CC BY
7Дидактическая составляющая обучения методам решения задач посредством криволинейного проецирования
Гусарова Елена Александровна,
преподаватель кафедры Инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ) E-mail: gusarova_ea@mail.ru
Спирина Елена Львовна,
старший преподаватель кафедры Инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ) E-mail: spirinael@mail.ru
В данной статье рассматривается одно из возможных решений задач при помощи оригинального метода проецирования, а именно криволинейного проецирования. То есть производится посредством КРИВЫХ проецирующих линий, форма которых может быть очень разнообразной таких, как например части окружностей и даже винтовые линии. Конечно, применять криволинейное проецирование в качестве основного не целесообразно, так как проекции на самом деле прямых линий получаются кривыми. Но использование этого метода в определённых и нередких случаях во многом упрощает решение некоторых задач, особенно если речь идёт о позиционных задачах с кривыми поверхностями.
Из этой статьи следует вывод о том, что криволинейное проецирование даёт возможность осуществлять взаимозаменяемость основных операций начертательной геометрии - сечений и проецирования применительно ко всем без исключения поверхностям.
Ключевые слова Точки, линии, плоскости, проекции, поверхности, форма, проецирование, пересечение, построение, операция.
о с
U
со см о см
Рассмотрим некоторые варианты решения определённых задач с помощью так называемого криволинейного проецирования, то есть проецирования, выполняемого при помощи кривых линий. Основными вопросами криволинейного проецирования являются: выбор формы проецирующих линий, которая может быть весьма разнообразной, например, винтовые проецирующие линии или дуги окружности, способ заполнения пространства проецирующими линиями; выбор формы поверхности проекции; инварианты криволинейного проецирования.
В качестве основного криволинейное проецирование применять нерационально, так как в результате проекции прямых линий выходят кривыми, но для получения дополнительных проекций его использование во многом упрощает решение некоторых задач, особенно в позиционных задачах с кривыми поверхностями.
Для выбора формы проецирующих линий и заполнения ими пространства можно предложить следующий способ:
В пространстве задаётся базовая поверхность любой формы. Эту поверхность пересечем пучком плоскостей с конечным или бесконечно удалённым носителем или семейством каких-либо поверхностей. В результате на базовой поверхности получаем семейства линий, которые можно назвать определяющими. Каждая из плоскостей этого пучка или поверхность семейства заполняется по определенному закону проецирующими линиями в зависимости от формы определяющих линий, например, если базовая поверхность является поверхностью вращения, то удобно выбрать пучок параллельных плоскостей, перпендикулярных к оси вращения поверхности следовательно определяющими линиями будут окружности, а семейство проецирующих линий в каждой из плоскостей будут концентрическими окружностями.
Например, если за базовую поверхность принять эллипсоид (рис. 1), то определяющими линиями будут эллипсы. Проецирующие эллипсы построим как эллипсы, родственные с окружностями, построенными на одной из осей этих эллипсов, как на диаметре.
Например, для того чтобы построить проецирующую линию для любой точки пространства М (рис. 1), находим одну из осей эллипса, проходящего через эту точку. Для этого строим точку N соответствующую точке М в родственном соответствии, установленным определяющим эллипсом ACBD. Радиус окружности, родственной эллипсу, проходящему через точку М, будет равен о'т'1
Проводим эту окружность и строим искомый эллипс. Поскольку проецирующие линии в данном случае плоские, то на горизонтальную плоскость они проецируются в виде прямых линий.
Рис. 1
Если выбрать пучок плоскостей, параллельных плоскостей симметрии XOZ пространство можно заполнить равными параболами. Для этого каждую из определяющих парабол необходимо двигать вдоль её оси если боковая поверхность прямой винтовой коноид (рис. 2), то его удобнее пересекать семействам соосных с ним цилиндров. Тогда на поверхности цилиндров получим ряд параллельных гелис, а на поверхности одного и того же цилиндра- равных гелис.
Из этого следует, что боковая поверхность -это такая поверхность, по которой устанавливают форму проецирующих линий и способ заполнения ими пространства.
В зависимости от формы проецирующих линий криволинейное проецирование может быть круговым, эллиптическим параболическим, винтовым и т.д.
Криволинейное проекция точки всегда есть точка, если проецирующими линиями являются кривые второго порядка, то криволинейной проекцией прямой будет кривая второго порядка. Это является инвариантным свойством криволинейного проецирования.
Это свойство можно установить из формы проецирующей поверхности для прямой. Проецирующей поверхностью для прямой будет поверхность однополостного гиперболоида (рис. 3) или конуса.
Рис. 3
В последнем случае прямая должна пересекать ось базовой поверхности (рис. 4).
Рис. 2
Рис. 4
Сечения гиперболоида или конуса плоскостями дают в общем случае кривые второго порядка. В частном случае, когда прямая пересекает ось базовой поверхности, а плоскость проекций проходит через эту ось, то криволинейной проекцией прямой также будет прямая.
