Нестационарное осесимметричное деформирование упругого пространства со сферической полостью под действием объемных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Тирский Г.А. Взаимодействие космических тел с атмосферами Земли и планет // Соросовский образ, жури. 2000. 6, № 5. 76-82.

8. Тирский Г.А., Ханукаева ДМ. Баллистика дробящегося метеорного тела с учетом уноса массы в неизотермической атмосфере II // Космич. исслед. 2008. 46, № 2. 120-132. (Tirskiy G.A., Khanukaeva D. Y. Ballistics of a fragmenting meteor body with allowance made for ablation in the non-isothermal atmosphere // Cosmic Res. 2008. 46, N 2. 122-134.)

9. Егорова JI.А., Лохип В.В. Баллистика и разрушение космических тел в атмосфере планет // Вестн. Нижегород. ун-та им. II.II. Лобачевского. Ч. 2. 2011. № 4. 130-132.

10. Egorova L.A. , Lokhin V. V. On the mechanism of crushing meteoroid with end flash effect // EPSC Abstracts. Vol. 7. EPSC2012-769 2012 (Electronic publication): http://meetingorganizer.copernicus.org/EPSC2012/ EPSC2012-769.pdf.

Поступила в редакцию 10.06.2015

УДК 539.3

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОБЪЕМНЫХ СИЛ

В. А. Вестяк1, Д. В. Тарлаковский2

Рассматривается однородное упругое изотропное пространство со сферической полостью, на которое действуют нестационарные осесимметричные объемные силы. На границе полости возмущения отсутствуют. Для решения используются разложения в ряды по полиномам Лежандра и их производным, а также преобразование Лапласа по времени. Решение представлено в интегральном виде с ядрами в виде функций Грина. Определена структура этих ядер и найдены их оригиналы. Приведены примеры расчетов.

Ключевые слова: упругое пространство, сферическая полость, ряды по полиномам Лежандра, преобразование Лапласа, функции Грина.

A homogeneous elastic isotropic space with a spherical cavity is considered. Unsteady-asymmetric volume forces are exerted on this space. Disturbances are absent at the boundary of the cavity. Series expansions in Legendre polynomials and their derivatives as well as the Laplace time transform are used. The solution is represented in an integral form with kernels in the form of Green's functions. The structure of these kernels is determined and their originals are found. Numerical results are discussed.

Key words: elastic space, spherical cavity, Legendre polynomials, Laplace transform, Green's functions.

Введение. К настоящему времени достаточно подробно исследованы нестационарные процессы в упругих телах со сферическими границами под действием поверхностных нагрузок (см., например, [1]). При этом малоизученным остается воздействие на такие тела нестационарных объемных сил, что объясняется сложностью построения решений неоднородных уравнений теории упругости. Одна из таких задач и исследуется ниже.

Постановка задачи. Рассматривается однородное изотропное упругое пространство со сферической полостью радиуса Го, на которое действуют нестационарные объемные силы. Осесиммет-ричное перемещение точек пространства описывается уравнениями Ламе в сферической системе координат г, в, $ (г ^ 0, 0 ^ в ^ ж, —тт < $ ^ 7г) [1, 2]:

u = Ln(u) + L12(v)+Fr(r,e,T), v = L2i(u) + L22(v)+Fe(r,e,T), (1)

1 Вестяк Владимир Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. каф. математического моделирования НИУ МАИ, e-mail: ka£311 Qyandex.ru.

2 Тарлаковский Дмитрий Валентинович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. НИИ Механики МГУ, e-mail: tdvhomeQmail.ru.

где

ЬП (и) = 1 [1Г Си) - т,~% (и)] , Ь12 (V) = М(1 - г?"2) §-г~1 + Т]

-2

1в (у)

¿21 =

/ _2\ 9 2

1 Г/_ д 21 ди

т- /л 1 - 2 1

¿22 (V) = ---^ + Г?"2 -

г оО г

1т {у) + 1в (у) -

вт2 в

, , , д ( 2ди\ , , , 1 д / д Л

1Ли) = д-г{Гд-г)-2щ 1в{и) = ^Гвм{дв8т9)-

Здесь и далее точками обозначаются производные по времени и используются следующие безразмерные величины (их размерные аналоги при одинаковом написании обозначены штрихами):

/ _ г , _ г0 _ с^ , _ и , _ V , _ РГР

г — Т> г0 — т — и — У ~ Т> т 2~>

Ь Ь Ь Ь Ь рс\

РвР

2 ' рс{

с 1 С2

где £ — время; Р — характерный размер; с\ и — скорости распространения волн растяжения-сжатия и сдвига; р — плотность среды; и и и — радиальное и тангенциальное перемещения; Рг и рв — радиальная и тангенциальная координаты вектора осевой силы.

