Нелинейная динамика движения цилиндрического тела с упругой связью в вязком континууме Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАЗДЕЛ I. ФИЗИКА

УДК 531.17

DOI: 10.18384/2310-7251-2018-2-6-20

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ В ВЯЗКОМ КОНТИНУУМЕ

Гладков СО., Богданова СБ.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) 125997, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4, Российская Федерация Аннотация. Благодаря построенной функции Лагранжа L и вычисленной диссипативной функции 0, получена общая система динамических уравнений, описывающих движение полностью погруженного в жидкость цилиндрического тела. Его фиксация предполагается шарнирной на одном конце, где выбирается начало координат. Свободный конец может совершать практически любые движения, и упруго держится в произвольной точке пружиной. Задача решается в сферической системе координат, в которой на языке двух независимых угловых переменных 6 и ф выводятся дифференциальные уравнения движения с учётом вязкости континуума п.

Ключевые слова: функция Лагранжа, полная энергия, базис, сферические координаты.

NONLINEAR DYNAMICS OF MOTION OF A CYLINDRICAL BODY WITH ELASTIC CONNECTION IN A VISCOUS CONTINUUM

S. Gladkov, S. Bogdanova

Moscow Aviation Institute (National Research University)

4 Volokolamskoe shosse, 125997 Moscow, Russian Federation

Abstract. Due to the construction of the Lagrange function L and calculated dissipative function

Q, a general system of dynamic equations describing the motion a cylindrical body completely

immersed in the fluid is obtained. Its fixation is expected to be hinged at one end, where the

origin is selected. The free end can perform virtually any movement and is resiliently held at an

arbitrary point by a spring. The problem is solved in a spherical coordinate system r, 6, ф, in

© CC BY Гладков С.О., Богданова С.Б., 2018.

which differential equations of motion are derived by using two independent angular variables 6 and 9 taking into account the viscosity of the continuum n.

Key words: Lagrange function, full energy, basis, spherical coordinates

В последнее время тема исследования сложных динамических явлений, связанная с анализом и выводом разнообразных типов нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих весьма сложные хаотические процессы и нелинейные явления, стала весьма популярной. В этом направлении насчитывается масса публикаций, начиная с классической задачи Лоренца [1], в которой автором был обнаружен и аналитически описан странный аттрактор, и заканчивая современными исследованиями, посвященными решению широчайшего спектра линейных и нелинейных задач из различных областей физики (см., к примеру, работы [2-4]). Наш интерес к подобного рода задачам диктуется не только чисто природным любопытством, а, главным образом, направлен на установление причины, почему происходит именно так, а не иначе, и того, как с точки зрения прикладной физики можно подойти к решению этой вовсе не тривиальной задачи. Ее постановка довольно проста и может быть сформулирована одним предложением: выяснение динамики движения погруженного в вязкий поток цилиндрического тела с учетом сил сопротивления со стороны континуума. При этом мы будем говорить не о чисто абстрактном поведении цилиндра, а возьмем за основу вполне конкретное модельное представление, несколько упрощающее решение, но при этом качественно не сильно влияющего на суть проводимого анализа. В самом деле, при движении цилиндрического тела в потоке воды в виде поплавка, мы можем следить лишь за его периодическим всплытием и колебательным движением вблизи дна водоема (при условии, что закрепляющий шарнир находится на дне) из-за увлечения гидродинамическим потоком. Подобное поведение, однако, носит чисто инерционный характер и не позволяет ввести в рассмотрение такой важный параметр, как вязкость. Мы смоделируем эту задачу несколько иначе и предположим, что один конец цилиндра шарнирно закреплен в начале координат (причем совершенно неважно на поверхности он или на дне), а его второй конец упругим образом связан с абстрактной горизонтальной плоскостью, расположенной на некоторой высоте Н от его нижнего конца, как это показано на рис. 1. Углы 6о и фо представляют собой соответственно азимутальный и полярный углы сферической системы координат в положении равновесия, длина цилиндра I представляет собой радиус сферы с центром в начале координат. Жесткость пружины - к, вектор а0 представляет собой длину пружины в положении равновесия до воздействия потока, направление которой для удобства выбирается вертикальным.

