Вихревые течения микрополярной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЫ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2010

№ 4

УДК 532.51.013:532.135

ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ МИКРОПОЛЯРНОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. БРУТЯН, В. Е. КОВАЛЕВ

В рамках уравнений микрополярной жидкости найдены решения, описывающие вихревые течения, аналогичные известным точным решениям Озеена и Бюргерса, полученным в рамках классической ньютоновской жидкости. Показано, что задача Озеена о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной и не имеет точного решения. В отличие от нее решение задачи о пространственном стационарном вихре Бюргерса в микрополярной жидкости сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обеих задач определены интегральные инварианты и дано численное решение.

Ключевые слова: неньютоновская механика, микрополярная жидкость, вихревые течения, точные решения.

В связи с проблемой уменьшения гидродинамического сопротивления путем использования различных полимерных добавок и с развитием порошковых нанотехнологий вновь встает вопрос о теоретическом описании сред со сложной реологией. Хорошо известно, что малые добавки полимеров, имеющих в своей структуре длинные молекулы, могут оказывать заметное влияние на динамику ньютоновской жидкости [1]. Значительное уменьшение сопротивления может быть

достигнуто при концентрации полимера порядка 10-4% [2]. Такие ничтожные добавки не могут изменить вязкости жидкости, но они, очевидно, сильно воздействуют на другие реологические свойства жидкости, изучение которых играет важную роль в понимании процессов, приводящих к подобным эффектам. В уравнениях классической гидродинамики, основанных на линейной связи тензора напряжений и тензора скоростей деформаций, для описания течения используется единственное векторное поле — поле скоростей. Эти основные предположения, как известно, определяют класс ньютоновских жидкостей. Другие формы реологического уравнения приводят к механике неньютоновских жидкостей. Уравнения классической гидродинамики описывают огромный класс течений, имеющих практическое значение, однако они не могут дать адекватного описания явлений в реологически сложных течениях, когда нарушаются исходные «ньютоновские» предположения. К изучению такого рода течений сводится широкий круг прикладных задач, в частности, теории смазки и течений жидкостей с различными нанопорошковыми и полимерными добавками.

1. Уравнения микрополярной жидкости. Одним из подходов к исследованию этих сложных задач на макроскопическом уровне может стать изучение неньютоновских жидкостей, для описания которых требуются дополнительные переменные гидродинамического типа. Наиболее известной моделью такого сорта является так называемая микрополярная жидкость [3 — 5]. При макроскопическом описании этой среды учитывается асимметричность тензора напряжений и наряду с классическими гидродинамическими переменными вводятся три дополнительные, интерпретируемые как компоненты угловой скорости микровращения Д. Уравнения микрополярной жидкости, часто называемые уравнениями асимметрической гидромеханики, характе-

ризуются несимметричным тензором напряжении агу и наличием дополнительного тензора микромоментов шгу :

-рЬ1} + ц(дг Уу- +д} V) + к (дг Уу--е^П), (1)

Шу = а8ц divQ + рд ] Ц + удгПу.. (2)

Здесь дг- = д\дх1; 5гу — тензор Кронекера; Ъщ — антисимметричный тензор Леви —

Чивита; р — давление; У — скорость; ц — коэффициент динамической вязкости; а, в, у — коэффициенты вращательной вязкости; к — коэффициент вихревой вязкости, характеризующий меру «сцепления» частицы со своим окружением. Из (1) и (2) видно, что при эйлеровом описании состояние в асимметрической гидромеханике определяется не только полем скоростей, но и полем угловых скоростей микровращения О .

Уравнения движения микрополярной жидкости (МПУ), предложенные в работе [4], имеют вид:

р = (ц + к )ДУ + к гоЮ-Ур, divV = 0, (3)

рJddo = Е, Е = (а+р)гаа (^П) + уДП- 2кП + кУ, (4)

где = д д^ + (У V), р — плотность массы, а рJ — плотность микромомента инерции. В более

ранней работе [3] не учитывались микроинерционные свойства среды (левая часть уравнения (4) предполагалась равной нулю). В работе [4] и в последующих работах (см., например, обзор [6]) использовалось уравнение (4). В работе [5] было показано, что левая часть уравнения (4) не удовлетворяет основным требованиям, накладываемым на эволюцию аксиальных векторных полей в трехмерном пространстве. Правильная запись этого уравнения имеет вид:

