О СПЕЦИФИЧЕСКОМ МЕТОДЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЕКЦИЙ, КАК ОДНОМ ИЗ МЕТОДОВ ПРОЕЦИРОВАНИЯ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СОВРЕМЕННЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

О специфическом методе линейных проекций, как одном из методов проецирования в начертательной геометрии

о с

CJ

см о см

Гусарова Елена Александровна,

преподаватель кафедры инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский «Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ) E-mail: gusarova_ea@mail.ru

Спирина Елена Львовна,

старший преподаватель кафедры инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский «Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ) E-mail: spirinael@mail.ru

В статье рассматривается один из методов проекций, который называют методом линейных проекций. Рассмотренные в данной работе линейные проекции прежде всего имеют теоретическое значение. Они как бы дополняют и связывают воедино параллельные и центральные проекции, а также позволяют значительно расширить понятие основного метода начертательной геометрии - метода проекций.

Практическое применение линейных проекций состоит в том, что с его помощью возможно строить наглядные изображения. В отличие от центральных и параллельных проекций, которые имеют различные виды в зависимости от формы и расположения картинной плоскости, линейные проекции имеют различные виды ещё и в зависимости от формы и расположения линии проекций, которая, может быть в виде кривой линии, плоской или пространственной, незамкнутой или замкнутой.

Ключевые слова: линия, метод, проекции, плоскость, поверхность, плоскость, проецирование, изображение, панорама, пространство.

Метод линейных проекций заключается в следующем: допустим, что нам необходимо построить линейную проекцию точки А. Сначала выберем в пространстве некую поверхность Р1, и какую-нибудь прямую S-S, которая не лежит на поверхности проекций. Назовём её линией проекций. Затем проведём через точку А проецирующую прямую к линии проекций и найдём точку пересечения этой прямой с поверхностью проекций.

Полученная точка пересечения А> будет линейной проекций точки А на поверхность проекций Р''.

В линейных проекциях может быть принята любая поверхность: цилиндрическая, коническая, сферическая и др., а также плоскость, как частный вид поверхности. Линия проекций может быть прямой, а также пространственной или плоской кривой. Если линия проекций прямая, то проекции называются прямолинейными или осевыми. Эти проекции можно рассматривать, как частный случай осевого проецирования, когда один пучок плоскостей имеет собственную ось, а другой - несобственную, перпендикулярную к первой.

Рис. 1

Выберем плоскость проекций П> перпендикулярно к предметной плоскости П 1 и линию проекций S-S в виде прямой, параллельной плоскостям П и П> (рис. 1). В этом случае, для построения прямолинейной проекции какой-либо точки пространства поступаем следующим образом. Через дан-

ную точку проводим проецирующим луч, который должен пересекать линию проекций под прямым углом. Затем находим точку пересечения этого луча с плоскостью проекций. Эта точка А и будет прямолинейной проекцией точки А на плоскость проекций П'.

Таким способом можно построить линейные проекции любых точек пространства, совпадающих с линией проекций. В последнем случае проецирующие лучи и проекции точек на плоскость П' становятся неопределёнными. Следовательно, линия проекций является исключительной прямой, не имеющей проекции.

Рис. 2

Прямолинейные проекции прямых частных положений показаны на рис. 2.

Прямые линии, перпендикулярные плоскости проекций (а), изобразятся в. виде вертикальных прямых (а') с точками схода для каждой прямой, лежащими на линии горизонта Линией горизонта в данном случае называем линию пересечения плоскости проекций с горизонтальной плоскостью, проведённой через линию проекций. Точки схода будут общими только для прямых лежащих в плоскости, перпендикулярной линии проекций. Прямые, перпендикулярные предметной плоскости (Ь), проецируются в виде прямых (Ь'), перпендикулярных линии горизонта. Прямые, лежащие в перпендикулярных линии плоскостях (с), изобразятся в виде прямых (с'), перпендикулярных линии горизонта и имеющих точку схода. Точка схода располагается выше или ниже лини горизонта, в зависимости от того, будет ли данная прямая восходящая или нисходящая. Прямые, па-

раллельные линии проекций (d), в прямолинейных проекциях изображаются прямыми линиями (d'), параллельными линии горизонта. Прямые, параллельные плоскости проекций (е), изображаются в виде прямых линий (е'), направленных под углом к линии горизонта.

Прямолинейными проекциями прямых, параллельных предметной плоскости (f), являются гиперболы (f '). Их асимптотами будут линия горизонта и прямая, расположенная перпендикулярно линии горизонта на расстоянии x от точки пересечения изображаемой прямой с плоскостью проекций. Расстояние х зависит от угла наклона к плоскости проекций а и от главного расстояния D, т.е. расстояния от линии проекций до плоскости проекций. Величина х может быть определена по формуле: Х= D ctg а, или же построена графически.

