Девятипараметрическое семейство вложенных методов шестого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2023. Т. 19. Вып. 4 УДК 519.62, 519.622 МБС 65Ь05, 65Ь06

Девятипараметрическое семейство вложенных методов шестого порядка*

И. В. Олемской, А. С. Еремин, О. С. Фирюлина

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Олемской И. В., Еремин А. С., Фирюлина О. С. Девятипараметрическое семейство вложенных методов шестого порядка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2023. Т. 19. Вып. 4. С. 449-468. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.403

Статья посвящена построению экономичного явного вложенного метода шестого порядка с автоматическим выбором шага численного интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Выписана общая схема метода, алгоритмически учитывающая выделенные структурные особенности рассматриваемой полной канонической формы систем структурно разделенных уравнений. Приведен алгоритм построения методов шестого порядка и вложенных четвертого для оценки «контрольного» члена, использующего технологию РЯЛЬ. Представлены результаты сравнительного тестирования.

Ключевые слова: методы Рунге — Кутты, разделяющиеся системы, условия порядка, упрощающие условия.

1. Введение. Рассматривается полная каноническая форма структурно разделенной системы д обыкновенных дифференциальных уравнений

Уо = 1о{х,у0,...,уп), (1)

у'г = 1г(х,Уо,...,У—1,У1 + 1,...,Уи), г = 1, . . . ,1, (2)

у'з = ¡з (х,У0,...,Уз-\), 3 = 1 + 1,...,п, (3) где х е [Х0,Хк ] С М, УВ : [Х0,Хк] , в = 0,...,п,

/о :[Х0,ХЙ] х М3 МГ0, д = ]Г

/ :[Хо,Хк ] х М3-г , П = У] т3, г = 1,...,1

/ :[Хо ,Хк] х М3-г Мг;, г^ = ^ та, 3 = I +1,...,п.

а=3

Для нее строится экономичный явный одношаговый метод шестого порядка.

Две группы уравнений (2), (3) структурно тождественны. Каждое уравнение одной из них занимает определенное место в последовательности уравнений своей группы. Его правая часть не зависит от искомых функций, поведение которых описывается этим и всеми последующими уравнениями той же группы. Группа уравнений (1),

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00027, https://rscf.ru/project/23-21-00027/

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

г

а

в которую вошли все уравнения, не имеющие структурных особенностей указанного выше типа, называется общей. Она, как и группа уравнений (2), может отсутствовать. Необходимость в интегрировании систем такого типа возникает, например, в задачах небесной механики, физики высоких энергий.

В [1-3] дан алгоритм приведения произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений = фк(х, ^ъ • • •, ), k = 1,... ,g, к виду (1)-(3).

В работе [4] предложено обобщение явного метода Рунге — Кутты [5, 6] для интегрирования систем структурно разделенных систем (1)-(3). Эффективность построенных методов определяется тем, что для общей группы уравнений (1) численное интегрирование по соотношению порядка метода (q) и минимально возможного числа этапов (m) тождественно методам Рунге — Кутты (m > q, q ^ 5), а для структурно выраженных групп уравнений (2), (3) предложенная модификация дает возможность уменьшить число этапов при сохранении порядка метода, причем в случае отсутствия общей группы уравнений она еще более значительна. Так, метод пятого порядка получен не за шесть этапов, а за четыре [7, 8], а метод шестого порядка — за шесть этапов вместо семи [9].

В основе изучаемого расширения лежит алгоритмическое использование выделенных структурных особенностей. Для полной канонической формы системы (1)-(3), содержащей общую группу уравнений, описываются алгоритмы построения шести-параметрического семейства экономичных методов шестого порядка семистадийных по общей группе и шестистадийных по выделенным [9-14] структурно разделенным. Здесь на этом семействе решений построено девятипараметрическое семейство вложенных методов с использованием технологии FSAL оценки контрольного члена.

2. Основные понятия. Предположим, что правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений достаточно гладкие. Считаем, что точное решение ys(x), s = 0,1,... ,n, задачи (1) в точке x € [Xo,Xk] известно.

Приближения zs p-го порядка и zs q-го порядка к точному решению ys(x + h), s = 0,1,... ,n, в точке x + h € [Хо, Xk] ищем в виде

yo(x + h) v zo mo = yo(x) + b0,wKo,w, w=1

yi(x + h) V Zi mi = yi(x) + bi,wKiw, w=1 i = l,...,l, (4)

Уз (x + h) v Zj m2 = yj (x) + b2,wKj,w, w=1 j = l + l,...,n,

yo(x + h) V Zo mo = yo(x) + bo,wKo,w, w=1

yi(x + h) V Zi mi = yi(x) + b1,wKi,w, w=1 i = l,...,l, (5)

yi(x + h) m2 = yi(x) + b2,wKj,w, w=1 j = l + l,...,n,

\\ys(x + h) - Zs\\ v O(hp+1), \\ys(x + h) - Zsll« O(hq+1), s = 0, l,...,n. (6)

При этом в строгой последовательности вычисляем значения

КоЛ,К1Л,..., КпЛ,Ко,2,К1а,..., Кп,2,Ко,з, К13, К23,... (7)

по следующему правилу:

где

Ко № /о (х + Со

№

Го Гол 1 Го

¡г(х + С1,№ Г1,о,№ , У1,1,№ , ... , , У1,1+1,№ , ... , У1,П,№ ) ,

= /з (х + С2,№ Н, У2,о,№, Г2,1,№, . . ., Г2,1,№ ,У2,1+1,№, . . . , У2,з-1,№ ), г = 1, ... ,1, 3 = I + 1, ... ,п,

о,о

(8)

Уо = Уо (х) + Ко V1

У=1

Уо,г,№ = Уг(х) + ао1,№,^ Кг,и, г = 1,... ,1,

н=1

Уо,з,№ = Уз (х) + Н ^ ао2,№,и Кз,и, 3 = I +1,...,п,

и=1 №

У1

= Уо (х) +

Ко

и=1 №

У1,г,№ = Уг(х) + Кг,„, г = 1,... ,1 - 1,

и=1

У1,з,№ = Уз (х) + Н ^ а12,ш,„ Кз,и, 3 = I +1,...,п,

н=1 №

У2

Уо (х) +

Ко

и=1 №

У2,г,№ = Уг(х) + Кг,и, г = 1,...,1,

и=1 №

У2,з,№ = Уз (х) + Кз,„, 3 = I +1,...,п - 1.

и=1

и,т е {0,1, 2}, — параметры метода. Величину Н назовем шагом интегрирования.