PJ

= Е. (5)

Система уравнений (3) и (5), где величина Е дана вторым равенством (4), названа в (5) системой модифицированных уравнений микрополярной жидкости (ММПУ). Подчеркнем то обстоятельство, что уравнение (5), в отличие от (4), с точностью до вязких членов формально совпадает с уравнением Гельмгольца для эволюции вектора завихренности © = го1У в классической гидродинамике. Это естественно, так как оба вектора © и П являются аксиальными. Заметим также, что наличие в левой части уравнения, описывающего эволюцию аксиального вектора, члена типа (ПV)V обязательно и встречается не только в уравнении Гельмгольца, но и, например, в уравнении Бэтчелора для разбавленных суспензий [7]. В случае плоского или осесимметричного течения, а также в предельном случае малых чисел Рейнольдса уравнения МПУ и ММПУ тождественно совпадают, так что различие этих уравнений проявляется лишь в существенно трехмерных задачах. Влияние отличия уравнений ММПУ и МПУ исследовано в работе [5] на примере точного решения трехмерной задачи Кармана о вращении бесконечного диска [8]. В этой же работе обнаружено, что в нелинейных задачах даже при ламинарном течении микрополярной жидкости возможен эффект уменьшения сопротивления. Что касается устойчивости ламинарного течения, то в работах [9, 10] на простых примерах типа течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой [11]) показано, что учет микроинерционных свойств среды при условии у/(ц + к)> J приводит к увеличению критического числа Рейнольдса Яе* потери устойчивости. Указанное условие практически всегда выполняется, так как внутренняя длина имеет порядок типичного размера микроструктуры в микрополярной жидкости, в то время как другая внутренняя длина ^у/ (ц + к), которая вычисляется по кинетическим коэффициентам, обычно заметно больше, чем л/У [3].

Исследование устойчивости течения Тэйлора — Куэтта между концентрическими вращающимися цилиндрами также показало, что течение микрополярной жидкости оказывается более устойчивым, нежели соответствующее течение ньютоновской жидкости [12, 13].

Хорошо известно, какую важную роль в различных гидродинамических явлениях играют вихревые движения. Изучение такого рода явлений представляет значительный научный и практический интерес. Достаточно сказать, что большинство реальных течений, связанных с явлением отрыва и/или перехода к турбулентному движению, сопровождаются образованием завихренности. В настоящей работе на примерах известных вихревых течений изучается вопрос о влиянии микрополярности среды на эффект вязкой диффузии и пространственный эффект усиления завихренности при растяжении вихревых линий.

2. Вихрь Озеена. Зададимся вопросом, существуют ли в микрополярной жидкости аналоги известных точных решений Озеена [14] и Бюргерса [15], полученных в рамках уравнений классической гидродинамики ньютоновской жидкости? Рассмотрим первую задачу. В цилиндрической системе координат (г, 0, ¿) решение ищем в виде:

V = [0, у(г, ¿),0], ю = гс1У = [0,0, а (г, ¿)], р = р(г, г) Д = [0,0, О(г, ¿)]. (6)

Вычисляя слагаемые, входящие в уравнения (3) и (5) и используя выражение завихренности через азимутальную скорость а = ду/дг + у/г, приходим к следующим определяющим уравнениям:

да , Л1 д ( да^ ,1 д ( дО^

раГ = (1+к )г дг [г аТ)- к7дг [г ), (7)

дО 1 д( д^+ ( 2О) (8)

"дГ = у 7дг [г )+к (ю-2О). (8)

Нетрудно убедиться, что при к Ф 0 уравнения (7), (8) не имеют автомодельного решения. Это связано с тем, что в микрополярной жидкости в отличие от классической существуют «внутренние длины»: Ь = л/У и Я = ^уДц + к), так что из соображений размерности уже не следует

существование автомодельной переменной г/, которая имеет место в ньютоновской жидкости (к = 0). Поэтому сведение задачи к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений становится невозможным.

В безразмерных переменных х = г/Я и т = t|T, Т = Я2/Г0 уравнения (7) и (8) принимают вид:

. да д ( да^ . д ( дО^

аГдХ Iх гхИгХ Iх ), (9)

Bx dQ _ д ( dQ дт дх

((х ддх ] + Ах (®-2Q). (10)

Здесь A _ A0 (1 -X), A0 _рГ0/ц, B _р/Г0/у и X_ к/+ к) — безразмерные параметры

задачи, причем AB _ R 2/L >> 1. При X _ 0 циркуляция скорости или суммарная завихренность Го в начальный момент времени по определению есть

Г0 _ 2nRx lim v0 (х,т) _ 2nR2 lim ¡ю0 (x, т)xdx .

