Диэлектрический шар в коаксиальном волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

использовании квазигармонического метода для анализа устройств на транзисторе с затвором Шоттки // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34, вып. 12. С. 2602-2607.

Поступила в редколлегию 11.03.92

УДК 621.372.413

А.АТРУБИН, канд. техн. наук, ст. науч. сотр.

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ШАР В КОАКСИАЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Проведен расчет коэффициентов связи диэлектрического резонатора (ДР) сферической формы с ТЕМ- и высшими типами волн коаксиального волновода, а также коэффициентов взаимной связи невырожденных колебаний двух сферических резонаторов. Отмечено влияние симметрии на структуру поля собственных колебаний ДР в волноводе при вырождении. В частном случае круглот волновода найденные формулы переходят в соотношения для коэффициентов связи сферических ДР, расположенных несоосно, а для ДР на оси круглого волновода совпадают с известными.

Сферические ДР можно использовать в качестве элементов СВЧ устройств и при несоосном расположении в круглом волноводе. При этом для решения задачи синтеза таких устройств возникает необходимость расчета коэффициентов связи с учетом любых положений ДР.

Известно, что собственные колебания ДР сферической формы в свободном пространстве, в общем случае — сферически-симметричной системе, являются вырожденными. Помещение такого резонатора в структуру с границами, нарушающими сферическую симмс >ию, приводит к частичному или полному снятию вырождения его собственных колебаний. При наличии симметрии в системе ДР и внешней геометрической структуры поле собственных колебаний такой системы в выделенных плоскостях симметрии может принимать только определенные распределения, характеризуемые условием магнитной или электрической стенки II ]• В рассматриваемом случае несоосного расположения сферическою ДР в коаксиальном волноводе с координатами центра ро, ao,Zo (см. рисунок, а ) такими плоскостями симметрии являются плоскости z = zq и а = «о, а — а о + л. Таким образом, поле собственных колебаний магнитных Ишт ( или электрических —£„„,/) типов сферического ДР в коаксиальном волноводе в од.юволновом приближений представляется в виде

где плоскость <р * 0 совпадает с плоскостью а = ао, а ось г' локальной, связанной с центром резонатора сферической системы координат, параллельна оси волновода.

А г (íy) = Ао (ео) " * у„1

и«*» {£;}■'

ш

©А.А.Трубии, 1993 43

Угловые компоненты магнитного поля собственных волн коаксиального волновода описываются так:

для ТЕМ На = ± //( 1жр ) é±ikoZ;

для Hsu На = ± На-— Си(хр) sin и а е *'Гг;

О) /Лор w

для EsuНа = ± EtixDu'(xp) sin и а е ±,Гг,

где /, Но, Ео — нормированные согласно [21 амплитуды:

1Я01 =

1/1 = [2*/0*1п*,/*)р

т т1/2

(2)

(3)

2а> fio

/\clixRi) íixRif- «2J-

л (1 +á„0) 1Г1

[Ъ 11/2

л (1 + ¿!o) )Г1 j /1 I2 ~

- [**,£>„-,(*/?,) I2) ; — радиус центрального, а Яг — радиус внешнего проводника коаксиального волновода; и»о = 0ио/ео)1/2;

С>(ХР) = '¿ХР) - М<»>);

(4)

/„'(*) — производная функция Бесселя; Nu'(x) — производная функ-

ции Неймана [3 ]. При=0 функции (4) переходят в функции Бесселя, а поле (2) совпадает с полем круглого волновода.

Расчет коэффициентов связи сферического ДР с волной ТЕМ проведем, интегрируя по поверхности г = го поле шара и волновода. При этом используем выражение

1_вт, _ _1_ у ят р соя а°> ро._Лро) сое

обусловленное теоремой сложения Графа [3 ] для функции Неймана первого порядка. Здесь а — а0 —угол между сторонами/? и ро,я<р — угол между сторонами/оо и г0' треугольника. Полученные в результате выражения коэффициентов связи собственных колебаний диэлектрик ческого шара с основной ТЕМ-волной коаксиального волновода имеют такой вид:

ДЛЯ #„,„/

/1 д у 2п + !■(« + «)»■ 1 ПК я, V.