Разность двух приближений Ех+ь = \\гл - г л У, называемая контрольным членом, используется [6, 15, 16] для управления шагом Нпе„ интегрирования, который может корректироваться по формуле

1

/ +о1 \ ч+1

Нпек = 0.9 Н -- , (9)

\Ех+к )

в которой 1о1 — максимально допустимое значение контрольного члена.

Замечание. В соответствии с требованием алгоритма (7) для компонентов вектора числа этапов М = (то,т1 , т2) структурного метода [4, 7-14] (4)-(9) характерными являются соотношения

то ^ т1 ^ т-2.

Выбор параметров метода осуществляется таким образом, чтобы при выбранном числе этапов М = (7, 6, 6) для метода шестого порядка (р = 6) разложение приближения и точного решения сопадали до к6, т.е. погрешность на шаге ||у8(ж + к) — г3\\ = 0(Н7), в = 0,1,... ,п. Для метода четвертого порядка (д = 4) с добавлением дополнительного этапа М = (8, 7, 7) добиваемся, чтобы Цу8(х + к) — 18|| = 0(к5).

Введем векторы узлов Си = (сид,..., си,ти )Т, две группы векторов весовых коэффициентов Би = (Ьи,1,..., Ъи,ши )Т, Ви = (Ьи,1,..., Ъи,ши )Т и блочные матрицы

Аи

аиу:1:1 аиу,2,1

аиу,2,2

\аи

\

7

Здесь и — номер группы, V — номер блока в пределах группы, п,у € {0,1, 2}. Таким образом, в каждой выделенной группе содержится по три блока весовых параметров Аиу. Представление в виде табл. 1 рассматриваемого метода (4)-(9) наглядно показывает структурные особенности системы, алгоритмическое их использование при реализации и выводе.

Таблица 1. М = (т0, т^, т2)-стадийный метод (4)—(9) интегрирования системы (1)—(3)

а

1

2

ии.т

С0 А00 А01 А02 Б0 Б0

С1 А10 А11 А12 Б1 Б1

С2 А20 А21 А22 Б2 Б2

Примечание. Матрицы А00, А01, А02, А12 — строго нижнетреугольные, а А10, А20, Ац, А21, А22 — нижнетреугольные.

Если в исходной системе отсутствует одна любая и € {0,1, 2} из групп уравнений, то табл. 1 не содержит параметров, связанных с этой группой: Си, Би, Би, Аии, А^и, Аиа, й € {0,1, 2}\{и}. При отсутствии же в исходной системе (1)-(3) структурно разделенных групп уравнений (2), (3) рассматриваемый метод вырождается в явный метод Рунге — Кутты с параметрами А = А00, Б = Б0, Б = Б0, С = С0, М = т0.

3. Условия порядка. В рамках рассматриваемого метода (4), (6)-(8) шестого порядка как число нелинейных уравнений, связывающих параметры метода, так и количество самих параметров метода зависят от количества выделенных групп уравнений в исходной системе (1)-(3).

Известно [5, 6], что условия порядка для семистадийного метода (т-0 = 7) Рунге — Кутты шестого порядка образуют систему 37 нелинейных уравнений с 35 неизвестными параметрами С0, Б0, А00.

При построении шестистадийных (т-1 = т-2 = 6) методов шестого порядка [7, 8] для систем (1)-(3), не содержащих общей группы (1) уравнений, условия порядка образуют систему 74 нелинейных алгебраических уравнений с 61 неизвестным параметром С1, С2, Б1, Б2, А12, А21, если I = 1, п = 2. Если же I > 1, п > 1, I + п ^ 4,

то число нелинейных уравнений в условиях порядка возрастает до 292, а число неизвестных параметров С\, С2, В\, В2, Ац, А12, Л2\, А22 — до 103.

Условия порядка М-стадийного метода (4)—(8) шестого порядка с М = (7, 6, 6) при использовании предположений

п

= Си^, € {0,1, 2}, V = 1,...,ши, (10)

«=1

ГV - 1, если (п,у) € {(0, 0), (0,1), (0, 2), (1, 2)}, П =\V, если (п,у) € {(1, 0), (1,1), (2, 0), (2,1), (2, 2)},

представляют собой [9-14] систему из 1224 нелинейных алгебраических уравнений, устанавливающих связь шести групповых параметров Си, Ви с девятью блочными весовыми коэффициентами Аиу (считаем, что индексы и, и>, V, е, Ь принимают все возможные групповые номера {0,1, 2}):

= , в = 0,1,..., 5, в + 1

в + 1

^ ^ ^ = 27 + 3) , в = 0, 1, 2 3,

2(в + 3):

м

^ ^ си V V У ^ О'и-ш^, м 2 мСи'м = 3(в

^Ьиг а и' ^ ^ awv,м,£ ,£ —

V м )£

^ ^ ЬиV Сиу [У ^ аи', V -

V \ м / м

У ^ Ьи^ си, V м 3 лм с'.м = 4(

-—г, в = 0,1, 2,

1 в = 0,1, 2,

6(в + 4):

1

в = 0,1,

= 4(в +

4(в + 5): в = 0, 1,

V м £

1

(в,й) е{(0, 2), (0, 3), (1,1), (1, 2), (2,1)},

10(в + й)(1 + й)'

^ ^ би^Е ^и-ш^.м СУ,£ агв,£,'ф СР,ф —

V м £ Ф

60(в + ^ + 2р), ( {(0, 0,1),(1, 0,1),(0,1,1)},

* Ат / 36

^ ^ аи-ш,у,мсги,м = 30 ,

V м

^ ^ (^ ^ аи' „мУ, ,м,£ ) * (^ ^ аи' ,М ) — 72 ,

^ 72

V м £ м

^ ^ Сиу,У^ ^ V ,м,£ ,£ — 24(1 + ) , в — 1, 2

м

с

1

Е^Е'

^ ^ awv,л,£cv,£ I I ^ ^ аи \ £ \ £

1

120'

^ ^ Ьи,у аи-ш , V, /л аге, £, ф Се,ф —

у Л £ Ф

^ ^ Ьи, у) ^ аи'ш , V,л У ^ , л,£ У ^ аге,£,ф Се,ф —

л

1

144' 360'

720'

Помимо этих ограничений для построения вложенного метода (5)—(8) порядка ц = 4 при уже определенных параметрах векторов Си, Би с девятью блочными весовыми коэффициентами Лиу должны выполняться еще 66 линейных относительно параметров Ьи,„ уравнений (и, € {0,1, 2})

Ьи,У Си,у

V

а

V /л

в + 1'

в — 0' 1'

л, Си — п '

12'

(12)

с 57 ограничениями

Е V л ^ ^ avn £ 1 24

V — 1 ' .. '7 И — 1 ' . . . 6 И — 1 ' . . 6

Я00,8,У — Я10,7,У — Я20,7,у — = Ьоу = Ьоу = Ьоу Я01,8,л Я11,7,л а21,7,л — &1,л — &1,л — &1,л ао2,8,л — а12,7,л — а22,7,л — = Ь2,л = Ь2,л = Ь2,л

(13)

обеспечивающими реализацию технологии ЕБЛЬ (последнее вычисление производных на текущем шаге совпадает с первым на следующем).

