Действие аффинной группы в пространстве многочленов над двумерными алгебрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

ДЕЙСТВИЕ АФФИННОЙ ГРУППЫ В ПРОСТРАНСТВЕ МНОГОЧЛЕНОВ

НАД ДВУМЕРНЫМИ АЛГЕБРАМИ

© Н.А. Малашонок

Ключевые слова: аффинная группа; обобщенные комплексные числа; пространство многочленов; инварианты.

Рассматривается действие аффинной группы в пространстве многочленов на алгебрах дуальных и двойных чисел. Находятся обобщенные комплексные и действительные инварианты.

Мы рассматриваем пространство Уп многочленов Р(г) степени ^ п над алгебрами дуальных или двойных чисел. Обозначаем эти двумерные алгебры через К . Аффинную группу С определяем так же, как в [1] или [2]: она состоит из линейных функций г ^ Ь(г) , где

Н(г) = Аг + В, А,В є К, |А| = 0.

Группа С действует в Уп сопряжениями:

Р ^ Н-1 о Р о Н.

Пусть

Р(г) ^ ' атг , г є ат є ат = ат + ІРті ат, Рт є М

Для пространства Уп имеется п — 1 инвариантов над К, которые формально имеют тот же вид, что над полем М (см. [1], [2]). Мы находим действительные инварианты (т. е. инварианты над М).

§ 1. Многочлены дуального переменного

В этом параграфе рассмотрим многочлены Р(г) = ^ атгт , г = х + Іу , х,у є М, над алгеброй дуальных чисел: І2 = 0 . Обозначим Рі = И,е Р , Р2 = Іт Р .

Теорема 1.1. Пусть функция f (г) от дуального переменного г = х + Іу - аналитическая. Тогда Яе f (г) = и(х), 1т f (г) = и'(х)у + У(х) . Здесь и(х), У(х) — функции только переменной х, не зависящие от у .

Теорема 1.2. Пусть Р (г1,гп) - функция п дуальных переменных г1,гп следующего вида:

Р(гі,...,гп) = ^2 акгі1 •••г’П",

к

где к = (к1, ..^кп), к1, ..^ктг - рациональные числа. Пусть Р1 = И,еР , Р2 = ІтР . Тогда

Рі = ^ акхк1...хПП , к

1713

Р2 = ^2 вкхк1 -х\п + I] дх1 уз . к 3 = 1 дхз

В случае, если старшие коэффициенты многочленов не являются делителями нуля, теорема 1.2 позволяет написать нужное количество (т. е. 2п — 2 ) действительных инвариантов Фкд , Фк,2 , к = 1,...,п — 1, в пространстве Уп . А именно

Фк,1 = а-(п-2)(к+1,/(п-1) [(—1)к'+1^к + Л «П+1 +

+ Е(-1)к"‘п‘+^п—1—0 аПаП—1ап-*-1

і=0 ' '

где к = 1,...,п — 2 ,

(—1)п-1(п — 1)<-1 +

фп-1,1 = а

п- 1

-(п-2)п/(п-1) п

+ ]Т(—1)п-1-гпт «п«п-1-гап-1-г + пп-1ап-1ап-1

а также

і=1

лч дФк,1 0 7 1 О

Фк,2 = £ -д07в• к = 1-~’п — 2

і=0 3

п-1

дфп-1,1 п фп-1,2 = >-----ЕТГ----в3 .

3=0 3

^п-1>2 - ^^зРз

Запишем Фк,2 подробнее:

п- 1

Фк,2 = а-(п-2)(к+1)/(п-1) ^ (—1)к-п+1+3пп-3-1

3 = п- к - 1

^ |ап-3-1а3-(п-к-1)в-

1/ “п “п-1 вз ’

где к = 1,п — 2 ,

п- 2

Фп-1,2 = а-(п-2)п/(п-1) ^ (—1)3 пп-3 ап-1-3 «п-1 [«п-1 + ^ ] +

3=0

- і

+ пп-1ап п-1.

В случае, если |ап| = 0 , имеется 2п — 3 действительных инвариантов.

§ 2. Многочлены двойного переменного

В этом параграфе рассмотрим многочлены Р(г) = ^ атгт , г = х + гу , х,у € М, над алгеброй двойных чисел: г2 = 1. Обозначим Р\ = И,е Р , Р2 = 1т Р .

х

х

1714

Аналогично § 1 мы имеем

Ф

fc,i

= a—(n—2)(k+1)/(n—^

(—1)fc+1k(k + 1 I a

n

k+1 I

n—1 +

+

^(-1)fc—ini+1(

i=0

''n — 1 — i

v k — i

anan— 1an—i— 1

Ф&‘

где k = 1,n — 2 ,

= @—(n— 2)(k+1)/(n—1)

(—1)

n

Mkik + 1 |en—1+

+ D-ч

i=0

)k—ini+M n k 1 i Menen—iвп—i—1

Фп—1,1 = a

— (n—2)n/(n—1) n

(—1)n—1 (n — 1)an—1 +

n— 1

n

n— 1

+ J^(—1)n—1—ini+1anan—1—i an—1—i + nn—^V—1

i=1

Ф о = в—(n—2)n/(n—1)

фп—1,2 — en

(—1)n—1 (n — 1)en—1 +

n— 1

+ £( — 1)n—1—ini+1eneni1—ien—1—i + nn—1вГ 1en—1

i=1

Если 1Л^ | =0 , п — к ^ ^ п , то будут присутствовать только коэффициенты а или

в зависимости от того, к какому семейству делителей нуля они относятся.

ЛИТЕРАТУРА

1. Malaschonok N.A. Invariants of the real line affine group on the space of polynomials // Вестник Тамбововского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2006. Т. 11. Вып. 1. С. 53-56.

2. Малашонок Н.А. Инварианты аффинной группы прямой в пространстве многочленов // Гармонический анализ на однородных пространствах и квантование: Международная научная конференция. Тамбов, 2007. C. 15-18.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-00325); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 1.1.2/1474); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349); темплана 1.5.07.

Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.

Malaschonok N. A. An action of the affine group on the space of polynomials over two-dimensional algebras.

There is discussed an action of the affine group on the space of polynomials over generalized complex numbers. Complex and real invariants are obtained.

Key words: affine group; generalized complex numbers; spaces of polynomials; invariants.

1715