* - <* ~ „ (Я +. 1) („■ - то) ! (Ь^/*) (коро)21" Н ^ ' <* (5)

ДЛЯ ЕптI

- V 1-1 ^ л у 2п + 1 (п + т)

к = ( 1+Мн/„ . п/и_ „С

5 п(р, Я), (6)

п {п + 1) (и - то) ! (Ы^/Д!) (¿^о)2™

ще £ Чя) — функции И ]. Из полученных соотношений следует, что с ТЕМ-волной коаксиального волновода связываются только колебания диэлектрического шара, характеризуемые максимумом магнитного поля (1) для Нп„,1, направленной вдоль а, а также максимумом радиальной компоненты электрического поля для Етш вдоль р. При этом коэффициенты связи (5), (6) не зависят от угловой координаты шара и уменьшаются тем быстрее с увеличением радиальной координаты центра, чем больше азимутальное число т.

Аналогичным образом находятся коэффициенты связи Д Р с высшими типами волн регулярного коаксиального волновода:

ДЛЯ Нпт1, И ¡и

2/1+1 (п- т)\

(1 + ¿то) (1 + дл) П (п + 1) (п + т) ! 1

С2и(хЯ2) Шг)г ~ иг]- С1(хЯх) ~ 1

х | [Ст + нОКРо) - (- 1)тС-т+и(ХРо) ]2 51П2иа0|.

|{Ст + и(хро) + 1)тС-т + и(хро))2 ссЛао]'

ДЛЯ НтШ, Е!и

(7)

к =

4 2п + 1 (я - т) ! (1 + <5„о) я(я + 1) (я + т)!

2

т

илД,-■!-№)]' - йЛ01'

|у

ДЛЯ Епт1, Ит

|Дн + «СбОо) + (- 1)'"/)- т + «0*/>о) ] 8111 «ао {А» + и(#>0.) - (- 1)"'/)-,„ + „Осро) I2 СО52иа0

А; =

4 ( 2я + 1 ) (я - т)1 (1+Л,л) я(я + I) (я + т)!

т2

) Шг?

и2]

сКхяо шъу - и2)

£ го». ? > *

"т^Т-»'^)!2

для Д1Ш/, £$<

А; =

|Сш+«0Ы + (- 1)"'С-т + и(хра) I2 соя'мао К-т + кСгРо) - (- 1)'"С-т + .,(Хро)12 81П2Шо

2п + 1 (я - УП)!

(9)

(1 + М (I + 5«о) п (я + 1) (я + т) ! 1

(хА3А,-1 СеЛОГ - _ г (хЛО!

с др. <7) *

1

I у I

о-гУ^

(10)

1Д|.+я(#>о)-(-1 )тО-т+и(хра) I2 соя2иао 1А» -Ш+И Серо) ]2 51112на0

Здесь у ~ Т/ка = [1 - 0(/А:о)2112; поперечная постоянная распространения ^ = зеш/Н2 находится из уравнений |5], определяющих распределение поля высших типов волн коаксиального волновода. Множители соотношений (?)—(10), заключенные в фигурные скобки, относятся к нечетным (верхние) и четным (нижние) распределениям /•-компонент поля собственных колебаний (1) относительно плоскости симметрии а - а0 волновода с ДР.

В случае круглого волновода ( = 0 ) в соотношениях (7)— (10) от функций (4) следует перейти к функциям Бесселя. При этом, если координата ценгра ДР лежит на оси волновода, то отличными от нуля будут только коэффициенты связи собственных колебаний шара с т = и, поскольку/^ ( 0 )* 0 только приу = 0. В этом случае рчраже-ния (7) —(10) совпадают с найденными в работе [61. Причем, как и в частном случае {б азимутально однородные колебания шара не связываются с полями волновода —- магнитные с электрическими (8) и электрические с магнитными (9) — при любых значениях поперечных координат.

