CC BY
155
УДК 517.972.9
А. С. Сумбатов Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН
Задача о брахистохроне (классификация обобщений и некоторые последние результаты)
Рассматривается классическая задача о нахождении в вертикальной плоскости кривой без трения, по которой тяжелая частица из заданного стартового положения скатывается без начальной скорости в заданную финишную точку за минимальное время. Иоганн Бернулли предложил название для искомой кривой - брахистохрона. Задача о брахистохроне в разных постановках привлекала и продолжает привлекать внимание математиков и механиков из многих стран. Более сотни публикаций посвящены обобщениям классической задачи. Дается некоторая классификация этих обобщений с выборочным указанием библиографии. Рассмотрены некоторые последние результаты решения обобщённых постановок задачи при наличии сухого (кулонова) трения.
Ключевые слова: брахистохрона, брахистохронное движение, вариационное исчисление, оптимальное управление, экстремаль, метод множителей Лагранжа.
A. S. Sumbatov Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS
The problem on a brachistochrone (classification of generalizations and some recent results)
We consider the classical problem of finding the plane material frictionless curve along which a heavy particle released from the starting position reaches the given finish position as quickly as possible. Johann Bernoulli proposed the name «brachistochrone»for the desired curve. The Brachistochrone problem in different statements attracts attention of mathematicians and mechanicians from many countries. Over a hundred publications are devoted to generalizations of the classical problem. Below a classification of these generalizations is given with a bibliographic selection of the corresponding literature. The recent results of the solution of the generalized problem in the presence of dry (Coulomb) friction are considered.
1. Введение
Галилей в своих Discorsi (1638) поставил вопрос: даны вертикальная прямая и точка А вне ее; под каким углом к прямой следует приставить из точки А прямолинейный желоб, чтобы тяжелый шарик, скатываясь по желобу из состояния покоя А, достиг данной прямой за минимальное время? Ответ: под углом 45°. Затем Галилей доказал, что «кратчайший путь не есть быстрейший»: если шарик пустить по дуге окружности, описанной вокруг найденного отрезка желоба АВ как стороны вписанного в эту окружность квадрата, то время спуска по дуге АВ окружности будет меньше.
К сожалению, Лейбниц, ознакомившись с рассуждениями Галилея, сделал два ошибочных вывода: (1) Галилей занимался задачей о брахистохроне и (2) Галилей ее неправильно решил, посчитав, что брахистохроной является дуга окружности. Эти выводы Лейбница повторил Иоганн Бернулли, и с тех пор многие авторы несправедливо критикуют Галилея.
© Сумбатов А. С., 2017
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017
В июне 1696 года Иоганн Бернулли в издаваемом Лейбницем журнале «Acta Erudito-rum» предложил математикам того времени (их было не более двадцати человек) найти математическое решение задачи и обещал, что правильные решения будут опубликованы в данном журнале. Кому-то (например, Ньютону) были посланы персональные приглашения поучаствовать в решении этой задачи. Обращение Иоганна Бернулли написано несколько в высокомерном и задиристом тоне, потому что на тот момент автор обращения знал правильный ответ, ознакомившись с трудами Гюйгенса по волновой теории распространения света в неоднородной среде. В частности, он узнал, что линии, ортогональные волновому фронту, в среде с показателем преломления ^/y (y - вертикальная ордината точки) являются циклоидами, а так как свет - самая быстрая субстанция и световые лучи изгибаются в среде, принимая форму циклоиды, то ответ в данном случае напрашивался сразу. Однако доказательства, что искомая брахистохрона - дуга циклоиды (кстати, название этой трансцендентой кривой, известной еще в XIII веке, было придумано Галилеем и означает по-гречески «круглый»), у Иоганна Бернулли еще не было.
История решения поставленной задачи документально изучена [1-4], но недостаточно известна многим, кто занимается задачей о брахистохроне, поэтому в литературе встречается много нелепых утверждений, например, что Иоганн Бернулли первым решил поставленную им задачу. Первыми решили задачу Якоб Бернулли и Лейбниц. Иоганну так понравилось решение старшего брата Якоба, что он попытался присвоить это решение себе, но обмануть Лейбница, который был непосредственным учителем Якоба Бернулли, не удалось.