Количество параметров метода (4)-(8) шестого порядка, подлежащих определению, равно 216. При решении системы (10), (11) для каждой группы Си, Би и каждого блока весовых коэффициентов Лиу для весовых и узловых параметров введем упрощающие предположения

Ьи,2 =0, Си1 =0, и = 0,1, 2,

(14)

а также упрощающие ограничения, представленные в табл. 2. Используя их в рамках структурного подхода [2,3], преобразуем исходную систему (11) к нелинейной системе-следствию, которая (структурно) состоит из 12 блоков преобразованных уравнений системы и 198 упрощающих ограничений.

Общее число уравнений системы-следствия меньше исходной системы условий порядка. Число неизвестных параметров метода шестого порядка Си,и, Ьи, и,у € {0,1, 2}, с учетом (10), (14) сократилось до 210. Система-следствие сохранила характерные структурные особенности исходной системы условий порядка (11) — разбиение на блоки, а также нелинейность связей неизвестных параметров метода внутри девяти блоков и между ними.

uw

1

1

3

1

2

Таблица 2. Упрощающие ограничения для условий порядка (12)

w = 3,..., 7; т = 0, 1, 2 в = 0, 1; £ = 1, 2 s = 1,..., 6; f = 2,..., 6

w-1 С0+1 E a00,w,vco v = , v = 1 т+1 7 S E bo,vc0 vaoo,v,2 = 0, v=3 7 E bo,v aoo,v,s = v = s+1 = bo,s (1 - co,s) w-1 c«+! E ao1,w,vc1v = в + -, , v=1 в +1 7 E bo,vvao1,v,2 = 0, v=3 7 E bo,v cGov ao1,v,s = v = s + 1 b1,s (1 - c^1) w-1 c^1 G o,w E ao2,w,vc2v = в + ! , v=1 в + 1 7 E bo,vc§ vao2,v,2 = 0, v=3 7 E bo,v cGov ao2,v,s = v = s + 1 b2,s (1 - 4+s1)

в + 1 в +1

и ^ E a1o,u,vco,v = . -, > v=1 т +1 6 S E b1,vcj v«10,v,2 = 0, v=2 6 E b1,va1o,v,s = v = s = bo,s (1 - co,s) U CG+1 Л G C1,U E a11,U,v cï,v = в +\ , v=1 в +1 6 E b1,vc2 v«11,v,2 = 0, v=2 6 E b1,vc1va,11,v,s = v = s b1u (1 - c^+u1) в + 1 U-1 G c^+u1 = a12,uv c2,v = в +1 , 6 E b1,va12,v,u-1 = v=u = b2,u-1 (1 - c2,u-1)

u СТ +1 Л т C2,U E a2o,u,vc0 v = , v=1 T +1 6 S E b2,vc2 va2o,v,2 = 0, v=2 6 E b2,va2o,v,s = v=s = bo,s (1 - co,s) u cG+1 Л G c2,u E a21,u,vc\v = в + Л , v=1 в +1 6 E b2,vc2 va21,v,2 = 0, v=2 6 E b2,vc62>va21,v,s = v = s b1,s (1 - c^1) u cG+1 Л G c2,U E a22,u,vc2,v = 0, v=1 в+1 6 E b2,vc62>va22,v,s = v = s b2,s (1 - 4+1)

в + 1 в + 1

Нелинейная система-следствие (188 нелинейных уравнений с 210 неизвестными), описывающая ограничения на параметры метода шестого порядка, распадается на 12 систем, решение которых в определенном порядке сводится к решению систем, линейных относительно параметров buv,

Исследование на совместность уравнений нелинейной системы-следствия, частично представленное в [7, 8], позволило получить очень важные соотношения на узловые параметры cuv метода, представление которых необходимо для построения вложенного метода четвертого порядка.

4. Алгоритм построения семейства методов шестого порядка. Считаем, что все узловые параметры cwv выбраны таким образом, чтобы при выполнении предположений (14) и упрощающих ограничений (10), а также представленных в табл. 2 все параметры метода были определены и выполнялись неравенства 0 ^ bwv ^ 1, 0 ^ cw v ^ 1, w G {0,1,2}. Заметим, что с учетом упрощающих ограничений из табл. 2 с0,7 = 1, cg,e = 1, g = 1, 2.

4.1. Коэффициенты B0. Разрешая линейную систему уравнений

то

я

Y] b0,v c0,v = , s = 0, 1, ^ ' s + 1

v=1

5

выражаем весовые параметры Ь0,и через свободные узловые параметры со,з, со,4, со,5, со,в:

Ьо= Ьо,^(со,з, со,4, со,5, со,в).

4.2. Коэффициенты В1 и В2. Две несвязанные к этому моменту линейные системы

тд 1

Т,Ь„*сд,„ = —г> д = 12, 3 = 0,1>--->5, (15)

-I 3 +1

и=1

совместны при ограничениях на узловые параметры сд,5 = сд,5(сд,з,сд,4):

5 с д ,4 с д,3 - 3 сд,4 - 3 сд з + 2

сд,5 = 1П-^ -ч • (16)

10 сд,4 сд,з - 5 дЪ4 - 5 сд,з + 3

Групповые весовые параметры Ьд<и, являющиеся решением системы (15), выражаются через узловые свободные параметры сд,з, сд,4 своих групп Ьд,„ = Ьд,„(сд,з, сд,4).

4.3. Блок Аоо. Теперь последовательно находим параметры метода Аиу = [аиу,и,^} как решение девяти совместных линейных относительно аиу<и^ систем. Для каждого блока определяемых параметров Аиу через Миу обозначим число уравнений совместной линейной системы, используемой для их определения, а через Биу — число неизвестных параметров аиу<и^ этого блока.

Построение решения системы-следствия начнем с первого диагонального блока матрицы параметров с Моо = 20, 5оо = 20:

8-1 1

Еа 1 а+1

аоо,8,и со,» = < + 1 с

и=1

о8 , з = 3,..., 6, 1 = 0,1, 2,

7

„аоо,„,2 =0, р =1, 2,

7

УЗ Ьо,^ аоо,^,8 = Ьо,8 (1 - со,8), в = 2,..., 7, (17)

^ = 8 + 1

7 и-1 1

УЗЬо,^аоо,»,^,^ = 24,

^=4 ц=з

7 и-1 ц—1

УЗ Ьо,^со,^ УЗ аоо,^,^ УЗ аоо,^,£с2,£ = 772.

