными [1]; многие из известных рецептов основаны на эвристике.
Будучи фокусом теории, расписание не имеет средств адаптации к реальной изменчивой обстановке. Результатом является констатируемый разрыв между теорией и практикой [2, 3]. На его преодоление нацелено направление, посвященное интерактивным протоколам, формирующим решения, исходя из текущих событий, и приводящим к цели в любых возможных и заранее неизвестных условиях. Известные решения задачи синтеза оптимального интерактивного протокола касаются лишь элементарных сетей.
В статье дано решение задачи синтеза интерактивного протокола оптимального управления общей односерверной сетью с разделением ресурсов сервера. Начиная с
[4], подобные сети служат популярной моделью вэб-серверов и других сетей, в которых основным методом управления является переключение сервера между потоками
[5]. Показано, что оптимальный процесс в такой системе принадлежит специальному классу. Для любого циклического процесса из этого класса, синтезирован протокол управления, порождающий этот процесс в качестве глобального аттрактора. Последнее гарантирует, что после затухания переходных процессов качество обслуживания примерно то же, что для оптимальной программы. Помимо самостоятельного значения, работа иллюстрирует общую теорию синтеза интерактивных протоколов, предложенную в [6-8].
2. Потоковая система с разделением процессора. Система состоит из N буферов и одного сервера (см. рис. 1, а). Содержимое буферов называем работой и интерпретируем как жидкость. Работа постоянно поступает в п-й буфер со скоростью Ап > 0 и после обработки сервером покидает систему. Сервер имеет конечное
© В. Н. Феоктистова, 2011
число рабочих режимов (мод) т Є М. В моде т он одновременно обслуживает заданный набор Ат С [1 : N] буферов, извлекая содержимое хп(Ь) буфера п Є Ат со скоростью пп(Ь) Є [0;^п|т], где ^п|т > 0 задано. Переключение между модами т' ^ т", т' = т" требует 6т/^тп > 0 секунд. Множества Ат необязательно дизъюнктны^ тЄм Ат = [1 : N]. Скорости и* (і) обслуживания, а также момент отключения текущей моды и следующая за ней мода определяются алгоритмом, именуемым протоколом управления.
Рис. 1.
Примером такой системы служит перекресток с поворотом направо (см. рис. 1, б), где использована жидкостная аппроксимация транспортного потока, N =12 и буферы отвечают очередям на светофоре.
Состояние системы описывается парой (X, д), где X = (хп)^=1 и д € М и {©}, причем д = т € М означает работу сервера в моде т, а д = © — его переключение. Процесс в системе описывается парой заданных на общем интервале функций [X(•), д(-)], где д(-) кусочно постоянна, чередует значения из М и {©} и между т/,т// € М поддерживает © в течение 6т/^тп сек., а X(•) абсолютно непрерывна и для любого буфера п € [1 : N]
д(£) € М Л п € Ад(4)
= т € М Л п € Ат '
(2.1)
Протокол переключения —это алгоритм выбора управлений ип(£) = Мп\Ь, Э(£)] и д(£ + 0) = Q[t, Э(£)] по предыстории процесса Э(£) := [X(•)|[о,е]; дО)|[0,4-0]] . Такой протокол однозначно определяет процесс по начальному состоянию. Его качество обычно характеризуют величиной суммарной очереди и>(£) = ^п хп (£) [1, 4]. Ее минимизация — МР-трудная задача уже в простейших случаях и при заданных начальных условиях [1]. Более сложная задача — оптимизация протокола — требует обеспечения минимума при любых начальных условиях [3]. В [9] предложен общий подход к ее решению, состоящий в декомпозиции проблемы на 1 поиск оптимального периодического процесса п0 и 2 синтез протокола, обеспечивающего сходимость всех процессов к п0. Далее предложено решение задачи 2 для процесса п0, маргинального в смысле следующего определения.
Определение 2.1. Процесс назовем маргинальным, если в любой моде д(£) = т, £ € \Ь-, £+] сервер обслуживает каждый буфер п € Ат вначале с ип(£) = ^п\т,Ь € \Ь-,Ьп], а в конце —с ип(£) = 0,£ € (£",£+] с возможным средним отрезком, где буфер пуст.