т—^0 т—0 J

0

Выполняя дифференцирование по x в (10) и считая, что Q( x) и ее производные остаются конечными при x _ 0, находим, что на оси должно выполняться условие

dx _ 0 при x _ 0. (11)

Тогда из (9) немедленно получаем, что

д© = 0 при х = 0. (12)

Проинтегрируем уравнения (9) и (10) по области течения. В результате имеем:

^ р х

© 0, Г© = 2пЯ2|ю(х, х)хаХ, (13)

d т

о

£^ = Я(Гю-2^), rQ=2ni?2Jq(x, T)xdx. (14)

о

Решая эти уравнения с начальными условиями Гю (0) = Го и tq (0) = toq , находим:

Гю = Г о = const, Г0(т) = ^2° + (^roQ-r20 ^ exp Щ . (15)

Заметим, что на больших временах т ^<х> суммарная угловая скорость микровращения tq

стремится к Го/2 при любых начальных данных tq( 0). Если вопрос о постановке начальных

и граничных условий на / решается так же, как и в классическом случае вихря Озеена [14], то соответствующий вопрос для Q менее ясен [16]. Например, в качестве альтернативы условию прилипания, начиная с [3], обсуждаются и другие возможности, в частности условие Q = ю/2 .

Если в соответствии с этим в качестве начального условия принять tq(0) = Го/2, то из (13) и (14) вместо (15) получим:

Г/ = Го = const, tq = Го / 2 = const, (16)

откуда замечаем, что в процессе диффузии в этом случае сохраняется не только суммарная завихренность, но и суммарная угловая скорость микровращения, причем tq = Гю/2.

Параболический тип уравнений (9) и (10) указывает на то, что в микрополярной жидкости, как и в классической ньютоновской среде, скорость распространения завихренности оказывается бесконечной. Этот недостаток, как известно, связан с неучетом релаксационных свойств среды. Диффузия вихря в другом классе неньютоновских сред, а именно в вязкоупругой жидкости, рассмотрена в работе [17], где для случая максвелловской жидкости получено точное аналитическое решение задачи и показано, что учет упругих свойств среды действительно дает конечную скорость распространения завихренности c = ^/ц/рх, где х — время релаксации.

Систему уравнений в частных производных (9) и (10) с помощью преобразования Фурье можно стандартным образом свести к системе ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений). Мы не приводим соответствующих выражений ввиду их громоздкости, а также в связи с тем, что после решения ОДУ обратное преобразование Фурье не удается выполнить в замкнутом виде.

Затухающие на бесконечности решения уравнений (9) и (10) находились численно конечно-разностным методом Келлера второго порядка точности [18]. Для этого (9) и (10) сначала приводятся к системе из четырех уравнений первого порядка:

. д/ д , тт~. . д , т„ч д/

* = &(xU )-яаХ(xW), аХ = U,

эо

^ =|(хГ) + Ах(©-2П) Ц = * ,

а затем, после конечно-разностной аппроксимации, сводятся к системе алгебраических уравнений, которая решается методом блочной прогонки с граничными условиями (11) и (12). В качестве

начального условия для решения полной неавтомодельной задачи в момент времени т = т0 ^ 0 естественно взять автомодельное решение [19]. Соответствующее решение Озеена [14] в новых переменных имеет вид:

ю

(х, то )=^^

^ А)х ^

" 4т0

Для функции 0(х, т) в качестве начального условия выбираем решение

°(х- то) = ^

ехр

' Вох2 ^

4т0

которое соответствует условию (16).

Равномерная по \[т расчетная сетка содержала 201 узел (те[т0,тк], т0 = 0.01, тк = 1).

Сетка по х содержала 2001 узел (х0 = 0, хк = 20). На рис. 1 приведен результат численного расчета распределения завихренности при т = 1 и значениях параметров А = 1, В = 0.1 и А, = 0.5.

