CC BY
25
УДК 539.23+539.216.1+537.311.31 Б01: 10.18384/2310-7251-2018-2-76-81
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПФАФФА И РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Галканов АГ., Харитонов КЕ.
Государственный гуманитарно-технологический университет
164010, Московская обл., г. Орехово-Зуево, ул. Зелёная, д. 22, Российская
Федерация
Аннотация. В рамках существующих моделей кинематики доказан критерий равномерности движения материальной точки. Рассмотрено уравнение Пфаффа в полных дифференциалах. Показано, что при определенных условиях его можно назвать уравнением равномерного движения материальной точки. Приведён пример. Ключевые слова: уравнение Пфаффа, уравнение в полных дифференциалах, равномерное движение, уравнение равномерного движения материальной точки.
PFAFFIAN DIFFERENTIAL EQUATION AND UNIFORM MOVEMENT OF A MATERIAL POINT
A. Galkanov, К. Kharitonov
State University of Humanities and Technology
ul. Zelenaya 22,164010 Orekhovo-Zuyevo, Moscow Region, Russian Federation Abstract. In the framework of existing models of kinematics, the criterion for a uniform motion of a material point is proved. The Pfaffian equation in total differentials is considered. It is shown that under certain conditions it can be called the equation of a uniform motion of a material point. An example is provided.
Key words: Pfaffian equation, equation in complete differentials, uniform motion, equation of uniform motion of a material point.
Движение материальных тел с учетом действия на них различных сил было приведено в работах [1-5]. В данной статье рассматривается абстрактная задача в целом математического содержания, главной целью которой является последующее приложение представленных в ней результатов к конкретным физическим вопросам. Приводится детальный разбор кинематики материальной точки в условиях невесомости и демонстрация того, как «работает» предлагаемый метод описания поверхностей движения благодаря уравнению Пфаффа, к которому, в конечном итоге, приводит необходимое для этого условие ортогональности радиус-вектора материальной точки и ее скорости. Пренебрежение в работе силой тяжести и другими силами вовсе не означает, что их роль не важна и их не стоит
© CC BY Галканов А.Г., Харитонов К.Е., 2018.
принимать во внимание. Эта задача будет предметом нашего отдельного исследования.
Пусть r (M), v (M), и (M) - перемещение, скорость и ускорение материальной
точки M соответственно, r(M), v(M), u(M) - их модули, to - начальный момент времени, T = (t0; - временной промежуток, (..., ...) - знак скалярного умножения векторов, v (t ) = r'(t) - скорость как производная от перемещения по
времени, и (t) = v'(t) - ускорение как производная от скорости по времени. И
пусть траекторией движения точки M является гладкая линия L, т.е.
ix = x (t), y = y (),г = г (t), : [ t eT = (to; +-), (1)
где параметр t принимается за время.
Теорема 1 (критерий равномерности движения). Ортогональность скорости и ускорения точки M на промежутке T необходима и достаточна для равномерности движения этой точки на этом промежутке по траектории L.
Доказательство. По определению движение точки равномерно, если модуль её скорости есть постоянная величина. Имеем:
v = c1 = const о v2 = c2 = const o(v2)' = 0 o(v, v ) = = 0 о 2(v,v') = 0 о(,и) = 0о v 1 и.
Пусть G с Б3, где Б3 - трёхмерное евклидово пространство. В области G рассмотрим уравнение Пфаффа [6; 7]
p (x, y, г )dx + q (x, y, г )dy + r (x, y, г )dz = 0, (2)
где p(x, y, z), q(x, y, z), r(x, y, z) - непрерывные функции в области G. По аналогии с уравнением в полных дифференциалах: j p (x, y )dx + q (x, y )dy = 0,
[39(x,y) e D(X): фx = p(x,y),Фу = q(x,y),X с R2
уравнение Пфаффа естественно назвать уравнением в полных дифференциалах в области G, если в этой области существует дифференцируемая функция ф^, у, г), такая, что в каждой точке области G выполняются условия:
дф = фx = p (x, y, г),дф = Фу = q (x, y, г), дф = фг =r (x, y, г), (3) dx dy дг
где D(G) - множество дифференцируемых функций в области G.
