О нестационарных течениях жидкости в области с замкнутыми линиями тока Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том X Ь

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2009

№ 5

УДК 533.6.013.2

О НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ В ОБЛАСТИ С ЗАМКНУТЫМИ ЛИНИЯМИ ТОКА

А. М. ГАЙФУЛЛИН, А. В. ЗУБЦОВ

Рассмотрено нестационарное течение в области с замкнутыми линиями тока для случая, когда завихренность ю в главном приближении зависит лишь от функции тока у и времени ґ. Из уравнений Навье — Стокса получено интегро-дифференциальное уравнение для функции ю(у, ґ). Показано, что это уравнение допускает решения, которые автомодельны по ґ. Рассматриваются конкретные примеры нестационарных задач, решение которых выходит на автомодельный режим при ґ ^~.

Ключевые слова: вихревое течение, нестационарность, автомодельность, вязкость.

Существуют течения жидкости с образованием зон, в которых линии тока являются замкнутыми. Такие зоны рециркуляционного течения образуются, например, при обтекании вогнутых углов, в ближнем следе за донным срезом, при обтекании тел с вырезом. Каждому рециркуляционному течению можно поставить в соответствие характерное число Рейнольдса Яе. При Яе >> 1 рециркуляционное течение описывается в главном приближении решением уравнений идеальной жидкости. Из этих уравнений следует, что для плоского стационарного течения завихренность ю зависит от функции тока у. В работах Прандтля [1] и Бэтчелора [2] было установлено, что при Яе завихренность ю0 в зоне рециркуляционного течения постоянна и не зависит от у. Значение ю0 определяется из условия цикличности течения в пограничных слоях, ограничивающих область рециркуляционного течения [2, 3].

В настоящей статье рассматривается случай, когда течение жидкости в рециркуляционной зоне является нестационарным.

Введем неподвижную систему декартовых координат х', у . Через и' , V обозначим составляющие вектора скорости вдоль осей х', у . Будем полагать, что в подвижной системе координат г г

х = х' — ^ и0 (г)&, у = у — ^ V) (гимеется область, в которой течение обладает замкнутыми лико к

ниями тока. При этом линейный размер этой области и величина характерной скорости в ней таковы, что соответствующее им число Яе намного больше единицы. В подвижной системе координат х, у уравнение Гельмгольца запишется в виде:

дю дю . дю

и — + V— ^Аю----------------------------------------, (1)

дх ду дг

> > > > дv ди д2 д2

где и = и — и); V = V — V); ю =-; А = —— +-------—; V — коэффициент кинематической вязкости.

дх ду дх ду

Рассмотрим такой класс вязких нестационарных рециркуляционных течений, для которого справедливо предположение, что при г >> I) оба члена в правой части уравнения (1) малы по

сравнению с нелинейными членами этого уравнения всюду, за исключением, быть может, тонких слоев, примыкающих к границе рециркуляционной области. Тогда из уравнения (1) следует, что в главном приближении завихренность для такого класса течений зависит от функции тока и времени:

ю = ю (v, t).

(2)

Уравнение для функции ю) (у, г) можно получить, если обратиться к уравнению для вязкой жидкости, записанному в векторной форме:

dV dVo Л7 „

— + —- - V x ш + V

dt dt

(tz 2 ^

V p

—+ —

2 P

= -v(Vx ю).

(З)

Возьмем контурный интеграл от обеих частей уравнения (3) вдоль линии у = const. Учитывая, что d)ds = f dа, где а(\|/,t) — площадь, ограниченная линией у = const, получим ■* dt / . dt

a(y,t)

г дю , г( дю , дю ^

I 3rda=-v^

a(v,t

—dx----------с

дy дx

(4)

Из соотношения (2) и уравнения (4) следует, что функции ю) (у, г) удовлетворяет уравнению:

НИМ(V, t -'Г„ (V, t )дюдМ,

дt дt дV

(З)

где ^ = | ю0da.

a(v,t)

Первый член в правой части уравнения (З) определяет изменение циркуляции за счет расширения с течением времени контура V = const , второе слагаемое — изменение циркуляции скорости за счет диффузии завихренности через границу области, ограниченной контуром V = const. Если течение при t выходит на стационарный режим, то из уравнения (З) следует

соотношение, полученное в работе [2],

дю0

дv

= o.