Соответственно, все величины без индекса «0» (6, ф, а, 1) представляют собой неравновесные значения тех же самых параметров в условиях произвольного перемещения цилиндра. К слову сказать, физика его движения, в принципе, совершенно понятна. Действительно, в результате конкуренции воздействий ги-

ВВЕДЕНИЕ

дродинамического потока, силы тяжести и жесткости пружины цилиндр должен совершать определенные затухающие колебательные движения, собственная частота которых может изменяться под воздействием силы тяжести и упругих сил, но резонанса быть не должно.

Рис. 1. Геометрия задачи. Показаны системы координат и углы, необходимые для получения уравнений движения. Остальные комментарии в тексте.

Это связано с известным фактом о замкнутости рассматриваемой нами системы «цилиндр + пружина» и отсутствием внешних периодических сил. Что касается гидродинамических сил, то они носят лишь диссипативный характер. Однако, если предположить возможность периодически изменяющегося на поверхности давления, то в таких условиях резонанс вполне возможен. Заметим еще, что цилиндр мы считаем идеальным с радиусом Я. Угол а представляет собой угол между начальным положением и произвольным, р - угол между векторами а и ао, у - угол между радиус-вектором, проведенным из начала координат в точку крепления пружины В и начальным положением цилиндра. Для удобства в точке В выберем штрихованную систему координат х' , у' , X, в которой вектор а имеет координаты а = (X, у', X). Вектор 1о = (ЫпбоСОБфо, Ыпбозтфо, /соэбо), а вектор 1 = (ЫпбсоБф, ЫпбБтф, /соэб).

Прежде чем писать функцию Лагранжа системы, приведём вначале необходимые для дальнейшего некоторые простые геометрические формулы, которые

ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА

будут полезны в процессе её построения. Итак, из условия l - lo = a - ao следует, что

l2(1 - cosa) = a2 - 2aa0cos6' + a0,

где a2 = x 2 + y 2 + z 2, X = asin6'cos9', y' = asin6'sin9', Z = acos6', а из геометрии рисунка видно, что

acosG' = H - ZcosG (1)

и

d2 +12 - a2

cos Y =-.

2dl

Кроме того, cosY = cosXcos60 + sinXsin60cos^x - фо), где фх = const, а cosa = = cosöcosöo + sinбsinбocos(ф - фо). Поэтому с учетом (1) имеем:

a2 = l2 (l - cos 6 cos 60 - sin 6 sin 60 cos (ф-ф0)) + 2a0 (H -1 cos ö)- ao. (2)

Функция Лагранжа системы «цилиндр + пружина» есть разность T - U, где T - кинетическая энергия, а Uпотенциальная (см. [5]). В нашем случае потенциальная энергия складывается из суммы потенциальных энергий пружины U1 и цилиндра U2 и имеет очевидный вид:

U = U1 + U2 = -2

У ^

2 а' , a0

a - aa0 cos 6 +--

v 4,

- mglc cos6, (3)

где фигурирующие здесь параметры определены формулами (1) и (2). Заметим, что lc - это расстояние до центра тяжести цилиндра. Что касается кинетической энергии, то в общем виде ее можно представить в виде суммы вращательной энергии Ti относительно мгновенной оси цилиндра с частотой шо и энергии

криволинейного движения T2. Причём T1 = где момент инерции цилин-

mR2

дра относительно неподвижной точки крепления определяется как I = , а

ml2 i - \

энергия криволинейного движения есть T2 = (ф2 sin2 6 + 02). Таким образом,

полная кинетическая энергия будет равна:

^ mlc2 /., , „ д_ \ тю0R2 , ч

T = —- (ср2 sin2 0 + 02) +-0—. (4)

2 v ; 4

Это означает, что функция Лагранжа тогда такова:

ml2 ¡. 2 . 1п д, \ mR2ffl0 , „ k L =—- (ср2 sin2 0 + 02) +-0 + mglc cos 0 — x

l2 (1 - cos 6 cos 60 - sin 6 sin 60 cos (ф-ф 0))- a 0 (H- Icos 6)+^°-

2

a21

(5)

Полная энергия системы в отсутствии диссипации есть величина постоянная, определяемая,как

ml2 /. 2 . ,„ д mR2tí)0

. _о__mgic cos0 +

в = (ф2 sin2 ё+ё2 )+-

k

+ —

2

l2 (l _ cos ё cos ёо _ sin ё sin ёо cos (ф_фо ))_ Яо (н _ l cos ё) +

= const. (6)

Формула (6) нам будет необходима при выводе уравнения движения с учетом вязких сил. Прежде чем переходить к вычислению диссипативной функции <3,

нам необходимы будут преобразования от единичного базиса неподвижной системы координат х, у, г 1, к к подвижному базису е1, е2, ез на поверхности сферы 1. В самом деле, как известно из тензорного анализа (см., например, [6]), при преобразовании ковариантных координат к контравариантным следует ввести дг

базис g = —-. В нашем случае при переходе от декартовых (ковариантных) ко-дх'

ординат к сферическим (контравариантным) матрица перехода имеет вид:

dx¡ dxk

sin ё cos ф sin ё sin ф cos ё r cos ё cos ф r cos ё sin ф —r sin ё —r sin ё sin ф r sin ё cos ф о

(7)

Поэтому искомое преобразование к подвижному единичному базису получается таким:

e1 = —i sin ф + j cos ф,

e2 = i cos ё cos ф + j cos ё sin ф_ k sin ё,

e3 = i sin ё cos ф + j sin ё sin ф + k cos ё.

(8)

Как видно из (8), e? = e? = e2 = 1, ei • e2 = e2 • ез = ei • ез = 0, то есть приведённый

базис является ортонормированным. Заметим ещё, что определитель матрицы ||A|| преобразования (8), вводимой как e, = A¡kSk, где транспонированный вектор sk = (i, j, k)r тождественно равен единице. Обратное преобразование, также необходимое для дальнейших вычислений, элементарно получается из (8) и оказывается следующим:

i = e1 sin ф + e2 cos6 cosф + e3 sin6 cos ф, i j = -e1 cosф + e? cos6sinф + e;! sin6sinф, k = -e2sin 6 + e3cos 6. (9)

Дифференцируя уравнения (9) по времени и учитывая, что — i = — j = — k = 0,

dt dt dt

легко получить следующие формулы:

¿! =ф (e 2 cos 6 + e3 sin б),

e2 = —eitp cos б - e3б, e 3 = —e1(p sin б + e 2б.

(10)

Отсюда видно, что в мгновенном подвижном базисе единичные вектора e¡ подчиняются уравнениям:

e i = eijk ю j e k, (11)

где i, j, k = 1, 2, 3, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, а частоты вращений есть:

Ю1 =б, Ю2 = ( sin б, Юз = -( cos б. (12)

В принципе, этот результат был вполне ожидаем, поскольку квадрат результирующей частоты, как и должно быть, представляет собой сумму квадратов частот ю1 = б и Q = (p с результирующим направлением Ю = Ю1 + Q. Эту частоту

удобно разложить на параллельную оси цилиндра компоненту Ю и перпендикулярную ю", которые в соответствии с (12) определяются как:

ю' = ю3 = ( cos б, (13)

ю" = ТюТ+ю| ^ . (14)

Заметим здесь, что знак «минус» в формуле (13) перед ф мы убрали, как несущественный. Имея, таким образом, в распоряжении формулы (8) - (14), можно переходить теперь ко второй части задачи, а именно к вычислению диссипатив-ной функции.

ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ

Исходя из определения диссипативной функции [7], в мгновенной цилиндрической системе координат с осью гг, направленной вдоль оси цилиндра, можно написать, что

l uu 2 я i

Q = nj dz1 J rdr J dy j

dr

1

+ —

2

dy

-+v r

+

+

f л \ [ d v Z1 2

+

V dz1 V

d v ¥ — Vy +1 d v dr r r dy

2

+

' 1 d v Z1 + d 2 fd v r d v Z1 ^

+ + + —-

r r dy dz1 у I dz1 dr )

где цилиндрическая система координат вводится обычным образом согласно формулам:

x1 = r cos у, y1 = r sin у,

24 = 21, (16)

где r, у, 21 являются независимыми от 6 и ф аргументами, а распределение скоростей вблизи поверхности цилиндра обозначено, как v = (vx1, vy1, v21) = (vr, vy, v21). Область интегрирования в (15), как видим, распространяется на все пространство вне цилиндра. Наша задача сводится сейчас к вычислению распределения скоростей гидродинамического потока вблизи поверхности цилиндра в самом общем случае, когда направление потока, движущегося со скоростью u, по отношению к цилиндру произвольно, но в неподвижной системе координат x, y, 2 ориентировано вдоль оси y (см. рис. 1). Для решения этой задачи удобно воспользоваться уравнением Навье-Стокса, и записать его в случае несжимаемой жидкости, полагая divv = 0, как (см. [7]):

dv / ч VP

— + (v • V)v = —— + vAv, (17)

dt p

где v - кинематическая вязкость жидкости, P - давление, а p - плотность потока. В стационарном случае при малых числах Рейнольдса из (17) следует:

VP

--+vAv = 0. (18)

p

Взяв дивергенцию от обеих частей (18), благодаря условию несжимаемости divv = 0, приходим к уравнению Лапласа:

AP = 0. (19)

Взяв теперь операцию «ротор» от уравнения (18), получаем:

Arotv = 0. (20)

Будем искать решение в виде (как и в случае задачи Стокса об обтекании шара потоком вязкого континуума, см. [7]):

v = u + rotrotfu, (21)

где функцию f предстоит найти.

Подчеркнём, что дифференцирование в (21) осуществляется в координатах xi, yi, 2i, или в цилиндрических r, у, 21. Подставляя (21) в (20), имеем Arot(graddivfu - AfU) = -A2rofU = [u x VA2f = 0, а потому VA2f = 0. Отсюда следует, что A2f = const. Выбирая эту константу равной нулю и записывая оператор Лапласа в цилиндрической системе координат, а также считая, что искомая функция зависит только от радиальной координаты, то есть f = f(r), находим

1 д д 1 д df

--r---r— = 0. Откуда:

r dr dr r dr dr

г C1 2

f =—r2 4

ln r —

r

+ — 4

2 f C C2 -

+ C3 ln r + C4,

(22)

где 01,2,3,4 - константы интегрирования, которые можно легко найти из граничных условий. Действительно, подставляя решение (22) в (21), получаем следующее выражение для скорости:

C2 C3 2C3 , ч v = u +--u +--u--(ru)r +--u

2

, 1

ln r — 2

+ —— (ur )r. 2r2

Поскольку при г ^ ^ скорость вдали от цилиндра стремится к скорости потока, то есть V ^ и, из полученного выражения следует, что С1 = С2 = 0, а потому:

+ C3

v = u +--

r2

u--

2r(ur)

(23)

Заметим, что из (23) автоматически следует выполнение тождества Лж = 0. Далее, на границе цилиндра, то есть при г = Я, радиальная составляющая скорости Уг\т=п = 0, а тангенциальная ^\г=я Ф 0. Поэтому Сз = Я2 и в проекциях на направление единичных орт е1, е2, е3, совпадающих с направлением орт ег, е^, е3, найдем для поступательной части движения:

/

v r = Uo

V

R2 1 - й

sin у,

/

v у = Uo

V 21 = o,

R2

V1 + Й" ,

V ' /

cos у,

(24)

где скорость u0 определяется перпендикулярной составляющей скорости потока u и определяется в виде:

uo = ucos6cos9 (25)

(это видно из рисунка 1).