^=5 ц=4 £=з

1

Система (17) совместна при выполнении дополнительных ограничений на свободные параметры

3 6со,2

со,з = X со,2, со,4 = 2-^-П7. (18)

2 135со 2 - 60со,2 + 8

Ее решения аоо,„,^ = аоо,^,^(со,2, со,5, со,в) найдены в [13] и образуют трехпараметри-ческое семейство.

4.4. Блок А11 . Дальнейшее рассмотрение будет связано с поиском решения для четырех связанных между собой блоков параметров Ац, А12, А21 и А22. В работе [10] данный вопрос изучался достаточно подробно. Здесь, опуская представление самого

решения для этих параметров, будем приводить условия совместности рассматриваемых систем, необходимые для нахождения четырех оставшихся блоков параметров.

В линейной системе, соответствующей блоку параметров Ац, число уравнений N11 = 19, а неизвестных — 511 =20:

УЗ ац,8^ = с1,8, в = 2,..., 6,

^=1

м

Е1 2

а11,мVс1,и = 2с1м V = 2,•••, 55, *=1 2

с^ ац,^,2 =0, (19)

v=2

в

УЗ Ь^ ап,„,8 = Ь1,8 (1 - см), в = 2,..., 6, УЗ Ь1,ис1,иаи,„,м = 1 Ь1,м (1 - с2м), V = 2,..., 4,

^=8

в

в V 1

УЗУЗ ап^,мс1,м = 18.

V=3 м=2

Решения системы (19) а11^м(с12, с13, с14, а113 2) с учетом (16) образуют многопараметрическое семейство относительно свободных параметров с1,2, с1,з, с1,4, ац,з,2.

4.5. Блок А12. Система с N12 = 14, Б12 = 14 8-1 1

„а 1

УЗ а12,8^с1„ = с4+1, 1 = 0,1, в = 3,..., 5, (20)

V=1

в

УЗЬ1^ а12^,м—1 = Ь2,м-1 (1 - с2,м-1), V = 2,..., 5, (21)

V=м

в V— 1

„2 =

18

1

УЗ Ь1^УЗ а12^мс2,м = 18, (22)

v=3 м=2

в V—1 1

УЗ с1,^ УЗ al2,v,мC2,м = 8, (23)

v=3 м=2

в V—1 1

УЗ Ь1^ с1^ УЗ а12^мс2,м = 15, (24)

v=3 м=2

в V—1 1

УЗ Ь1^ с1,^ УЗ а12^мс3,м = 24 (25)

v=3 м=2

позволяет после введения новых переменных

в

ф12,8 = УЗ Ь1 ,vс1^al2,v,8, в = 2, 3, 4, (26)

V= 8+1

найти их представление через свободные узловые параметры, разрешив систему (23)-(25), линейную относительно ф12,8:

(С2Б4 - (1 + С23 + С24) С253 + (С23С24 + С23 + С24) С252 - С23С24С25) &2Б

^12,2 = -?-тт-г--+

С22 (С24 - С22) (С23 - С22)

+ 15С23С24 - 8С23 - 8С24 + 5

^12,3 = -

120С22 (С24 - С22) (С23 - С22) ' ((-С2Б3 + (С24 + 1) С252 - С24С25) С22 + С254 - (С24 + 1) С253 + С24С252) ^25 С23 (С23 - С22) (С24 - С23)

(15С24 - 8) С22 - 8С24 + 5

120С23 (С23 - С22) (С24 - С23) '

((-С253 + (С23 + 1) С252 - С23С25) С22 + С254 - (С23 + 1) С253 + С23С252) ^25

^12,4 = --ТТ-\--+

С24 (С24 - С22) (С24 - С23)

+ (15С23 - 8) С22 - 8С23 + 5

120С24 (С24 - С22) (С24 - С23) '

Используя (26), сводим решение исходной системы (20)-(25) к решению линейной системы-следствия (20)-(22), (26). Ее структура существенно проще и позволяет выразить параметры блока А12 через свободные параметры с12, с13, с14, с2 2, с2 3 и с2 4. 4.6. Блок А21. Далее при поиске решения системы с N21 = 20, Б21 = 20

8

^^21,8^ = с2,8, в = 2,..., 6,

V=1

м

Е1 2

а21,м^c1,v = 2с2,м, V = 2,•••, 55,

V=1 2

УЗ^^ с2^ a21,v,2 = 0,

v=2

в

УЗ Ь2^a21,v,5 = Ь1,5 (1 - с1,5 ), (27)

v=5

в 1 ]ГЬ2,VсIVа21,^м = Ь1м (1 - с+) , V = 2, 3,4, 1 = 0,1,

в V—1

1,

v=3 м=2 5=2

М 1 УЗЬ2,мс2,мУЗ а21,м,5с1,5 = 18,

-15 18' м=3 5=2

в V—1 м 1

УЗ Ь1,Vс1,^ УЗ а12,^м УЗ а21,м,5с2,5 = 772

v=4 м=3 5=3

находим условие ее совместности с использованием упрощающих предположений из табл. 2 и ранее полученных ограничений (26):

с22 = 2с2,3 - 3с1,3 . (28)

, 15с1,зс2,з - 10с2,з + 2

Равенство (28) позволяет выразить параметры третьего блока , V = 2,.. •, 6,

V = 1,... у, являющиеся решением системы (27), через свободные параметры с1,з, с1,4, с2,3, с2,4.

4.7. Блок А22. В последней из четырех систем, рассмотренных в [10], N22 = 19, $22 = 20. При всех упрощающих ограничениях и ограничениях (26), (28) на параметры блока А22 = {а22^}М} эта система линейна и совместна:

У^а22,8^ = с2,8, в = 2,•••, 6,

V=1

м1

Е1 2

а22,мVc2,v = 2с2м V = 2,•••, 55, v=1 2

в

а22^,8 = Ь2,8 (1 - 4+81) , в = 2,..., 6, (29)

V = 8

в 1

УЗ Ь2^C2,Vа>22^,м = 2Ь2,м (1 - 4м) , V = 2, 3, 4,

в V 1

УЗ Ь2^ с2,^ УЗ а22^,мс<2,м = 18,

v=3 м=2

в V—1 м 1

УЗ Ь1^с1,^ УЗ а12^,м УЗ а22,м,ис2,и = 72 •

v=3 м=2 и=2

Решения системы (29) образуют пятипараметрическое семейство относительно свободных параметров с1,з, с1,4, с2,з, с2,4, а22,4,з: а22,v,м = а22^,м(с1,з, с1,4, с2,з, с2,4, а22,4,з), V = 2,..., 6, V = 1, • • • ^.