Пусть уравнение Пфаффа (2) является уравнением в полных дифференциалах в области G. Тогда a^(x, y, г) = c есть однопараметрическое семейство интегральных поверхностей уравнения Пфаффа. Если вектор и = p (x, y, г ) + q (x, y, г )2 + r (x, y, г )3 есть ускорение точки M, движущейся по
гладкой линии (1), то векторное поле Uвектора ускорения u будет потенциальным полем с потенциальной функцией ф(х, у, z), где еь e2, e3 - ортонормальный базис.
Теорема 2. Линия L является траекторией равномерного движения точки M в потенциальном поле U вектора ускорения u тогда и только тогда, когда она
лежит на интегральной поверхности а уравнения в полных дифференциалах (2). Доказательство. Применяя теорему 1, с учётом dr = dxe1 + dye2 + +dze3 для
всех t е T имеем:
5) = 0]|L, ^ Г') = 0]lL , ^
Зф(х,y,z): u = gradty I Зф(х,y,z): u = gradty [[(r'dt) = 0 ]|l , [[(dr) = 0]|l , ^
Зф(х,y,z): u = gradty I Зф(х,y,z): u = gradty
j p(x,y,z)dx + q(x,y,z)dy + r (x,y,z)dz^ = 0,
[Зф(х, y, z): фx = p (x, y, z), Фу = q (x, y, z), ф г = r (x, y, z)
Теорема 2 даёт основание ввести понятие дифференциального уравнения равномерного движения точки M.
Определение. Уравнение в полных дифференциалах (2) называется дифференциальным уравнением равномерного движения точки M в потенциальном поле U вектора ускорения u = pe1 + qe2 + re3, где p(x, y, z), q(x, y, z), r(x, y, z).
Пример. Полагая в (2) p = x, q = y, r = z, получим уравнение Пфаффа вида xdx + ydy + zdz = 0. Оно является уравнением в полных дифференциалах и поле U вектора ускорения u = xe1 + ye2 + ze3 есть потенциальное поле. Найдем потенциальную функцию ф(х, y, z) поля U. С учётом того, что фх = х, фу = у, фz = z, имеем: Эф (х, y, z)
—^ ' ' ' = х = ф(х,y,z) = jxdx + y1 (y,z) == дх
ф(х, y, z ) = — + ^1 (y, z);
2
дф(х, y, z)
dy У, д^1 (y, z)
y2
= У = ¥1 ( z ) = v + ^2 (z);
дф(х, y, z ) = д¥1 (y, z) ду ' 2
ду ду
ф(х, У, z ) = у + у + ¥2 (z);
Эф(х,у,г) _ ^
Л ^ \ Л í \ (г) = г 2 (г) = ^ + Ci;
дф(х, у, z) dy2 (z) dz 2
dz dz
/ ч X2 + у2 + z2 ф(х, у, z ) =---+Ci.
Следовательно, семейство интегральных поверхностей данного уравнения представляет собой концентрические сферы а:х2 + y2 + г2 = c2 радиуса c. И, согласно теореме 2, всякая линия L, лежащая на этой сфере, является траекторией равномерного движения точки M. Так, например, в любой момент времени tе Tлиния
íx = c sin fflit sin ю 2t, y = c sin fflit cos ffl2t, г = c cos a1t, :[ 0 <fflit <n, 0 <ffl2t <2n
лежит на сфере а, где ю1, ю2 - угловые скорости по зениту и по азимуту соответственно. Модуль скорости точки M равен v = sjx2 + y2 + г2 = c = const,
то есть линия L - траектория равномерного движения точки M.
Таким образом, на основании полученных результатов можно заключить следующее:
- впервые составлено дифференциальное уравнение, которое обоснованно названо дифференциальным уравнением равномерного движения материальной точки, которое является принципиально новым результатом;
- показано, что именно в потенциальном поле ускорения равномерное движение материальной точки моделируется уравнением Пфаффа, что также является принципиально новым результатом;
- апробация дифференциального уравнения равномерного движения показана на примере движения материальной точки по пространственной траектории на сфере.