Полагаем, что перемещения ограничены, а граница полости неподвижна (другие варианты однородных условий рассматриваются аналогично):

и,

VI

0.

1г=го 1г=го

В начальный момент времени возмущения отсутствуют:

и\т=0 = -йи_п = = V

1т=0

1г=0

т=0

(2)

(3)

Представление решения. Перемещения и компоненты объемной силы представляем в виде

о /о

рядов по полиномам Лежандра Рп (х) и Гегенбауэра Сп_ 1 (х) [3]:

Е

га=0

ип

± Г1

Рп (сов в)

га= 1

Рвп

СО8 0)

Кроме того, применяем преобразование Лапласа по времени т (верхний индекс соответствует изображению; в — соответствующий параметр). В результате начально-краевая задача (1)-(3) переходит в следующую совокупность краевых задач относительно ограниченных изображений коэффициентов рядов:

= 111п (и%) + ¿12га Ю + ип\г=г0 = 0

= ¿21га «) + ¿22га + Г?2^, ^ | =0 (п ^ 1)

(4)

где

¿Ига (и) = ¿г (и,г) - (ГПТ] 2 + 2) г

-2

и,

т = п (п + 1)

¿21га = -Г 2 (1 — 77 2) (™) г + (1 + Г? 2)и ¿12га (V) = -ГП [¿21га (у) + Г"2 (3 + Г]~2) у] , ¿22га С") = ~

тг 2у.

Применительно к этим задачам вводим функции Грина С^ип и как ограни-

ченные решения следующих задач (<$(£) — дельта-функция Дирака [2]):

■^Сиио = 1по {Оум0) + 5(г - !;), О

ь

ииО

г=г о

= 0;

820Ьаип = 1пп {СЬаип) + ¿12га {СЬиип) +НГ~0 1)

'^(^ъип = ¿21га + ¿22га (С^шг)

Г*-^ I = Г*-^ I = п-

-'иип I г-=т0 1!««, I Г=Г0

(5)

5 ^иьп ~ ¿Ип (^Чгагг) ^12га {{*тп) > ^

= С.

ь | _

ПУТЬ | у^^уд у-^ ПУТЬ | у — уд

0,

(7)

= ¿21га + /22га (С^) + 5 (г - £) (и ^ 1) .

Тогда решение задач (4) записывается так:

оо

У'О (г, 8) = I о (г, е, 5) (£, 5)

го

оо оо

У'п (г, в) = I о^ип (г, е, (е, з)с1£ +1 сьат (г, е,«) (е,«) ¿е,

го г о

оо оо

^га (Г, 5) = I С^ип (Г, 5) Р^п (£, 5) ^ + I О^п (Г, «) ^ (С, 5) ^ (и ^ 1) .

го го

В пространстве оригиналов последние равенства в соответствии со свойствами преобразования Лапласа принимают следующий вид (звездочка обозначает свертку по времени г):

оо

ио (г, т) = J Оии0 (г, т) * Рг0 (С, з)

г о

оо оо

ип (г, т) = J Оиип (г, т) * Ргп (£, + J Сит (г, т) * Рвп (£, з)

го го

оо оо

Уп (г, т) — I С1]ип (г, т) * Ргп в) + I Сгги,ип (г, т) * Р$п в) (и ^ 1).

(8)

го го

Таким образом, определение перемещений при заданных объемных силах сводится к вычислению интегралов (8), для чего необходимо знание ядер этих представлений.

Построение функций Грина. Будем использовать следующие утверждения, которые доказываются с помощью теоремы взаимности.

Теорема. Решения задач, (5)-(7) обладают следующей симметрией:

С с*иип С) С с*иип в), £ с,тп С) С ^'о'оп (С) С) ) С С«г)га (С) С) з) гп( в) .