4.8. Блоки А1о и А2о. В системах для определения параметров этих блоков ^о = 21, ^о = 20, ^ю = $2о = 20:

ш 1

УЗ адо^^Cо,v = сР+и1, Р = 0, 1, С2, ™ = 2,•••, 6,

v=1 Р

в

УЗ Ьд^сРдVадо^,2 =0, р =1, 2,

v=2

в

УЗ Ьg,v адо^^ = Ьо^ (1 - со,ш), ^ = 2, •••, 6, (30)

в V

УЗ Ьд^сду УЗ адо^,мсо,м =

[Jg,vl'^>g0,v,w

v=w

в

3 1

ид,У~ду / у адо^,мсо,м 24' v=3 м=3

вв

УЗ со,м УЗ Ь1,vc2,va10,vм = 118 •

М=3 v=м

Проверка на совместность двух систем (30) уравнений Адо = |адо,^м}, д =1, 2, показала, что их решения существуют при ограничениях

с1,2 = с2,2 = ^ со,2, (31)

Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2023. Т. 19. Вып. 4 459

и=м

С1,5 = С2,5, (32)

связывающих узловые параметры всех трех групп уравнений. Приведем результат прямого хода метода исключения решения системы (30) с учетом (31) и (32):

_ 3 _ 9 е2д,3 (3со,з - 2ед,з)

ад0,2,1 = о с0,2> ад0,2,2 = „с0,2, ад0,3,2 = "ТТ-7-Г",

8 8 6С0,2{С013 - С0,2 )

Сд,3 (2сд,3 - 3с0,2 ) ад0,3,2Ьд,3 (Сд,6 - Сд,з) (Сд,5 - Сд,з)

ад0,3,3 = —р.-^-Г", ад0,4,2 =--;-7-ГТ-;-•

6С0,3(С0,3 - С0,2) Ьд,4 (Сд,6 - Сд,4 ) (Сд,5 - Сд^)

ад0,3,2Ьд,3 (сд,6 - сд,3) (сд,4 - сд,3)

ад0,5,2 = ад0,6,2 =

Ьд,5 (сд,6 - сд,5)(сд,5 - сд,4) ад0,3,2Од,3 (сд,5 - сд,3) (сд,4 - сд,3)

Ьд,6 (сд,6 - сд,5)(сд,6 - сд,4)

_ -6с0,2 (с0,4 - с0,2) ад0,4,2 - 2сд4 + 3сд,4^с0,4

ад0,4,3 = -7,-р-7-,

6С0,3 (С0,4 - С0,3)

6 С0,2 (С0,3 - С0,2) ад0,4,2 + 2 Сд,43 - 3 Сд,42С0,3

ад0,4,4 =

6 С0,4 (С0,4 - С0,3)

(С0,4 - С0,2 ) С0,2ад0,5,2 , (С0,5 - С0,4) С0,5ад0,5,5 , 3 Сд,52С0,4 - 2 Сд,5-ад0,5,3 =--т-т--1--т-т--+

(С0,4 - С0,3) С0,3 (С0,4 - С0,3) С0,3 6 (С0,4 - С0,3) С0,3 '

а = С0,2 (С0,3 - С0,2) ад0,5,2 + (С0,3С0,5 - с0,52) ад0,5,5 + 2 Сд,53 - 3 Сд,52С0,3

а'д0'5'4 С0,4 (С0,4 - С0,3) С0,4 (С0,4 - С0,3) 6 С0,4 (С0,4 - С0,3) '

&0,б(1 - С0,5) - ад0,5,5Ьд,5 Ь0,6 (1 - С0,6) ад0,6,5 =-г-, ад0,6,6 =-г-,

Од,6 Од,6

С0,2 (С0,4 - С0,2 ) ад0,6,2 С0,5 (С0,5 - С0,4) ад0,6,5

ад0,6,3 = -7-;--1--7-;- +

С0,3 (С0,4 - С0,3) С0,3 (С0,4 - С0,3)

+ С0,6 (с0,6 - С0,4) ад0,6,6 Сд,62(2 Сд,6 - 3 С0,4)

С0,3 (С0,4 - С0,3) 6 С0,3 (С0,4 - С0,3)

С0,2(С0,3 - С0,2 )ад0,6,2 С0,5 (С0,5 - С0,3) ад0,6,5

ад0,6,4 = -7-;--1--7-;- +

С0,4(С0,4 - С0,3) С0,4 (С0,4 - С0,3)

+ с0,6 (с0,6 - с0,32) ад0,6,6 + Сд,62(2 Сд,6 - 3 С0,3) С0,4 (С0,4 - С0,3) 6 С0,4 (С0,4 - С0,3)

=_5 С0,3С0,4 - 2 С0,3 - 2 С0,4 + 1_

д0,5,5 120 Ъд,5С0,в(1 - Сд,5)(с0,5 - С0,3)(С0,5 - 00,4)

Причем с использованием ранее полученных ограничений (16) на параметры с\,5 и С2,5 равенство (32) позволяет связать свободные параметры С1,3, с\,4, С23, с^,4 между собой:

5С1,3С2,3С2,4 - 5С2,3С2,4 - С13 + С2 3 + С2 4

С1 4 = -.

5С1,3С2,3 + 5С1,3С2,4 - 5С2,3С2,3 - 5С1,3 + 1 Выполнив обратный ход, выразим все весовые параметры а,0д,и,^ этих двух блоков через свободные параметры с0,5, с0,6, с1,3, с2,3, с2,4.

4.9. Блоки А01 и А02. Здесь N01 = 21, N02 '= 20, в01 = Б02 = 20:

7 1

О0VСр^а,0д,»,-ш = Ъд,т (1 - с?^) , ад = 3,..., 6, р = 0,1, 460 Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2023. Т. 19. Вып. 4

У^Ьо^сд Vaоg,v,2 =0, р = 0,1, 2,

v=3

1

УЗ ag0,w,v4^ = —+ГсР+и1, ™ = 3,•••, Р = 0, 1

1

1 Р +1'

v=1

7 V—1 м—1 1

УЗ Ьо,vсо^ УЗ аоо^,м УЗ аод,м,5ссд,5 = 772, (33)

v=4 м=3 5=2

7 V—1 1

УЗ Ь0,vсо,^ УЗ аод^,мс2д,м = ^,

v=3 м=2

7 V—1 м—1 1

УЗ Ьо^со,^ УЗ аоо^,м УЗ ао1,м,5с?,5 = 72 •

v=5 м=4 5=3

Система (33) совместна при выполнении дополнительного ограничения на узловые параметры

