CC BY
32
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМЕНИ С. М. КИРОВА
Том 261 1975
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРУГОВЫХ СЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Э. Э. МАНАШЕРОВ
(Представлена научным -семинарам кафедр начертательной геометрии
томских вузов)
В решении ряда задач начертательной геометрии используется известное свойство поверхностей второго порядка: если плоскость, пересекающая данную поверхность, проходит параллельно плоскости одного из семейств окружностных сечений, то фигурой сечения поверхности является окружность.
С использованием окружностных сечений могут быть решены следующие задачи: а) построение недостающей проекции точки, принадлежащей поверхности; б) построение прямой и плоскости, касательной к поверхности; в) построение сечений поверхности плоскостью и точек пересечения прямой с поверхностью; г) взаимное пересечение поверхностей.
Касательная плоскость к поверхности
Пример I. Пусть в точке А (задана фронтальная проекция) поверхности эллиптического параболоида (фиг. 1) требуется провести касательную плоскость.
Через точку А проходят две окружности (а и Ъ), касательные к которым определят искомую касательную плоскость, т. е. задача сводится к построению двух касательных прямых п и т.
Касательная п к окружности а построена следующим образом. Вспомогательная проекция А2 находится на пересечении дуги а2 с перпендикуляром, восставленным из л2 к а2. Перпендикуляр А2М2 к 02Л2 есть вспомогательная проекция п2 касательной пп2=а2. Горизонтальная проекция А\ определяется откладыванием от Л по вертикальной линии связи отрезка К\А\—А2А2, проекция находится на Л. Прямая Ы\А\ = П\ определяет горизонтальную проекцию касательной п к окружности а. Аналогично построена касательная т к окружности Ь.
Естественно, что этот прием построения касательной плоскости подходит для всех поверхностей второго порядка, имеющих семейства окружностных сечений [1, 2, 3]. Причем касательная плоскость может быть проведена как через точку, выбранную на самой поверхности, так и вне ее.
Задача на построение касательной плоскости к приведенным поверхностям второго порядка может быть решена преобразованием за-
5*
67
данной поверхности в поверхность вращения и последующим решением задачи известным приемом для поверхности вращения. Приведем один пример, используя аффинное преобразование пространств.
Пример 2. Пусть задана поверхность эллиптического параболоида (фиг. 2). Требуется по заданной фронтальной проекции М2 определить горизонтальную проекцию М\ точки М, принадлежащей поверхности, и построить касательную плоскость к поверхности эллиптического параболоида в этой точке. С помощью родственного преобразования пространства [4] преобразуем поверхность эллиптического параболоида в поверхность вращения. За плоскость родства взята фронтальная плоскость Л, направление родства перпендикулярно плоскости Л. Чтобы эллиптическое основание преобразовать в окружность, проведем следующее построение. Через точки А\ и В\ проводим прямую и до пересечения с Л} и находим двойную точку преобразования Кг^Ки Из этой точки проводим родственную прямую /1 под углом 45° к Л.1 и находим точки А\ и В\. Точки С1 и йI определяются без особых построений. Точку М\ находим как недостающую проекцию точки М на преобразованной поверхности — параболоиде вращения. Точка М\ находится как точка родственная Мх. Из М\ проводим прямую, параллельную до пересечения с Ль а затем параллельно 1\ до пересечения с направлением родства из точки М\. Для построения касательной плоскости. проведем касательные прямые: п к горизонтальному сечению — параллели и т к меридиональному сечению — параболе поверхности вращения. Затем обратным преобразованием находим положение касательных. Причем фронтальные проекции щ и т2 остаются без изменения, т\ проходит через М\ в центр эллипса. Прямую строим как родственную т. Касательная щ проведена в точке М\ окружности — сечение плоскостью Г поверхности параболоида вращения. Прямые пят определяют искомую касательную плоскость Т в точке М поверхности.
Естественно, что с другими поверхностями второго порядка общего вида можно решить задачу на построение касательной плоскости и нахождение недостающей проекции точки аналогичным образом.
Задача на построение касательной плоскости к поверхности трехосного эллипсоида решается также с использованием родственного преобразования (растяжения или сжатия) поверхности трехосного эллипсоида в сферическую поверхность и обратно [5].
Пример 3. Задана поверхность трехосного эллипсоида (фиг. 3). Требуется построить касательную плоскость к поверхности в точке 5 (задана фронтальная проекция 52) на ней.