Решения отбирались в Базеле, где жили братья Бернулли. Некоторые из присланных решений были несправедливо отвергнуты (например, решение Вариньона), другие отставлены (например, решение Лопиталя). Кстати, некорректное поведение и несправедливые оценки И. Бернулли послужили причиной последовавшей позднее в научном мире дискуссии о приоритете Ньютона и Лейбница в создании анализа бесконечно малых. Пять из направленных в Лейпциг (город, где жил Лейбниц и издавал свой журнал) из Базеля решений четырёх математиков (два решения И. Бернулли, по одному решению Я. Бернулли. Ньютона и Чирнгауза) плюс два решения самого Лейбница были напечатаны в журнале Acta Eruditorum (1697). Решение Лопиталя до Лейпцига не дошло и было впервые опубликовано спустя почти три столетия [5].
Эйлер в 1744 г., опираясь, главным образом, на решение Якоба Бернулли, построил основы вариационного исчисления, с помощью которого, в частности, составил дифференциальное уравнение экстремали и свёл его к квадратурам в задаче о брахистохроне для частицы, движущейся по кривой с вязким трением. По сути, это было первое обобщение классической задачи о брахистохроне.
2. Классификация обобщений
Предложенная ниже классификация весьма условная. Ее можно ещё больше детализировать. Кроме того, приведенная соответствующая библиография носит выборочный характер и далека от полноты.
«Элементарные» решения
Так мы называем решения, которые не используют методов вариационного исчисления и оптимального управления, например, [6-8]. Задача Бернулли решается непосредственно.
Например, в [6] задача решается с помощью неравенства Коши-Буняковского:
л/a2 + b2Vc2 + d2 ^ ac + bd.
Не нарушая общности, полагаем, что стартовая A(xi, 0) и финишная B(x2,0) точки расположены на горизонтальной оси абсцисс (x2 > xi), ось ординат направлена вертикально вверх. Выбираются два вектора с координатами a = \x|, b = \y\ и
с = М-1/2, й = (—у-1 — М-1)1/2, где (х, у) - компоненты скорости частицы, а —М < 0 -ордината наинизшей точки на искомой брахистохроне. Произведение длин этих векторов равно подынтегральному выражению времени спуска (с точностью до постоянного множителя) частицы по брахистохроне, которое оценивается снизу:
т , -. т т
I Ых—+ у2\ л ^ М-1/21 \х\ йг + I {—у-1 — м-1)1/2 \у\ йг >
О ^ ' 0 0
^ М-1/2(Х2 — Х1) + пМ1/2 ^ 2п1/2(Х2 — Х1)1/2.
Нижняя граница достигается, когда неравенство Коши-Буняковского становится равенством, а значит, векторы имеют пропорциональные компоненты. Условие пропорциональности приводит к уравнению циклоиды.
Движение частицы в разных силовых полях
В [9,10] рассмотрена задача о движении частицы внутри тоннеля, соединяющего точки А и В на поверхности однородного гравитирующего шара радиуса К. Потенциал
СМш 2 3СМш
г--—— , г < К,
тг/ \ ) 2К3 2К
^ (г) = < СМш
г > К.
К 1
Брахистохрона - гипоциклоида, т.е. кривая, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения внутри другой окружности большего радиуса.
Авторы [11] доказали, что в общем случае центрального поля V(г) задача о брахистохроне сводится к квадратурам. Впрочем, в [12] утверждается (правда, без каких-либо ссылок), что этот результат был известен Ньютону.
В работе [13] исследовалась задача о брахистохроне в вакууме для материальной частицы, притягиваемой материальным стержнем бесконечной длины.
Отметим ещё работу [14], в которой исчерпывающе изучен случай линейной силы вязкого трения, приложенной к частице со стороны опорной кривой.
Релятивистские обобщения
Опубликовано около десятка постановок задачи о брахистохронном движении заряда или частицы в силовых полях при больших, околосветовых значениях скорости. Под брахи-стохронным движением понимается перемещение системы из одного заданного положения в заданное другое за минимально возможное время. При этом появляются две постановки задачи в зависимости от того, какое время минимизируется - абсолютное ньютоновское (время по часам неподвижного наблюдателя) или локальное собственное время по часам, движущимся вместе с изучаемым объектом:
V2
йт = йг\11 —2 .