Следствие. Решения задач, (5)-(7) имеют такую структуру (Я({) — функция Хевисайда):

(г, е,= е2 [Оиип (г, е, о + &аип (е, г, ¿о # (г - о

^ (г, е,= е2 \о^ип (г, е, 8)н^-Г) + & г, 8)н (г- о

(9)

С^га (г, С, 5) = (г, в) Я - г) + (с, г, з)Н(г- £)

^ЬЬП С) — С

(г, е, 5) я (е - г) + (е, г, 8)н(Г- о

Сначала рассмотрим задачу (6). Ее общее решение записываем в виде (г, С, в) = Х„1 (гв) АЫп + Хга2 (гв) А2адга + (г, ,

рЬ _ \Т (~\Ь — (п

^ип у-'иипу ^ьип] 1 "та* V

(10)

иип*1 иип*) ) А-кип (Акит -Вкип) 1) 2)

Х„1 (г) =

(-г) ^Зга {щ) , ^1га (-г) *3га (г]г)

Х„2 (-г) =

' х2п (г) Х4п (г]гУ , ^2га (-г) К!га (г]г)

Здесь Акип и Вкип — произвольные постоянные; G^n* — частное решение системы уравнений (6); Хы (z) и Y[n(z) (I = 1,2,3,4) — функции, которые входят в фундаментальную систему решений, определяются с помощью связи перемещений с потенциалами [1] и имеют следующий вид (к = 1,2):

Хкп (z) = Z'kn (z), Хк+2,п (z) = mz~lZkn {z), Yk+2,n (z) = - [Xkn (z) + z~lZkn (z)] , Ykn (z) = —z~1Zkn (z), Zin (z) = Z~l/2Kn+l/2 {z) , Z2n {z) = z~l/2In+l/2 (z),

где Kv (z) и Iv (z) — модифицированные функции Бесселя [3].

Частное решение находится методом вариации произвольных постоянных и записывается так:

^*ип* С) (Tí С) (т О ) (^Gv,un*i Gvun*^j J

GUun* (у, С) s) = —ÍRuun* (гS, ¿¡s) , Gvunif (Г, s) = -ÇRvun* {fS, ,

где

Ruun* (x, y) = yPun (x, y) + mx~lrjPen (rjx, rjy),

Rvun* (x, y) = yx~lSun (y, x) - Tj2Sen (rjx, rjy).

Здесь и далее использованы следующие связанные с фундаментальной системой решений (12) функции:

Реп (х, у) = Zln (x) Z2n (у) - Zln (y) Z2n (x), Sen (х, у) = Zln (у) Y4n (х) - Z2n (у) Y3n (х), Pan (х, у) = Х1п (х) Х2п (у) - Х1п (у) Х2п (х),

Sun (х, у) = Xln (x) Z2n (у) - ZVn (У) х2п (х), Qen (х, у) = Y3n (x) Y4n (у) - Y3n (y) Y4n (х).

Используя асимптотические свойства функций [3] в (12), получаем, что столбец функций Грина при г —> оо ведет себя следующим образом:

GLan{r,í,s) ~ ^^-xjryV* + (^)] (") +еЧРв [В2ип + r,4Zm (Ф)] (_™в)} •

Таким образом, функции влияния будут ограниченными только при выполнении равенства

А2ып = -е {(sxln (еs), г}2 Z\n ш)т . (13)

Подставляя теперь (11) в граничные условия из (6), получаем систему линейных алгебраических уравнений столбца А\ип:

X„i (r0s) А1ип + Хга2 (r0s) А2ип = 0.

Ее решение подставляем в (11) и с учетом (13) приходим к следующим равенствам для искомых функций Грина:

GUun (У) С)С Guun (г, s) + GUun* (г, s) H (г — £),

Gvua (r> С)С Gvun (г, s) + Gvun* (r, s) H (r — .

Здесь

Tni3 (ros, rjr0s) G^un (r, s) = sXln ((s) Knll (rs, r0s) + r¡2Í~lZin (r¡£s) mKnl2 (rs, r0s), Tni3 (r0s, rjr0s) G^un (r, s) = sXln ((s) Kn21 (rs, r0s) + r¡2Í~lZin (r¡£s) Kn22 (rs, r0s),

(14)

(15)

где

Pni3 (x, y) = XVn (x) Y3n (y) - Y\n (x) X3n (y),

Knl2 (x, y) = Г]-1 {г]~2у~3Хin (x) + X-1 [Xln (y) Sen (г]У, Щ) ~ -n (n + 1) 7]-ly~lYin (y) Pen (vx, w)] } ,

Knll (x, y) = Y3n (rjy) Pun (x, y) + y~lx3n (rjy) Sun (x, y) + y~3x3n (rjx),

Kn2i (x, y) = X'1 [Y3n (rjy) Sun (y, x) - y~lX3n (rjy) Pen (x, y)] + y~3Y3n (rjx),

Kn22 (x, y) = Xln (y) Qen (rjx, w) + mrj^y'1 [Yin (y) Sen (rjx, щ) + rj~2y~2Yín (x)] .

Решение задачи (7) строится аналогично и записывается так:

Guvn {г, í, s) = í2mGLavn (г, s) + G^vn* (г, С, s) Н (г — £) Gvvn (г, s) £ Gvvn (г, s) + Gvvnif (г, s) H (г — £).