Подчеркнем еще раз, что решение (24) будет определять только поступательную часть диссипативной функции. Что касается вращательной части, то ее легко определить с помощью уже имеющейся в нашем распоряжении формулы (23), в которой следует убрать первое постоянное слагаемое u и вспомнить, что при учете рассматриваемого нами сложного вращательного движения в нашем

распоряжении имеются две угловые частоты ю' = ф cos б и ю" = д/ф2 sin2 6 +б2,

определяемые формулами (13), (14). Несколько похожая геометрия была описана в работе [8], где, правда, рассматривалось движение вектора намагниченности под воздействием внешнего не коллинеарного магнитного поля. Аналогично решениям (24) легко получаем тогда, что:

где V1 = R(p cos б и

R2

Vir = Vi—-sin у,

r

R2

и2

Vi¥ = Vi—cos у, r2

ViZl = 0,

(26)

R2

V2r = V^—-sin у, r2 R2

V2y = V^—-cos у, r2

V2Z1 = 0,

(27)

где

V2 = Rffl" = RtJ б2 + (p2 sin2 б. Найденные решения (24)-(27) необходимо

те-

перь подставить в общую формулу (15).

1. Для поступательной части диссипативной функции имеем с помощью (24):

l г 2п

Qпост. = nJ dz1 J rdr J d у<

0 R 0 f 2n

i \ d v r 2 1 d v у -- + v r 2

+ — +

t dr у r2 l дУ У

ЭVy - Vy +1 dv

2

dr

r Эу

R0

= ц1 Jrdr J dy<j 4u02 —-sin2 у+ 4u2 —^sin2 у + 16ц2 —^cos2 у| =

г dr

= 24nnlR4u2 J — = 6nnlu2.

И согласно (25) находим:

Qпост. = 6nnlu2 cos2 б cos2 (.

(28)

2. Вполне аналогично для вращательной части с помощью решений (26), (27) получаем:

QBp. =nJ dzi J rdr J dy\

0 R 0

f 2f i R 4 ( R 2 R2 R2 Л2

= nl J rdr J dyj 4V2— sin2 у + -2% —cos у-% —cos у + % —cos у

d V r

dr

1

+ —

2

d v у

V

R2

r

ду

- +v r

+ d v у v у +1 dv r

/

dr r r ду

R2 r3

dr

= 8nnlVi2 R4 J — = 2nnlVi2.

Или с учётом явного вида скорости V1 = Яф cos б имеем отсюда:

QBp. = 2пп/(р2R2 cos2 6. (29)

Точно также и для решений (27) с учетом явного вида для V2 = R^б2 +ф2 sin2 б :

Q2Bp. = 2щШ2 (ф2 sin2 б + б2). (30)

Суммируя формулы (28)-(30), представляем полную диссипативную функцию в окончательном виде, как:

Q = 6щ1и2 cos2 б cos2 ф + 2ппlR2(ф2 + б2). (31)

Поскольку в нашем случае поступательное движение отсутствует, то первое слагаемое в (31), связанное с нестационарным увлечением цилиндра потоком, исчезает и диссипативная функция еще более упростится, то есть будет равна:

Q = 2ппЯ2(ф2 + б2). (32)

Полную систему уравнений движения мы получим согласно закону сохранения энергии (6) и общему виду диссипативной функции (32) с помощью простого правила:

' dE

dt dE

+ Q = 0,

l6=const

dt

ф = const

+ Q = 0,

l^=const

(33)

Совершенно ясно, что в отсутствии диссипации уравнения движения получились бы из условий:

' йЕ

dt dE

= 0,

dt

= 0.