Отметим [15-17]. В частности, в работе [15] минимизируется собственное время частицы при движении с большой скоростью в однородном поле тяжести. Ось х проведена вертикально вниз, ось у - вправо. Начальное положение частицы - у0 > 0, конечное - начало координат. Уравнение динамики частицы в однородном гравитационном поле
й I шv(t) 1 шд
йг{ у/1—Щ~2/2) у/1 — v(t)2/c2 имеет брахистохроной кривую, заданную уравнением
Г , / е2аи — 1 п
у = } Чё—ё*и * у < « 0
где а = д/с2, постоянная £ связана с первым интегралом. При х ^ ж имеем V ^ с. Показано, что при 0 < уо < п/а брахистохронная траектория «проваливается» вниз тем глубже, чем больше значение £. Но вот при уо > п/а брахистохрона имеет две вертикальные ветви: по ветви у = уо частица улетает вниз в бесконечность, а по ветви у = 0 поднимается в начало координат. При этом собственное время движения частицы по брахистохроне -конечная величина, равная п/ас.
В [16] рассмотрена задача о брахистохронном движении с помощью принципа наименьшего действия в пространстве с лоренцевой метрикой. Выведены дифференциальные уравнения экстремали для случая фиксированной полной энергии частицы с использованием ковариантных производных.
Авторы [17] рассмотрели задачу о плоском брахистохронном движении точечного заряда в вакууме, разгоняемого электростатическим полем до релятивистских скоростей. Минимизацией абсолютного (ньютоновского) и локального (релятивистского) времени получены соответственно 2 семейства брахистохрон с помощью эллиптических интегралов I и II рода.
Брахистохронное движение частицы по поверхности
Еще И. Бернулли ставил перед Эйлером задачу о нахождении такой поверхности, содержащей заданные точки А и В, что тяжелая частица, скатываясь без трения по этой поверхности из положения А с заданной ненулевой скоростью, достигнет точки В и затратит на перемещение наименьшее время. Эйлер почему-то не стал заниматься этой задачей, а построил теорию геодезических, опираясь на созданное им вариационное исчисление для случая двух независмых переменных.
В главе 9 старинного трактата [18] изучаются некоторые свойства задачи в постановке Бернулли. При этом, в частности, предполагается, что частица может двигаться по узкой гладкой канавке, врезанной в поверхность. Появляется ненулевая тангенциальная сила. приложенная к частице.
В работе [19] задача ставилась так: найти гладкую трубку, которая лежит на заданной поверхности Е(д) = 0, соединяет точки А и В и при этом для частицы, движущейся внутри трубки, достигается минимум времени перемещения:
'=/V™Л ^Е(д)=0 •
о
Эта задача решается методом Лагранжа. Разобраны частные случаи поверхности Е(д) = 0:
а) сфера: получены квадратуры уравнений брахистохроны с эллиптическими интегралами 1-го и 111-го родов;
б) параболоид вращения с вертикальной осью: получены квадратуры уравнений брахистохроны с эллиптическим интегралом 11-го рода.
Еще более интересная и сложная задача (некоторые частные случаи), когда на частицу со стороны поверхности действует сила сухого трения, рассмотрена в работе [20].
Брахистохрона для системы переменной массы
Рассматривалась задача о брахистохронном движении частицы или тела переменной массы в разных постановках. Отметим работы [21-23].
В [24] с помощью теории сингулярного оптимального управления решена задача о переводе стержня с двумя источниками истечения массы на концах по заданному закону из горизонтального положения в указанное наклонное за минимальное время (рис. 1).
Брахистохроннное движение протяженных тел
Предыдущая ссылка относится к брахистохронному движению механического объекта конечных размеров. В работе [25] рассмотрены к твердых тел, связанных шаровыми шарнирами в замкнутую цепь. Обобщенные координаты введены так, что одна из них
избыточная. В брахистохронном движении системы ее изображающая точка движется в подпространстве Ьп-\ по геодезической в метрике йв2 = 2Т(&)2, а центр масс - по циклоиде.
Ф
%
В, С0 А,
Рис. 1. Система переменной массы
Еще один вариант задачи о брахистохронном движении твердого тела рассмотрен в работе [26] (рис. 2)
Рис. 2. Отрезок В'СВ фиксирован в теле
Центр масс С тела скользит по гладкой кривой, имея скорость, постоянно направленную вдоль фиксированного в теле вектора В' В. Это кинематическое условие приводит к него-лономной связи.
