CC BY
65Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ в рамках конкурса "Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными группами" (проект № 14-49-00091).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная азрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.
2. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Габинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах: Учеб. пос. М.: Физматлит, 2004.
3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
Поступила в редакцию 18.06.2015
УДК 531.552
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ О БРАХИСТОХРОНЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ И МАКСИМИЗАЦИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ
А. В. Зароднюк1, О.Ю. Черкасов2
Рассмотрены задача о максимизации горизонтальной координаты точки, движущейся в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и сухого трения, и взаимосвязанная с ней задача о брахистохроне. Задача оптимального управления сведена к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. Проведен качественный анализ траекторий этой системы, установлены их характерные свойства, проиллюстрированные численным решением краевой задачи. Показано, что при движении по оптимальной кривой нормальная составляющая реакции опоры должна быть положительна. Рассмотрен вопрос об оптимальности найденных экстремалей.
Ключевые слова: задача о брахистохроне, сухое трение, оптимальная траектория, особое управление, фазовый портрет.
The range maximization problem of a particle moving in a vertical plane under the action of gravity and dry friction and the corresponding brachistochrone problem are considered. The optimal control problem is reduced to a boundary value problem for a system of two nonlinear differential equations. A qualitative anaslysis of the trajectories of this system is carried out, their typical features are found and illustrated by numerical solving of the boundary value problem. It is shown that the normal component of the support reaction should be positive when moving along the optimal curve. The optimality of the found extremal trajectories is discussed.
Key words: brachistochrone problem, dry friction, optimal trajectory, singular control, phase portrait.
1. Введение. Интерес к задаче о брахистохроне при наличии сопротивления вызван различными возможными приложениями, такими, как управление ориентацией постоянной по модулю тяги летательного аппарата для минимизации времени перехода из одной точки орбиты в другую [1] или задача об оптимальном догоне прямолинейно движущегося самолета [2]. Представление об оптимальных траекториях в свою очередь необходимо для построения программных траекторий движения, которые используются при разработке математического обеспечения для пилотажных тренажеров, применяемых с целью обучения и тестирования пилотов и операторов, управляющих различными движущимися объектами, в частности летательными аппаратами [3]. Одной из задач
1 Зароднюк Алёна Владимировна — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alenaz90_Qinbox.ru.
2 Черкасов Олег Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oyucheQyandex.ru.
пилота является управление движущимся объектом по желаемой траектории движения. После того как найдена программная траектория, определяются характерные перегрузки, действующие на пилота во время движения летательного аппарата по программной траектории. Эти перегрузки как функции времени подлежат воспроизведению на тренажере в процессе динамической имитации движения. При активном участии пилота в управлении объектом вычислитель тренажера, используя информацию от органов управления, интегрирует уравнения движения объекта и получает программную траекторию. По параметрам этой траектории формируются управляющие сигналы на исполнительные механизмы тренажерного стенда.
Различные обобщения классической задачи о брахистохроне рассматривались в работах [1, 4-8], где исследовалось влияние сухого трения. В [4] аналитически найдены параметрические формулы для брахистохрон при действии и сухого, и вязкого трения. При этом рассматривался класс оптимальных траекторий, для которых время прохождения каждой ее внутренней точки минимально для этой точки. Несмотря на имеющееся аналитическое продвижение в решении задачи с трением, исследователи обращаются к конструктивным численным приемам [5].
Целью настоящей работы является качественный анализ задачи о брахистохроне при наличии сухого сопротивления, позволяющий установить характерные свойства траекторий без численного моделирования. Работа продолжает исследования, представленные на первой конференции IFAC MICNON 2015 [9]. Качественный анализ траекторий задачи о брахистохроне при наличии вязкого трения проведен в [10].
