CC BY
54
Том X Ь
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 09
№ 4
УДК 532.527
ДИФФУЗИЯ ВИХРЕЙ НА ДВУМЕРНОЙ СФЕРЕ
М. А. БРУТЯН
В рамках уравнений гидродинамики на двумерной сфере Я2 найдено точное аналитическое решение задачи о диффузии двух вихрей, находящихся в диаметрально противоположных точках сферы. Показано, что на больших временах I полученное решение не затухает, как классическое решение Озеена задачи о диффузии вихревой нити на плоскости Е2, а выходит на твердотельное вращение.
Ключевые слова: геофизическая гидродинамика, диффузия вихрей, точные решения.
Течение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое толщиной к на шаре радиуса а можно моделировать с помощью упрощенных уравнений. В самом деле, для описания крупномасштабных движений, характерные размеры которых намного превосходят к, разумно использовать осредненные по толщине слоя гидродинамические переменные. Таким образом, мы приходим
где ¥ — функция тока, О — завихренность, V — кинематический коэффициент вязкости, а через [¥, П] обозначен якобиан, равный
Здесь и далее используются сферические координаты (г, 0, ф). В этих координатах функция тока и завихренность связаны соотношением:
Уравнение (1) в геофизической гидродинамике называется также уравнением эволюции вихря и используется при изучении атмосферных процессов, для которых влияние волн Россби, вращения Земли и трения о поверхность являются незначительными. Для вывода этого уравнения достаточно записать уравнения Навье — Стокса в сферической системе координат, а затем рассматривать лишь течения, у которых отсутствует радиальная компонента скорости и для которых все величины зависят лишь от горизонтальных координат и не зависят от радиальной. Более изящный вывод уравнения (1), основанный на инвариантных свойствах сферических функций приведен в работе [1].
к уравнениям движения жидкости на двумерной сфере Я2, которые удобно представить в форме Гельмгольца:
(1)
[ ОІ- 1 (д^дл_д¥дл"
, а2 8Ш 0 ч д0 дф дф д0 ,
(2)
(3)
Хорошо известно, что в гидродинамике весьма плодотворным оказался эвристический метод замены двумерного континуального распределения завихренности дискретным. Поэтому далее будем рассматривать диффузию системы дискретных вихрей на основе уравнения (1). В настоящей статье мы не рассматриваем проблему возникновения завихренности на сфере, которая имеет самостоятельное значение. Заметим лишь, что в атмосфере основным источником возникновения циркуляционных движений является солнечная энергия.
Из классической гидродинамики известно, что интеграл от завихренности по всей области течения постоянен [2 — 4]. В геофизической гидродинамике, которая изучает течения на двумерной сфере, суммарная завихренность также является инвариантом, но значение постоянной оказывается равным нулю. Приоритет в разработке основ теории вихревых движений на сфере и доказательстве этого утверждения принадлежит И. С. Громеке (см. оригинальную работу [6], а также собрание сочинений [7] и статью [8], в которой дана соответствующая историческая справка). С помощью современных топологических методов исследования можно доказать, что интеграл от завихренности оказывается равным нулю по любой замкнутой поверхности (замкнутым по определению называется компактное многообразие без края) [5].
Из соотношения, которое с полным правом можно назвать необходимым условием Громеки (условием существования вихревых движений на сфере), имеем
где Гг- — интенсивность вихрей, а N — их число. Из (4) немедленно заключаем, что полное число вихрей на сфере обязано быть не меньше двух. Однако уже в случае двух вихрей мы приходим, вероятно, к неразрешимой аналитическими методами задаче. Действительно, аналогичная
Известно, однако, асимптотическое решение задачи о диффузии на плоскости двух вихрей противоположной интенсивности ±Г0. В работе [9] такое решение построено при больших числах Рейнольдса Яе =Г0/V^ 1. Дано подробное обсуждение механизма диссипации вихрей и сравнение с численным решением уравнений Навье — Стокса.
