CC BY
5Педагогические инструменты решения задачи построения перспективно-ортогональных сопряжённых проекций с применением вспомогательного прямоугольного проецирования
Гусарова Елена Александровна,
преподаватель кафедры инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ) E-mail: gusarova_ea@mail.ru
Спирина Елена Львовна,
старший преподаватель кафедры инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ) E-mail: spirinael@mail.ru
В этой статье мы рассматриваем один из способов вспомогательного прямоугольного проецирования в перспективно-ортогональных сопряжённых проекциях, который иногда целесообразно применять при решении некоторых задач, относящихся к дисциплине «Начертательная геометрия». Для того, чтобы использовать способ прямоугольного вспомогательного проецирования в перспективно-ортогональных сопряжённых проекциях, необходимо построение биссекторной плоскости, а также носителей проекции. Прямоугольное вспомогательное проецирование, являющееся одним из наиболее рациональных способов преобразования проекций, пока не нашло широкого применения в перспективно - ортогональных сопряжённых проекциях. Это обусловлено тем, что приёмы прямоугольного вспомогательного проецирования довольно редко используют в этой системе проекций. Настоящая статья посвящена рассмотрению прямоугольного вспомогательного проецирования в перспективно-ортогональных сопряжённых-проекциях на основе учёта их особенностей.
Ключевые слова: преподавание, линии, сопряжённые проекции, перспектива, пространство, проецирование, биссектор-ные плоскости, рациональность, приём, метод, особенности.
о с
U см
Прямоугольное вспомогательное проецирование геометрических форм есть вспомогательная операция, при которой прямоугольная проекция на картине К появляется как вторичная проекция изображения, полученного при дополнительном параллельном, проецировании на биссекторной плоскости R, относительно основного прямоугольного и дополнительного проецирования. Причем вторичная (вспомогательная) прямоугольная проекция дополнительной проекции геометрической формы на плоскости R даёт искажённое изображение прямоугольной проекции по направлению дополнительного проецирования.
В основе способа прямоугольного вспомогательного проецирования в перспективно-ортогональных сопряжённых проекциях лежит построение биссекторной плоскости R и носителей проекции. Носители - это проекции линий пересечения проецирующих плоскостей, проведенных через лучи дополнительного проецирования, с биссекторной плоскостью.
В ортогональных сопряжённых проекциях проецирующие плоскости могут быть двух видов -перспективно-проецирующие и ортогонально-проецирующие. Отсюда возникает два приема построения носителей (рис. 1).
Рассмотрим первый приём построения.
На рис. 1а дана точка А (а; а1), направление дополнительного проецирования ^ I; 11) и дистанционное расстояние Г Построим линию схода Rf биссекторных плоскостей. Находим совмещенное положение О1 точки зрения О. Разделив угол FO1O пополам, получим точку схода F1, перспектив линий пересечения биссекторных плоскостей и ортогонально-проецирующих плоскостей, параллельных направлению дополнительного проецирования. Линия схода Rf биссекторных плоскостей пройдет через точку F1 перпендикулярно F. На этом же чертеже разберем первый прием построения носителей и вспомогательной проекции а2 точки А.
Назначим биссекторную плоскость R, задав ее картинный след Rk. Проведем через направление дополнительного проецирования перспективно-проецирующую плоскость Q. Прямоугольная проекция линии пересечения плоскостей R и Q является носителем, на котором находится вспомогательная проекция а2 точки А. Точка а2 является и прямоугольной проекцией точки встречи луча с биссекторной плоскостью. Носитель проходит через точку к (к =Rk х Qk), параллельно линии оF2,
которая представляет собой прямоугольную проекцию зрительного луча, параллельного линии пересечения плоскостей R и О. Вспомогательная проекция а2 получается, как результат пересечения носителя и 14.
а)
/ / 1
ру ь/ О Рп
/ /а^чА / / Т\ / /\
а, а з К
б) Рис. 1
Для построения остальных носителей можно использовать точку S пересечения оси, проходящей через точку зрения О и параллельной L, пучка перспективно-проецирующих плоскостей с бис-секторной плоскостью R.
Её прямоугольная проекция s1 находится на пересечении линии Fo и её перспективная проекция совпадает с точкой F. В этом случае не надо проводить линий типа оF2.