Статья поступила в редакцию 24.04.2018 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1989. 472 с.
2. Гладков С.О., Богданова С.Б. Геометрический фазовый переход в задаче о брахистохроне // Ученые записки физического факультета МГУ 2016. № 1. С. 161101 (1-6).
3. Гладков С.О., Богданова С.Б. Обобщенные динамические уравнения плоского криволинейного движения материального тела по желобу с учетом сил трения (их численный анализ в некоторых частных случаях) // Ученые записки физического факультета МГУ 2017. № 1. С. 171101 (1-5).
4. Гладков С.О., Богданова С.Б. К теории движения шарика по вращающейся брахистохроне с учетом сил трения // Ученые записки физического факультета МГУ. 2017. № 2. С. 172101 (1-6).
5. Гладков С.О., Богданова С.Б. Аналитическое и численное решение задачи о брахистохроне в некоторых общих случаях // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». 2018. Т. 145. С. 114-122.
6. Математическая энциклопедия / гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская Энциклопедия. 1984. Т. 4. 775 с.
7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1950. 473 с.
REFERENCES
1. Arnold V.I. Matematicheskie metody klassicheskoi mekhaniki [Mathematical methods of classical mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 472 p.
2. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Geometricheskii fazovyi perekhod v zadache o brakhistokhrone [Geometric phase transition in the brachistochrone problem]. In: Uchenye zapiskifizicheskogofakul'teta MGU [Memoirs of the Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University], 2016, no. 1. P. 161101 (1-6).
3. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Obobshchennye dinamicheskie uravneniya ploskogo krivolineinogo dvizheniya material'nogo tela po zhelobu s uchetom sil treniya (ikh chislennyi analiz v nekotorykh chastnykh sluchayakh) [Generalized dynamical equations for the plane curvilinear motion of a material body along a groove with allowance for friction forces (their numerical analysis in some special cases)]. In: Uchenye zapiski fizicheskogo fa-kul'teta MGU [Memoirs of the Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University], 2017, no. 1, P. 171101 (1-5).
4. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. K teorii dvizheniya sharika po vrashchayushcheisya brakhistokhrone s uchetom sil treniya [To the theory of motion of a ball along a rotating brachistochrone with allowance for friction forces]. In: Uchenye zapiski fizicheskogo fakul'teta MGU [Memoirs of the Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University],
2017, no. 2, P. 172101 (1-6).
5. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Analiticheskoe i chislennoe reshenie zadachi o brakhistokhrone v nekotorykh obshchikh sluchayakh [Analytic and numerical solution of the problem of brachistochrone in some general cases]. In: Itogi nauki i tekhniki. Seria "Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory" [Journal of Mathematical Sciences],
2018, vol. 145, pp. 114-122.
6. Vinogradov I.M., chief ed. Matematicheskaya entsiklopediya [Mathematical encyclopedia]. Moscow, Sovetskaya Entsiklopediya Publ., 1984. Vol. 4. 775 p.
7. Stepanov V.V. Kurs differentsial'nykh uravnenii [Course of differential equations]. Mosciw, State. publishing house of theoretical technical literature, 1950. 473 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Галканов Аллаберди Галканович - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета;
e-mail: [email protected];
Харитонов Кирилл Евгеньевич - аспирант кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета; e-mail: [email protected]
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Allaberdi G. Galkanov - PhD in Technical Sciences, associate professor, head of the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technology; e-mail: [email protected];
Kirill E. Kharitonov - postgraduate student at the Department of Mathematics and Physics, State University of Humanities and Technology; e-mail: [email protected]
Галканов А.Г., Харитонов К.Е. Дифференциальное уравнение Пфаффа и равномерное движение материальной точки // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2018. № 2. С. 76-81. 001: 10.18384/2310-7251-2018-2-76-81.
Galkanov A.G., Kharitonov K.E. Pfaffian differential equation and uniform movement of a material point. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2018. no. 2. pp. 76-81. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-2-76-81.
ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
FOR CITATION