(17)

Здесь

(18)

(19)

Тп13 (r0s, r¡r0s) G%vn = rfsY3n (r¡£s) Knl2 (rs, r0s) - £ lZVn (£s) KnU (rs, r0s), Tnl3 (r0s, r¡r0s) G%vn = rfsY3n (r¡£s) Kn22 (rs, r0s) - m(~lZln (£s) Kn21 (rs, r0s);

Guvn* (r, s) = —m£Ruvn* (rs, £s), GvvnJf (r, s) = —S,RVvn* (rs, £s),

я«™* (ж, у) = -x~lyRvun* (у, ж), Д^* (ж, у) = rfyQen (г?ж, г?у) + тж_1Реп (ж, у).

Сравнивая теперь формулы (14) и (17) с (9) и (10), приходим к выводу, что равенства (15) и (18) полностью определяют решения задач (6) и (7). Решение задачи (5) можно получить, полагая п = 0 в (15) и (18).

Оригиналы функций Грина. Выразим модифицированные функции Бесселя полуцелого индекса через элементарные функции [3]:

Кп+1/2 (z) = z-n~l'2Rno (z) e~z^j2, In+1/2 = (-1)^-п~1'2Ко (z) /v^F,

Rn0 ^ = E Ankzn~k, Ank = 2k^n+_]{)\kV Тогда для составляющих функций Грина в (15) и (18) с учетом (16) получаем такие равенства:

2r]2n+lrn+2^n+2s2n+3Dn (roSj ros) Qbun ^ ^ g) = pi^ {f}) ^ 2r]2n+lrn+2^n+2s2n+3Dn (roSj ros) Qbun ^ ^ = pi^ {f}) ^ 2r]2n+lrn+2^n+2s2n+3Dn (roSj ros) Qbm ^ ^ g) = p(Ф (s) ; 2r]2n+lrn+2^n+2s2n+3Dn (roSj ros) Qbvn ^ ^ g) = pi^ {f}) ^

где

Dn (x, y) = Ral (x) Rn3 (r?y) - mRno (ж) Rn0 (r?y),

F^n (s) = e^+r°s [r]2n+1Rni (£s) Lnll (rs, r0s) - mRn0 (ф) Lnl2 (rs, r0s) e"^] , F$n (s) = e"+r°s [r?2^1^! (£s) Ln2\ (rs, r0s) e"«s - Era0 (r?£s) ¿ra22 (rs, r0s) e"^] , F^a (s) = e^+r°s [ri2n+lRao (£s) Lnii (rs, ros) - Rn3 (ф) Ln 12 (rs, r0s) ,

F^n (s) = e^+r°s [mr,2n+lRn0 (£s) Ln21 (rs, r0s) - Era3 (Ф) Ьп22 (rs, r0s) e"^] ; ¿mi (ж, y) = (-1)" [ßn3 (r?y) Sun (x, y) - mErao (r?y) EWn (x, y)] +2my2n+lRn0 (г?ж) e"^, Ь„12 (ж, y) = (-l)ra (у) Язоп (r?y, rjx) + rriRno (у) (г?ж, r?y)] е"«-2г?2га+1у2га+1Ега1 (ж) е"ж, b„2i (ж, у) = (-1)га+1 [Е„з (г?у) Еюп (у, ж) + mRno (т]у) Е00п (ж, у)] е-™+2у2га+1Ега3 (щ) Ln22 (х, у) = (-1)" [mRno (у) Я30„ (щ, щ) - Rn 1 (у) Е33п (Г]Х, Т]у)} е~у-2mí72n+12/2n+1JRn0 (ж) е"1"; ^fcin (ж, у) = ÍU (ж) (-у) - Erafc (-ж) Rai (у) ех~У (к, 1 = 0,1,3) , Rn3 (z) = Rni (z) - Rno (z), Rni (z) = Rn+i,o (z) - nRn0 (z).

Правые части равенств в (19) имеют структуру экспоненциальных многочленов, которые могут быть найдены методами компьютерной алгебры. Поскольку знаменатель в (19) является многочленом, то G^un (г, s), G%un (г, s), G^vn (г, s) и G^vn (г, s) — суммы произведений рациональных функций на экспоненты. Можно показать, что эти дроби являются правильными. Следовательно, оригиналы функций в (19) могут быть найдены точно с помощью соответствующих теорем операционного исчисления.