Хп(і) > °, іпСО = Ап - Пп(і), где «пф { є °о, е^ли ^
Эти отрезки могут вырождаться = £+ V £п = £—V, ^п = £"; средний из них £п < £"
возможен только при Лп < ^п|т, на нем ип(£) = Ап. Следующая лемма показывает, что ограничение поля зрения маргинальными процессами не приводит к потере оптимума.
Лемма 2.1. Для любого периодического процесса п = [X(-),д(-)] найдется маргинальный периодический процесс п^ = [X^(^),д^(^)] с лучшим качеством обслуживания хп(£) ^ хп(£) У£, п, для которого любой буфер опустошается хотя бы раз за период.
Доказательство. Очевидно, можно считать, что 0 и Т (период процесса п) — точки разрыва д(-) и д(£) = © У£ > 0,£ « 0. Разобъем 0 = £0 < ^ < ... < £2к-1 < £2к период на активные д(£) = т; € М У£ € (^2г, ^2^+1] и переключательные д(£) = © У£ € (^2г+1, ^2г] участки, и выберем д^) = д(-). При £ € 2; := (^2г, ^2г+1 ] и п € Кт^ в силу
(2.1) имеем
хп [£] — хп [£2;] = / [Ап — ип(в)] ^ € [(£ — £2;)(Лп — Мп|т); (£ — £2;)Лп] . (2.2)
М2г
Полагая £ := ^2»+1, £; := ^2;+1 - £2;, Ап := хп^2;+1] - хп [£2;], убеждаемся, что
п ■ [ [ хп]ф2г} п) — Д"
т/ := тт < тах <----------—; 0 1 •
\
Мп|т Лп ) Мп|т
в? = А?-(\ -Ыт)п + ^ ^ ^
Лп
Поэтому £п := £2; + т;п ^ £" := £2;+1 — $"; используем £п,£" как указано в определении 2.1 для построения ип(£), £ € 2;. Тогда и^-) переводит буфер п из уровня хп(£2;) в хп(^2;+1), при этом хп(£) ^ 0 и верны все условия из определения 2.1. Поэтому процесс п^ с хп(0) := хп(0) Уп, д^), и^) маргинален, Т-периодичен и хп(£;) = хп(£;) Уп, *. Значит хп(£) = хп(£) при £ € ^2;—1,^2;] для всех п и при £ € 2; для п € Ат. Для обслуживаемого буфера хп(£) ^ хп(£) при £ € [^2;,^п] в силу (2.2), при £ € [£",^2+1 ], так как хп(£) ^ хп(^2;+1) — Лп(^2;+1 — £), а при £ € [£п, £"], так как тогда хп(£) = 0. Наконец, если >сп := т1пяе[о,т] хп(в) > 0) улучшаем процесс, полагая х^(£) := ж^(£) — ип. □ Процесс назовем интенсивным, если он маргинален и в любой моде д(£) = т, £ € [£—,£+] буфера п € А]„ := {п € Ат : ^п|т ^ Лп} обслуживаются на максимальной скорости ип(£) = ^п|т,£ € [£—,£+]. В случае, когда А^ := Ат \ А]„ = Ат, лемму 2.1 можно дополнить фактом, который будет обоснован в следующем разделе.
Лемма 2.2. Для любого периодического процесса п = [X(-),д(-)] найдется интенсивный периодический процесс п^ = [X^(-),д^(-)] лучшего качества вир4 ^п х^£) ^ Цир^ У~]п хп(£), для которого любой буфер опустошается хотя бы раз за период.
3. Глобальная стабилизация процесса. Леммы 2.1, 2.2 позволяют ограничиться рассмотрением интенсивного периодического процесса п0 = [X°(-),д°(•)]. Введем следующие величины, определяемые по п0.
1) т1,..., т^ —цепочка мод, пробегаемая сервером в течение одного периода;
2) [t0, s0] —интервал, в течение которого поддерживается мода m;; := s0 — t0;
3) tn;,t" ;,n G Ami —моменты времени, связанные определением 2.1 с модой m;;
4) 0П := хП(tn i)/xn(t0) G [0,1],n G A^ — отношение минимального и начального уровней хп;
5) тП=Л ; := t" ; — tn j, n G Ami —время, в течение которого буфер n пуст в моде m;;
6) тП=0 ; := sn — t" ;, n G Ami — время работы с n на скорости un = 0 в моде m;.