(34)

ф=const

Дифференцируя (6) по времени при соответствующих постоянных, после простых сокращений мы приходим к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений:

ф sin2 6 +уф + Q2 sin б sin 6о sin (ф-ф о) = 0,

б + уб + (2 + ^2 cosб0)sinб + ф2 sin6cosб-02 cosбsinб0 cos(ф-ф0) = 0,

где частоты собственных колебаний равны:

* -

=¿f •

2lr \ m

(35)

(36)

(37)

а затухание

2nnlR2 / ч

Y =-(39)

ml2

В безразмерном виде система уравнений (35)-(36) имеет вид: [c"sin2 б + qф' + p2 sin б sin б0 sin (ф-ф0) = 0,

[б" + дб' + (! + p2 cos б0 )sin б + ф'2 sin б cos б- p2 cos б sin б cos (ф-ф0) = 0, (40)

Y 2nnlR2 Q2 l k а новые безразмерные параметры здесь q = — = —3-, p = - - 1

где «штрих» означает дифференцирование по безразмерному аргументу т = tQi,

2щШ2 _Q1 _I I k

= mug' р~ ^•

Как видно из уравнений (35), (36), в том случае, если пружина отсутствует (k = 0), у нас имеется физический маятник, совершающий затухающие колебания в трехмерном случае в реальной среде с трением. Если принять во внимание пружину, но рассматривать плоскую задачу, выбрав фиксированный полярный угол, как ф = фо = const = 0, у нас останется только одно нижнее уравнение в системе (40), которое, примет довольно простой вид:

e"+qe'+sin е+p2sin (е-9о )_о. (41)

Выбирая точку крепления пружины напротив шарнирного закрепления, то есть, полагая в0 = 0, получим:

е''+^e'+(i+p2 )sin е_ 0, (42)

где параметры q и p определены выше.

Численное решение уравнений (41) иллюстрируется рис. 2-6, на которых изображено поведение параметра е(т), обозначенного на рисунках буквой x = x(t). Приведённые рисунки демонстрируют затухающее к положению равновесия нестационарное поведение системы «цилиндр + пружина», когда в самый начальный момент времени на неё начал действовать стационарный гидродинамический поток. Рисунки 2-6 качественно несколько похожи, но отличаются друг от друга разными параметрами затухания q и разными p.

Из сравнения частот Q1 _ g и Q2 можно сделать очевидный

Y lc 2lc V m

вывод, что на колебания цилиндра, как уже отмечалось в начале статьи, будет влиять конкуренция силы тяжести и жесткости пружины. Во всяком случае, как и должно быть, собственная частота колебаний будет только усиливаться. Понятно, что о резонансе в рассматриваемой замкнутой системе говорить не имеет смысла. Надо также заметить, что довольно любопытным на наш взгляд, является анализ хаотической траектории произвольной точки, которая движется по поверхности сферы и которую описывает связанный с пружиной второй конец цилиндра.

О 100 200 3 00 400 5 00

t

q ■= 0.001:/? — 1

Рис. 5. Шаг 0,1.

? 0.003: р ■— 10

Рис. 6. Шаг 0,1.

В заключении работы еще раз стоит сказать несколько слов по поводу полученных выше результатов.

ВЫВОДЫ

1. Предложено общее описание сложного движения связанной консервативной системы «цилиндр + пружина», получена система нелинейных дифференциальных уравнений, позволяющая проанализировать ее динамику;

2. Вычислено распределение скоростей в непосредственной близости от самой поверхности цилиндра, найдена диссипативная функция, позволяющая учесть влияние вязкости континуума на его движение;

3. Дана методика вывода любых типов динамических уравнений движения с учетом сил трения, основанная на подходе (32), (33).