3

с1,з = ^ со,2,

которое с полученными ранее условиями совместности (16), (18), (28), (32) позволяет выразить узловые параметры со,2, со,з, со,4, с1,2, с1,4, с1,5, с2,2, с2,з, с2,5 через параметры со,5, со,в, с1,з, с2,4:

2 _ _ с1,з

со,2 = 77 с1,з, с1,2 = с2,2 = со,з = с1,з, с2,з = со,4 = _ 2 1п ,,, 3 15 с1,з2 - 10 с1,з + 2

_ 20 с2,з с2,4 - 15 с1,з - 15 с1,з с2,4 + 10 с1,з + 2 с2,4 - с1,з

с1,4 = 70 с2,з + 5 с1,з с2,4 - 20 с1,з + 2 - 75 с?,з + 75 с?,з с2,4 - 50 с2,з с2,4 , (34)

45 с2,з с2,4 - 30 с1,з - 35 с1,з с2,4 + 23 с1,з + 6 с2,4 - 4

с1 5 = с2 5 = -^-^-•

75 с2 ,з с2 , 4 - 45 с\ ,з - 60 с1 , з с2 , 4 + 35 с1 , з + 10 с2 , 4 - 6

Ограничимся приведением последовательности прямого хода решения системы (33):

со,з(2сд,2 - со,з) со,з2 аод,з,1 =-^-, аод,з,2

аод,4,2(аод,7,2) =

аод,5,2(аод,7,2 ) = аод,в,2(аод,7,2 ) =

2 сд,2 ' ' 2 сд,2

аод,7,2Ьо,7 (1 - со,в) (1 - со,5) - аод,з2Ьо,з (со,в - ср,з) (со,5 - со,з)

Ьо,4 (со,в - со,4) (со,5 - со,4) аод,7,2Ьо,7 (1 - со,в) (1 - со,4) + аод,з,2Ьо,з (со,в - ср,з) (со,4 - ср,з)

Ьо,5 (со,в - со,5) (со,5 - со,4) аод,7,2Ьо,7 (со,5 - 1) (1 - со,4) - аод,з,2Ьо,з (со,5 - со,з) (со,4 - со,з) Ьо,в (со,в - со,5) (со,в - со,4)

(сд,2 - сд,з) аод,4,2 со,4(2 сд,з - со,4)

аод,4,1(аод,7,2) = -,-,-—--+ 0

сд,з 2 сд,з

, \ со,42 - 2 сд,2аод,4,2

аод,4,3(аод,7,2)

2с

д,з

= Ьд,5 (1 - сд,5)2 = Ьд,5 (1 - сд,5) (с,д,5 - 2 + 1)

аод,в,5 = 2 Ьо,в (1 - со,в), аод,7,5 = 2 Ьо,7 (1 - со,в) ,

2 Ьо,7аод,7,4 (1 - со,в) - (1 - сд,4)(сд,4 - 2 со,в + 1) Ьд,4 аод,5,4(аод,7,4) = -

2 Ьо,5 (со,в - со,5)

(1 - с_ ,)(с_ , - 2

аод в 4(аод 7 4)

(1 - сд,4) (сд,4 - 2со, 5 + 1) Ьд,4 - 2 Ьо,7аод,7 ,4 (1 - со , 5)

2 Ьо,в (со,в - со,5)

Зд,7,3 (со,в - со,

1,5) Ьо,5 (со

((2 сд,3 - 2) со,в - сд,32 + 1) Ьд,3

2 Ьо,5 (-со,в + со,5) (со,5 - 1) Ьо,7аод,7,з + (со,5 - со,4) Ьо,4аод,4,з

, N (1 - со,в) Ьо,7аод,7,з (со,в - со,4) Ьо,4аод,4,з ,

ао д,5,3(ао д,7,3 ) = —7-7-7---7-7-7- +

Ьо,5 (со,в - со,5) Ьо,5 (со,в - со,5)

+ (

о,5 - о,7 од,7,з о,5 - о,4 о,4 од,4,з аод,в,3(аод,7,3) = -Ь-Г^-с-)--Н

Ьо,в (со,в - со,5)

+ ((2 сд,3 - 2) со,5 - сд,32 + 1) Ьд,3

2 Ьо,в (со,в - со,5)

Параметры аод 51, аод 7 2, аод 73, аод 74 определяем, последовательно разрешая при

д = 1, 2 две линейные относительно искомых параметров системы четырех уравнений:

4 1 1

У3««д,5^ с&д^ = ^^ в =0, 1,

v=1

7 V—1 1

УЗЬо^со^ УЗ аод^,мс2д,2 = 18,

v=3 м=2

— 1 м— 1

м,д" 1,д ~ 721

УЗ Ьо^со^ УЗ аоо^,м УЗ ао1,м,дс1

v=5 м=4 Р=3

7 V—1 м—1 1

УЗ Ьо^со^ УЗ аоо^,м УЗ ао2,м,Рс2,д = Т^. •

v=4 м=3 д=2

Выполнение обратного хода с учетом (34) позволяет выразить все искомые параметры аод^,м через свободные параметры со,5, со,в, с1,з, с2,4.

На этом работа алгоритма по построению метода шестого порядка закончена. Решение системы-следствия существует и образует шестипараметрическое семейство относительно свободных параметров со,5, со,в, с1,з, с2,4, а11,з,2, а22,4,з.

5. Семейство вложенных методов четвертого порядка. Для получения весовых параметров Ви при уже определенных Ви, Си, Аиу, п,у = 0,1, 2, необходимо найти решение трех линейных (относительно Ъи^) систем 66 уравнений (12) с 57 ограничениями (13).

На представленном выше шестипараметрическом семействе решений системы-следствия при использовании всех упрощающих ограничений из табл. 2 и условий совместности (16), (34) параметры вложенного метода Ьи^ являются решением системы-следствия

8 1

^ = —Г, в = 0,1,..., 3, ^ в + 1

8 V —1 1

21

УЗЬо,^УЗ аод^,дс2д,д = 12, д =1, 2 (35)

д,д 12 v=2 д=1

g,v cg,v s +1 >

v- 1

p=i

J =1-vp cgp 12'

состоящей (в предположении Ьи,2 = 0) из 16 линейно независимых уравнений системы (12). Решения системы (35) существуют и образуют семипараметрическое семейство

ЬиV(С0,5, С0,6, С1,3, С2,4, Ь0,5,Ь1,3, Ь2,4).

Для проверки работы алгоритма построения метода ИК86(4)[8,7,7]Е с девятью свободными параметрами с0,5, с0,6, с1,3, с2,4, а11,3,2, а22,4,3, Ь0,5, Ь1,3, Ь2,4 и проведения сравнительного тестирования рассматриваемого метода было найдено частное решение (табл. 3) системы-следствия при свободных параметрах с0,5 = 2, с0,6 = |, С1,3 = 1, С2,4 = 1, ац,3,2 = 0, 0,22,4,3 = 0.