Биссекторную плоскость можно задать линией схода Rf и точкой S. Тогда носители будут проходить через точку s1 параллельно соответствующим линиям, проходящим через точку О. Биссек-торную плоскость можно избрать перспективно-проецирующей. В этом случае точка s1 совпадает с точкой О и Rk совпадает с Rf.
Второй прием построения вспомогательной проекции а3 точки А изображен на (рис. 1б). В этом случае использованы ортогонально- проецирующие плоскости. Носитель сливается с прямоугольной проекцией направления дополнительного про-
ектирования. Поэтому непосредственно определяется перспективная вторичная проекция а2, а затем по линиям связи находится вспомогательная проекция а3.
Рассмотрим некоторые примеры применения прямоугольного вспомогательного проецирования.
Например, чтобы определить величину угла между плоскостями 1 2 3 и 1 2 4 заданными своими перспективно-ортогональными сопряжённым проекциями (рис. 2), мы принимаем за направление дополнительного проецирования ребро 1 2.
Прямоугольная проекция по направлению 1-2 даёт натуральную величину угла. Поэтому, спроецировав эти плоскости по направлению 1-2 на биссекторную плоскость R и заново спроецировав это изображение с плоскости на картину К по основному направлению, получим натуральную величину угла.
а)
б) Рис. 2
На рис. 2а биссекторная плоскость R задана линией схода Rf и картинным следом Rk. и тонкой S.картинным следом. Здесь использован первый приём, изображённый на рисунке 1а.
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о т О от
З
и о со
На рисунке 2б биссекторная плоскость задана линией схода Rf и точкой S. Причём плоскость R взята перспективно-проецирующей (О совпадает с S1). В этом случае построение значительно упрощается, так как не надо проводить носителей, параллельных прямоугольным проекциям соответствующих лучей, идущих из точки О, потому что эти проекции сами становятся носителями.
42 12 32 - натуральная величина угла.
Я о,
р,/ о*
— т \ \\ ос
т1 пЛ _| 1 к?Рп
\
>1 Рп
I 3 к1
о с
и
см
Рис. 3
Рассмотрим вариант определения расстояния между двумя параллельными прямыми I и М, которые заданы своими Перспективно-ортогональными проекциями (рис. 3). На прямоугольной проекции прямых по направлению последних определится расстояние, поэтому за направление дополнительного проецирования принимаем прямые L и М.
Биссекторную плоскость задаём точкой схода F1 и картинным следом Rk. Дальнейшее решение осуществляем по второму приёму, т.е. используем ортогонально-проецирующие плоскости, проходящие через эти прямые.
Находим перспективные вторичные проекции линий пересечения ортогонально -проецирующих плоскостей с биссекторной плоскостью. Именно этим действием и определим перспективные вторичные проекции т2 и 12 прямых М и L. По линиям связи находим вспомогательные проекции т3 и 13: т3 13 - искомое расстояние.
Рассмотрим, как возможно при помощи данного метода построить изометрию куба, заданного своими перспективно-ортогональными сопряжёнными проекциями (рис. 4).
Для решения этой задачи будем использовать первый приём.
Изометрию куба можно получить, если за направление дополнительного проецирования принять одну из его диагоналей, например, 2-5.
Биссекторную плоскость зададим линией схода Rf и точкой S.
Во избежание наложения искомой проекции куба на прямоугольную (см.рис.2 б) биссекторную плоскость возьмём не перспективно проецирую-
щую, а общего положения. Для этого на прямой Fo в произвольном месте поставим точку s1.
Вспомогательную проекцию 22 52 диагонали 2-5 получаем следующим образом: из точки s1 проводим носитель параллельно линии оF2 до пересечения с 21 51.
Рис. 4
В заключение можно сказать, что данная статья и описанные в ней варианты решения задач, а именно с применением вспомогательного прямоугольного проецирования, показывают возможности представленного в статье способа, который предлагается к использованию в преподавании дисциплины «Начертательная геометрия» для достижения поставленной цели, то есть для построения перспективно-ортогональных сопряжённых проекций. Рассмотренные примеры показывают целесообразность и эффективность применения данного метода для получения оптимальных результатов в выполнении заданий такого рода.
Литература
1. Букаева К.С. Способ вспомогательного проецирования // Сборник «Актуальные проблемы строительства, ЖКХ и техносферной безопасности»; материалы VI Всероссийской (с международным участием) научно-технической конференции молодых исследователей. Под общей редакцией Н.Ю. Ермиловой, И.Е. Степановой. 2019. С. 415-416.