Предварительно по фронтальной проекции 52 строится горизонтальная проекция 51 точки 5. Здесь по существу применяется двойное родственное преобразование. Трехосный эллипсоид вначале преобразуется в двухосный (вращения). За плоскость родства принимается горизонтальная плоскость. Горизонтальная проекция поверхности остается без изменения, фронтальная проекция преобразуется в окружность с радиусом, равным большой полуоси ОА. При этом фронтальная проекция точки 52 переходит в 52. Затем эллипсоид вращения преобразуется в сферу радиусом О А. При втором преобразовании за плоскость родства принимается фронтальная плоскость. Преобразованная горизонтальная проекция 51 определится как точка, принадлежащая сфере. Обратным преобразованием (сжатием) сферы в эллипсоид вращения находим искомую горизонтальную проекцию 51 точки 5.
Построение касательной плоскости в точке 5 сводится к построению двух касательных прямых. Одна прямая —/с— проводится касательно к горизонтальному сечению (без построения самого сечения эллипса), другая ■— / касательная к сечению, которое проходит через среднюю ось трехосного эллипсоида. Каждое из эллиптических сечений преобразуется в окружность, строятся касательные прямые к окружностям, и обратным преобразованием находятся касательные I и 1-П282^=12; /1 = /?15ь /2 проводится через 52 параллельно 02А2; ¿1=51Л/,1. Таким образом, касательная плоскость построена.
Преимуществом приведенного приема является то, что он не требует построения очерка поверхности.
Однако предлагаемый автором прием использования круговых сечений, как это видно из ранее изложенного, проще и обладает достаточной общностью.
Фиг. з.
Пересечение поверхности плоскостью и прямой
Пример 4. Пусть задана поверхность эллиптического параболоида (фиг. 4) и требуется построить сечение поверхности фронтально-проецирующей плоскостью. Фронтально-проецирующая плоскость 2 параллельна плоскости семейства круговых сечений Л и поэтому пересекает
Фиг. 4.
данную поверхность по окружности. Окружность получится в сечении поверхности и от плоскости 2', параллельной плоскости другого семейства круговых сечений Л'. Это относится к поверхности второго порядка, имеющей две системы круговых сечений.
Плоскость Г также проецирующая, но не параллельна ни плоскости Л, ни плоскости Л1. Поэтому для построения сечения придется использовать плоскости-посредники, проводя их параллельно плоскости Л или Л1. Плоскости-посредники пересекают поверхность по окружностям, а плоскость Г по фронтально-проецирующим прямым. Пересечение окружности п и прямой дает нам две точки С и А сечения. Высшая А и низшая В точки сечения по существу определены, так как на чертеже уже имеются их фронтальные проекции. Остальные точки сечения строятся аналогично точкам С и О. В сечении плоскостью Г получается эллипс, который можно было построить по осям. Большая ось А2В2 задана, малая ось определяется как хорда окружности, плоскость которой проходит через определяемый эллипс. Так можно строить каждое эллиптическое сечение, которое перпендикулярно плоскости омбилических диаметров. Омбилическим диаметром называется прямая, на которой расположены центры окружностных
сечений одного семейства. На поверхности в общем случае два омбилических диаметра. Омбилические диаметры образуют плоскость, которую назовем плоскостью омбилических диаметров. Эта плоскость является также плоскостью симметрии поверхности.
Пример 5. Задана поверхность трехосного эллипсоида (фиг. 5). Требуется построить сечение поверхности плоскостью 2 (а><в), которая является плоскостью общего положения. И в этом случае используем плоскости-посредники, которые проводим параллельно плоскости кругового сечения Л. Плоскость Л в данном случае параллельна горизонтальной плоскости проекций Пь Плоскость-посредник Г пересекает поверхность трехосного эллипсоида по окружности т, а плоскость 2 по горизонтали Я; Т2^т2^к2. Так как прямая является горизонталью, то Н2\\а2, а к\\\а\. Пересечение прямой к с окружностью т дает две точки 1 и 2 сечения. Остальные точки сечения 3, 4 и другие построены аналогичным образом.
Задача на построение плоских сечений поверхностей второго порядка общего вида, имеющих два семейства круговых сечений, решает-
Фиг. 5.
ся также с применением вспомогательного проецирования на плоскость, параллельную плоскости одного из семейств круговых сечений [6, стр. 88].
Пример 6. Задана поверхность общего однополостного гиперболоида (фиг. 6). Требуется построить сечение поверхности плоскостью Л, заданной треугольником KLM. За впомогательную плоскость взята
их на заданные проекции. На чертеже показано построение точки /. Соприкасающаяся окружность к А3 дает проекцию N3 крайней правой точки N сечения.