При таком выборе узловых параметров весовые параметры вложенного метода образуют трехпараметрическое семейство Ьи,„(Ь0,5,Ь1,3,Ь2,4):

( 12 - 9 b05 \ 0

125 i _ 125

ос ос

Bo

27 7b 16 - 2 b05

bo,5

0

4QQ b - 77

36 b05 Q6

96

(7-- 2QL b

72 150b

B1

1,3

\

b1,3 1250 Q28b 2Q61 Q87b1,3 1331 i 1331b 3384 + 7050 b1,3 2407 b _ _83_ 525 b1,3 252

V 1 - 14 b05

\

5 h

12 - -25 b 1,3

(11- -63. b2

Q6 512 b2,

B2

\

0

45__1701 b

104 Л 1664 b2,4

b2,4 1331 i 1331b 3744 + 6656 b2,4 623 b _ ^ 128b2,4 72

\

128

4

3

116 h - Жh2,4

/

Тестирование метода RKS6(4)[8,7,7]F проводилось при свободных параметрах

b 3 b 25 b 16

вложенного метода b0,5 = = , bi 3 = ——, b2,4 = —.

7 348 63

6. Тестирование. Для проведения численного тестирования на решении y0(x) =

exp(4sinж2), y1(x) = exp(5sinx2), y2(x) = exp (sinж2), y3(x) = cos (x2), y4(x) =

sin {x2} + 1, все компоненты которого удовлетворяют начальным условиям ys(0) = 1,

s = 0,1,..., 4, построена система дифференциальных уравнений

y0 = xy3{ yy 1 +7y0)

у1 = 10x exp(5(y4 - 1))y3

= Í0(x,y0,y1,y2,y3), = Í1{x,y3,y4),

y2 у3

2xy1 У3 + 44 bУ0 - y4 + 1 = Í2(x,y0,y1,y3,y4),

--x ln(y0y2) 5

у4 = 2xy0y- 1У2У3 Уг(0) = 1, i = 0, 1,

= f3(x,y0,y2), = f4(x, У0, У1, У2, У3),

, 4.

(36)

Тестовая задача (36) содержит все три группы уравнений полной канонической формы системы (1)—(3). Общая группа уравнений состоит из первого уравнения системы (36). Две пары последующих ее уравнений попадают соответственно в первую и вторую структурно выделенные группы.

0

Щ

н о я

о «

я я й п о а я а

Еч Щ

Н Я я

N N

«5 ¡И

Й

§

£ а

о я о

Еч О

н

о Щ

0

е у

з

1Н|0 1Н|0 Ю со|ю со|со о 1Н со|с5 ео!ь- 1Н со 1н|со 1н|сч о ст>

,_1 |Ю _4Н|_|

I

О (N12"

^ СО^ О Ю £ £ ^ |сч ю О?

3|оо 3 Р со|® о|о>

01Ь- ¡^ь- С^О ю^

1Ю 00

, ю! 0|с^ ,,

н|ю 1н|со е!со ^ю

1ПП 1-4 ю

, м - АО5гх о|_] ю

3|

2 | | 5

2со о|ст> ^н |т—I Нс^ о

ь- со

и

|5 5|

С^ ю

I О <М |6

,|0 <0|Ю Й

8ю

сЫао

^н со ао|о

6| |

22 23

34

4|

£ 5

О С0«Э

34

о й^Н^оо^

| 4 | 2 44

^ ю^ ь. с^ ^со О

1 <м м ^ю

2 | 4| 3| 3 | 2 о ао ^ ^ I ^

|5

5 || 4 05 20

о § ао

О С0;о

5 | 2 |3 I |00 Ю

1 I с^ с^со 35

О ь.

, ^ а^ °

о|ь- ю^Я £ £

32 • 12со

'к т1

| 4| 6 2 да

1 1

> £ ^ ю 2 | 4 3

Применение метода ЯХВв^)^,?,?^ для интегрирования системы (36) позволит уменьшить число обращений к процедуре вычисления правой части на единицу для /1, - - -, /4 с сохранением порядка метода. Причем в этом случае проверку правильности найденных значений параметров метода проходят параметры всех девяти блоков Лиу.

\г_1_,_I_._I_,_I_

4 5 6 7

№

Рисунок. Зависимость нормы ||Еггё1оь || полной погрешности от общего количества обращений к процедурам вычисления правых частей Nf

На решении задачи Коши (36) при х Е [0,5], "Ъо1 Е [10-5, 10-23] сравнивали результаты применения наиболее известных [15, 16] методов DOPRI5(4)7F и DOPRI6(5)8M с представленной в табл. 3 расчетной схемой RKS6(4)[8,7,7]F.

Результаты сравнительного тестирования по критерию «общее количество вычислений правых частей (Nf) / глобальная погрешность(Еггё}0ь)» представлены на рисунке, на котором наклоны ломаных показывают, что для всех тестируемых методов зависимость глобальной погрешности Еггё10ь от общего числа вычислений Nf правых частей отвечает заявленным порядкам. Предложенный здесь метод RKS6(4)[8,7,7]F в рассмотренном точностном диапозоне демонстрирует свои эффективность и конкурентоспособность.

7. Заключение. Таким образом, алгоритмическое использование структурных особенностей позволяет строить экономичные явные одношаговые методы шестого порядка с автоматическим выбором шага численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Литература

1. Олемской И. В. Алгоритм выделения структурных особенностей // Николай Ефимович Ки-рин: сб. ст. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. С. 224-250.

2. Олемской И. В. Модификация алгоритма выделения структурных особенностей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2006. Вып. 2. C. 55—64.

3. Олемской И. В. Методы интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2009. 180 с.

4. Олемской И. В. Структурный подход в задаче конструирования явных одношаговых методов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43. № 7. С. 918—931.

5. Butcher J. C. On Runge — Kutta processes of high order // Journal of the Australian Mathematical Society. 1964. Vol. 4. P. 179-194.

6. Hairer E., N0rsett S. P., Wanner G. Solving ordinary differential equations. I: Nonstiff problems. 2nd ed., 3rd corr. print. Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 2008. 528 p.

7. Олемской И. В. Четырехэтапный метод пятого порядка численного интегрирования систем специального вида // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42. № 8. С. 1135-1145.

8. Олемской И. В. Вложенный метод пятого порядка типа Дормана — Принса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45. № 7. С. 1140-1150.

9. Еремин А. С., Олемской И. В. Вложенный метод интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 3. С. 434-448.