2. Андреев Д.А., Иванов Д.А., Новоселов Н.Т. Использование вспомогательного проецирования при решении задач инженерной графики // Сборник «Научному прогрессу - творчество молодых»; материалы IX международной мо-
лодежной научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам: в 3 частях. 2014. С. 135-136.
3. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. Применение масштабной сферы при построении аксонометрических осей и определении направления проецирования. // Инновации и инвестиции. 2018. № 11. С. 191-193.
4. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. О специфическом методе линейных проекций, как одном из методов проецирования в начертательной геометрии // Современное педагогическое образование. 2021. № 10. С. 82-85.
5. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л., Макари-щев В.Д. Критерии выбора основных величин и зависимость между ними в прямоугольной изометрии // Инновации и инвестиции. 2018. № 10. С. 224-227.
6. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. О необходимости правильного выбора аксонометрических проекций для достижения достоверности в изображениях. // Инновации и инвестиции. 2019. № 12. С. 218-220.
7. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. О специфическом методе линейных проекций, как одном из методов проецирования в начертательной геометрии // Журнал Современное педагогическое образование. 2021 № 10;стр. 82-85.
8. Гусарова Е.А. Роль дисциплины «Инженерная графика» в вузах и необходимость поиска инновационных методов её преподавания // Современное педагогическое образование. 2021. № 1. С. 12-15.
PEDAGOGICAL TOOLS FOR SOLVING THE PROBLEM
OF CONSTRUCTING PERSPECTIVE-ORTHOGONAL
CONJUGATE PROJECTIONS USING AUXILIARY
RECTANGULAR PROJECTION
Gusarova E.A., Spirina E.L.
National Research Moscow State University of Civil Engineering (NRU MGSU)
In this article, we consider one of the methods of auxiliary rectangular projection in perspective-orthogonal conjugate projections, which
is sometimes advisable to use when solving some problems related to the science of "Descriptive Geometry". In order to use the method of rectangular auxiliary design in perspective - orthogonal conjugate projections, it is necessary to build a bisector plane, as well as projection carriers. Rectangular auxiliary projection, which is one of the most rational ways to transform projections, has not yet found wide application in perspective - orthogonal conjugate projections. This is due to the fact that the techniques of rectangular auxiliary design in this projection system have not yet been developed. This article is devoted to the consideration of rectangular auxiliary projection in perspective-orthogonal conjugate projections based on taking into account their features.
Keywords Lines, conjugate projections, perspective, space, projection, bisector planes, rationality, technique, method, features.
References
1. Bukaeva K.S. Auxiliary projection method // Collection "Actual problems of construction, housing and communal services and technosphere safety"; materials of the VI All-Russian (with international participation) scientific and technical conference of young researchers. Under the general editorship of N. Yu. Ermi-lova, I.E. Stepanova. 2019. S. 415-416.
2. Andreev D.A., Ivanov D.A., Novoselov N.T. The use of auxiliary projection in solving problems of engineering graphics // Collection "Scientific progress - the work of the young"; materials of the IX international youth scientific conference on natural sciences and technical disciplines: in 3 parts. 2014, pp. 135136.
3. Gusarova E.A., Spirina E.L. The use of a scale sphere when constructing axonometric axes and determining the direction of projection. // Innovations and investments. 2018. No. 11. S. 191-193.
4. Gusarova E.A., Spirina E.L. On the specific method of linear projections as one of the projection methods in descriptive geometry // Modern Pedagogical Education. 2021. No. 10. S. 8285.
5. Gusarova E.A., Spirina E.L., Makarishchev V.D. Criteria for the choice of basic quantities and the relationship between them in a rectangular isometry // Innovations and investments. 2018. No. 10. S. 224-227.
6. Gusarova E.A., Spirina E.L. On the need for the correct choice of axonometric projections to achieve reliability in images. // Innovations and investments. 2019. No. 12. S. 218-220.
7. Gusarova E.A., Spirina E.L. On the specific method of linear projections as one of the projection methods in descriptive geometry // Journal of Modern Pedagogical Education. 2021 #10; pp. 82-85.
8. Gusarova E.A. The role of the discipline "Engineering graphics" in universities and the need to search for innovative methods of teaching it // Modern Pedagogical Education. 2021. No. 1. S. 12-15.