2. Постановка задачи. Рассматривается движение материальной точки массы m в вертикальной плоскости в однородном поле сил тяжести и под действием силы сухого трения. Классическая постановка задачи о брахистохроне состоит в выборе формы траектории, которая соединяет две заданные точки вертикальной плоскости и время движения по которой рассматриваемой материальной точки минимально. Для удобства исследования будем рассматривать задачу максимизации горизонтальной дальности за фиксированное время. Предполагается, что зависимость максимальной дальности от времени носит монотонный характер. Тогда задача о брахистохроне и задача максимизации дальности за заданное время взаимосвязаны в следующем смысле: если полученное в результате решения задачи с фиксированным временем максимальное значение дальности принять в качестве заданного конечного условия для задачи быстродействия, то минимальное время, полученное в результате решения последней, совпадет с тем временем, которое было фиксировано при решении задачи максимизации дальности. Траектории также совпадут.
Уравнения движения имеют вид [4]
Y = W,
(1)
V = -kV\U\ -WU, W = -g-kW\U\+VU.
Здесь X, Y — соответственно горизонтальная и вертикальная координаты точки; V и W — горизонтальная и вертикальная скорости; U = 2 — управление, где N — реакция опоры, зависящая
от формы кривой, по которой точка вынуждена двигаться (ограничения на управление отсутствуют); g — ускорение силы тяжести; к — коэффициент сухого трения.
Перейдем к безразмерным переменным х, у, v, w и безразмерному времени т по формулам
X = Y = Y*y, V = V*v, W = W*w, U = U*u, t = t*r,
где масштабы переменных определяются следующим образом:
V* = gt*, W* = gt*, X* = V*t*, Y* = W*t*, U*=g/V*, и запишем систему (1) в виде
( X = V,
y = w,
v = — kv\u\ — wu, ч w = — 1 — kw\u\ + vu.
Дифференцирование по безразмерному времени будем по-прежнему обозначать точкой.
Начальные и конечные условия для системы (2) имеют вид
ж(0) = х0, у(0) = уо, у2(0) + и)2( 0) = V2
(3)
у{Т), v{T), w(T) свободны,
где Vo — модуль начальной скорости.
Целью управления является минимизация функционала
J = -х(Т), (4)
или максимизация горизонтальной координаты в момент окончания процесса, время Т задано. Поскольку условия на конечное значение у(Т) отсутствуют, решение задачи (2)-(4) дает достижимую верхнюю оценку максимально возможной дальности. Соответственно решение задачи быстродействия дает нижнюю оценку времени перевода материальной точки из заданных начальных условий в точку с заданными финальными координатами.
3. Условия оптимальности. Для исследования поставленной задачи применим принцип максимума Л.С. Понтрягина [11]. Функция Понтрягина для задачи (2)-(4) имеет следующий вид:
H = фху + ipyw + ipv(—kv\u\ — wu) + ipw(—1 — kw\u\ + vu) = C,
где С — неизвестная константа. Уравнения относительно сопряженных переменных запишутся в форме
фх = о,
= (5)
фь = -фх + ф-юк\и\ - ф,ши,
^Фуо = ~Фу + ФvU + фуоЦи\. Из условий трансверсальности определяются конечные значения для сопряженных переменных
фх(Т) = 1, фу(Т) = 0, МТ) = 0, фи,(Т) = 0. (6)
Из соотношений (5), (6) имеем фх(т) = 1, фу(т) = 0.
Исследуем возможности раскрытия модуля в задаче (2)-(4). В общем случае модуль раскрывается следующим образом:
(u+(v,w), u+(v,w)^î 0; \u(v,w)\ = < _
I — u~(v, w), u~(v,w) < 0.
Однако оказывается, что неравенства u+(v,w) ^ 0 и u~(v,w) <0 могут быть выполнены при одних и тех же значениях v, w, что не позволяет сделать однозначный выбор.
В статье [7] установлено, что при раскрытии модуля управления со знаком "+" необходимое условие Келли [12] оптимальности особого управления выполнено, случай раскрытия со знаком "—" не исследовался.
В работе [4] задача о брахистохроне рассматривается на специальном классе экстремалей, для которых модуль управления раскрывается в соответствии с правилом
(u+(v,w), v(T)> 0; \u(v,w)\ = <
\-u~(v,w), v(T) < 0.
В работе [8] нормальная компонента силы реакции предполагается направленной в противоположную сторону от вектора силы тяжести относительно траектории движения, что также позволяет раскрыть модуль однозначно.