Оригиналы же искомых функций влияния, согласно (9) и (10), определяются так: Guun (Г, т) = [сиип (г, f, т) Я (f - г) + Guun (£, Г, т) Я (г - £)] , Gmm (г, f, т) = е2 [<?„„„ (г, f, т) Я (f - г) + (£, г, т) Я (г - £)] , (г, f, т) = Guvn (г, f, т) Я (f - г) + GOTm (f, г, т) Я (г - f) , (г, f, т) = е2 (г, f, т) Я (f - г) + (f, г, т) Я (г - О •

(20)

Примеры. Полагаем, что радиус полости г о = 1, а материал среды является алюминием, что соответствует параметру г] = 2,04.

Рис. 1. Распределение функций влияния по Рис. 2. Распределение функций «i(r, т) и ui(r, т)

радиусу г влияния по радиусу

На рис. 1 приведены построенные но формулам (20) графики распределения функций влияния но радиусу г при п = 1, £ = 1,5, т = 2: кривая 1 соответствует функции Guu 1, кривая # функции Guv i, кривая 5 функции G^i, а кривая ^ функции

В качестве примера движения сферы рассмотрим действие объемной силы вида

Fr (г, 0,т)=Н (т) 5 (г - г*) cos в,

Fe (г, в, т) = -Я (т) 5 (г - г*) sintf,

что соответствует следующим коэффициентам рядов [3]

Fr 1 (г, т) = 5 (г - г*) Я (т), (г, т) = -5 (г - г*) Я (т), ¿r0 (г, т) = (г, т) = (г, т) = 0, п > 2.

При этом в соответствии с (8) имеем поетупатель- Рис. 3. Зависимость функций ui(r, г) и ui(г, г) ное движение: и (г, в, т) = щ (г, т) cos 9, v (г, в, т) = от вромопи

v\ (г, т) sin 9. В расчете принято г* = 3.

Графики распределения функций щ (г, т) и v\ (г, т) но радиусу представлены на рис. 2: кривая 1 и кривая # соответствуют перемещениям щ (г, 3) и г>1 (г, 3), а кривая 5 и кривая ^ соответствуют г/4 (г, 5) и v\ (г, 5).

Зависимость функций щ (г, т) и г>1 (г, т) от времени иллюстрирует рис. 3: кривая 1 и кривая ii соответствуют перемещениям щ (2, т) и г>1 (2, т), а кривая 5 и кривая 4 перемещениям и\ (5, т) и vi (5, т).

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ в рамках конкурса "Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными группами" (проект № 14-49-00091).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

2. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Габинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах: Учеб. пос. М.: Физматлит, 2004.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 18.06.2015

УДК 531.552

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ О БРАХИСТОХРОНЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ И МАКСИМИЗАЦИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ

А. В. Зароднюк1, О.Ю. Черкасов2

Рассмотрены задача о максимизации горизонтальной координаты точки, движущейся в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и сухого трения, и взаимосвязанная с ней задача о брахистохроне. Задача оптимального управления сведена к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. Проведен качественный анализ траекторий этой системы, установлены их характерные свойства, проиллюстрированные численным решением краевой задачи. Показано, что при движении по оптимальной кривой нормальная составляющая реакции опоры должна быть положительна. Рассмотрен вопрос об оптимальности найденных экстремалей.

Ключевые слова: задача о брахистохроне, сухое трение, оптимальная траектория, особое управление, фазовый портрет.

The range maximization problem of a particle moving in a vertical plane under the action of gravity and dry friction and the corresponding brachistochrone problem are considered. The optimal control problem is reduced to a boundary value problem for a system of two nonlinear differential equations. A qualitative anaslysis of the trajectories of this system is carried out, their typical features are found and illustrated by numerical solving of the boundary value problem. It is shown that the normal component of the support reaction should be positive when moving along the optimal curve. The optimality of the found extremal trajectories is discussed.

Key words: brachistochrone problem, dry friction, optimal trajectory, singular control, phase portrait.

1. Введение. Интерес к задаче о брахистохроне при наличии сопротивления вызван различными возможными приложениями, такими, как управление ориентацией постоянной по модулю тяги летательного аппарата для минимизации времени перехода из одной точки орбиты в другую [1] или задача об оптимальном догоне прямолинейно движущегося самолета [2]. Представление об оптимальных траекториях в свою очередь необходимо для построения программных траекторий движения, которые используются при разработке математического обеспечения для пилотажных тренажеров, применяемых с целью обучения и тестирования пилотов и операторов, управляющих различными движущимися объектами, в частности летательными аппаратами [3]. Одной из задач

1 Зароднюк Алёна Владимировна — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alenaz90_Qinbox.ru.

2 Черкасов Олег Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oyucheQyandex.ru.