Пример 7. Пусть задана поверхность эллиптического параболоида и прямая m (фиг. 4). Требуется определить точки пересечения прямой с поверхностью. Задача решается общим приемом. Через прямую m проводится плоскость Г и находится сечение, которое в пересечении с прямой m дает две искомые точки 1 и 2.
Если прямая (/) параллельна плоскости круговых сечений, то построение упрощается, так как вспомогательная плоскость (2) дает в сечении окружность, которая в пересечении с заданной прямой (/) дает две искомые точки (3 и 4). Построения для этой задачи приведены на фиг. 4.
Предположим, требуется построить точки пересечения прямой 1=КМ (фиг. 6) с поверхностью общего однополостного гиперболоида. Эту задачу можно решить с помощью вспомогательного проецирования на плоскость П3. П3 выбрана параллельно плоскости из семейств круговых сечений. Через прямую I проводим плоскость Л (KLM), которая является проецирующей по отношению к новой плоскости изображений. Линия сечения поверхности плоскостью Л в пересечении с прямой I дает искомые точки пересечения 4 и 5.
Фиг. 6.
профильная плоскость проекции Пз, за направление проецирования сторона треугольника LM. Так как плоскости одного семейства круговых сечений параллельны П3, то окружности на эту плоскость проецируются без всяких искажений и их центры располагаются на прямой 1323 — вспомогательной проекции омбилического диаметра. Плоскость Л (KLM) спроецируется в виде прямой Л3. Пересечение вспомогательных проекций окружностей и плоскости (Л3) дадут проекции искомых точек сечения. Обратным проецированием переносим
Взаимное пересечение плоскостей
Рассмотрим некоторые примеры на построение линии пересечения поверхностей с использованием круговых сечений. Пусть поверхность второго порядка общего вида пересекается с гранной поверхностью. При построении линии пересечения поверхности второго порядка, имеющей две системы круговых сечений с гранной поверхностью, задача по существу сводится к построению линии пересечения каждой грани (плоскости) с поверхностью.
Пример 8. Задана поверхность однополостного эллиптического гиперболоида и трехгранная пирамида (фиг. 7). Требуется построить линию пересечения заданных поверхностей. Задача решена с помощью плоскостей - посредников,
параллельных плоскости v. \ I
круговых сечений. Плоскость-посредник 2 пересекает гиперболоид по окружности т, а пирамиду по треугольнику ABC. Окружность и треугольник пересекаются в данном случае в двух искомых точках D и Е. Эти точки легко находятся на новой плоскости проекции П5, которая параллельна 2, так как т5 есть окружность D5=Á5B5y(m5Eí = =А5С5у^т5. Обратным проецированием находим фронтальные и горизонтальные проекции точек D и Е. Аналогичным образом находятся остальные точки.
Пример 9. Заданы поверхности трехосного эллипсоида и эллиптического гиперболоида, плоскости круговых сечений которых одинаково направлены (фиг, 8, а). Требуется построить линию пересечения этих поверхностей. В этом случае плоскости омбилических диаметров обеих поверхностей совпадают и параллельны Пг. Плоскость-посредник 2 выбираем параллельно круговым сечениям, поэтому сечениями поверхностей являются две окружности, пересечение которых дает две общие точки 1 и 2.
Решение задачи дано в одной проекции вращением вокруг прямой, соединяющей центры окружностей сечения. Плоскости обеих окружностей располагаем параллельно плоскости П2, что сразу дает нам вспомогательные проекции точек 1 и 2. Обратным вращением находим фронтальные проекции U = 22 искомых точек. На вспомогательной проекции использованы только дуги окружностей. Таким же образом строятся остальные точки линии пересечения.
Фиг. 7.
Приведенный прием позволяет строить линию пересечения поверхностей, которые имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости изображений. Если бы плоскости симметрии поверхностей были параллельны между собой, но не совпадали, то пришлось бы построить дополнительную проекцию на плоскость, параллельную плоскости круговых сечений. При этом необходимо учесть расстояние между плоскостями симметрии. Этот прием является общим для поверхностей с одинаково направленными круговыми сечениями.