Проанализируем оба варианта раскрытия модуля.
Пусть и ^ 0. Поскольку область допустимых значений управления открыта, экстремум функционала достигается на особом управлении. Для его вычисления запишем функцию H в виде слагаемых, первое из которых не зависит от управления явным образом, а второе — зависит:
H = Н0 + Щи,
где Н0 = v - фш, Н\ = —ipv(w + kv) + фи,(у - kw).
Предположим, что функция //1 тождественно обращается в нуль на некотором отрезке о Е [0;Т]. Дифференцируя И\ по времени в силу систем (2) и (о), с учетом условия Н\(т) = 0 получим
#1 = 0
kv + w + tpv + kipw = 0.
(7)
После повторного дифференцирования из соотношения Н\(т) = 0 находим явное выражение для особого управления:
и+ =_^_ (8)
Необходимое условие Келли оптимальности особого управления ^¡(#1) ^ 0 соответствует требованию
W
- 2kvw + v2{l - 2к2)
> 0.
Это условие выполнено для всех точек полуплоскости (v,w),v > 0, для которых и = и+ при и+ ^ 0. Кроме того, заметим, что sign ((дд^f1 )) = sign (u+(v, w)). Следовательно, управление и+ удовлетворяет необходимым условиям оптимальности во всех точках полуплоскости (v,w),v > 0, где и+ ^ 0, что совпадает с результатом работы |7|. Из условий (6), (7) получаем, что в момент окончания процесса должно быть выполнено равенство w(T) = —kv(T).
Покажем, что при движении с и = и+ экстремальная траектория находится в той части плоскости (v, w), в которой управление удовлетворяет условию Келли.
Рассмотрим выражение в знаменателе (8) как квадратный трехчлен относительно w. Его дискриминант имеет вид D = iv2(3к2 — 1). Если к ^ "Тз' т0 выражение u+(v,w) неотрицательно и может обращаться в нуль при к = на прямой w = kv. При к > знаменатель выражения (8) имеет два различных решения w\ = (к + л/3к2 — 1 )г?, w-2 = (к — л/3к2 — 1)г>. Области знакопостоянства функции u+(v,w) указаны на рис. 1. Стрелками обозначено направление поворота прямых, на которых меняется знак управления, при увеличении к.
Неравенства
-к ^к - л/Зк2 - 1 < к + л/Зк2 - 1
выполнены для всех к ^ поэтому прямая w = —kv в полуплоскости (v,w),v > 0 расположена ниже прямой w-2 = (к — л/3к2 — 1)г>. В случае и ^ 0 задача оптимального управления (2) (4) сведена к следующей краевой задаче для динамической системы:
Рис. 1. Области знакопостоянства функции u+(v, iv)
v = —
2v(w + kv)
w = —
w2-2kvw+ v2{l-2k2Y w2-v2(l + 2k2)
(9)
w2-2kvw +v2{I-2k2)
с краевыми условиями
v2(0) + w2(0) = Vj, w(T) = —kv(T).
(10)
Рис. 2. Фазовый портрет системы (9)
Анализ показывает, что система (9) не имеет стационарных решений. Фазовый портрет этой системы представлен на рис. 2.
Решение краевой задачи (9), (10) траектории, начинающиеся на окружности г;2(0) + го2(0) = Уо2 и заканчивающиеся на прямой го(Г) = —кь(Т). Из фазового портрета ясно видно, что область
возможных начальных условий расположена между вертикальной осью координат и прямой т = —ки (отмечена серым цветом на рис. 2). Следовательно, для всех к > 0 конечное многообразие и> = —ки достижимо при управлении и = и,+ для всех возможных значений начальной скорости Уо, и это мнох'ообразис всех да лежит в области, где выполнено условие Колли для управления и = и+.
Следующая особенность оптимальных траекторий очевидна: начальная точка (1>о,и>о) движется но дуге упомянутой окружности к вертикальной оси но мере увеличения заданных значений Т времени окончания процесса. Ясно также, что для всех значений начальной скорости траектории в плоскости (х,у) выпуклы вниз.