10. Олемской И. В., Коврижных Н. А. Семейство шестиэтапных методов шестого порядка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14. Вып. 3. С. 215-229. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2018.303

11. Eremin A. S., Kovrizhnykh N.A., Olemskoy I. V. An explicit one-step multischeme sixth order method for systems of special structure // Applied Mathematics and Computation. 2019. Vol. 347. P. 853864.

12. Олемской И. В., Коврижных Н. А., Фирюлина О. С. Двухпараметрическое семейство методов шестого порядка интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15. Вып. 4. С. 502-517. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.407

13. Олемской И. В., Фирюлина О. С., Тумка О. А. Семейства вложенных методов шестого порядка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2022. Т. 18. Вып. 2. С. 285-296. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2022.209

14. Olemskoy I. V., Eremin A. S. Algorithm of construction of effective explicit methods for structurally partitioned systems of ordinary differential equations // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2021. Т. 17. Вып. 4. С. 353-369. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2021.404

15. Dormand J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge—Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. Vol. 6. Iss. 1. P. 19-26.

16. Dormand J. R., Prince P. J. High order embedded Runge — Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1981. Vol. 7. Iss. 1. P. 67-75.

Статья поступила в редакцию 7 августа 2023 г. Статья принята к печати 12 октября 2023 г.

Контактная информация:

Олемской Игорь Владимирович — д-р физ.-мат. наук, проф.; i.olemskoj@spbu.ru Еремин Алексей Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доц.; a.eremin@spbu.ru Фирюлина Оксана Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, ст. преп.; o.firulina@spbu.ru

A nine-parametric family of embedded methods of sixth order*

I. V. Olemskoy, A. S. Eremin, O. S. Firuylina

St. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

* This work was founded by the Russian Science Foundation (project N 23-21-00027, https://rscf.ru/project/23-21-00027/)

For citation: Olemskoy I. V., Eremin A. S., Firyulina O. S. A nine-parametric family of embedded methods of sixth order. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer-Science. Control Processes, 2023, vol. 19, iss. 4, pp. 449-468. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.403 (In Russian)

In the paper an effective explicit Runge — Kutta type method of the sixth order with an embedded error estimator of order four is presented. The method is applied to the systems that can be structurally partitioned into three subsystems. Its computational scheme effectively uses the structural properties. However this leads to much larger systems of order conditions. These nonlinear conditions and the algorithm of finding a solution with nine free parameters are presented. A certain computational scheme is written down and a numerical comparison to Dormand — Prince pairs of orders 5 and 6 is performed.

Keywords: Runge — Kutta methods, partitioned systems, order conditions, simplifying conditions.

References

1. Olemskoy I. V. Algoritm vydeleniia strukturnykh osobennostei [An algorithm for finding the structural properties]. Nikolai Efimovich Kirin. Papers dedicated to the memory. St. Petersburg, Research Institute of Chemistry of St. Petesburg State University Publ., 2003, pp. 224—250. (In Russian)

2. Olemskoy I. V. Modifikatsiia algoritma vydeleniia strukturnykh osobennostei [Updating of algorithm of allocation structural features]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2006, iss. 2, pp. 55—64. (In Russian)

3. Olemskoy I. V. Metody integrirovaniia sistem strukturno razdelennykh differentsial'nykh uravnenii [Integration of structurally partitioned systems of ordinary differential equations]. St. Petersburg, St. Petersburg State University Press, 2009, 180 p. (In Russian)

4. Olemskoy I. V. Strukturnyi podkhod v zadache konstruirovaniia iavnykh odnoshagovykh metodov [Structural approach to the design of explicit one-stage methods]. Comput Math. and Math. Phys., 2003, vol. 43, iss. 7, pp. 918-931. (In Russian)

5. Butcher J. C. On Runge—Kutta processes of high order. Journal of the Australian Mathematical Society, 1964, vol. 4, pp. 179-194.

6. Hairer E., N0rsett S. P., Wanner G. Solving ordinary differential equations. I: Nonstiff problems. 2nd ed., 3rd corr. print. Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag Press, 2008, 528 p.

7. Olemskoy I. V. Chetyrekhetapnyi metod piatogo poriadka chislennogo integrirovaniia sistem spetsial'nogo vida [Fifth-order four-stage method for numerical integration of special systems]. Comput. Math. and Math. Phys., 2002, vol. 42, iss. 8, pp. 1135-1145. (In Russian)

8. Olemskoy I. V. Vlozhennyi metod piatogo poriadka tipa Dormana — Prinsa [A fifth-order five-stage embedded method of the Dormand — Prince type]. Comput Math. and Math. Phys., 2005, vol. 45, iss. 7, pp. 1140-1150. (In Russian)

9. Eremin A. S., Olemskoy I. V. Vlozhennyi metod integrirovaniia sistem strukturno razdelennykh obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [An embedded method for integrating systems of structurally separated ordinary differential equations]. Comput Math. and Math. Phys., 2010, vol. 50, iss. 3, pp. 434448. (In Russian)

10. Olemskoy I. V., Kovrizhnykh N. A. Semeistvo shestietapnykh metodov shestogo poriadka [A family of sixth-order methods with six stages]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2018, vol. 14, iss. 3, pp. 215-229. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2018.303 (In Russian)

11. Eremin A. S., Kovrizhnykh N. A., Olemskoy I. V. An explicit one-step multischeme sixth order method for systems of special structure. Applied Mathematics and Computation, 2019, vol. 347, pp. 853864.

12. Olemskoy I. V. Kovrizhnykh N. A, Firyulina O. S. Dvukhparametricheskoe semeistvo metodov shestogo poriadka integrirovaniia sistem obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [Two-parametric family of sixth order numerical methods for solving systems of ordinary differential equations]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 4, pp. 502-517. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.407 (In Russian)

13. Olemskoy I. V., Firyulina O. S., Tumka O. A. Semeistva vlozhennykh metodov shestogo poriadka [Families of embedded methods of order six]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2022, vol. 18, iss. 2, pp. 285-296. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2022.209 (In Russian)

14. Olemskoy I. V., Eremin A. S. Algorithm of construction of effective explicit methods for structurally partitioned systems of ordinary differential equations. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2021, vol. 17, iss. 4, pp. 353—369. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2021.404

15. Dormand J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge — Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1980, vol. 6, iss. 1, pp. 19—26.

16. Dormand J. R., Prince P. J. High order embedded Runge — Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1981, vol. 7, iss. 1, pp. 67—75.

Received: August 7, 2023.

Accepted: October 12, 2023.

Authors' information:

Igor V. Olemskoy — Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Professor; i.olemskoj@spbu.ru

Alexey S. Eremin — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor; a.eremin@spbu.ru

Oksana S. Firyulina — PhD in Physics and Mathematics, Senior Lecturer; o.firulina@spbu.ru