Любопытно, что в случае диффузии двух вихрей на двумерной сфере наличие инварианта (4) позволяет в одном частном случае построить точное решение уравнений Гельмгольца (1). Пусть вихри, назовем их «циклон» и «антициклон», в начальный момент находятся в диаметрально противоположных точках сферы (0, ф) и ( — 0, п + ф), и вся завихренность сосредоточена
в них. Тогда нелинейные конвективные члены [¥, П] в (1), как следует из (2) и (3), обращаются в нуль. В результате приходим к задаче Коши для линейного параболического уравнения
дующий момент времени. Для определенности рассмотрим вначале простейший случай, когда циклон и антициклон расположены соответственно на северном (О = 0) и южном (О = п) полюсах. Решение уравнения (З) ищем в виде ряда по полиномам Лежандра Pn (cos О):
N
(4)
задача о диффузии двух вихрей на Е2, по-видимому, не имеет точного аналитического решения.
(З)
с начальными условиями
Здесь 5(0, ф) — дельта функция. Требуется определить зависимость П = П(t) в любой сле-
(б)
Из (5) и (б) находим:
^=-4-(n-i)(n+2 )л
at a
При выводе (7) использовалось известное тождество для сферических функций:
Таким образом, из (б) и (7) получаем:
Q(t) = Ё An eXP -(n - 1)(n + 2)“Т Pn (cos0).
(S)
0
a
Коэффициенты An определяем из начальных условий:
An = jP^2 (cos 0)sin 0 jQ0 (0)Pn (cos 0)sin 0d0.
(9)
0
0
В результате окончательно находим:
n(t)=—2 Ё(4n + 3)exp -2n(2n + 3)-^2- P2n+1 (cos0). a 0 L a J
a 0
a
(10)
В геофизической гидродинамике известно [10], что эквивалентным представлением точеч-
Аналогично получается аналитическое решение более сложной задачи об эволюции произвольного поля завихренности О.0 =П0 (0), не зависящего от азимутальной координаты, но, разумеется, совместимого с инвариантом (4). Решение вновь описывается рядом (8), (9), хотя коэффициенты ряда будут другими. Интересно отметить, что на больших временах ґ завихренность не затухает окончательно, т. е. не стремится к нулю, как в классическом решении Озеена. В случае диффузии циклона и антициклона из (10) находим:
Откуда видим, что в действительности решение выходит на твердотельное вращение с функцией тока ¥ ^ cos 0. В общем случае произвольного распределения завихренности П0 (0) из (8), (9) выводим:
Заметим, что такое асимптотическое поведение решения, необычное для классической
ного вихря на ^2 является полубесконечная вихревая нить постоянной плотности, исходящая из центра ^2. Полученное нами решение (10) задачи о диффузии двух диаметрально расположенных вихрей на ^2, таким образом, является полным аналогом классического решения Озеена [2] задачи о диффузии вихревой нити на Е2.
П(^)=—^cos 0. a
ц = cos 0.
гидродинамики на Е2, является отражением общего свойства, в соответствии с которым
произвольное вязкое течение на сфере S2 на больших временах t асимптотически всегда приближается к состоянию твердого вращения. Это общее свойство следует из закона сохранения
энергии, поскольку, как показано в [1], стационарными на S2 могут быть лишь течения такого типа.
Выражаю благодарность Вик. В. Сычеву, обратившему внимание автора на работы [6 — 8], и А. М. Гайфуллину за полезные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. ДикийЛ. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1976.
2. Ламб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947.
3. БэтчелорД ж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.
4. ПетровА. С. О начальных и граничных условиях для уравнения Навье — Стокса в форме Гельмгольца // Ученые записки ЦАГИ. 1982. Т. XIII, № 2.
5. Souliere A., Tokieda T. Periodic motions of vortices on surfaces with symmetry //
J. Fluid Mech. 2002. V. 460.
6. ГромекаИ. С. О вихревых движениях жидкости на сфере. — Собрание протоколов заседаний секции физ.-мат. наук Общества естествоиспытателей при Казанском университете. — Казань, 1885. Т. III.
7. Громека И. С. Собрание сочинений. — М.: Из-во АН СССР, 1952.
8. В асильев О. Ф. Об одной забытой работе И. С. Громеки // ПММ. 1951. Т. XV,
вып. 2.
9. Гайфуллин А. М., Зубцов А. В. Диффузия двух вихрей // Изв. АН СССР.
МЖГ. 2004. № 1.
10. Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере // Изв. АН СССР. МЖГ.
1977. № 6.
Рукопись поступила 9/VI2008 г.