Далее рассмотрим такие нестационарные рециркуляционные течения, которые на больших временах выходят на автомодельный режим. Если при ґ нестационарное течение автомодельно по ґ, то функции, входящие в уравнение (5), представляются в виде:

V( ^ y, t) = f (t) V*

(_x_ ^

g (t), g (t)

a(v, t ) = g 2(t )a* (v o),

юг

(V, t )=^fT^ ю (Vo ) Гo (V, t ) = f (0Г* (Vo).

\t)

(б)

Подставляя (б) в уравнение (З), получим:

Г* g

d ln f

- = -'Г,

d ю* d V*

(7)

3o

Уравнение (7) допускает два класса решений, соответствующих степенной и экспоненциальной зависимости характеристик течения от времени. Для степенного класса автомодельных решений

где т

g = Л , f = ?т,

произвольное число. Функции Г*, ш*, а* при этом удовлетворяют уравнению:

(I ш*

тГ * ю*о* — уГ *

(8)

(9)

Из уравнения (9) следует, что в центре рециркуляционной области, где Г* = ш*а*, справедливо соотношение:

й ш* — 1 - т й у* V

(10)

Отметим ряд конкретных задач, для которых реализуется степенной класс автомодельных решений. При т = 0 автомодельное решение удовлетворяет полным, а не приближенным по числу Re, уравнениям Навье — Стокса и соответствует, в частности, обтеканию расширяющейся

пластины у ~ V? , установленной поперек потока, набегающего на нее со скоростью и^ ^ ?_1/2 [4]. Решение при т = -1/2 реализуется при рассмотрении задачи о диффузии двух противоположно закрученных вихрей [5]. Численное решение уравнений Навье — Стокса, полученное в этой работе, хорошо согласуется с автомодельным поведением характеристик течения при больших временах.

В работе [6] рассмотрено обтекание конечной пластины, поверхность которой движется навстречу набегающему потоку жидкости со скоростью и0 . Из численного решения уравнений Навье — Стокса, полученного при и0 = -5и^ , следует, что рассматриваемое течение нестационарно. Перед пластиной образуется завихренная область с замкнутыми линиями тока. При больших

числах Яе = , где £ — длина пластины, и больших безразмерных временах т = =и^~ характе-

V £

ристики течения в рециркуляционной зоне подчиняются автомодельному закону (6), (8), соответ-

з

ствующему т = 1/2. На рис. 1 представлены линии тока при Яе = 10 и т = 425. Принимая во внимание симметрию течения, изображена только верхняя половина. Сплошной линией отмечена нулевая линия тока, отделяющая рециркуляционную область от внешнего течения. На рис. 2 построена зависимость ш*(у*) вдоль вертикальной линии, проходящей через центр рециркуляционной зоны. Точка \|/* = 0, со* = 0 соответствует линии симметрии (^ = 0). Возрастание |\|/* | означает движение от линии симметрии до центра вращения. Затем следует уменьшение |\|/* |, что соответствует движению от центра

25

50

- (О* уГ У і ж * /

У /

У /

лг *

/

/

Рис. 1

0.1

Рис. 2

0.2

вращения к границе рециркуляционной зоны с набегающим потоком. Совпадение кривых ю*(у*) на вертикальных линиях выше и ниже центра вращения происходит в области, где

ю = ю(у, t). Пунктирная линия на рис. 2 соответствует соотношению (10) при m = 1/2 .

Второй класс автомодельных решений:

g = 1, f = et/t0, (11)

где to — масштаб времени, на котором характеристики течения изменяются на свой порядок. В этом случае решению уравнения (7) отвечает линейная связь между завихренностью и функцией тока:

— = -—. (12)

d у* vt0

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых выходит на автомодельный режим (12) при t . Пусть при t < 0 покоящаяся жидкость заполняет объем, ограниченный цилиндрической поверхностью r = ?0 . При t > 0 цилиндр начинает вращаться со скоростью V00 el /10, приводя жидкость в движение. В этом случае линиями тока являются окружности r = const и соотноше-

V r

ние (2) является точным во всей области при любых числах Re = 00 .