Аналогичным образом находим выражения коэффициентов взаим-

ной связи двух одинаковых сферических ДР с координатами цент-ров' (р 1, а г, г\ ), (р2, «2, 22 ) в коаксиальном волноводе: в случае магнитных Невырожденных колебаний Нп,ы в каждом резонаторе

, _ - 4 2п 4- 1 (п - т) ! „ ^ " V"! " к ~ 1 +"(5т0 и (и + 1) (п + т)\а п(Р' 4 0 1 + (3„о Х

соз и (а1 - аг)

х V и_ (1 _ у^Ж)

Ди?!; у) лу

1у

с1(х*2) ш^-и21 - с2сеЛ|). [(^Л!)2-«21

х |ст + и(хр\) ± (- 1)'"С-т+„(хрО) [Ст + „(^2) ± (- ^-„♦„(яра)! +

1

т2е~ " '*°Лг

(11)

+ —IР "'(I) I -

1М _ !( ) ]7 - Г^Л!^»,,

х [д„ + „(^,1)± (- \)тО-а + Лхр1)№т + >ЛхргУ± (- 1)тВ-т + И(ХР2)]1;

для нечетных #шщ/ колебаний первого ДР и четных по <рНптг1 колебаний второго ДР

2 п + 1

к = - 4

/г (и + 1)

1 (я - т„) !

! 1 + дтЛ («'+ т»)

1/2

а "(р; я)х

х 2 ЯШ и (а2 - «О "2)

« = 1 « = 1

1 п ¿?<1Рп\у)<1РГ(у)К 1уП! У) Лу ■ <1у

- I АоАг

С«( ) К Х*2 )2 - и 21 - С2( ) {(хЛх )2 - и 2 ]

х 1Ст1+ц Хт) - (- 1)т1С - 1щ+и(ХР1 )1 *

х [СЯ12+ и (#>2 ) + (- 1)'П2С - т2 + и ( »эг ) ] +

1

+ 77Т/>Г(ОРГео

пцпце

- I» I ¿о А*

деьд. -1( хщ г - ьлхд». хло г

х | £> мц + и (ХР1) + (-1)Ж1Д - »11 + « (ЛУН)]* х и>,«2 + и(»>2) + (- 1)т2п-т2 + и(хр2)]\; (12)

для нечетных (верхний знак) и четных (нижний) невырожденных колебаний Enmi

- 4 2я + 1 (я - т) ! в, -л cos и (oti -

—).....i+6u0 х

1 + <5mo я (я + 1) (я + т) !

ос

"2

S = 1

1

ц = О т2е ~ ,у 1 кш

— IP iv) 1_ _

«У I C2u(xR2)l(xRi)2-u 2]- Cl(xRi)l(xRi)2-u2)

*lCm+u(xpi)±(-l)mC.m+u(xpi))* * 1Ст + *(#>2)±(- 1)тС-т + н(»>2)Ц-1

H I

. dt

- If l/fcoAz

[xRiD„-I{%Ri)\2-\XRIDu-1 (XRi )I2

(13)

X + (- l)mD-m + u(xpl)UDm + u(Xpl)± (- l)WX>-mt«Сер?)]};

для нечетных £nmi/ колебаний первого и четных Enmil колебаний второго ДР

к= - 4

2я + 1 я (я + 1)

2 П

J_ (и /Яр)!

= j (1 + <5тЛ) (я + т.)!

1/2

« »( Р, Q ) *

sin и (а 2 — а ]) 2 РуРГОО^ОО и = 1 s = 1 I

mi тг е

\у 1*0Д2

С1(ХЪ) ((Z/i.)2 " «2 1 -Cl(XRi)\(xRx)2 ~ и2 ] х ICmx +u(XPi) + 1)W1C - mi +u (»>i)Jx х I Стг + и(ХРг)~(~ l)"*2 С - та.+ „ (#>а )] +

+ dt dt * e- U ItoAi

* (*Л2)]2 - IxRiDu-^xRi))2 *

x [2>mi+ u(XPi)~ (" 1 )miD- mi+ uixpx) ] x

[Ап2+ и(Хрг)+ 1)т20- ,„2+ и(Хр2)]). (14)

Колебания ДР магнитных и электрических типов также могут связываться между собой. Так, для нечетных мапштных колебаний Н„т1 и четных электрических^^ (верхний знак ), а также четных