Предлагается следующий протокол управления системой. Сервер пробегает циклически повторяемую последовательность мод из 1). В моде m; скорость un = Mn|mi для n G A^. Мода длится сек., если A^ = 0. Если A^ = 0, ее длительность и un, n G A^ выбираем по правилам: un := ^n|mi до момента, когда уровень буфера опускается до 0”х «уровень вначале моды»; затем un := An в течение ; сек.; потом un := 0 в течение тЦ=0 ; сек. В момент завершения предыдущей задачи сервер записывает end(n) = 1 и далее поддерживает уровень буфера неизменным, т. е. un := An. Мода завершается, как только end(n) = 1 Vn g Am ; при этом end(n) := 0.
Теорема 3.1. Предложенный протокол порождает априорно заданный процесс п0 и к нему стремится (в смысле, определенном в [6, гл. 3]) любой процесс в данной системе.
Для обоснования теоремы 3.1 напомним, что оператор T : K+ = {х G Rn :
х ^ 0} ^ K+ называется кусочно-афинным монотонным (КАМ) [7], если х ^ у ^ T(х) ^ T(у) и есть разбиение K+ = Uj=i Sj, в котором Sj многогранно и T(х) = Ajх + bj Ух G Sj, Vj, где Aj G Rnxn, bj G Rn. Если bj ^ 0 (bj > 0) Vj, T называется (строго) доминантным.
Теорема 3.2 (7,8). Если непрерывный КАМ-оператор T имеет неподвижную точку T[х*] = х* и некоторая его итерация Tm строго доминантна, неподвижная точка единственна и притягивает все траектории системы х4+1 = T[х4]^ = 0,1, .. .
Доказательство теоремы 3.1. Фаза —период работы системы с q(t) = const. Легко установить формулы для преобразования вектора состояния X = (хп)^=1 в
Следовательно, эти преобразования — доминантные КАМН-операторы, причем Тт строго доминантен. Эти свойства очевидно сохраняются при композиции операторов в порядке следования фаз в течение периода, начиная с шх. Так как последний из операторов отвечает переключательной фазе, результат композиции Т строго доминантен. Так как п0 порождается предложенным протоколом, Т[X0(0)] = X0(0).
т:
— в противном случае
Поэтому по теореме 3.2 все траектории, порождаемые рекурсией Xv +i = T [Xt], стремятся к X0(0). Отсюда стандартными рассуждениями [6, гл. 2] выводится сходимость процессов. □
Доказательство леммы 2.2. Ввиду леммы 2.1, процесс п можно считать маргинальным. Доказательство теоремы 3.1 показывает, что отвечающий п протокол порождает периодический процесс п^, который притягивает все процессы. В силу протокола п^ интенсивен. Пусть п* — процесс, порожденный протоколом при начальных данных, снятых с п, а tk и t* — моменты k-го скачка q(-) и q*(-), соответственно. Индукцией по к убеждаемся, что хп(^) ^ хП^ ) Vn, к, и используем сходимость процесса п* к п^.
Литература
1. Pinedo M. Scheduling Theory: Algorithms and Systems. New York: Prentice Hall, third edition, 2008.
2. Aytug H., Lawley M. A., McKay K., Mohan S. Executing production schedules in the face of uncertainties: A review and some future directions // Europ. J. of Oper. Research. Vol. 161. N1. P. 86-110. 2005.
3. Ouelhadj D., Petrovic S. A survey of dynamic scheduling in manufacturing systems // Journal of Scheduling. Vol. 161. P. 1099-1125. 2008 (Published online).
4. Kleinrock L. Queueing Systems. Vol. 2. New York: John Wiley and Sons, 1976.
5. Яшков С. Ф., Яшкова А. С. Разделение процессора: обзор математической теории // Информационные процессы. Т. 7. №3. С. 248-322. 2007.
6. Matveev A. S., Savkin A. V. Qualitative Theory of Hybrid Dynamical Systems. Birk., Boston, 2000.
7. Feoktistova V., Matveev A. Generation of production cycles in multiple server systems with setup times: The case study // 13th IFAC Symp. on Inf. Cont. Problems in Manuf. P. 568-573. 2009.
8. Feoktistova V., Matveev A., Lefeber E., Rooda J. E. Designs of optimal switching feedback decentralized control policies for re-entrant queueing networks: A case study // 10th IFAC Workshop on Intelligent Manufacturing Systems. P. 187-193. 2010.
9. Lefeber E., Rooda J. E. Controller design of switched linear systems with setups // Phys-ica A. Vol. 363. N1. P. 48-61. 2006.
Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.