Брахистохронное движение саней Чаплыгина изучается в работе [27] с помощью принципа максимума. В качестве управления выбрана сила реакции горизонтальной плоскости, приложенная к режущему колесику. Несмотря на то, что управление входит в уравнения движения линейно, применимость принципа максимума обеспечивается наличием априорного ограничения на величину силы, которое даёт известное условие Каратеодори в этой задаче.
В [28] изучается брахистохронное движение 4-колесной тележки.
В заключение краткого обзора обобщений классической задачи о брахистохроне отметим работу [29], результат которой был переоткрыт несколько раз. Автор этой работы заметил, что физический прибор, демонстрирующий наглядно экстремальное свойство циклоиды с помощью тяжелого шара, который катится по параллельным направляющим, изогнутым в виде циклоиды, не совсем демонстрирует классическую задачу. Действительно, шар имеет, по крайней мере, дополнительную степень свободы по сравнению с материальной точкой - маленьким колечком, скользящим по гладкой циклоиде. Поэтому в [29]
рассмотрена другая модель, аппроксимирующая опыт с шаром: тяжелый диск катится без скольжения по некоторой кривой, и ставится задача об отыскании траектории диска между двумя заданными его положениями так, чтобы центр скатывающегося диска преодолел путь за минимальное время. Ответом служит циклоида ОА для центра диска (рис. 3), но вот отсутствие скольжения в стартовой точке, где касательная к циклоиде вертикальна, не может быть реализовано силой сухого трения. При этом эквидистантная опорная кривая обладает свойством таутохронности.
Рис. 3. Скатывание тяжелого диска
3. Задача о брахистохроне сухим трением
Впервые она была решена в работе [30] методом условной вариационной задачи. Недавно было показано, что это решение получается с помощью вариационной задачи с двумя изопериметрическими условиями [31]. Заметим также, что впервые данная задача с помощью теории сингулярного оптимального управления была решена в работе [32].
Естественные уравнения движения тяжелой частицы, соскальзывающей по кривой с сухим трением, можно записать в виде линейного уравнения относительно модуля v скорости частицы (g - ускорение свободного падения):
'V — kv(p = g(sin у — k cos у), которое стандартной подстановкой Лагранжа
v(y) = C (у)ек7
приводится к уравнению
C 'ек{ру = g(sin у — k cos у)
(C(у) - неизвестная функция).
Последнее равенство позволяет записать искомый функционал
Т =7 ekv'C (у)
J g(sin у — k cos у) '
70
подлежащий минимизации. В классической задаче о брахистохроне соответствующий функционал доставляет интеграл энергии.
Так как при движении частицы по искомой кривой
x = C (у)ек7 cos у, y = C (у)ек7 sin у,
то имеем
ag
e2kpCC' cos у sin у — k cos у
dy,
bg =
e2kpCC' sin у sin у — k cos у
dy
(2)
P0
P0
где Уо,У1 - незакреплённые начальное и конечное значения независимой переменной. Задача отыскания брахистохроны сводится к нахождению функции C(у) такой, что функционал (1) принимает минимальное значение при ограничениях (2). Это классическая вариационная задача с двумя изопериметрическими условиями (2) и решается она тоже методом Лагранжа с двумя подлежащими нахождению неизвестными множителями А1 и А2, которые являются не функциями, а числами.
Составляем функцию Лагранжа:
F =
ekpC' + e2kpC 'C(Ai cos у + A2 sin у) sin у — k cos у
где А1, А2 - постоянные множители Лагранжа, которые подлежат определению в процессе решения изопериметрической вариационной задачи. Полная вариация функционала
r>pi
J
F(у, C, C') (у
'poo
имеет вид
ÖJ =
^ _ dF \ dF с F — C '^г. I 0у + ÖC
dC■
dC'
pi
+ / ÖC
P0 Jpo
dF d ( dF
dC (1у\сЮ'
dy.