Аналогичным образом решены частные случаи задачи на пересечение поверхностей эллиптического параболоида и эллиптического конуса (фиг. 8, б), эллиптического конуса и конуса вращения (фиг. 8, в), параболоида и конуса вращения (фиг. 8, г). Во всех этих случаях обе пересекающиеся поверхности имеют одинаково направленные круговые сечения. В первых двух примерах обе поверхности второго порядка, имеющие две системы круговых сечений, в третьем — одной поверхностью является поверхность вращения, в четвертом — обе поверхности являются поверхностями вращения. В случае поверхности вращения второго порядка имеем две системы совпавших круговых сечений.
Задача упрощается, если одной из поверхностей второго порядка будет сферическая поверхность. Параллельно плоскостям круговых сечений поверхности, которая пересекается со сферой, проводим плоскость-посредник. При этом обе поверхности пересекутся по окружностям, так как каждое плоское сечение сферической поверхности есть окружность. Итак, эта задача сводится к случаю пересечения поверхностей с одинаково направленными круговыми сечениями.
Ранее описанным приемом решены задачи на пересечение поверхностей трехосного эллипсоида, эллиптического конуса и тора со сферической поверхностью (фиг. 9, а, б, в). Считаем, что для сферической поверхности каждая плоскость, проходящая через ее центр, является плоскостью омбилических диаметров. В первом и третьем примерах поверхности имеют общую плоскость омбилических диаметров, во вто-
Фиг. 9.
ром примере плоскости омбилических диаметров не совпадают, они параллельны П2. Причем для сферы они ближе к фронтальной плоскости проекций на величину а (рис. 9, б). Точки В и С линии пересечения поверхностей сферы и эллиптического конуса построены следующим образом. Плоскость-посредник 2 пересекает поверхности по окружностям 1п и п. На окружности п диаметр I, который является фрон-талыо, выбран за ось вращения. Плоскость 2 вращением вокруг этой оси совмещается с фронтальной плоскостью уровня. При этом преобразованные фронтальные проекции окружностей т2 и п2 будут проецироваться _без искажений и их центры 12 и 22 смещены на величину а. Пересечение этих окружностей дает вспомогательные проекции В2 и Съ точек В и С. Обратным вращением находим' фронтальные проекции В2 и С2 искомых точек линии пересечения. Аналогично строятся остальные точки линии пересечения. Точки В и Е на очерковой образующей I конуса построены с помощью плоскости-посредника, за которую принята плоскость омбилических диаметров эллиптического конуса. Эта плоскость, проходящая через /, пересекает сферическую поверхность по окружности к, которая смещена от плоскости окружности главного меридионального сечения на величину а. Проекция к2 окружности к на плоскости П2 проецируется без искажения. Центр ее 02, радиус равен величине Я. Пересечение к2 и /2 дает фронтальные проекции искомых точек; £>2 = /с2х4 и Е2~
Таким образом, перечисленные случаи пересечения - двух поверхностей могут быть отнесены к одному типу задач —■ с одинаково направленными круговыми сечениями — и решены общим приемом — с помощью проецирующих плоскостей-посредников.
Пример 10. Заданы поверхности эллиптического параболоида и тора (фиг. 10, а). Требуется построить линию их пересечения. Плоскость омбилических диаметров эллиптического параболоида является плоскостью симметрии обеих поверхностей. Используем известный прием эксцентрических шаровых посредников. Восстановим из центра кругового сечения т га2=2 поверхности эллиптического параболоида перпендикуляр до пересечения с осью г тора в точке N. Из этой точки, как из центра, проведем сферическую поверхность-посредник, у которого радиус Я — А2Ы2. Сферическая поверхность пересекает поверхность эллиптического параболоида по окружности т, а поверхность тора — по окружности п. кружности тип, как принадлежащие одной сферической поверхности, пересекутся в двух искомых точках В и С (В2=С2). Подобным образом строятся и остальные точки линии пересечения.
Аналогично решены задачи на пересечение поверхностей: эллиптического параболоида и кольца (фиг. 10, б), эллиптического конуса и
цилиндра вращения (фиг. 10, в), «кривого конуса» [7, стр. 329] и тора (фиг. 10, г), кольца и тора (фиг. 10, д). В этих примерах пересекающиеся поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии.