магнитных и нечетных электрических (нижний)

* - * <« ^ »** • > -'

- 1у 1*0Аг

С2и(хЩ [(хъу-и ] - с1(хЯ0 Нх^У-и 1 * [Ст + и(хР1) ± (- \)тС-т + и(хР1)} 1Ст*»(хр2) ± (- 1)МС_111 + И(ХР2)] +

+ (15)

- К Аг

I Хйг^и-! (хЪ ) ]2 - I хЛхА,-X ) I2 X (Д„ + И(ХР1)±(- 1 )"'£>-,» + и(хр ОН А, , + и(хрг)± (- 1)т/)-га + и(хр2) I); для нечетных по магнитных и электрических колебаний (верхний знак) и четных (нижний)

, ^ 2/1 + 1 (и - т) ! ЕН. ч V. . к = -4тп(п + 1) (« + т) ! а " («а "«О»

е- 1у 1*оЛг

{(^Г-и2] - с^Сс/го —« 1 х 1Ст + и(хрх) ± (- 1)'пС-„1 + „<Л>Э1)} 1Ст + И(хр2) ± (- 1)тС-т+в(»>2)1 +

^О-^ЯГСО.

- и и0Аг

е Ш)

X [£>т + „С^1)±(- 1)т/)-« + и(й91)НА„ + Н(йЭ2)± (где у = ¿Гц/ко для магнитных волн; I — ¿Ге/Ло для электрических

49

волн коаксиального волновода; a fH( р, д) — функции [61, определяющие зависимость коэффициентов связи от параметров ДР.

В практически важном случае круглого волновода функции (4) в полученных соотношениях переходят в функции Бесселя, а параметры Xr2 - i 'u,s— для магнитных; xR2 - /M J — для электрических волн. Здесь ju.s (j ',,..,) — s-й ноль ( производной ) функции Бесселя. При этом, если один из резонаторов располагается на оси волновода, то в суммах (11)—(16) ненулевыми слагаемыми будут только члены си*= = т, а зависимость связи от углов между поляризациями поля ДР становится гармонической: к ( аг — ai ) = к (0) sin (cos) и (а2 — a i ). Это явление наблюдалось экспериментально в случае цилиндрических ДР с основными магнитными колебаниями, оси которых поворачивались в поперечной плоскости круглого волновода относительно друг друга [7 J. На рисунке (б) показаны зависимости коэффициентов взаимной связи основных магнитных невырожденных колебаний ДР с pi/Ri = Q,5;p2/Ri — 0,25; koAz = 1; ¿0Ä2 = 1,2. При вычислениях в формулах (11)—(12) формально полагалось, что а"( р, q)-l. При этом сомножители коэффициентов связи обозначались по направлению максимума магнитного поля в центре каждого из резонаторов. Приведенные зависимости указывают на возможность простого изменения знака коэффициентов взаимной гвязи при вариации относительных угловых координат ДР, что позволяет использовать указанные структуры при конструировании фильтров с эллиптическими характеристиками.

Список использованной литературы

I. Григорьев Л.Г., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ. М., 1984. 247 с. 2. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М., 1973. 607 с. 3. Абрамовиц М., Стигап И. Справочник по специальным функциям. М., 1979. 832 с. 4. Ильченко М.Е., Трубин A.A. Расчет коэффициентов связи диэлектрического шара с прямоугольным волноводом при возбуждении магнитных и электрических видов колебаний // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1982. Т. 25, № 8. С. 3—8.

5. Нефедов Е.И. Открытые коаксиальные резонансные структуры. М., 1982. 220 с,

6. Трубин A.A. Диэлектрический шар в круглом волноводе // Вести. Киев, политехи, ин-та. Радиотехника. 1990. Вып. 27. С. 31—34. 7. Безбородое Ю.М., Липатов A.A., Аф-ромеев В.И. Конструирование СВЧ фильтров на диэлектрических резонаторах // Разработка элементов градиентной оптики и гибридных интегральных схем оптического и СВЧ-диапазонов. М., 1982. С. 100—105.

Поступила в редколлегию 19.02.92