Из соотношений Но = С, II \ = 0, //1 = 0 получаем первый интеграл системы (9):
(у - C)v{k2 + 1) + (kv + wf
0.
Каждой траектории системы (9) соответствует свое значение константы С, которое легко определяется, например в точках пересечения траектории с осью абсцисс С = г>(1 + к2/(к2 + 1)). Иными словами, траектория, удовлетворяющая принципу максимума необходимому условию оптимальности, единственна. Поэтому экстремаль является оптимальной траекторией.
Если решения и(т), и>(т) задачи (9), (10) найдены, то соответствующая траектория в плоскости {х,у) определяется из первых двух уравнений системы (2) с помощью квадратур. Эти качественные свойства оптимальных траекторий устанавливаются без численного интегрирования и совпадают с результатами, полученными в работах [1, 4 8].
Решение краевой задачи осуществлялось методом стрельбы. После того как было найдено это решение и(т), и>(т), траектории в плоскости {х,у) определялись интегрированием первых двух
уравнений системы (2). Результаты моделирования представлены на рис. 3 при к = 0,5 для различных значений заданного времени окончания процесса.
Пусть и < 0. Тогда особое управление вычисляется по формуле
2v
и =
w2 + 2kvw + v2(l-2k2)'
Условие Келли принимает вид
иг
+ 2kvw + v2(l -2к2)
> 0.
(П)
(12)
Рис. 3. Экстремальные траектории в плоскости (ж, у)
Из (12) следует, что значение и~ в (11) неотрицательно. Заметим, что выбор управления и = и~ возможен только при и~ < 0. Следовательно, траектория в задаче о брахистохроне с сухим трением не включает в себя духу с управлением и = и~, что подтверждает предположения, высказанные в работах [4, 7, 8].
4. Выводы. Проведенный анализ показывает, что в задаче о брахистохроне с сухим трением модуль управления может быть раскрыт единственным образом, а именно и = г/+, и+(1>,и>) ^ 0. Условие Келли выполнено только в той области, где и+(1>,и>) ^ 0. Конечное многообразие «> = —ки при всех значениях к лежит в этой области. Все траектории, являющиеся допустимыми, при любых начальных условиях и любых значениях фиксированного времени окончания процесса Т не покидают область и+(1>,и>) ^ 0. Таким образом, реакция опоры N вдоль оптимальной кривой положительна.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 14 50 00029.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. S'tissmann Н. ,1., Willems J. С. 300 years of optimal control: from the bracliystochroric to the maximum principle // IEEE Control Systems Magazine. 1997. 17, N 3. 32 44.
2. Медников B.H. Динамика полета и пилотирование самолетов. Монино: Изд-во ВВА, 1976.
3. Александров В.В., Воронин Л.И., Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. М.: Изд-во МГУ, 1995.
4. Голубев Ю. Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 5. 41 52.
5. Wensrich С.М. Evolutionary solutions to the brachistochrone problem with Coulomb friction // Mech. Res. Communs. 2004. 31, N 2. 151-159.
6. Ashby N., Brittin W.E., Love И "./•'.. Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction // Amer. J. Phys. 1975. 43, N 10. 902-905.
7. Lipp S.C. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. 35, N 2. 562-584.
8. Salinic S., Obradovich A., Mitrovic Z., Rusov S. Brachistochrone with limited reaction of constraint in an arbitrary force field // Nonlinear Dyn. 2012. 69, N 1. 211-222.
9. Cherkasov O. Yu., Zarodnyuk A. V. Brachistochrone problem with Coulomb friction and viscous drag: qualitative analysis // Proc. 1st IFAC Conf. on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems (MICNON 2015). June 24-26, St. Petersburg. St. Petersburg, 2015. 1028-1033.
10. Зароднюк А,В., Черкасов О.Ю. К задаче о брахистохроне с линейным вязким трением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 3. 65-69.
11. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
12. Kelley H.J., Корр R.E., Moyer H.G. Singular extremal // Topics in Optimization / Ed. by G. Leitmann. N.Y.; L.: Academic Press, 1967. 63-101.
Поступила в редакцию 07.06.2015