Остановимся на построении линии пересечения поверхностей «кривого конуса» и тора. Плоская кривая к есть геометрическое место центров круговых сечений (фиг. 10, г). Возьмем на этой кривой точку С и соединим с вершиной 5. Плоскость 2, проходящая через С и перпендикулярная БС, пересекает поверхность «кривого конуса» по окружности т (т2=22). Прямая БС в пересечении с осью тора I дает нам центр N сферической поверхности-посредника. Эта сферическая поверхность пересекает поверхность тора по окружности п (п2), а поверхность «кривого конуса» по окружности т (т2). Пересечение п2 и т2 дает фронтальные проекции Л2==В2 искомых точек А и В линии пересечения. Таким же образом строятся остальные точки линии пересечения. Если из точки 52 провести луч, параллельный ¿2, то получим круговое сечение а с центром Д плоскость которого будет параллельна плоскости
круговых сечений тора. Если ось г будет проходить через вершину 5, то точку 5 можно будет принять за центр концентрических сферических поверхостей, так как каждая сферическая поверхность, проведенная из центра 5, пересекает поверхность «кривого конуса» по окружности [7].
Приведенный на фиг. 10 тип задач встречается в учебниках [7, 8, 9] и другой литературе по начертательной геометрии.
Пример 11. Заданы поверхности однополостного эллиптического гиперболоида и эллиптического конуса, линию пересечения которых следует построить. Плоскости омбилических диаметров обеих поверхностей совпадают и параллельны П2. Осуществим аффинное преобразование пространства таким образом, чтобы одна из поверхностей преобразовалась в поверхность вращения [4]. Тогда придем к частному случаю (фиг. 10) и, используя круговые сечения, решим задачу с помощью эксцентрических сферических поверхностей-посредников.
В нашем примере (фиг. 11) после преобразования получили поверхности однополостного гиперболоида вращения и эллиптического конуса. Построение точек А я В (А2=В2) ясно на чертеже. Остальные точки определены аналогично.
Так как за плоскость родства была взята фронтальная плоскость, то фронтальная проекция после пре-Фиг. 11. образования не изменилась. Значит,
фронтальные проекции линии пересечения до и после преобразования совпадают. По фронтальным проекциям легко определить горизонтальные проекции точек линии пересечения с помощью образующих конических поверхностей.
На преобразованной горизонтальной проекции линию пересечения в данном случае нет необходимости строить. Эта проекция по существу необходима лишь для определения направления семейств круговых сечений эллиптического конуса после преобразования.
Приведенный пример показывает, что с использованием круговых сечений может быть решена и задача на взаимное пересечение поверхностей второго порядка общего вида, плоскости омбилических диаметров которых совпадают.
Исследование показало, что использование круговых сечений упрощает решение перечисленных задач и позволяет подходить к их решению с общей точки зрения. Последнее положительно и с методической точки зрения. Хотя в работе рассмотрены не все возможные варианты, однако и они убеждают нас в целесообразности использования окруж-ностных сечений при решении некоторых позиционных задач начертательной геометрии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Э. Э. Манашеров. О проведении касательных плоскостей к некоторым поверхностям. Тезисы докладов научно-технической конференции ТашИИТ, Ташкент, Изд. Ташк. инст. инж. жел.-дор.' транспорта, 1963.
2. Э. Э. М а и а ш е р о в. О проведении касательных плоскостей к некоторым поверхностям. Вопросы начертательной геометрии и инженерной графики. Труды ТашИИТ, вып. 39, Ташкент. Изд. ФАН Узб. ССР, 1966.
3. И. В. Цвицински й. Касательные плоскости к поверхностям второго порядка, имеющие семейства круговых сечений. Сб. «Прикладная геометрия и инженерная графика». Вып. 2, Киев, изд. «Буд1вельник», 1966.
4. И. С. Джапаридзе. Геометрические преобразования пространства и их применения в начертательной геометрии. «Методы начертательной геометрии и ее приложения». Сборник статей под ред. Н. Ф. Четверухина. М., Гостехиздат, 1955.
5. В. В. Р ы ж к о в. Начертательная геометрия кривых линий и поверхностей. Вопросы современной начертательной геометрии. Сборник статей под ред. >Н. Ф. Четверухина. М-Л., Гостехиздат, 1947.
6. И. В. Ц в и ц и н с к и й. Гомологическое преобразование поверхностей второго порядка, имеющих семейства круговых сечений, и его применение. Вопросы теории и практики начертательной геометрии. Сборник статей Киевского инженерно-строительного института, Киев, 1960.
7. Н. А. П о п о в. Курс начертательной геометрии. М.-Л., Гостехиздат, 1947.
8. Н. Ф. Четверухин, В. С. Левицкий, 3. И. Прянишникова, А. М. Тевлин, Г. И. Федотов. Курс начертательной геометрии. М.-Л., Гостехиздат, 1956.
9. Н. Н. Пшеничный, М. И. Репина, Л. И. Марченко. Начертательная геометрия. М., Изд. «Сов. наука», 1956.