а/а» (0) О/аШ

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

\

/ V «(ж)

\

1 0 2 0 3.0/4 )(х) - ©0(х)/ 0 5.0 :

Рис. 1. Распределение завихренности и угловой скорости микровращения в момент времени т = 1 в задаче Озеена:

ю( х) — завихренность в микрополярной жидкости; Ю0( х) — завихренность из решения Озеена в ньютоновской жидкости; Q(x) — угловая скорость

микровращения

Сравнение с решением Озеена показывает, что при одинаковом значении циркуляции Гю = Г0 величина завихренности на оси в микрополярной жидкости больше, а закон ее убывания более крутой. Это указывает на то, что учет микрополярности приводит к уменьшению эффективной вязкости среды. Данный результат согласуется с полученным ранее в работе [5] выводом о возможности уменьшения сопротивления в микрополярной жидкости. Во всех проведенных расчетах контролировалась точность выполнения интегральных инвариантов (14). Максимальное

отклонение не превышало 3 -10-5.

3. Вихрь Бюргерса. Рассмотренный в предыдущем разделе пример эволюции вихря с единственной нетривиальной компонентой скорости является классическим примером, иллюстрирующим эффект влияния вязкости на диффузию завихренности. Однако реальные течения, наряду с азимутальной скоростью, нередко имеют ненулевые составляющие скорости в радиальном и аксиальном направлениях. К течениям такого типа можно отнести, например, течение типа торнадо. Любопытно, что эти течения имеют не только очевидное отношение к атмосферным явлениям, но и довольно неожиданное отношение к теории смазки. Оказывается, что при наблюдении за полимерной пленкой, нанесенной на поверхности до их взаимного трения, обнаружено, что в результате трения поверхностей со смазкой между ними образуются места износа с рельефом пленки, явно соответствующим действию на пленку сосредоточенных отрывающих усилий. По мнению ряда авторов (см., например, [20]) этот механизм связан с формированием над поверхностью трения вихреобразной динамической структуры, которая и вырывает частицы полимера непосредственно из поверхности трения.

Одним из точных решений трехмерных уравнений Навье — Стокса, описывающих стационарное вихревое течение с тремя ненулевыми компонентами скорости, является так называемый вихрь Бюргерса. В цилиндрической системе координат (г, 9, г) с соответствующими компонентами скорости ив (г), ув (г) и wв (г) это решение имеет вид [15]:

1 Гв

uB = -тт ar, vb =—— B 2 ' B 2nr

1 -exp

f 2 ^ ar

Wb =az, (17)

Pb = Pb (r, z) = -ph

r 2 + 4 z 2 )-p|-

(18)

ra = rotF = (0, 0, <B),

< =

r Ba

4nv

exp

2

ar

17

, Гв =2nj<B (r)rdr,

(19)

где a — постоянный положительный параметр задачи; Гв = const — суммарная завихренность. Вихрь Бюргерса является классическим примером, иллюстрирующим пространственный эффект усиления завихренности при растяжении вихревых линий. Это решение описывает стационарный процесс, в котором диффузия завихренности в радиальном направлении компенсируется ее усилением за счет растяжения вихревых линий вдоль оси z [21]. Интересно отметить, что выражение для азимутальной скорости Vb (r) из (17) в точности такое же, как в нестационарном решении Озеена, но только «вмороженном» при времени t = 1/a. Отметим еще одно довольно неожиданное свойство решения (17) — (19). Вычислим полную диссипацию Ф на единицу длины аксиальной оси z:

<» г2

Ф = ц|"2n<B2rdr = Pa в , J 8п

о

откуда видим, что диссипация в течении Бюргерса оказывается не зависящей от вязкости [15].

Перейдем к поиску аналога вихря Бюргерса в микрополярной жидкости. Вид решений (17) — (19), а также общая аксиальная природа векторов завихренности ю и угловой скорости микровращения П подсказывают поиск решения уравнений (3) и (5) в следующем виде:

и = -■2 аг, V:

' = (г), w = аг, р = р(г,г), П = [0, 0, П(г)]. Из (20) следует, что divП = 0, а гоЮ = (0, -ёП/ёг, 0). Кроме того,

(УУ)П-(ПУ)У = -Ю [V хП]-УУП + ПУ- V =

0, 0,

а

?(Ог 2 )

2г ёг

С учетом (21) определяющие уравнения ММПУ (3) и (5) принимают вид:

др

дг = р

( 2 , Л V 1 2

---т а г

г 4

др 2 , & ="раг,

(20)

(21)

(22)

^ ^ ) + (^ + к )

( ё 2v 1 ёу V ^ ёг2 г ёг г

= к

ё П Иг '

(23)

раЗ

'г,

1ё (2П) У ^ ( гёП\ + 2кП = (rV) г ёг V I г ёг I ёг I г ёг^ '

(24)

Как и в случае классического вихря Бюргерса, давление находится из (22) с помощью простой квадратуры (18). Таким образом, задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (23) и (24), которые удобно переписать в терминах ю и П :

, , ч ё ю ра , ёП

(|+к Ьг+~т гю=к

(25)

рЗа ё 2г ёг'

(г 2П)- М ['£) = к (-2П).

(26)

Проведем обезразмеривание уравнений (25) и (26). В качестве характерного размера, по аналогии со случаем к = 0, выберем «вязкую длину» I = ^(| + к)/ра. Введем безразмерную

независимую переменную у = г/£ и безразмерные параметры С = З/212 и В = у(1 -Х))|/2,

причем Б/С = 2 Я2/112 >> 1. Тогда уравнения (25) и (26) примут вид:

С

ё ю 1 . ё П

—;—^ — ую = к—— , ёу 2 ёу

ё (у 2П)-В^ (1 = ку (ю-2П).

(27)

(28)

Заметим, что сведение рассматриваемой задачи к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (27) и (28) стало возможным из-за того, что в данном случае, в отличие от вихря Озеена, изначально имеется размерная длина ^/|/ра и появление «внутренней длины»

не нарушает вид решения (20). При Х = к/ + к ) = 0, как и следовало ожидать, из (27) получаем известное решение Бюргерса, записанное в новых переменных:

Г Г 2 ^ ^

®=®в (у) = -уГ , Гв = 2п^ (у}уф. (29)

4

V у

Выполняя дифференцирование в (28) и считая, что у) и ее производные остаются конечными при у = 0, находим, что на оси должно выполняться условие:

^ = 0 при у = 0. (30)

Тогда из (27) немедленно получаем, что

^ = 0 при у = 0. (31)

Проинтегрируем уравнение (28) по области течения. При конечных значениях у) на оси и достаточной скорости убывания на бесконечности О (у) = О (1/у2+в, в > 0) вновь, как и в случае вихря Озеена, приходим к следующему интегральному равенству:

Гю = 2Га, (32)

где

Гю = 2п£2 |ш(у)уёу, Го = 2п12 |о(у)у^у .

Значения завихренности и угловой скорости микровращения на оси, как следует из (27) после интегрирования по области течения, связаны соотношением:

ю(0 )-Ю(0 ) = -^.

4%12

Затухающие на бесконечности решения уравнений (27) и (28) после приведения их к системе первого порядка находились численно методом Келлера [18] с условиями на оси (30) и (31). Расчеты проводились на равномерной сетке с числом узлов N =501. На рис. 2 для примера приведены результаты расчетов распределения завихренности и угловой скорости микровращения при заданных параметрах С = 0.001, В = 0.01 и X = 0.5. Сравнение с точным решением Бюргерса (27) показывает, что при одинаковом значении циркуляции Гю = Гв величина завихренности на оси в микрополярной жидкости больше, а кривая ее распределения является более крутой. Отметим также, что во всех проведенных расчетах интегральное равенство (32) оказывалось выполненным с точностью до 10-5.

В работе [20] на основе классического решения Бюргерса (17) — (19) сделана оценка силы, которая действовала бы на сферическую частицу полимера со стороны вихреобразной структуры, возникающей в смазочном слое между трущимися поверхностями. Сравнение с силой, необходимой для вырывания частицы полимера, показало, что эти силы одного порядка, но оценка, сделанная на основе классического «ньютоновского» вихря дает несколько заниженное значение. На рис. 3 показан результат численного расчета зависимости относительного перепада давления от безразмерного коэффициента вихревой вязкости. Видно, что влияние степени микрополярности среды приводит к увеличению отрывающих усилий и тем самым приближает сделанную в [20] оценку к нужному значению.