(3)
В силу структуры функции F и оговоренного в постановке задачи условия v(yo) = 0 равенство нулю на брахистохроне терминального члена в (3) даёт единственное соотношение:
_ pkpi
C (yi) = 1-^—'
Ai cos yi + A2 sin yi
а уравнение Эйлера оказывается конечным уравнением относительно искомой функции C(y), откуда
C (у) =
e-kp(k2 + 1) cos у
(k sin 2у — 1 — k2 — k2 cos 2у) A1 — k(cos 2у + k sin 2у) A2
В работе [31] показано, что если отношение т = А1 /А2 найдено при помощи численного решения некоторого сильно нелинейного трансцедентного уравнения, то уравнения экстремали получаются явно, в конечном виде.
Отметим еще, что в результате решения задачи получаются две экстремали, одна из которых является посторонним решением. Оно легко идентифицируется. Появление постороннего решения при определенных ограничениях на параметры встречается, например, в изопериметрической задаче о катеноиде.
Литература
1. Hess H.-J., Nagel F. (eds.). Der Ausbau des Calculus durch Leibniz und die Bruder Bernoulli. Wiesbaden: Steiner, 1989.
2. Boyer Carl B., Merzbach Uta C. (rev.). A History of Mathematics. 2nd ed. N.-Y. etc.: John Willey and Sons. Inc., 1991.
3. Die Streitschriften von Jacob und Johann Bernouli: Variationsrechnung. Bearbeitet und kommentiert von Herman H. Goldstone, mit historischen Anmerkungen von Patricia Radelet-de Grave. Basel-Boston-Belrin: Birkhauser, 1991.
4. Thiele Rudiger. Von den bernoullischen Brachistochrone zum Kalibrator-Konzept: ein historischer Abriss zur Entstehung der Feldtheorie in der Variationsrechnung (hinreichende Bedingungen in der Variationsrechnung). Turnhout: Brepols, 2007.
5. Peiffer Jeanne. Le probleme de la brachystochrone a travers les relations de Jean I. Bernoulli avec l'Hospital et Varignon. (See [1], P. 59-81).
6. Benson D.C. An Elementary Solution of the Brachistochrone Problem // Amer. Math. Monthly. 1969. V. 76, N 8. P. 890-894.
7. Lawlor G. A New Minimization Proof for the Brachistochrone // Amer. Math. Monthly. 1996. V. 103, N 3. P. 242-249.
8. Boute R.T. The Brachistochrone Problem Solved Geometrically: A Very Elementary Approach // Mathematics Magazine. 2012. V. 85, N 3. P. 193-199.
9. Cooper P.W. Through the Earth in Forty Minutes // Amer. J. Phys. 1966. V. 34. P. 68-70.
10. Venezian G. Terrestrial Brachistochrone // Amer. J. Phys. 1966. V. 34. P. 701.
11. Kleinschmidt, W., Schulze, H.K. Brachistochronen in einem zentral symmetrischen Schwerefeld // Z. Angew. Math. Mech. 1970. Bd. 50. T2340-T236.
12. Denman Harry H. Remarks on brachistochrone-tautochrone problems // Amer. J. Phys. 1985. V. 53. P. 224-227.
13. Scarpello G.M. and Ritelli D. Planar brachistochrone of a particle attracted in vacuo by an infinite rod // New Zealand J. Math. 2007. V. 36. P. 241-252.
14. Vratanar, B, Saje, M. On the analytical solution of the brachistochrone problem in a non-conservative field // Int. J. Non-Linear Mech. 1998. V. 33, N 3. P. 489-505.
15. Goldstein H. and Bender C. Relativistic brachistochrone //J. Math. Phys. 1986. V. 27. N 2. P. 507-511.
16. Cannoni, Piccione, Verderesi An approach to the relativistic brachistochrone problem by sub-Riemannian geometry //J. Math. Phys. 1997. V. 38, N 12. P. 6367-6381.
17. Scarpello G.M. and Ritelli D. Relativistic brachistochrones under electric or gravitational uniform fields // Z. Angew. Math. Mech. 2006. V. 86, N 9. P. 736-743.
18. Jellett J.H. The Calculus of Variations. Dublin: Univ. Press, 1850. P. 287-334).
19. Djukic Dj. The brachistochronic motion of a material point on surface // Riv. Mat. Univ. Parma. 1976. V. 2, N 4. P. 177-183.