Прямолинейной проекцией прямой общего положения также будет гипербола. Одной ее асимптотой является линия схода, т.е. линия пересечения плоскости проекций с плоскостью, проведенной через линию проекций параллельно данной прямой общего положения. Другой асимптотой гиперболы является прямая, перпендикулярная линии схода и проведенная на расстоянии х от точки пересечения заданной прямой с плоскостью проекций. Это расстояние определяется по вышеприведенной формуле, но за угол а в данном случае принимается угол наклона горизонтальной проекций прямой к плоскости проекций.

В прямолинейных проекциях в виде кривых линий изображаются прямые общего положения и прямые, параллельные предметной плоскости. Это следует из того, что множество всех проецирующих лучей в данном случае образует косую плоскость, которая пересекается с плоскостью проекций по гиперболе. Прямые других частных положений так и изображаются просто в виде прямых линий. Поскольку различные предметы включают в себя прямые различных положений, то их изображения в линейных проекциях будут состоять как из прямых, так и из кривых линий.

Изображение окружности в прямолинейных проекциях, так же, как и изображение прямой, зависит от расположения самой окружности по отношению к плоскости проекций. Когда окружность расположена параллельно плоскости проекций, то ее линейной проекцией является эллипс. При другом расположении окружности её проекцией будет кривая, форма, которой зависит от расположения окружности в пространстве. При прямолинейном проектировании окружности проецирующие лучи образуют поверхность прямого коноида. Как в центральных проекциях сечения конуса являются проекциями окружности, так и в прямолинейных проекциях проекциями окружности являются различные плоские сечения прямого коноида.

При прямолинейном проектировании плоских фигур между полем точек плоской фигуры и полем точек картинной плоскости, устанавливается определенное соответствие, которое назовем линейным. Преобразование же одного плоского поля

сз о со -а

А

—I

о

сз т; о m О от

З

ы о со

о с

и

см о см

в другое при линейном проектировании будем называть линейным преобразованием.

При таком преобразовании, как мы видим, сохраняется непрерывность и взаимная однозначность, но, в отличие от проективных преобразований, не сохраняется коллинейность точек.

Это - квадратичные преобразования.

Наряду с линейным преобразованием плоских полей может иметь место и линейное преобразование пространства.

В отличие от центральных и параллельных проекций, которые имеют различные виды в за-

висимости от формы и расположения картинной плоскости, линейные проекции имеют различные виды ещё и в зависимости от формы и расположения линии проекций. Линия проекций, как мы уже видели, может быть прямой линией. Эта прямая может иметь различное расположение по отношению к плоскости проекций. Линия проекций может быть в виде кривой линии, плоской или пространственной, незамкнутой или замкнутой. При всех этих вариантах получаются различные виды линейных проекций, резко отличающиеся один от другого.

Рис. 3.

Рассмотренные в данной работе линейные проекции прежде всего имеют теоретическое значение. Они как бы дополняют и связывают воедино параллельные и центральные проекции, а также позволяют значительно расширить понятие основного метода начертательной геометрии - метода проекций.

Рис. 4

Сравнивая расположение проецирующих лучей при центральном, линейном и параллельном проецировании, можно установить определенную взаимосвязь между ними. Так, линейное проецирование можно рассматривать как центральное, при условии движения центра проекций по заданной линии. Параллельное проецирование - как

линейное, при условии движения линии проекций по плоскости. Исходя из этого, центральные проекции можно назвать точечными, а параллельные -плоскостными. Становится очевидным, то что плоскостные (параллельные) проекции являются частным случаем проекций поверхностных, т.е. проекций, у которых проецирующие лучи нормальны к поверхности к поверхности проекций. Поверхностные проекции можно рассматривать как единственный вид проекций, а все другие, как их частные случаи. Центральные проекции получим, взяв поверхность, от которой исходят проецирующие лучи, в виде сферы; линейные - взяв трубчатую поверхность; параллельные - взяв вместо поверхности плоскость.

Линейные проекции могут иметь и практическое значение, например, при построении наглядных изображений. В этих случаях, следует пренебречь тем, что некоторые прямые изображаются виде гипербол и заменять последние прямыми, строя их по двум крайним точкам изображаемых отрезков.

Выбрав за линию проекций вертикальную прямую, а за поверхность проекций - горизонтально проецирующую цилиндрическую поверхность, можно получить изображение застройки площади (см. рис. 3), улицы или квартала. Такие изображения, которые можно назвать линейной панорамой, смогут применяться наряду с построением разверток застройки при архитектурном проектировании.