со /ш (О)

в1->в(

П/соЛО)

\

у ®0')

1 0 2 0^ Т \ 1 \©(у)-<вв(у) о 7

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

Рис. 2. Распределение завихренности и угловой скорости микровращения в задаче Бюргерса:

ю( у) — завихренность в микрополярной жидкости; юв (у) — завихренность из решения Бюргерса в ньютоновской жидкости; О(х) — угловая скорость

микровращения

Рис. 3. Зависимость изменения относительного перепада давления Др/Дрв от величины коэффициента «сцепления» X микрополярной жидкости:

Др — перепад давления в микрополярной жидкости; Дрв — перепад давления из решения Бюргерса в ньютоновской жидкости

Заключение. Рассмотрены два классических примера вихревого течения в микрополярной жидкости, которая описывает широкий класс неньютоновских сред с внутренним микровращением. Дано обсуждение законности применения исходных уравнений микрополярной жидкости МПУ и ММПУ к описанию плоских и пространственных вихревых течений. Установлено, что из-за наличия дополнительных «внутренних длин» первая рассмотренная задача о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной в отличие от соответствующей задачи Озеена в классической вязкой жидкости. Для второй задачи найдено обобщение решения Бюргерса на случай пространственного стационарного вихревого течения микрополярной жидкости. Показано, что эта задача имеет точное решение, которое сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Определены интегральные инварианты и дано численное решение обеих задач. Установлено, что учет микрополярности в рассмотренных вихревых течениях приводит к уменьшению эффективной вязкости среды, что согласуется с полученным ранее выводом о принципиальной возможности уменьшения сопротивления в микрополярной жидкости [5]. Отмечено также практическое приложение полученных результатов к задачам теории смазки и вихревых течений жидкостей с различными полимерными и нанопорошковыми добавками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Toms B. A. Some observations on Ше flow of linear polimer solutions through straight tubes at large Reynolds number // Proc. I-st Int. Congr. Rheol. 1948. V. I, p. 135 —142.

2. Хью Г. Снижение вязкостного трения. — М.: Машиностроение, 1984. 382 с.

3. Аэро Э. Л., Булыгин А. Н., Кувшинский Е. В. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. Т. 29, вып. 2, с. 297—308.

4. E r i n g e n A. C. Theory of micropolar fluid // J. Math. Mech. 1966. V. 16, N 1, p. 1 — 18.

5. Брутян М. А., Крапивский П. Л. Об эффекте уменьшения сопротивления в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1989. Т. 57, № 2, с. 213—219.

6. Ariman T., Turk M. A., Silvester N. D. Microcontinuum fluid mechanics. A review // Int. J. Eng. Sci. 1973. N 11, р. 273—293.

7. B a t c h e l o r G. K. The stress system in a suspension of force-free particles // J. Fluid Mech. 1970. V. 41, р. 545—570.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1953. 795 с.

9. Брутян М. А., Крапивский П. Л. Устойчивость периодического течения в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1991. Т. 60, № 4, с. 670—679.

10. Brutyan M. A., Kr ap i v sky P. L. On the stability of periodic unidirectional flows of micropolar fluid // Lett. Appl. and Eng. Sci. 1992. V. 30, р. 401 —407.

11. Арнольд В. И., Мешалкин Л. Д. Семинар А. Н. Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958 — 1959) // УМН. 1960. Т. 15, вып. 1, с. 247—250.

12. Ariman T., Cakmak A. S., Hill L. R. Flow of micropolar fluids between two concentric cylinders // Phys. Fluids. 1967. V. 10, N 12, р. 2545—2550.

13. Sastry V. U. K., Das T. Stability of Couette flow and Dean flow in micropolar fluid // Int. J. Eng. Sci. 1985. V. 23, N 11, р. 1163 — 1187.

14. Oseen C. W. Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik. — Leipzig: Akad. Verlag. 1927. 337 с.

15. Burgers J. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advances in Applied Mechanics. Academic Press: 1948. V. 1, р. 171 —199.

16. Kirwan A. D. Boundary conditions for micropolar fluids // Int. J. Eng. Sci. 1986. V. 24, N 7, р. 1237—1242.

17. Брутян М. А. Диффузия завихренности в вязкоупругой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 5, с. 18—23.

18. K e l l e r H. B. Numerical methods in boundary layer theory // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. V. 10, р. 417—433.

19. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.

20. Краснов Ю. К. Эволюция «смерчей». — В сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. — М.: Наука, 1987. 397 с.

21. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. 375 с.

Рукопись поступила 6/V 2009 г.