20. Covic V. and Veskovic M. Brachistochrone on a surface with Coulomb friction // Int. J. Non-Lin. Mech. 2008. V. 43. P. 437-450.
21. Иванов А.И. О брахистохроне частицы переменной массы с постоянным отношением количества присоединяемых и отделяемых частиц // Докл. АН УССР. Сер. А. 1968. С. 683-686.
22. Руссаловская А.В., Иванов Г.И., Иванов А.И. О брахистохроне точки переменной массы с трением и экспоненциальным законом истечения массы // Докл. АН УССР. Сер. А. 1973. С. 1024-1026.
23. Jeremic O., Calinic S., Obradovic A. and Mitrovic Z. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields // Math. and Computer Modelling. 2011. V. 54. P. 29002912.
24. Obradovic A., Calinic S, Jeremic O. and Mitrovic Z. Brachistochronic motion of a variable mass system. - In: Trans. Third Serbian (28th Yu) Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Vlasina lake, Serbia, 5-8 July 2011). P. 1237-1246.
25. Vukman M. Covic, Mirjana M. Lukacevic. Extension of the Bernoulli's case of a brachistochronic motion to the multibody system in the form of a closed kinematic chain // Univ. of Nic. J. FACTA UNIVERSITATIS Ser.: Mechanics, Automatic Control and Robotics. 1999. V. 2, N 9. P. 973-982.
26. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона для твердого тела, скользящего по кривой // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2013. № 4. С. 71-87.
27. S. Salinic S, Obradovic A., Mitrovic Z., and Rusov S. On the brachistochronic motion of the Chaplygin sleigh // Acta Mech. Published online 20 April 2013.
28. Radulovic R, Obradovic A., Salinic S. and Mitrovic Z. The brachistochronic motion of a wheeled vehicle // Nonlinear Dyn. Published online 26 August 2016.
29. Rodgers E. Brachistochrone and Tautochrone Curves for Rolling Bodies // Amer. J. Phys. 1946. V. 14. P. 249-252.
30. Ashby N., Brittin W.E., Love W.F. and Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction // Amer. J. Phys. 1975. V. 43, N 10. P. 902-906.
31. Sumbatov A.S. Brachistochrone with Coulomb friction as the solution of an isoperimetrical variational problem // Int. J. Non-Linear Mech. 2017. V. 88. P. 135-141.
32. Lipp S. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. V. 35, N 2. P. 562-584.
References
1. Hess H.-J, Nagel F. (eds.). Der Ausbau des Calculus durch Leibniz und die Bruder Bernoulli. Wiesbaden: Steiner, 1989.
2. Boyer Carl B, Merzbach Uta C. (rev.). A History of Mathematics. 2nd ed. N.-Y. etc.: John Willey and Sons. Inc., 1991.
3. Die Streitschriften von Jacob und Johann Bernouli: Variationsrechnung. Bearbeitet und kommentiert von Herman H. Goldstone, mit historischen Anmerkungen von Patricia Radelet-de Grave. Basel-Boston-Belrin: Birkhauser, 1991.
4. Thiele Rudiger. Von den bernoullischen Brachistochrone zum Kalibrator-Konzept: ein historischer Abriss zur Entstehung der Feldtheorie in der Variationsrechnung (hinreichende Bedingungen in der Variationsrechnung). Turnhout: Brepols, 2007.
5. Peiffer Jeanne. Le probleme de la brachystochrone à travers les relations de Jean I. Bernoulli avec l'Hospital et Varignon. (See [1], P. 59-81).
6. Benson D.C. An Elementary Solution of the Brachistochrone Problem. Amer. Math. Monthly. 1969. V. 76, N 8. P. 890-894.
7. Lawlor G. A New Minimization Proof for the Brachistochrone. Amer. Math. Monthly. 1996. V. 103, N 3. P. 242-249.
8. Boute R.T. The Brachistochrone Problem Solved Geometrically: A Very Elementary Approach // Mathematics Magazine. 2012. V. 85, N 3. P. 193-199.
9. Cooper P.W. Through the Earth in Forty Minutes. Amer. J. Phys. 1966. V. 34. P. 68-70.
10. Venezian G. Terrestrial Brachistochrone. Amer. J. Phys. 1966. V. 34. P. 701.
11. Kleinschmidt, W, Schulze, H.K. Brachistochronen in einem zentral symmetrischen Schwerefeld. Z. Angew. Math. Mech. 1970. Bd. 50. T2340-T236.
