Об одной классической задаче вариационного исчисления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.2.1996

УДК 517.97

Об одной классической задаче вариационного

исчисления

И. Л. Зинченко

В работе доказана аналитическая зависимость от координат точек времени наискорейшего скатывания в задаче о брахистохроне.

Напомним задачу о брахистохроне. В вертикальной плоскости даны две точки А и В ( В находится ниже А). Требуется определить кривую, соединяющие эти точки, при движении по которой материальная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем).

В данной вертикальной плоскости поместим начало координат в точку А, ось х направим горизонтально, а ось у направим вертикально вниз. Пусть точка В имеет координаты (а , Ь) , а, Ь > 0. Известно, что если точка скатывается по гладкой кривой у(х), соединяющей А и Б, то время скатывания задается формулой

Экстремалями функционала Ь, выходящими из начала координат, являются циклоиды, которые параметрически задаются формулами:

Если выбрать с из условия прохождения циклоиды через точку В, то полученная кривая и есть брахистохрона. Она доставляет сильный минимум функционалу (1), т.е. является кривой наискорейшего спуска. Обозначим через Т(а, Ь) время наискорейшего спуска из А в В.

(1)

х = с(£ — вт с > 0 у = с(1 - С08 0 0 < г < 2тг.

(2)

© Зинченко И. Л., 1996.

Теорема. Функция Т(а, Ь) аналжпична в первом координатном угле А — {(а, Ь) [ а,Ь > 0}.

Доказательство. Заметим, что циклоиды семейства (2) попарно не пересекаются (за исключением общей начальной точки) и заполняют первый координатный угол Д. Отсюда следует, что отображение Т : D —* Д, где D = {(с, t) | с > 0,0 < t < 2тг}, а Т определяется формулами (2), взаимно - однозначно и T(D) = Д. Докажем, что якобиан J отображения Т отличен от нуля в каждой точке D. Действительно, J — cf(t), где f(t) — t sin t + 2 cos t — 2, f'(t) = tcost — sin t . Пусть t* - корень уравнения t,gt — t = ü при 0 < / < 2тг (t* определено однозначно). Так как f'(t) < 0 при 0 < t < t\ и f'(t) > 0 при Г < t < 2тг, и так как /(0) = /(2тг) = 0, то f(t) <0 при 0 < t < 2п. Следовательно, J 0 в IJ. Так как отображение Т аналптично, то отсюда следует, что обратное отображение Т~1 : Д —» D является аналитическим. Значит,: система уравнений:

при (а, 6) £ Д однозначно разрешима относительно (с, £ при этом функции с{а,Ь), ¿(а, 6), определяемые из этой системы, анали-тичны в Д. Найдем теперь время наискорейшего скатывания из А

Эта функция аналитпчна, в Д. Теорема доказана. Summary

Zinchenko I. L. About one classical problem of variational calculus

In this work the remark to one classical problem of variational calculus is proved.

Сыктывкарский университет Поступила 30.01.96

c(t — sin t) — a c(l — cos t) — b

в В

dx — \fc{jijl) ■ i (a, b) .

1