Инварианты аффинной группы в пространстве многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis on a hyperboloid of one sheet. The tensor product of two irreducible finite dimensional representations of the group G — SL(2, M) is realized as a representation of G on functions on the hyperboloid of one sheet in R3. A decomposition of this representation is given in terms of the hyperboloid. Keywords: hyperboloid, tensor products, Poisson and Fourier transforms, Plancherel formula.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.

УДК 517.98

Инварианты аффинной группы в пространстве

многочленов 1

© В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок

Ключевые слова: аффинная группа прямой, орбиты, инварианты, результант.

Дано описание инвариантов группы х ах + /5, действующей сопряжениями в пространстве многочленов.

В настоящей работе мы даем описание инвариантов аффинной группы прямой, действующей сопряжениями в пространстве многочленов: мы пишем различные формулы для инвариантов этого действия в терминах коэффициентов многочлена и в терминах корней его производных. Наши результаты дают простые и прозрачные доказательства формул, полученных в [1], [2].

Пусть Уп - пространство многочленов /(ж) степени ^ п над полем М:

/(х) = а0 + ахх + ... + апхп,

переменная х пробегает Е. Оно имеет размерность п + 1. Пусть (7 - группа аффинных преобразований (р прямой Е:

х ь-> ц>(х) = ах + /?,

где а, (3 € К, а > 0. Она действует в пространстве Уп сопряжениями:

Т{ф)1 = ^ о/о<р.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-

учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.

Вместо Т(ір) мы иногда будем писать Т(а,/3), так что

{Т{а,Р)})(х) = ~/{ах + Р) -

а а

Мы хотим описать С-орбиты в Уп, п ^ 2. Достаточно это сделать для подмножества У+, состоящего из многочленов /(ж) с ап >0. Всякая С-орбита двумерна [1], поэтому нам надо найти п — 1 алгебраически независимых инвариантов.

Лемма 1 Всякая Є-орбита в У+ содержит многочлен с ап_і = 0. Доказательство. Пусть / Є У+. Производная /(" ^(х) имеет корень

^ 1 пап

Преобразование Т(1,£) переводит /(х) в многочлен

Н{х) =Ь0 + ЬіХ + ... + Ьп-2хп~2 + Ьпхп, (1)

где 60 = /(0 - С и

к = * = 1,---п.-2, (2)

с требуемым свойством. □

Коэффициенты Ьк многочлена /г.(гг) выражаются через коэффициенты многочлена /(ж) следующим образом:

Ьп — ,

(к

к

П

Ьо = —£ 4- а£г. (4)

ьк = (к + г)аі+і(‘, к = 1,...,п-2, (3)

і=0

В формулах (3), (4) два последних слагаемых в каждой из сумм подобны. Приводя их, получим

К = (па„)-»+*+,| £

+ (_!)-*-! "-*-1 (”)<:{}, к= 1,...,п-2, (5)

6о = + №)

ТІ&п

где многоточие обозначает правую часть (5) с к — 0.

Стационарная подгруппа многочлена /і(ж), см. (1), состоит из преобразований р с /3 = 0, то есть из преобразований х ах. Соответствующий оператор Т(а,0) переводит Н{х) в многочлен

(Т(а, 0)/і)(ж) = ак~1Ькхк.

Следовательно, инварианты группы Є на многочлене /г(ж) - это его коэффициенты Ьк, к = 0,1,... ,п — 2, деленные на степень старшего коэффициента Ьп = ап с показателем (к — 1)/(п — 1). Мы получили теорему

Теорема 2 Представление Т группы имеет следующие алгебраически независимые инварианты Я>к, к — 0,1,... ,п — 2, в множестве :

ЗД) = ),

/С. у ТЬСіуі у

і £ ( ^п—1 \ 0"п—1

у ТЬ&тх )

к — 1,... ,п — 2,

Фо(/) = а

Чтобы получить явные выражения для Ф*; через коэффициенты многочлена /(ж), надо правые части формул (5), (6) умножить на ай^_1^"-1\

Вспомним понятие результанта і?(/, д) двух многочленов /(ж) и д(х), см. например, [3]. С точностью до множителя результант наших многочленов f^n~1\x) и /(*)(я) есть Ьк при к — 1,..., п — 2, см. (2), и есть Ь0 + £ при к = 0. Переходя от Ьд; к получаем теорему

Теорема 3 Инварианты к — 0,1,..., п — 2, выражаются следующим образом через результанты:

ЫЛ = а-(‘-1,/(”-1,(па„)-“+*Я ((~Г)!' -2,

Л + Щ.

) пап )

*о(/) = ,\W_niг^v(tзT)^^J +

Peзyльтaнт Щ/,д) выражается через разности корней многочленов /(ж) и #(ж). Пусть 2].,..., - корни многочлена /^к\х). Их сумма равна (п — к)£.

Теорема 4 Инварианты Я!к, к = 0,1,... ,п — 2, выражаются следующим образом через корни многочлена /^(ж);

(ч п—кп—к ^=1 г>=1

П П

Фо(/) = </(п_1)гг_п Д ^(2:р - + ... + гп).

7=1 Р=1

Наконец, выразим результанты через определители. Обозначим (определитель порядка п — к + 1):

,fc)a« (VK-I ... ®к

TlQn ^n—1 0 0

0 nan On_1 0

0 0 • • • O'n—1

Теорема 5 Инварианты Ф^, к = 0,1,... ,п — 2, выражаются через Dk: **(/) = a^k-l^n-l\nan)-n+kDk, к = 1,... ,п — 2,

МЛ = an/(n_1) l{nan)~nD0 + .

пап J Литература

1. N. A. Malaschonok. Invariants of the real line affine group on the space of polynomials. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2006, том 11, вып. 1, 53-56.

2. Н. А. Малашонок. Инварианты аффинной группы прямой в пространстве многочленов. Международная научная конференция «Гармонический анализ на однородных пространствах и квантование», 24-28 сентября, 2007, 15-18.

3. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1968.

V. F. Molchanov, N. A. Malaschonok. Invariants of the affine group on the space of polynomials. A description of invariants of the group x t->- ax + /3 acting by conjugations on the space of polynomials is given.

Keywords: the affine group of the real line, orbits, invariants, resultant.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.