12. Denman Harry H. Remarks on brachistochrone-tautochrone problems. Amer. J. Phys. 1985. V. 53. P. 224-227.
13. Scarpello G.M. and Ritelli D. Planar brachistochrone of a particle attracted in vacuo by an infinite rod. New Zealand J. Math. 2007. V. 36. P. 241-252.
14. Vratanar, B, Saje, M. On the analytical solution of the brachistochrone problem in a non-conservative field. Int. J. Non-Linear Mech. 1998. V. 33, N 3. P. 489-505.
15. Goldstein H. and Bender C. Relativistic brachistochrone. J. Math. Phys. 1986. V. 27, N 2. P. 507-511.
16. Cannoni, Piccione, Verderesi An approach to the relativistic brachistochrone problem by sub-Riemannian geometry. J. Math. Phys. 1997. V. 38, N 12. P. 6367-6381.
17. Scarpello G.M. and Ritelli D. Relativistic brachistochrones under electric or gravitational uniform fields. Z. Angew. Math. Mech. 2006. V. 86, N 9. P. 736-743.
18. Jellett J.H. The Calculus of Variations. Dublin: Univ. Press, 1850. P. 287-334).
19. Djukic Dj. The brachistochronic motion of a material point on surface. Riv. Mat. Univ. Parma. 1976. V. 2, N 4. P. 177-183.
20. (Covic V., Veskovic M. Brachistochrone on a surface with Coulomb friction. Int. J. Non-Lin. Mech. 2008. V. 43. P. 437-450.
21. Ivanov A.I. On the brachistochrone of a particle of variable mass with a constant ratio of the number of particles to be attached and separated. Dokl. Ukrainian Acad. Sc. Ser.A. 1968. Pp. 683-686 (in Russian).
22. Russalovskaya A.V. Uvanov G.I. and Ivanov A.I. On the brachistochrone of a particle of variable mass with friction and exponential law of mass outflow. Ukrainian Acad. Sc. Ser. A. 1973. P. 1024-1026 (in Russian).
23. Jeremic O., ¡Salinic S., Obradovic A. and Mitrovic Z. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields. Math. and Computer Modelling. 2011. V. 54. P. 29002912.
24. Obradovic A., ¡Salinic S., Jeremic O. and Mitrovic Z. Brachistochronic motion of a variable mass system. - In: Trans. Third Serbian (28th Yu) Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Vlasina lake, Serbia, 5-8 July 2011). P. 1237-1246.
25. Vukman M. Covic, Mirjana M. Lukacevic. Extension of the Bernoulli's case of a brachistochronic motion to the multibody system in the form of a closed kinematic chain. Univ. of Nic. J. FACTA UNIVERSITATIS Ser.: Mechanics, Automatic Control and Robotics. 1999. V. 2, N 9. P. 973-982.
26. Golubev Yu.F. Brachistochrone for a rigid bogy slidng along a curve. Izv. RAS. Theory and Systems of Control. 2013. N 4, P. 71-87 (in Russian).
27. S. ¡Salinic S., Obradovic A., Mitrovic Z., and Rusov S. On the brachistochronic motion of the Chaplygin sleigh. Acta Mech. Published online 20 April 2013.
28. Radulovic R., Obradovic A., ¡Salinic S. and Mitrovic Z. The brachistochronic motion of a wheeled vehicle. Nonlinear Dyn. Published online 26 August 2016.
29. Rodgers E. Brachistochrone and Tautochrone Curves for Rolling Bodies // Amer. J. Phys. 1946. V. 14. P. 249-252.
30. Ashby N., Brittin W.E., Love W.F. and Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction. Amer. J. Phys. 1975. V. 43, N 10. P. 902-906.
31. Sumbatov A.S. Brachistochrone with Coulomb friction as the solution of an isoperimetrical variational problem. Int. J. Non-Linear Mech. 2017. V. 88. P. 135-141.
32. Lipp S. Brachistochrone with Coulomb friction. SIAM J. Control Optim. 1997. V. 35, N 2. P. 562-584.
Поступила в редакцию 13.07.2017