Построение криволинейной проекции произвольной поверхности сводится к построению линии пересечения проецирующей поверхности, которая будет поверхностью, обертывающей данную, с плоскостью проекций. Такие построения не дают упрощений и применять их нерационально. Большое упрощение получается только в том случае, если заданную поверхность принять за базовую, тогда проецирующая поверхность совпадает с базовой, и криволинейная проекция поверхно-
о о со -о
13 А -1 о
о т; о гп О ОТ
-о А
и о со
сти будет плоской кривой, то есть сечением этой поверхности плоскостью проекций.
Применение криволинейного проецирования при решении задач рассмотрено на примерах построения точек пересечения прямой с поверхностью и построение линии пересечения поверхностей.
Пример 1. Дан тор и прямая АВ., требуется построить точки пересечения прямой с тором (рис. 5). Тор принимаем в качестве базовой поверхности, а за плоскость проекций принимаем плоскость, Y проходящую через ось тора.
Рис. 5
В этом случае окружности, лежащие во фронтальных плоскостях, являются проецирующими линиями
Криволинейной проекцией тора является его главный меридиан, а криволинейной проекцией прямой - гипербола. Построение точек 1 и С гиперболы показано на рисунке 5. Криволинейные проекции точек К и F, полученные пересечением гиперболы с криволинейной проекцией тора обратным проецированием, перенесли на исходные проекции.
Пример 2. Дан эллиптический гиперболоид и эллиптический конус с пересекающимися осями (рис. 6).
Требуется построить линию пересечения этих поверхностей. В этом случае за базовую поверхность принимаем гиперболоид. Проецирующими линиями будут эллипсы, лежащие в горизонтальных плоскостях. За плоскость проекций принимаем плоскость Y. Криволинейная проекция гиперболоида на эту плоскость совпадает с контуром его фронтальной проекции, соответственно она явля-о ется гиперболой.
Ы Образующие конуса при проецировании останутся прямыми, так как вершина конуса лежит ~ на оси базовой поверхности, а плоскость проек-^ ций проходит через её ось.
Рис. 6
Например, криволинейной проекции образующий SB является прямая s'b1', пересечение её с гиперболой даст точку 21', принадлежащую линии пересечения. Обратным проецированием переносим её на исходные проекции.
Из вышеизложенного можно сделать вывод, что криволинейное проецирование позволяет применять взаимозаменяемость основных операций начертательной геометрии - сечения и проецирования ко всем без исключения поверхностям. Этот метод открывает новые возможности для наиболее рационального, оригинального и удобного решения некоторых нестандартных позиционных задач.
Литература
1. Ревунова Е.Г. Исследование метода решения дискретных некорректных задач на основе случайного проецирования // Управляющие системы и машины. 2014. № 4 (252). С. 41-47.
2. Скоркин А.С., Астафьева М.В. Методы проецирования и их свойства // Наука и Образование. 2021. Т. 4. № 3.
3. Андреев Д.А., Иванов Д.А., Новоселов Н.Т. Использование вспомогательного проецирования при решении задач инженерной графики / В сборнике: Научному прогрессу - творчество молодых. Материалы IX международной молодежной научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам: в 3 частях. 2014. С. 135-136.
4. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. Педагогические инструменты решения задачи построения перспективно-ортогональных сопряжённых проекций с применением вспомогательного
прямоугольного проецирования // Современное педагогическое образование. 2022. № 1. С.124-127.
5. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. О специфическом методе линейных проекций, как одном из методов проецирования в начертательной геометрии // Современное педагогическое образование. 2021. № 10
THE DIDACTIC COMPONENT OF TEACHING METHODS FOR SOLVING PROBLEMS THROUGH CURVILINEAR PROJECTION
Gusarova E.A., Spirina E.L.
National Research Moscow State University of Civil Engineering (NRU MGSU)
This article discusses one of the possible solutions to problems using the original projection method, namely curved projection. That is, it is produced by means of CURVES projecting lines, the shape of which can be very diverse, such as, for example, parts of circles and even helical lines. Of course, it is not advisable to use curved projection as the main one, since projections of actually straight lines turn out to be curves. But the use of this method in certain and frequent cases greatly simplifies the solution of some problems, especially when it comes to positional problems with curved surfaces.
It follows from this article that curved projection makes it possible to implement interchangeability of the basic operations of descriptive geometry - sections and projection in relation to all surfaces without exception.
Keywords: Points, lines, planes, projections, surfaces, shape, projection, intersection, construction, operation.
References
1. Revunova E.G. Investigation of a method for solving discrete ill-posed problems based on random projection // Control Systems and Machines. 2014. No. 4 (252). pp. 41-47.
2. Skorkin A.S., Astafieva M.V. Projection methods and their properties // Science and Education. 2021. V. 4. No. 3.
3. Andreev D.A., Ivanov D.A., Novoselov N.T. The use of auxiliary projection in solving problems of engineering graphics / In the collection: Scientific progress - the work of the young. Materials of the IX International Youth Scientific Conference on Natural Sciences and Technical Disciplines: in 3 parts. 2014, pp. 135136.
4. Gusarova E.A., Spirina E.L. Pedagogical tools for solving the problem of constructing perspective-orthogonal conjugate projections using auxiliary rectangular projection // Modern Pedagogical Education. 2022. No. 1. P. 124-127.
5. Gusarova E.A., Spirina E.L. On the specific method of linear projections as one of the projection methods in descriptive geometry // Modern Pedagogical Education. 2021. No. 10