V

Перейдем к безразмерным переменным, принимая за масштаб длины и времени соответственно величины r и Г) / V). Тогда в полярной системе координат р, ф уравнения для безразмер-

ной завихренности и функции тока примут вид:

— = Re-1 Лю, Лу = -(0, (13)

Эт

. Э2 1 д

где А = ТГ+ _Т“.

Эр2 р эр

Автомодельные соотношения (11), (12) сводят уравнения (13) к одному дифференциальному уравнению, решение которого выражается через модифицированную функцию Бесселя первого рода:

у = уе-т 1 т = 10 Сл)-1 , ю =юе-т/,0 = —а , (14)

Va /0(Са) ’ ^(Са)’

Яе /— / d

где а =—, п = >/ар, ( ) = —. т0 d п

Константы в (14) выбраны таким образом, чтобы выполнялись граничные условия для азимутальной скорости ^(0,т) = 0, ^(1,т) = вх/^0 .

Структура автомодельного течения зависит существенным образом от величины параметра а. В предельных случаях решение для завихренности течения (14) представляется в виде:

ш = -2 + 0(а), а< 1, Ш = -^|Р е_л/“(1-р)1 + о(р^а)^ р4а > 1.

При а ^ 1 величина завихренности в каждый момент времени в главном приближении не зависит от функции тока. При а ^ 1 вблизи поверхности цилиндра возникает тонкий слой

со*

Л

-2

Р

\

\

Ы,: \

Рис. 3

Рис. 4

У

ч>

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.75

0.5

0.25

00

-1

-2

-0.08

-0.06

-0.04

Рис. 5

-0.02

Рис. 6

(1 -Р)'

а

-1/2

, где со ~ л/а . В остальной области

течения завихренность мала по сравнению с ее значением в пристеночном слое.

Результаты численного решения нестационарных уравнений Навье — Стокса представлены

на рис. 3 для Яе —103, т0 — 20 (а — 50). Пунктирная линия соответствует т/т0 — 0.5, штриховая — т/т0 — 2, сплошная — — 3.5. При — 3.5 зависимость О (у) практически выходит на ав-

томодельный режим. Поведение функции О (р) при т/т0 — 3.5 согласуется с результатами анализа автомодельного решения при а ^ 1 (рис. 4).

Результаты численного решения нестационарных уравнений Навье — Стокса получены и для случая, когда поперечным сечением цилиндрической поверхности является квадрат со стороной /. Течение жидкости внутри цилиндра индуцировано движением его верхней стенки со

Ї / Ї 3

скоростью У0 е 0 при ? > 0. Численные расчеты проводились при Яе —10 , т0 — 20. На рис. 5 представлена зависимость у от вертикальной координаты прямой, проходящей через центр завихренности при т/т0 — 2.5. Дну квадратной области соответствует у — 0, центр вихря имеет координату у, в которой у принимает минимальное значение. На рис. 6 построена зависимость О (у) при т/т0 — 2.5 . Четыре кривые на рис. 6 соответствуют изменению характеристик течения

вдоль вертикальной и горизонтальной прямых, проходящих через центр завихренности. Из сравнения данных на рис. 5 и 6 видно, что в основной части прямоугольной области устанавливается

„ „ ~ ~ й О Яе

течение с линейной зависимостью со от у, причем —— ~------------— -50. Вблизи стенки цилиндра

й у т0

возникает тонкий пограничный слой, в котором завихренность уже не является функцией у. В этом слое |ш| заметно превышает свое значение в основной области течения, поэтому на рис. 6 значения ю при -0.2 <у < 0 не приводятся.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00437) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (Государственный контракт № 02.740.11.0203).

1. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Vehr. d. III Intern. Math. Kongr. — Heidelberg, 1904.

2. Batchelor G. K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number // J. Fluid Mech. 1956. V. 1. Pt. 2.

3. Нейланд В. Я., Сычев В. В. К теории течений в стационарных срывных зонах // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. I, № 1.

4. Гайфуллин А. М. Автомодельное нестационарное течение вязкой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 4.

5. Гайфуллин А. М., Зубцов А. В. Диффузия двух вихрей // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1.

6. Г айфуллин А. М. Обтекание пластины с движущейся против потока поверхностью // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 3.

Рукопись поступила 23/XII2008 г.