Построив линейную проекцию деформированного определенным образом пространства вместе с находящимся в нем изображаемым объектом, получим изображение, мало чем отличающегося по наглядности от перспективы (см. рис. 4). За линию проекций этом случае принимаем вертикаль-

ную прямую, а изображение строим на плоскость. Деформация изображаемого пространства осуществляется так, чтобы горизонтальные параллельные плоскости после деформации пересекались по горизонтальной прямой, расположенной параллельно картинной плоскости на определенном расстоянии от нее. Картинная плоскость при этом принимается за нейтральную.

Выше отмечалось, что линейные проекции можно рассматривать как центральные, при условии движения центра проекций по линии. Исходя из этого, можно предположить, что линейные проекции смогут дать изображения объектов при условии перемещения наблюдателя по заданной траектории - линии проекций. Изображение в линейных проекциях прямой линии в виде кривой дает возможность предполагать, что при движении точки зрения с большой скоростью прямая линия будет восприниматься как кривая.

Литература

1. Прокофьева И.В., Демидов С.Г. Начертательная геометрия- трёхмерная и многомерная // Universum: технические науки. 2016. № 3-4 (25). С. 1.

2. Сальков Н.А. Начертательная геометрия-база для геометрии аналитической // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. № 1. С. 44-54

3. Дмитриева И.М., Иванов Г.С., Клевцо-ва К.С. Аналитическое обеспечение решения задач начертательной геометрии. // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований, сборник статей по материалам XXXIII международной научно-практической конференции. Новосибирск, 2020. С. 7-12.

4. Наглядная начертательная геометрия. Ануфриева Е.Ю. Молодежный научно-технический вестник. 2013. № 6. С. 32.5)

5. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л., Макари-щев В.Д. Критерии выбора основных величин и зависимость между ними в прямоугольной изометрии // Инновации и инвестиции. 2018. № 10. С. 224-227.

6. Гусарова Е.А., Спирина Е.Л. О необходимости правильного выбора аксонометрических про-

екций для достижения достоверности в изображениях // Инновации и инвестиции. 2019. № 12. С. 218-220. 7. Гусарова Е.А. Роль дисциплины «Инженерная графика» в вузах и необходимость поиска инновационных методов её преподавания // Современное педагогическое образование. 2021. № 1. С. 12-15.

ABOUT A SPECIFIC METHOD OF LINEAR PROJECTIONS, AS ONE OF THE PROJECTION METHODS IN DESCRIPTIVE GEOMETRY

Gusarova E.A., Spirina E.L.

National Research Moscow State University of Civil Engineering (NRU MGSU)

The article considers one of the projection methods, which is called the method of linear projections. The linear projections considered in this paper are primarily of theoretical importance. They seem to complement and link together parallel and central projections, and also allow us to significantly expand the concept of the main method of descriptive geometry - the projection method. The practical application of linear projections is that it is possible to build visual images with its help. Unlike central and parallel projections, which have different views depending on the shape and location of the picture plane, linear projections also have different views depending on the shape and location of the projection line, which can be in the form of a curved line, flat or spatial, open or closed.

Keywords: line, method, projections, plane, surface, plane, projection, image, panorama, space.

References

1. Prokofieva I. V., Demidov S.G. Descriptive geometry - three-dimensional and multidimensional // Universum: technical sciences. 2016. No. 3-4 (25). p. 1.

2. Salkov N. Descriptive geometry-the basis for analytical geometry // A. Geometry and graphics. 2016. Vol. 4. No. 1. pp. 44-54

3. Dmitrieva I. M., Ivanov G.S., Klevtsova K.S. Analytical support for solving problems of descriptive geometry. // Questions of technical and physical-mathematical sciences in the light of modern research, a collection of articles based on the materials of the XXXIII international scientific and practical conference. Novosibirsk, 2020. pp. 7-12.

4. Visual descriptive geometry. Anufrieva E. Yu. Youth scientific and Technical Bulletin. 2013. No. 6. p. 32.5)

5. Gusarova E. A., Spirina E.L., Makarishchev V.D. Criteria for selecting the main values and the relationship between them in rectangular isometry. // Innovations and investments. 2018. No. 10. pp. 224-227.

6. Gusarova E. A., Spirina E.L. On the need for the correct choice of axonometric projections to achieve reliability in images.

7. Gusarova E.A. The role of the discipline «Engineering graphics» in universities and the need to search for innovative methods of teaching it // Modern pedagogical education. 2021. No. 1. S. 12-15.

С

о со "О m

о m

П m 1=1

m

сз

m О от

■s

ы о со