Статья поступила в редакцию 07.05.2018 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лоренц Э. Странные аттракторы. М.: Мир. 1981. С. 88-116.

2. Буря А.Г., Шкадов В.Я. Неустойчивость и формирование нелинейных структур в осциллирующем вращательном течении между цилиндрами // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1999. Т. 3. С. 5-15.

3. Gladkov S.O. To the theory of nonlinear dynamic equations for the long elastic rod in viscous media // International Journal of mathematical models and methods in applied sciences. 2015. Vol. 9. pp. 166-170.

4. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Simulation of nonlinear physical processes with the generalizes phenomenological equation // International Journal of Mechanics. 2015. Vol. 9. No. 11. pp. 909-918.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука. 1973. Т. 1. 207 с.

6. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. С приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит. 1963. 411 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. Т. 6. 733 с.

8. Гладков С.О. О вычислении интенсивности излучения электромагнитной энергии неподвижной ферромагнитной сферической частицей, находящейся в постоянном и однородном магнитном поле. // Журнал технической физики. 2015. Т. 85. В. 7. С. 138-141.

REFERENCES

1. Lorentz E. Strannye attraktory [Strange attractors]. Moscow, Mir Publ., 1981. pp. 88-116.

2. Burya A.G., Shkadov V.Ya. Neustoichivost' i formirovanie nelineinykh struktur v ostsilliruyushchem vrashchatel'nom techenii mezhdu tsilindrami [Instability and formation of nonlinear structures in oscillating rotational flow between cylinders]. In: Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti igaza [Fluid Dynamics], 1999, vol. 3, pp. 5-15.

3. Gladkov S.O. To the theory of nonlinear dynamic equations for the long elastic rod in viscous media. In: International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2015, vol. 9, pp. 166-170.

4. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Simulation of nonlinear physical processes with the generalizes phenomenological equation. In: International Journal of Mechanics, 2015, vol. 9, no. 11, pp. 909-918.

5. Landau L.D., Lifshits E.M. Mekhanika [Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1973. Vol. 1. 207 p.

6. McConnell A.J. Introduction of tensor analysis. New York, Dover Publ., 1957. 340 p.

7. Landau L.D., Lifshits E.M. Fluid Mechanics. Oxford, Pergamon Press, 1959. 536 p.

8. Gladkov S.O. O vychislenii intensivnosti izlucheniya elektromagnitnoi energii nepodvizhnoi ferromagnitnoi sfericheskoi chastitsei, nakhodyashcheisya v postoyannom i odnorodnom magnitnom pole [On calculation of the radiation intensity of the electromagnetic energy of a stationary ferromagnetic spherical particle in a constant and homogeneous magnetic field]. In: Zhurnal tekhnicheskoi fiziki [Technical Physics], 2015, vol. 85, iss. 7, pp. 138-141.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Гладков Сергей Октябринович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладных программных средств и математического моделирования Московского авиационного института (национального исследовательского университета); e-mail: sglad@newmail.ru, sglad51@mail.ru;

»

Богданова Софья Борисовна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладных программных средств и математического моделирования Московского авиационного института (национального исследовательского университета); e-mail: sonjaf@list.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Sergey O. Gladkov - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, professor at the Department of Applied Software and Mathematical Modeling, Moscow Aviation Institute (National Research University);

e-mail: sglad@newmail.ru, sglad51@mail.ru;

Sof'ya B. Bogdanova - PhD in Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Applied Software and Mathematical Modeling, Moscow Aviation Institute (National Research University); e-mail: sonjaf@list.ru

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Гладков С.О., Богданова С.Б. Нелинейная динамика движения цилиндрического тела с упругой связью в вязком континууме // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2018. № 2. С. 6-20. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-2-6-20.

FOR CITATION

Gladkov S.O., Bogdanova S.B. Nonlinear dynamics of motion of a cylindrical body with elastic connection in a viscous continuum. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2018. no. 2. pp. 6-20. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-2-6-20.